机械的数学操作：也是类比的果实
在离开数学领域之前，想对数学表达式的标准操作技巧作一番评论。举个例子，卡尔达诺将某项从等式的一侧移到另一侧，移动的过程使该项改变符号。这是今天的小学生在代数课开始时学到的基本策略或技巧。比如，为解决等式3x-7=x+3，我们将变量“x”从等式的右侧移到左侧，同时改变变量的符号。用类似的方法，将-7从左侧移到右侧，同时改变其符号。结果，等式变成2x=10。然后，将两边同时除以2，最后得到解x=5。但是，这样一个常规代数运算与作类比之间有什么关系？
关系非常大！这类运算来源于类比，当然是出自创造性范围相对较低的位置，与当看到桌子上摆着一个物件时，脑子里称之为“镇纸”这类感官活动非常类似。一个人要能够识别某个物体并给它指定一个标签，他的记忆必须有足够的组织能力，使他的新经历得以通过类比去唤起语言符号，而这些语言符号长期以来是附着于旧经历的。这类符号似乎是不言而喻的，很容易误认为只需机械地让这些代表各种物体的内在符号自动跳出来。这种错觉的诱惑力很大。
同样的错觉也出现在习以为常的数学运算中。当处于一个全新的数学环境中的时候，会意识到这个环境呼唤我们使用某个存在于记忆中的标准方法去解决。当在日常生活中遇到一个新环境时，会意识到这个新环境正呼唤我们使用某个标准的语言标签或采取某个标准行为。这两种意识是非常相似的。看到等式3x-7=x+3，会意识到它在呼唤我们把其中两项移到等号的另一侧，并改变它们的符号。进而，会意识到结果是2x=10，而这一结果呼唤等号两侧同时被2除。这一意识与一个手提箱“呼唤”着被提起来（即第6章中定义的“可供性”）或某一环境呼唤用锤子把钉子打入墙内的意识在原则上没有区别。
有各种各样标准化方法可以用来进行代数运算，例如上面提到的那些。实际上，数学中的常规方法在抽象的各个层面俯拾皆是。其中包括那些可以顺手拈来的逻辑命题，例如著名的归谬法，其基本含义是如果你想证明某命题X为真，你可以试着假设X的反面为真。如果这一假设导致谬误，更具体地说是自相矛盾，那么X必然为真。这种思辨方式是每一个数学家工具箱里标准的、经常使用的工具。同样，在微积分中做积分运算时使用的标准方法之一是“三角代换”。当嗅出某情境似乎有需要代换的可能，就会使用代换。最终这类活动都具有了按图索骥的效果，但这并不能抹杀它们同样是在使用类比。因为当你积累了大量数学经验，那些不断使用的套路运算都是记在大脑里的。正因为有高效分类的能力，这些数学技术可以“召之即来”。也就是说，不需要动脑，好像类比不起任何作用似的。但是，这不过是一种错觉而已，正像看到桌子上的镇纸，不用调动作类比，脑子里马上唤起“镇纸”的标签一样。
你下过多少次跳棋、军棋或类似的棋类？可能很多次吧。当然你现在的棋风和过去的风格是一致的。事实上，现在的棋风出自以前的棋风。你知道什么时候该走什么棋，什么时候冒险，什么时候不冒险。虽然这类现实生活中的决定比数学家所作的决定要具体得多，但是这些决定和数学家决定什么时候和什么情境下使用哪一种技术的决定有许多共通之处。探索一种技术可能会浪费许多宝贵的时间和精力，但最终或许会有所收获。值得吗？这完全取决于一个经验丰富的数学家对这一陌生和朦胧的新情境的“嗅觉”是否敏感。有一些微妙的特性只有通过长时间的经验和缓慢积累起来的精炼的范畴库存才能感知到。下棋和数学研究同理。
有一天，两个数学研究生在争论一个著名的悬而未决的数论问题。一个人坚持认为素数捉摸不定的分布在这个问题中至关重要。另一个争辩说，素数分布与目前的问题风马牛不相及。实际情况是，这两个研究生谁都无意在这个棘手问题上花费几年时间。所以，他们在究竟什么是问题的本质上相互冲突的观点，不过是空洞的交谈，没有任何实质性的意义。但如果有一天，二人同时决定在这个问题上独立地搏上一搏，那么他们关于这个问题性质的截然对立的直觉将对他们的研究方向产生深远的影响。谁对问题关键的“嗅觉”是对的，谁就将走上一条充满希望的研究之路。那么，是什么赋予了他们这种强有力的、能够带来成功或者导致失败的直觉呢？
数学中类比之间的复杂性有天壤之别。在复杂性范畴的底端是那些我们讨论过的标准的、信手拈来的处方。在顶端，是那些伟大数学家的天才闪念，例如，将虚数的概念引入有限域，或者在非常抽象的结构中寻找素数（或素纽结！）。数学有时似乎像摆弄符号的游戏，但是，关键要记住：哪怕是最刻板机械的符号操作也依赖于类比。
总而言之，在数学难易程度的每一段都会涉及作类比，从最平淡的、不假思索的符号变换到最令人目不暇接的、已经高度抽象概念的再概括。在前面各节中，集中探讨了数学中复杂的类比，因为本章的主旨是探讨科学创造和“可发现性”背后的东西。那些平庸的玩弄符号的处方乍一看似乎不需要类比思维，这可以理解。但是造成这一错觉的仅仅是因为人们潜意识地被一种朴素的作类比的旧框框所束缚。这种状况令人啼笑皆非，但却是预料之中的事情，因为人们毕竟很难意识到，在日常生活中脑子里唤起字词和短语时需要多少作类比的参与。但是，他们一旦意识到这一点，一切就不言自明了。这种情况也同样适用于数学中的常规技术的使用。
