地形理论
这一部分将正式解释地形理论，演示其中的概念是如何有助于阐释聚合的进程，并列举可以从理论中推导出来的一些预测结果。
地形理论主要预测行为者如何结成联盟。为了使其中的术语尽可能简明，我们直接借用了国际联盟的术语。该理论的两个基本假设都是基于承认这样一个事实：对于国家领导人来说，判断每一种潜在联盟的价值是非常困难的。第一条假设是，一国在进行价值判断时是短视的。也就是说，一国领导人在评价该国与另一国家相处得如何时，并不把系统中的其他国家的因素考虑在内。通过仅仅进行两两价值判断，国家领导人就把同时评价与所有国家之间的联盟关系的困难给回避过去了。
地形理论的第二条基本假设是，对联盟进行的调整是通过各个参与国的渐进的行动来实现的。这就排除了联盟内部会形成新的联合去背叛联盟自立门户的可能。因为关于回报的信息很不确定，这就使得结盟行为及其回报之间的因果关系含糊不清，谈判成本随之上升，而一国通过单方面的付出来达到最优结果的可能则相应下降，所以该理论完全有理由做出渐进式行动的强假设。
地形理论首先定义n个行为者（如，国家）组成了一个集合。其中，一国的规模（size），si＞0，反映的是该国对于他国的重要性。它可以用人口、工业、军事因素或几者的综合构成来衡量，这取决于在具体应用时将哪一种因素考虑得比较重要。
地形理论的核心前提是，在每一对国家i和j之间都存在着一种合作的倾向（propensity），pij。如果两国间合作愉快，其取值就为正，并且两国关系越好，数值越大；而如果两国间存在着许多潜在的冲突可能，它的取值就为负。换一种说法，所谓倾向就是要衡量两国在同一个联盟中合作的意愿有多强。如果一国与另一国之间存在冲突根源（比如边界纠纷），那么对方对于它当然也有着同样的冲突根源，所以，地形理论就假设倾向是对称的，即pij＝pji。
格局（configuration）指的是国家间的一种分隔类型，即把每个国家分到某一个（唯一的）组中去的一种布局状态。比如战后欧洲的非中立国家就划分成为北约组织和华约组织两派。一种具体的格局，X，决定了其中任意两个国家i和j之间的距离（distance），dij。在该理论最简化的版本中，假定所有的国家都被分到两个可能组别中的一个中去，所以，如果两国在同一组中距离就是0，而不在同一组中距离就是1。其他情况下，一种格局中距离应该如何取值就要具体问题具体分析了。[1]
有了距离和倾向这两个指标，接下来就可以定义受挫感（frustration）：它衡量的是一个特定的格局在满足给定的国家想要接近或疏远其他国家的愿望方面做得有多糟或者多好。如果对于i国来说在联盟另一方中的受挫感较少，它就会试图转换阵营。在格局X中，i国的受挫感就是：
其中，sj是j国的规模，pij是i国希望接近j国的倾向程度，dij（X）是在格局X中从i到j的距离。除j＝i以外，每一个指标对所有国家取值并进行加总。注意，这里是用另一国的规模大小作为权重，对一国愿意接近或排斥另一国的倾向进行加权求和。这样就把一个重要的事实考虑了进去：在决定联盟行为的时候，同样的冲突根源，若只是与一个小国之间存在的就不如与一个大国之间存在的来得重要。那么，在下列的情况下，一国的受挫感就能最小化：
a．与具有正的倾向的国家处在同一个联盟中，否则，pij＞0而dij（X）＞0，受挫感就不会达到最小值；
b．与具有负倾向的国家处在不同的联盟中，因为当pij＜0时，dij（X）＞0。
这个定义把短视的假设也包含了进去。因为在这里，某国对于一个格局的评价取决于它与其他每个国家之间的两两倾向，而没有考虑这一组国家之间更高阶的互动。
接下来的一步是定义能量（energy），E。对于整个格局X来说，它的能量就是其中每个国家的受挫感的加权总和，权重为每个国家的规模大小。即：
（2）将受挫感的定义代入这个等式，我们就可以得到用国家规模、国家间的合作倾向和距离来表示的一个特定格局的能量大小：
能量的这个公式蕴含了这样一个思想：当愿意合作的国家被分在同一个组别，而互相排斥的国家被分在不同的组别时，一个格局的能量更小（也就是说格局本身更好）。规模在此起着很大的作用，因为和一个大国保持正确的关系比和一个小国相处得当来得更重要。
定义了能量的公式，接下来我们看看上面所做的这些抽象归纳可以如何运用。如果我们求出了每一个格局的能量，就可以构建一个能量地形图。它是一种很简单的图表，用一个点来代表一种可能的格局，而这一点有一个高度值来表示该格局的能量大小。正如图4.1，图底部的平面中的每一个点代表一种特定的格局，而其上的表面代表了这个格局的能量大小。相邻的那些点则是与其国家结盟分布不同的其他格局。这种地形图中有一个维度可以指示出每个国家处在哪一个格局当中。但由于要画出一个多维的超立方体非常困难，图4.1便只是用了一个概念上的（二维）表面作为替代。
图4.1 二维地形图
资料来源：节选自Abraham and Shaw，Dynamics-The Geometry of Behavior。经许可使用。
* 该格局空间是一个n维二元超立方体。这个超立方体为每一个行为者提供了一个维度，以预测在两个可能的联盟中行为者可能加入哪一方。
再加上先前规定的渐进性行为的假设，我们就可以预测这个系统的动力机制了。渐进的假设意味着，每一次只可能有一个国家会改换阵营，而它此举的目的在于降低自己的受挫感。由于一个格局的能量值是其中各个国家的受挫感的加权总和，那么一旦一国的受挫感降低，整个系统的能量也就随之减少。[2]能量减少的结果就是：不管初始时该系统处在地形图上的哪一点，它都会向下移动到相邻的、能量值小一些的另一个格局点上。据此推论，显而易见，只有当一个格局到达了局部最低点时，联盟形式的变化才会停止下来。比如，图4.1有两个局部最低点，也就是说，有两个潜在的稳定格局。所谓稳定，在这里意味着在现有条件下，格局（即联盟形式）不会再发生变化。
究竟哪一种稳定格局会出现，这取决于系统的初始位置。例如，图4.1中，左边的每一种格局都倾向于滑到左边的最低点，它恰好也是全局的最低点。而所有可能滑向这个最低点的格局组成了该最低点的引力盆（basin of attraction）。
具体地说，地形理论给出的预测就是：
1．从一个既定的初始状态出发，依据下滑的行动规则，格局会发生改变，移动到邻近的另一个点上；
2．因而，唯一的稳定格局只可能出现在地形图中的局部最低点上；
3．由于倾向是对称的，格局之间不会发生循环（也就是说，不会从X到Y到Z，再回到X）。[3]
这种方法有一个有趣的含义：均衡点不一定是全局最优。如图4.1中，该系统可以达到的局部最低点有两个：右边的最低点和左边的最低点比起来，在满足国家间的倾向方面就做得没那么好。然而，如果系统的初始点恰巧在右边，它也只能达到右边那个局部的最低点，而那并不是全局最低点。
该方法的另一层深义在于，可能没有哪一种格局能够满足每个国家的愿望。即使在一个全局最优的格局里，大部分甚至全部国家或多或少都会觉得有些受挫，因为总会有“友方”被分到对立的组，或者总会有“敌方”和自己分在了一起。就好像，对于三个互相讨厌的国家（比如以色列、叙利亚、伊拉克）来说，任何一种两两相反的格局都会让其中的一个受伤。
我们更深入地思考一下会发现，一个系统会达到哪一个局部最优其实取决于这个系统本身的历史。从前的那些经历很可能是被一些小小事件甚至是偶然因素所左右，但却决定着现在哪一个结局可以胜出。那么，这个结局很可能只是一个“冻结意外”（frozen accident）的后果，就好像键盘上的按键QWERTY那样。[4]就能量地形而言，一旦系统进入了一个盆地，就很难再跳脱出来。更进一步说，如果存在着好几个局部最优点，该系统能达到的那一个完全可能并不是全局角度来说能量最低、即受挫感最少的那一个。[5]
地形理论之所以能适用于政策制定与变动之类的问题，正是因为它阐明了，在什么情况下，初始格局的小小变动会造成最终结果的巨大差别。比如，如果有一个点初始时正好处在两个引力盆地的交界线上，那这个初始位置只要左右移动一点点，结果就迥然不同了。此外，图4.1中山谷之间的关口的高度标出了将不同的引力盆地分隔开来的“能量屏障”的宽窄，可以通过它衡量出系统从一个局部最优点移动到另一个局部最优点的难度大小。
总结：地形理论首先用规模和双边倾向来计算出每一个可能的格局的能量大小，然后绘出相应的地形图用以预测系统的动力机制。
