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认知本质—大脑-关于大脑的9大谜团,意识不是像电灯开关一样非睡即醒-脑科学与奴役之路+大脑的故事-1 我是谁-你是怎样成为你的-受到关爱的孩子更聪明吗-青春期孩子的大脑是怎么想的-成人的大脑定型了吗-为什么平时无害的人会突然行为异常-为什么记忆常常不靠谱-不爱动脑的人老得快,是真的吗-意识与大脑活跃度有什么关系-2 我们如何感知世界-“看”也需要练习吗-为什么说我们永远活在过去-切断与外界的联系,“现实”会消失吗-为什么说我们只能看到自己想看到的-为什么说“粗心大意”对大脑有利-色彩、声音、气味是真实存在的吗-为什么有人能“看到”声音-为什么说接受“真相”对自己没有好处-为什么我们有时会感到时间变快或变慢了-3 谁说了算-“熟能生巧”是怎么一回事-为什么有意做某事容易适得其反-“内隐自我主义”是人类的一种自恋行为吗-意识到底有什么用-4 我怎样做决定-电车困境:理智和情绪,大脑听谁的-我们为什么会出现选择障碍-人类为什么要预测未来-为什么我们有时“情愿”上当-尤利西斯契约:未雨绸缪真的有用吗-自我损耗:为什么囚犯在饭后获假释的概率更高-为什么人有时候会明知故犯-5 我需要你吗-镜像反应:模仿是人类自我完善的天分吗-共情是生存必需,还是只是一种沟通策略-为什么“适者生存”这一说法不完全正确-非我族类,其心真的“必异”吗-“人以群分”是保障还是障碍-6 我们会成为什么-我们的感官功能能否“更上一层楼”-人类需要AI,还是更需要自身AI化-大脑中的信息能全部保存下来吗-用计算机模拟人类意识,有没有意义-人类能否创造出新智能-计算机真的能思考吗-意识能摆脱大脑独立存在吗-我们距“超人类”时代还有多远-“庄周梦蝶”还是“蝶梦庄周”-我们是否可以不靠大脑存在-大脑的故事:致谢-致谢+上脑与下脑:找到你的认知模式-导读 平克也追星-前言 为什么需要另一本介绍大脑的书-第1章 一种新的观察方法:大脑揭示了什么-是系统,而非二分法-上脑,下脑-大脑的两个系统-四种认知模式-第2章 理论根源-颅相学家弗朗兹·约瑟夫·加尔-皮埃尔·保尔·布罗卡和他的影响-第3章 复式大脑-惊人的观点-元分析-第4章 推理系统-另类思考-想象大脑系统-解决一个明显的矛盾-第5章 为什么左右脑的分法是错的-内部空间-细枝末节-左右脑密切协作-“分裂思维”-第6章 相互作用的系统-系统的相互作用-第7章 四种认知模式-第8章 认知模式起源:先天vs后天-当先天DNA遇上后天经验-转换模式-S.F.的神奇案例-第9章 行动者模式-最像市长的市长-莱特兄弟-丽萨生活中的一天-第10章 感知者模式-阐明世界的意义-移情的汉娜-第11章 刺激者模式-一直做她自己-安迪,广播台那个家伙-第12章 适应者模式-一位完美的女演员-名叫尼克的年轻男子-第13章 测测你是哪种认知模式-认知模式-第14章 发现最佳的合作伙伴-迷宫中的人造物-社会假体体系-再三思考-上脑与下脑:作者按-表象与本质+推荐序——跨越“表象”的人类思维“本质”-中文版序——这本书是如何翻译成中文的+序言——这本书是如何写成的-在两种语言和文化之间穿梭-体现概念微妙之处的轭式搭配-语言对概念的“自然”划分-范畴化的本质-对类比的两种误解-作类比与范畴化-类比的拥护者和反对者-不同层次的类比-抽象还是具体-本书概要+1 词语的召唤-再复杂的范畴,都始于单一成员-孩子们的类别与类比-木星上的知识之光-范畴和概念空间的结构-概念在大脑中无休止地切分-经典概念理论-当代范畴理论-对创造性比喻的不懈追求-范畴化和类比的连续体-动词作为范畴的名称-句法结构中的范畴-语篇中的范畴-语篇中更为细致的范畴-用语言给世界分类-概念空间-学外语才知道他人分类不同+2 短语的召唤-词源并不等于心理现实-不需要拆分的复合词-缩写和简称看上去简单,不过是隐藏了它的组成部分-惯用语和成语的例子-日常句子背后的故事-谚语里的真相-不由自主的类比关系-每个人都是记忆提取的大师-如何减少认知失调-概念空间里的空白-萨丕尔-沃尔夫假设-什么是智能-脑中概念越多就越聪明吗-爬上类比之山的不同方式+3 隐秘类比的海洋-脑中嗡嗡作响的相似性-没有名字却很稳定的范畴-从浅显类比滑向深层类比-类比和“常比”的作用与微妙之处-再平常的类比也有微妙之处-如何理解自己和他人的经历-在类比的海洋中遨游-依靠高效记忆提取而生存的人类-一个经典的联想-编码之谜-联想产生新范畴-情感在唤醒沉睡记忆时的重要作用-事件编码不靠死记硬背而靠提炼精华-大脑能瞬间找到永恒的本质吗-不起眼的例子成为一个有价值的范畴-狗的大脑中的类比和范畴-心理实体及其关联-作类比和范畴化是硬币的两面+4 抽象过程与内部范畴滑动-什么是抽象,它的目的又是什么-范畴转换快得令人头晕目眩-标记的马脚-标记的好处-它们怎么撞在一起了呢-概念的本质是如何浮现的-关于波-关于三明治-骄傲的专有名词也倒台了-神圣的范畴-普希金们、肖邦们和伽罗瓦们-从一个人向另一个人的无意识滑动-基于同样名字的范畴-比喻一定是谎言吗-比喻用法一览-数学并非一成不变-正方形是矩形吗-专业知识的层次-职业里的窍门-抽象为什么对行家如此重要-容器与身体-关于鼠标与人-人类的智慧是什么+5 类比如何操纵我们-口误是心灵之窗-在概念的键盘上,同时敲击两个琴键-因概念相近而混为一谈的语误-言行一致-许多被叫到,但只有一个被选中-毫无目的的类比-一个在转瞬即逝前被捕捉到的类比-具身与抽象-无意间的先入为主:范畴化的陷阱-从一个本质跳到另一个本质-牵一发而动全身-执念的力量-吃豆人游戏揭示的人生真理-不可抗拒的类比:它们是否有意义-类比的双刃剑+6 我们如何操纵类比-漫画类比:一个有创造力的交流工具-精心选择山脉中的最高峰-连珠炮式的漫画类比-解释型的漫画类比-令人莞尔一笑的漫画类比-漫画类比帮助我们为他人解释事物-最好的总被最先抢走-我们的重要决定背后都有类比-类比战争-人们推理时能不用类比吗-复数化和模式-人类真的如此肤浅吗-我们可以深到底-本质由表象显露-微领域里的“我也是”小故事-人类不是这样感知情境的-看到的实质比存储的实质多-最捉摸不定的字母Z-论眩晕-框架整合-类比和整合不同吗-一个童稚的框架整合-机器翻译之梦-好的类比带来好的翻译-机器翻译领域可能取得的进步+7 朴素类比-朴素类比、形式结构和教育-日常概念和科学概念-新颖和熟悉手拉手-最好的界面是完全没有界面-虚拟世界帮助我们理解现实世界-拟技术化——拟人化的类比-有些等式比其他等式更平等-相乘总是意味着变大吗-加3次和加50次大不一样-除法在人们头脑里与均分没有差别吗-思维模拟占主动地位-语言对朴素类比的影响-这一切都意味着什么-一个给心理学带来恶劣影响的朴素类比-8 惊天动地的类比-用实例解惑-负数出场-类比如何推出群论-域、环、N维纽结-机械的数学操作:也是类比的果实-物理学与逻辑思维-爱因斯坦,一位作类比的奇才-低层次和高层次的爱因斯坦类比-一个疯狂的“游泳池/台球桌”类比产生了光量子-光量子备受嘲讽而声量子受到欢迎-爱因斯坦最大胆的类比终于得以正名-在科学中用类比扩展概念-范畴扩展是狭义相对论的来源-两头发光的手电筒失去了一点点质量-能量概念的定义-巴纳希·霍夫曼对爱因斯坦的特殊解读-一类新的反常质量-爱因斯坦的大脑背后隐藏着什么思维机制-从1905年到1907年,一个小结-爱因斯坦类比和物理学范畴-通过类比把相对论运用于引力-爱因斯坦类比,一个灰飞烟灭,另一个取而代之-初始的等价原理-爱因斯坦探索并找到了一个更深刻的类比-非欧几何里的旋转木马-相交的平行+结语 范畴化和作类比就是一回事儿,它们是人类认知的核心-范畴化是永恒的必需,作类比是难得的奢侈-范畴化是常规,作类比是创新-范畴化是无意识的,作类比是有意识的-范畴化是自动的,作类比是自主的-范畴化青睐相似,作类比偏爱不同-范畴化应用于实体,作类比涉及关系-范畴化涉及抽象的两个层次,作类比只涉及一个-范畴化是客观的,作类比是主观的-范畴化是可靠的,作类比是可疑的+表象与本质——注释-表象与本质——致谢-表象与本质——译者后记

负数出场

2021年10月1日 字数:2390 来源:表象与本质 作者:[美]侯世达;[法]桑德尔 提供人:zhaotou97......

负数出场

拉斐尔·邦贝利在1570年左右终于完全接受了负数存在的现实。但是他又要面对一个更大的迷,一个自从他开始接受这些奇怪的负数起就让他困惑的迷。问题的根源在于解三次方程式:这个解有时需要负数的平方根。邦贝利比任何人都清楚怎么计算带正负号的数的乘法。他毕竟是陈述其规则的第一人。他知道两个负数相乘结果总是正的,正如两个正数相乘为正一样。所以,没有任何一个数(我们今天称之为实数),其平方是负数。简言之,所有平方都是正的(或0),因此,负数都没有平方根。

一切似乎都正常,但问题是,负数的平方根时常出现在非常普通的三次方程中。例如,很容易证明,在x3-15x=4这个方程式的多个解中,其中一个是x=4 。在方程解那长长的代数表达式中会出现两次-121的平方根,即。面对这样一个貌似荒谬的局面,该怎么办?幸好,邦贝利知道,这个令人挠头的代数表达式不知因何等于那个极熟悉、极真实的4。对于这一点,他确信无疑。

这个问题其实是一个微妙的提示,邦贝利迈出了勇敢的一步,将这个谜一样的平方根照单全收,把它当作任何一个其他数一样,使用标准的代数规则对其进行运算。因为采取了这个全新的态度,他发现,在解的表达式中两次使用了这个怪异的量,从而似乎丧失了数学意义,但是,其结果与实数4的表现完全一样。具体地说,当他将这个奇怪的表达式带入多项式x3-15x时,也就是说,当他将它乘三次再减15次之后,他惊奇地发现:表达式里所有恐怖的平方根要么自乘,乘积为-121,因而失去了令人恐惧的獠牙,要么成对相互抵消;最终只剩下实数4,与三次方程等号右侧的数正好相等。邦贝利因此意识到,他可以像运算其他任何“真正”的数一样运用。这个与更熟悉的数之间的类比使这个新的类似的数多多少少可以被接受。从此,邦贝利开始接受负数的平方根,尽管他丝毫不清楚这些数是什么。

这些奇怪的表达式在许多方面和“正常”的数一样,并不会把人们带入悖论的泥潭,反而会丰富人们对数学世界的理解。反对的声音因而逐渐消隐,数学界也开始向它们敞开大门,逐渐接受,尽管意见尚未完全统一。例如,在1702年,莱布尼茨是这样描述笛卡尔称之为“子虚乌有”的那些数的:“在分析奇迹中发现的一个优雅而奇异的错觉,一个理想世界里的异数,几乎是存在和不存在之间的一个两栖动物。”3甚至欧拉,这位因为建立了复数理论的坚实基础而值得颂扬的瑞士天才,在负数的平方根这个问题上也有如下论断:“不是无,也不是比无少,这使它们成为子虚乌有,确实是不可能的。”

无论如何,尽管存在伟大或平庸的数学家的各种抗议,在邦贝利的探索之后的数百年间,这些子虚乌有的数缓慢地站住了脚。这一过程在很大程度上归功于人们发现了一种直观的方法,就是把它们看作平面上的点。这种直观让他们看到了相加和相乘的优美的几何图解。这一关键性的发展在福康涅和特纳的著作《我们的思考方式》中有生动的描述。几何直观在数学中非常重要。它赋予某些实体以几何诠释。如果没有几何诠释,这些实体的存在似乎都是反直觉的,甚至是自相矛盾的。如果能够找到一种几何方式让我们看到它们,总会有助于接受抽象的数学实体,因为这样的映射给这些实体一种实在感,使它们更容易被接受。

N维空间

平方数的概念,其名称出自平面上的一个正方形几何图象。这个图象的四边等长,因此其面积是长的自乘的乘积。同理,一个立方数最初被理解为一个实在的立方体体积,即,三个相等长度相乘的积。但是,没有人敢超出立方体,至少没有人敢这样去做,因为这样一个量要从一个可观察到的物体获得名字。所以,一则算数运算,如果写成“5 × 5 × 5 × 5”一点问题也没有,只要没有人试图给它一个几何解释。这让我们想到前面一章讨论过的以0和1之间的数作为除数的除法。大部分人都能够从形式上进行运算,但只有极少数的成年人,包括大学生,能清楚地理解除法的真正含义,并想象出这个运算所表现的某个现实世界的情形。当有人提出一个大胆的类比设想,认为5 × 5 × 5 × 5的积或许代表什么东西,或许像一个面积或体积那样,但却和四维空间相关时,人们都极力反对,感到这有悖于空间的本质。甚至到了19世纪初,许多数学家仍然对此表示反对。这也说明,不仅只有儿童或非数学家才会依靠具体的类比理解抽象的数学运算。由于这种算式缺乏空间类比,这造成了的概念不能延伸到三以外。对数学家也是如此。这种状况一直延续到进入19世纪后很长时间。

然而,冰一旦被打破,时间不长,N维空间的思想,四、五、六、七维……就被接受了。这个过程受惠于在高维空间成立的定理和在熟悉的低维空间成立的定理之间的紧密类比。事实上,想象四维空间的最佳办法是将自己想象成一个生存在二维空间的可怜人。这个人努力试图形象化一个三维空间。我们很容易在这个人身上找到自己,一个勇敢奋争试图冲出自己局限的人。正像那个比我们受限更大的人,也使用我们作类比的技能去扩展心灵世界。可以这样想:“我的局限就像他的局限一样,只是稍微复杂一些!”通过想象那个二维空间的人是如何超越他的局限,我们也试图超越自己的局限。障碍一旦被征服,这个类比的巨大力量就再也不会回到原来的状态。潘多拉的盒子打开了,我们可以轻易地从四维跳到五维、六维,以至无穷。

“什么?!一个有无限维的空间?胡扯!”在19世纪末,许多数学家就是这样回应的。然而,现代数学家对于这样的反应只是一笑而置之,因为对他们来说,多维空间的思想似乎是不言自明的。事实上,这只不过是冰山的一角。德国数学家格奥尔格·康托尔(Georg Cantor)的学术研究表明,存在着不止一个无穷,而是多个无穷。这已经是常识。当然存在着无穷个不同的无穷。

包含可数的无穷维的空间被称为“希尔伯特空间”。可数无穷是无穷中最小号的一个。数学家称之为自然数集合的基数,也就是全部整数的集合的基数。对于理论物理学家来说,量子力学就“住”在这个空间里。也就是说,根据现代物理,宇宙就建立在希尔伯特空间的数学之上。与现实世界的联系使无限维空间的概念变得有道理。

但不要忘记,在整数之间也存在着许多其他数,例如,1/2、5/17、3.14159265358979等。20世纪初期,一些对抽象空间感兴趣的数学家,特别是德国数学家费利克斯·豪斯多夫(Felix Hausdorff),想出各种办法来推广维的概念。他们的研究证实空间的概念可以有0.73维,甚至π维。这些发现恰好可以用来描述之后波兰裔法国数学家本华·曼德博(Beno?t Mandelbrot)称作分形几何物体的维数。

在这一系列的发现之后,人们自然会想到一定存在负数或虚数的维度。但奇怪的是,虽然这个想法很有吸引力,却一直没有人去探索。至少,如果有的话,目前还尚未知晓。但是,现今的数学家特别推崇概念推广,所以这个想法只要让他们知道,一定会有人认真地去探索隐含在这些术语中的所有那些抽象的美丽新世界。

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