非欧几何里的旋转木马
在结束这一轮广义相对论的类比旅行之前，将简略地描述一下其中的关键性突破。这一突破彰显了爱因斯坦的引力概念所在的恰当的数学分支。我们刚刚看到，爱因斯坦最初把引力和加速度联系起来的思想实验都和线性加速度有关，二者都是一种参照系沿着固定方向变速运动的情形。但是，加速度存在另一种同样重要的形式，即当一个物体的运动方向发生改变时，速率却不一定改变。最简单也是最典型的例子是一个以每秒固定次数旋转的圆盘。这个圆盘上的每一个点都在加速，因为在每一刻它都在改变运动方向。虽然将等价原理应用于旋转的圆盘的情形远比线性情形难得多，爱因斯坦没有因此却步。他一定要深究旋转圆盘这个诱人的案例。
这个案例的关键在于长度收缩现象。这是狭义相对论的一个微妙结果。根据狭义相对论，任何物体的长度，在从一个相对于该物体运动的参照系里进行测量时，比该物体处于静止参照系中的长度要短。总的来说，当移动物体的尺寸被不动的观察者测量时，会出现纵向收缩但没有水平收缩。
相反的情形也成立。既然在任何一个参照系中的观察者都有理由认为他们所处的参照系是静止的，而另一个参照系是运动的，所以，他们会将另一个参照系内的物体，而不是他们自己所处的参照系内的物体，看成是纵向收缩的。初看，这似乎是矛盾的，但是爱因斯坦表明这不矛盾。下面的漫画类比有助于解释他是怎样解开这个矛盾的。
中国的孩子可能会说智利的孩子走路头朝下。与此相对，智利的孩子可能会说中国的孩子走路头朝下。孰是孰非？我们知道引力是向着地球中心的，也理解被称为“下”的方向在地球上的各个地方并不总指同一个方向，尽管这个朴素类比似乎是说它是同一个意思。相反，它是相对的，就是说，“下”取决于观察者所在的位置。用类比的话说，一个物体的长度对于不同的观察者来说竟然是不一样的。它取决于物体和观察者之间的相对速度。这就是为什么两个运动速度不同的观察者观察同一个物体时会得出该物体长度的不同测量结果。但是，长度与下类似，是相对的而不是绝对的。在这两种情形中，朴素类比都是错的。所以，表面的不一致，初看虽然令人困惑，但却不构成一个真正的矛盾。
现在，回到旋转的圆盘和广义相对论。当圆盘旋转时，上面的每一个点所做的运动都是圆周的，而不是径向的。换句话说，它一圈一圈地运动，但却不是一进一出地运动。狭义相对论告诉我们，有纵向收缩但没有水平收缩。这意味着沿着周长有收缩，但却没有沿着半径的收缩。所以，所测量的圆盘周长，从非旋转的角度与在旋转圆盘的参照系内的观察者所做的测量，其长度是不同的。另一方面，对圆盘直径的测量却是和他们一样的。
达到这一结论的过程是缓慢而且困难的，因为它是严重反直觉的。但是爱因斯坦坚信自己的信念，小心翼翼地把它想通了。在这个过程中，他取得了一个奇异的发现：当一个圆盘在旋转时，非旋转的观察者测量其圆周与直径的比例会发现它不等于π。此外，这个比例还取决于圆盘的转速。旋转得越快，其比例就越偏离π。
甚至对爱因斯坦本人来说，虽然他对于创造反直觉的思想已经习以为常，但依然认为这个效果非常怪异。所以，他和同行们称之为“埃伦费斯特悖论”（以首次指出这一现象的荷兰物理学家的名字命名）。他们投入了大量精力试图解决这个悖论。即使如此，他们仍用了几年时间。爱因斯坦是这样描述突然通透时的感觉：
在回到苏黎世不久，我第一次对这一理论的数学问题和高斯的曲面理论的数学问题之间的类比产生了决定性的念头。10
这里的“这一理论”指的是爱因斯坦初期的引力理论。由于他那命名完美的等价原理，这一理论等同于加速参照系理论。
为了搞清楚他刚刚发现的旋转参照系问题，爱因斯坦再一次求助于20年前理工学院学生时代冬眠了许久的记忆。在那时，他上过二维曲面几何的讨论课。在课上他了解到，在由卡尔·弗里德里希·高斯（Karl Friedrich Gauss）和波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）于19世纪发展起来的非欧几何之中，一个圆的周长与它的直径的比例可以任意地不同于π。为了理解其中的原因，假设地球表面是一个弯曲的二维空间。如果把赤道看作一个圆，那么半径则是任何一条从赤道走向正北一直到达北极点的经线。这样的一条经线，其长度为赤道长度的四分之一。因而，直径则等于赤道的一半。这意味着，对于居住在这个弯曲空间的人来说，赤道的周长与直径的比例等于2，而不等于π。
1912年的某个时刻，这个过去一直深埋于爱因斯坦记忆中的非欧圆定理，不经意地跳了出来，旧的记忆突然被激活，正如几年前假想力的记忆复苏那样。这个非常受欢迎的新连接给了他灵感，让他可以直接借用高斯和黎曼的曲面几何公式，以数学公式的方式表述加速参照系的物理特征；而且可以更进一步，基于等价原理，表述处于引力场的世界的物理特征。
当然，宇宙中的事件不是发生在二维平面，而是在三维空间。而且事件的发生需要时间，这意味着宇宙是四维时空，即三个空间的维度，一个时间的维度。虽然在今天，“四维时空”这个词是人们熟悉的术语，甚至已经是老生常谈，但这个概念，当它第一次被德国数学家赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）提出时，是一个奇怪而重大的新启示。闵可夫斯基是爱因斯坦在理工学院时的教授。他注意到伽利略的相对论和爱因斯坦的狭义相对论之间的一个明显类比。这个类比引导他迅速形成了四维时空的思想。讽刺的是，爱因斯坦本人竟错过了这个类比！
爱因斯坦在发展广义相对论的过程中认识到，他需要的是将多年前他在理工学院学到的高斯几何的二维定理（当时，他认为这些定理纯粹是数学的而不是物理的）拿来，用到闵可夫斯基的更抽象的、具有三维空间和一维时间的空间。也就是，他要在四维时空中“拷贝”多年前在苏黎世他的教授教给他的纯二维空间的思想。这个类比超乎寻常地丰富而新颖，促使他产生了四维的弯曲空间这个超现实概念。这似乎还不够，弯曲的概念现在不再局限于空间，而被扩展到时间的维度。“弯曲的时间”这个思想显然是在挑战人类想象力的极限。
刚刚讲完了一组多产的类比：第一，引力场和加速参照系之间的类比；第二，单一的力学和整体的物理学法则之间的类比（在新环境下重新启用）；第三，旋转参照系和二维非欧几何之间的类比；第四，二维和四维非欧几何之间的类比。所有这些类比为爱因斯坦提供了他梦寐以求的关键性的线索，为他提供了用数学方法处理引力的工具。经过几年时间，他终于能够“驯服”引力，将它带入物理学的数学法则的大家庭。这样得出的广义相对论是爱因斯坦事业中最复杂、最大胆的成就，是他令人震惊的全部发现中的光荣的顶峰。
