两头发光的手电筒失去了一点点质量
通过类比进行范畴扩展，当应用到伽利略相对性之上时，其结果是非常深刻的，而且促使爱因斯坦构建了丰富的思想网络。对现代科学感兴趣的人来说，该网络中的许多名称都是耳熟能详的，例如，同时的相对性、时间膨胀、运动物体的收缩、速度不可叠加性、孪生子佯谬等。这些思想虽然令人着迷，但却不是我们关注的焦点。现在回到E=mc2这个公式。奇怪得很，这个公式在爱因斯坦关于相对论的第一篇文章中根本找不到。这篇发表于1905年夏的30页的论文包含许多其他公式。这些公式都带来了前所未有的革命性的后果，但是这篇论文中没有这个日后成为无可争议的、最具相对论标志性的、短小精炼的公式。
对于大多数人来说，无论是专家还是非专家，E=mc2这个公式与爱因斯坦的相对论的联系都非常紧密。我们想到相对论而完全不提这个招牌公式，就像想到1927年的纽约洋基棒球队而不提贝比·鲁斯，或者想到公元1100年比萨塔尚未建起之前的比萨城那样不可思议。然而，事实就是这样：他的第一篇关于相对论的文章发表时，爱因斯坦尚未发现那个著名的公式。这要等到几个月之后。他认为他的新发现很有趣，值得为此写第二篇文章。这篇只有两页长的文章发表于当年的11月份，从而勉强地挤进了他的奇迹之年。
严格地讲，这个著名公式也没有出现在这篇文章里，因为爱因斯坦认为用文字而不是用公式来表达他的新发现更合适。然而，这些文字等同于E=mc2。两年之后，他意识到自己第二篇关于相对论的文章隐藏着一些非常重要的隐含意义。这些含义是他发表那篇文章时没有想到的。所以，在1907年，他又发表了第三篇文章，这一次终于将E=mc2这些符号的全部意义讲清楚了。正是这一篇文章吸引了全世界的注意力，因为文章的结论不但违反直觉、在科学上具有深远影响，而且对社会也具有深刻的潜在含义。
现在从1905年11月的那篇短文开始，按时间顺序讨论这些发展。在这篇文章中，爱因斯坦假设一个物体可以向相反方向，例如向东和向西同时发射两束光。所以，假设这个物体是一个两头各有一个灯泡的手电筒。因为一束光具有能量，而且因为能量在全部物理过程（力学、电磁学过程等）中都完全守恒，两头发光的手电筒必然要失去一些能量，也就是，由两束射出的光带走的总能量。从能量的角度看，光的产出是需要付出代价的。所有这一切都是显而易见的。
在这里，爱因斯坦迈出的关键一步是一个几乎不起眼的想法：从另外一个参照系来观察这个两头发光的手电筒，具体地说，是从一个运动中的参照系，例如一列以时速每小时60千米行进的火车。假设火车是向西行驶的。根据狭义相对论，坐在火车里的观察者有权力认为自己是静止的并有权宣称手电筒正以每小时60千米的时速向东行驶，而且该速度恒定，因为火车是匀速的。对于列车上的观察者来说，这两束光必然产生多普勒效应。
为了照顾不熟悉多普勒效应的读者，有必要暂时偏离主题讲解一下。多普勒效应在包括光波和声波的任何波里都成立。以声波为例，每当救护车向我们驶来，从身边驶过，然后渐渐驶远时，听到的声音会发生变化。在它从身边驶过的那一刹那，它的警笛的音高会突然降低。当然，对于坐在救护车里的人来说，一切保持不变，而对于站在地面的人来说，则是另一番情景。为什么会产生这个令人惊奇的声音变化呢？
想象一个水塘，你往水塘里扔了一块石子。从石子接触水面并下沉的那个点，圆形的水波开始散开。这时，往水里抛一个软木塞，让它漂浮在水面。不久同心圆的水波就会一个接一个地抵达这个软木塞，使软木塞在水面按照固定的频率上下起伏。这个上下起伏的软木塞就类似于坐在救护车里的人听到警笛时振动的耳鼓。其振动一定有一个固定的频率。
与此相对，再想象一辆玩具快艇驶过这同心圆形水波。快艇直向同心圆的中心，也就是水波的源泉驶去，然后继续向前驶向彼岸。当它向中心驶去时，随着水波的扩散，玩具快艇上下起伏，其频率比软木塞上下起伏的频率要快，因为对于快艇来说，圆形的水波似乎是向着它迎过来；但是一旦它驶过水波的中心（在下沉的石子的正上面），玩具快艇则需要追赶水波，因为这时的水波是离它而去的，所以，快艇遇到水波的频率比以前要低。这意味着它上下起伏不像从前那样快了。这是一个水的多普勒效应：在快艇驶过水波发生源的一刹那，我们能感觉到水波频率会突然下降。
与此类似，在救护车的例子中，当救护车驶过站在街上的人的瞬间，人听到的警笛的频率，即音高会突然降低。多普勒效应通常会说，如果一个观察者向着波源运动或者波源向着观察者运动，那么观察者所感受到的波频将取决于这两个参照系之间的相对速度。当然，把最初的效应从声波扩展到其他类型的波，诸如光波和水塘里的水波，这本身已经是一个非同小可的类比。但这是另外一个故事。简言之，把多普勒效应应用于电磁波在20世纪初还是一个相当新颖的思想。伯尔尼的三级专利技术专家不是这一思想的首创者，但他尽可能地利用了它。
事实上，爱因斯坦运用他几个月前刚刚创立的狭义相对论计算了双向手电筒的多普勒效应。他想象自己处在手电筒以固定速度运动的参照系中（换句话说，即火车处于静止状态的参照系）。他进行了相对的多普勒效应的计算，得出了两束光同时掠过时每一束光的能量。将这两束光的能量相加，他得到了手电筒失去的总能量。他用这个能量之和计算出运动中的手电筒在光束发出的瞬间损失了多少动能。这个数字应该正好为0，因为手电筒一直是以常速运动。但是，它不是0，而是与0相差了一点点。爱因斯坦的多普勒效应的计算结果告诉他，移动中的手电筒通过发射两束光而损失了一些动能。
这一结果非常奇怪。很明显，要产生光，手电筒必须释放一些来自电池的电能，但是它为什么还要损失了一些动能？要知道，动能的标准公式是Mv2/2，其中大写的M代表手电筒的质量，v代表速度。我们知道手电筒没有丝毫减速。按规定，它正在做匀速运动。回忆一下，在第一个参照系中，它是完全静止的；只有在火车里的观察者才能看到它在运动，因为他们的参照系正在铁轨下滑过。而且，因为他们的参照系正在以绝对恒定的速度滑过，并且手电筒相对于地面是静止的，从火车里的观察者角度看，“运动中”的手电筒永远不会失去或增加一丁点速度。那么，以恒定速度运动的手电筒怎么可能会损失哪怕是一丁点的动能呢？花一点时间思考一下这个小谜，一个答案震撼了世界的小谜。
如果手电筒在释放出携带总能量为E的两束光时损失了哪怕是一丁点的动能，那么，刚刚引用的动能公式Mv2/2告诉我们，在释放光的那一刹那，或者是手电筒的质量M，或者是它的速度v必定突然减少了。但是，如前述，火车速度恒定。这也就意味着从火车上看，手电筒也是速度恒定。所以，v保持不变。因此，我们没有别的选择：唯一可能变小的只有M，也就是手电筒的质量。根据爱因斯坦对多普勒效应的计算，手电筒损失的微小的质量，用小写的m表示，等于E/c2。（这里至关重要的是，不要把手电筒的总质量M和手电筒发射两束光时损失的小得可以忽略不计的质量m混淆。）
