类比如何推出群论
将i，也就是-1的平方根，纳入实数，丰富了实数的内涵，这是向前迈进的一大步。因此而产生的二维世界，即复平面，恰巧是“完整的”。所谓完整指的是任何多项式，其在复平面内的系数总有一组完整的解在该平面内。更准确地说，任何N次复系数多项式在复平面内都有不多不少N个解，不需要到平面外去寻找漏解。到此阶段，人们或许会认为，数学家终于可以为他们达到了数径终点而额手称庆了，再没有任何需要发现的数了。然而，人类的大脑有建立各种各样的类比的癖好。这一癖好异常强大，它一定要另辟蹊径的。
意大利人在16世纪发现了三次方程的解，激起了欧洲数学家寻找三次以上方程类似的解的热情。实际上，杰罗拉莫·卡尔达诺本人在洛多维科·费拉里（Lodovico Ferrari）的帮助下解开了四次方程。虽然诸如x4这样的表达式没有几何解释，但是ax3+bx2+cx+d=0与它的稍长一些的近亲ax4+bx3+cx2+dx+e=0之间纯形式上的类似对卡尔达诺的诱惑非常强大，使他无法抗拒，必要解之而后快。时间不长，卡尔达诺和费拉里用和解三次方程类似的方法找到了四次方程的解。但是，在他们发现的解法中隐藏着一些令人好奇的意外。
最令人惊讶的是，公式里竟然没有任何地方能够看到四次方根，尽管自然（但朴素）的类比会让任何人都会想到它。相反，先是一个平方根，在这个平方根符号下面是一个复杂的表达式，其中可以找到另一个平方根。而这个平方根符号下面是另一个复杂的表达式，其中包括一个立方根。最后，这个立方根符号下面是另一个长长的表达式，其中包含另一个平方根。一层套一层，总共有四层根号！有谁能预知会出现这样一个古怪而复杂的嵌套结构？为什么只出现平方根和立方根？为什么没有四次方根？为什么出现四个根号，而不是两个或三个或五个？为什么不是26个？为什么这四个根号的顺序是“2-2-3-2”，而不是“2-2-2-3”，为什么不是“3-3-3-2”？这个出现在四次方程的求解公式中的意外而未经解释的根号嵌套结构提示数学家们，N次方程的通解必定包含某种深层秘密。因此，人们开始了对任意次方程的通解的求索。
尽管在随后的200多年间，诸多数学家付出了艰辛的努力，对五次方程的求解都一无所获，更别提高于五次的方程了。但是，终于在接近18世纪末的时候，法籍意大利数学家约瑟夫·拉格朗日（Joseph Louis de Lagrange）开始凭直觉思考这一毫无成果的努力背后的微妙原因，尽管他尚不能准确定位其性质。拉格朗日发现N次方程的N个不同解之间存在着紧密的关系，其紧密程度使这些不完全相同的数在某些方面表现得没有任何差别。像《爱丽丝梦游仙境》里的特伟哥和特伟弟那样，如果将它们互换，似乎观察不到任何差别。这意味着这些数包含一种全新的形式对称。拉格朗日思考，如果一个等式的N个解被置换后会发生什么，置换之后再接着另一个置换，再接着另一个，如此下去会发生什么变化。由此，他的研究开启了“替换”理论，为日后的群论播下了种子。而群论则成为现代数学的关键之一。
意大利的保罗·鲁菲尼（Paolo Ruffini）和挪威的尼尔斯·阿贝尔（Niels Henrik Abel）及其他人延伸了拉格朗日最初关于替换的思想。在1799年，鲁菲尼公布了一个证明，证明五次方程用根式无解，也就是说用平方根、立方根、四次方根等不能表达出解的方程式。证明一个数学问题无解在当时是绝无先例的。不幸的是，在鲁菲尼的证明中存在几处缺陷，因此，没有几个同行严肃对待他的证明。这种状态一直延续到30年之后，直到阿贝尔发表了一个和鲁菲尼结论一样，但更全面的证明，然而阿贝尔的证明也不是无懈可击。最终，在1830年，法国年轻数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦才在这一切之上添上了点睛之笔。他在发表的文章中明确列出了多项式用根式有解或无解的准确条件。
伽罗瓦研究的中心概念是对称群，即实体（在此指任一多项式方程的N个解）的有限集合中全部排列的集合。在这些排列中包括互换，例如，两个实体的相互交换（A ←→B），类似于一个人的面孔在镜子里的映像。排列之中还包括循环，例如，A→B→C→A。这个循环经过三步将我们带回到起点，类似于等边三角形旋转了120度。任何实体，如果其形状在镜像或旋转中保持不变，那么它就具有某种对称性。伽罗瓦意识到，一个由N次方程的全部N个解构成的集合组成的抽象“体”所具有的对称性至关重要。在建立这一联系的过程中，伽罗瓦有意识地概括了现实世界的实体对称的思想，并将这一概念扩展到了抽象的代数实体组合里。一个多项式的全部N个解的集合的“镜像”和“旋转”所造成的转换可以一个接一个地应用。这给了伽罗瓦提醒，让他想到一系列数学计算也同样可以一个接一个地运行。
这一提醒很快让伽罗瓦找到了指导他探索的中心类比。他先写下了某一具体多项式解的全部不同的排列所产生的“乘法表”，然后开始研究这个表的规律。例如，在最普通的四次方程里，伽罗瓦知道，它的四个解的对称群的组成等同于四个不可区分的个体的所有可能的排列方式（ABCD，ABDC，ACBD…DBCA，DCAB，DCBA）。这样的排列有24个。所以这个群的乘法表有24横排，也有24竖列。伽罗瓦推测并证实了多项式方程的秘密在于类似的排列群的乘法表中的隐藏的规律。
群论的历史过于繁复，不可能在此详述。但对于我们来说，重要的是这个思想：群的结构本身发展成了数学研究的一个新的领域。具体地说，伽罗瓦发现，一个群里面经常有小群，或称为“子群”，而且在子群中可以有子子群，等等。他看到宝石内部可以套宝石，一层套一层，可以套若干层。对于一个充满好奇的年轻人来说，这是一场不可思议的盛宴。
数学家一旦理解并接受了伽罗瓦的新思想之后，他们作为一个群体都走上了一条不归路。从此放弃了对实在的、形象实物的研究，例如规则的多面体，转而投入更抽象的实体的研究，例如旋转群（旋转群展现了具象实体的隐藏对称）和后来的置换群（置换群展现了抽象实体的隐藏对称）。正是伽罗瓦，在1827年左右，当他只有十几岁时，最早理解了“一个多项式方程的解的置换群的子群中所隐含的嵌套结构”与“该多项式方程可以使用根式解解开的可能性”之间的紧密联系。随着20世纪的到来，群开始在物理学的每一个领域出现，像春天草原上盛开的野花，凸显了一个天才人物的先知先觉。而这个天才却在20岁时就失去了生命。
