域、环、N维纽结
十几岁的伽罗瓦还提出了域论。域是具有两种不同运算的群。一种运算可以类比于熟知的加法，而另一种则可以类比于乘法。把这两种运算连接在一起的关键是分配律：a×（b+c）=a?×?b+a?×?c。（注意：这里的符号“×”和“+”不代表通常的乘法和加法运算，而代表属于域内实体的类似运算。）再一次看到通向新的实体的跳跃（此处的实体是指带有两种操作的事物的集合，而这两种操作可由分配律连接起来）。这一跳跃归功于一个和已知实体（普通数）的类比。在所有的域中最熟悉的是实数的无限集。另一个域的例子，比实数无限集小但仍然是无限的，是实数的子集有理数。然而，另外一些人们熟悉的数集，例如整数，不是域，因为如果你试图做除法运算，你将被带到集之外，例如，2/3不是整数。
出乎预料，完全受美感的驱使，伽罗瓦跨出了一个新的类比飞跃。他观察到，正像他刚刚发现的对称群一样，域中的项不需要有无穷个。有限域也可以存在，例如，从0到6的整数集就是一个包含7个项的域，只要将其中二项m和n之“和”定义为m+n除以7之后得到的普通和的余数就可以了。如此，4+5不是9而是2。同理，4 × 5不是20而是6（这些运算的标准术语是“求和或求积之后模除7”）。
在任何域内，无论是无限的还是有限的，都可以写下多项式并且探索这些多项式的解。上面讨论过的与“真正的”多项式有联系的所有问题在这个新世界里又一次重新出现。和实数一样，在域内同样可以存在无解的多项式。伽罗瓦在他17岁那年，突然产生一个奇妙的灵感，得出一个结论：这样一个无解的域可以通过增添一个或多个“想象”成分加以丰富，就像解决了四次方程式x2+1=0的经典的“想象”数i那样。
年轻的伽罗瓦的想象为数学研究的新风格敞开了大门。从此，数学家开始奔向更加抽象的路。有人拾起比较熟悉的现象，例如，素数2、3、5、7、11、13、17、19……的集合，并且试图精确找到其最本质的关键。然后，又有人试图在其他不太熟悉的结构中探索同样的本质。一个很好的例子是“高斯素数”。高斯素数是复数，其形式为a+bi，其中a和b为普通整数，高斯素数与经典素数有同样的典型特性，即除了自身和1之外没有其他除数。研究这类广义素数是当代数学研究中的一支丰富矿脉。
伽罗瓦不幸去世之后不久，数学家发现了一种新的代数结构。这种结构与域类似但不是总能在其中做除法运算。这类称作“环”的新结构，其思路来源于极具诱惑力的、甚至是不可抗拒的类比。这个类比可以表述为：每一个域必须有一个特殊的子集，其作用与传统的有理数领域中的整数所扮演的作用相同。虽然你可以用任一有理数除以另一个有理数而得到第三个有理数，但是这个规则在整数运算中却不适用。5除3的结果不是一个整数。同样，在一个环中，两个任意成分相除并不总是可能。因此，在任一特定的环中，可以想象一个“素数集合”，里面的实体除了自身和1之外，不是环中任何成分相乘的结果。环素元的研究在19世纪后半叶吸引了许多数学家，促使他们定义各种越来越抽象、越来越远离“现实生活”的结构和现象。然而，事态发展证明，许多这些超抽象的现象却在几十年或几百年之后深深地牵涉到支配物理世界的规律之中，最终变得和在学校学到的那些熟悉的数学概念一样真实。
群的研究提供了一个很好的例子。伽罗瓦注意到，在特定条件下，一个群可以被它的一个子群“除”。当然，这里说的不是熟悉的除的算数概念，而是指一种抽象得多的类比，用在第4章里使用的术语来说，就是一个除的无标记意义。这一过程促成了“商群”的出现。
为了理解伽罗瓦抽象除法的新概念，可以想象一座有完全一样的100层的摩天大楼。现在，要用其中一层“除”这座摩天大楼。得到的是一个摩天大楼的骨架，一个高高的垂直的结构，不再有100层，仅剩100个点。这个抽象结构就是“商摩天大楼”，是最初的摩天大楼被它的无标志的一层“除”的结果。如果你能够把这个纯化的除法概念从摩天大楼的世界带回到更加抽象的群领域，就会对一个群被其子群“除”的过程有所体会。这个被子群除的过程可以重复下去，直到最终从原群中得到一系列“素因子”。这样，我们就会被带回到那些熟悉的概念，诸如因式分解和素数，或者至少是它们在更抽象、更严格的环境中的被纯化的本质。
纽结理论自从1736年被欧拉提出后，又经过成千上万的研究者的深化和丰富，为通过类比推向抽象的过程提供了另一个佳例。在某一时刻，因式分解被延伸到了纽结领域（这里实实在在地指一条绳子上的纽结，一个非常具体的概念，只此一次！）。它的意思是一个复杂的纽结可以看成是两个比较简单的纽结的“乘积”，以此类推。将复杂纽结简化成比较简单的纽结，这个过程最终会自然而然地引出素纽结的概念。然而，这个念头一旦被提出来，马上就被不可避免地概括成难以琢磨的占据着N维空间的纽结。从此，这个概念发展到了几乎无人能想象的地步，只留下少数坚强的人能够在这种高度抽象而令人望而生畏的领域里独行。
我们试图表明，现代数学充斥着不屈不挠的压力，促使人们思考越来越抽象的概念。不幸的是，这种压力的无处不在和强烈程度几乎不可能传递给非数学家。数学抽象的过程基本上就是上面描述的那样：从一个“熟悉”的概念开始（就是说，对于一位资深的数学家来说是熟悉的，但很可能对于一个数学外行来说是完全陌生的），试图提取出其中的精华。然后试图在数学的其他领域里找到某种与你提取的精华一样的东西。通往抽象的另外一种路径是在不同领域里的两个结构中辨认出某种相似性。然后将注意力集中到它们共有的抽象结构之上。这个新的抽象则变成一个可供研究的“具体”概念。这个过程继续下去，直到有人意识到这远非过程的终结。你可以继续将新的概念用上面描述的两种方法之一加以进一步抽象，并以此类推下去。
