负数出场
拉斐尔·邦贝利在1570年左右终于完全接受了负数存在的现实。但是他又要面对一个更大的迷，一个自从他开始接受这些奇怪的负数起就让他困惑的迷。问题的根源在于解三次方程式：这个解有时需要负数的平方根。邦贝利比任何人都清楚怎么计算带正负号的数的乘法。他毕竟是陈述其规则的第一人。他知道两个负数相乘结果总是正的，正如两个正数相乘为正一样。所以，没有任何一个数（我们今天称之为实数），其平方是负数。简言之，所有平方都是正的（或0），因此，负数都没有平方根。
一切似乎都正常，但问题是，负数的平方根时常出现在非常普通的三次方程中。例如，很容易证明，在x3-15x=4这个方程式的多个解中，其中一个是x=4 。在方程解那长长的代数表达式中会出现两次-121的平方根，即
。面对这样一个貌似荒谬的局面，该怎么办？幸好，邦贝利知道，这个令人挠头的代数表达式不知因何等于那个极熟悉、极真实的4。对于这一点，他确信无疑。
这个问题其实是一个微妙的提示，邦贝利迈出了勇敢的一步，将这个谜一样的平方根照单全收，把它当作任何一个其他数一样，使用标准的代数规则对其进行运算。因为采取了这个全新的态度，他发现，在解的表达式中两次使用了这个怪异的量，从而似乎丧失了数学意义，但是，其结果与实数4的表现完全一样。具体地说，当他将这个奇怪的表达式带入多项式x3-15x时，也就是说，当他将它乘三次再减15次之后，他惊奇地发现：表达式里所有恐怖的平方根要么自乘，乘积为-121，因而失去了令人恐惧的獠牙，要么成对相互抵消；最终只剩下实数4，与三次方程等号右侧的数正好相等。邦贝利因此意识到，他可以像运算其他任何“真正”的数一样运用。这个与更熟悉的数之间的类比使这个新的类似的数多多少少可以被接受。从此，邦贝利开始接受负数的平方根，尽管他丝毫不清楚这些数是什么。
这些奇怪的表达式在许多方面和“正常”的数一样，并不会把人们带入悖论的泥潭，反而会丰富人们对数学世界的理解。反对的声音因而逐渐消隐，数学界也开始向它们敞开大门，逐渐接受，尽管意见尚未完全统一。例如，在1702年，莱布尼茨是这样描述笛卡尔称之为“子虚乌有”的那些数的：“在分析奇迹中发现的一个优雅而奇异的错觉，一个理想世界里的异数，几乎是存在和不存在之间的一个两栖动物。”3甚至欧拉，这位因为建立了复数理论的坚实基础而值得颂扬的瑞士天才，在负数的平方根这个问题上也有如下论断：“不是无，也不是比无少，这使它们成为子虚乌有，确实是不可能的。”
无论如何，尽管存在伟大或平庸的数学家的各种抗议，在邦贝利的探索之后的数百年间，这些子虚乌有的数缓慢地站住了脚。这一过程在很大程度上归功于人们发现了一种直观的方法，就是把它们看作平面上的点。这种直观让他们看到了相加和相乘的优美的几何图解。这一关键性的发展在福康涅和特纳的著作《我们的思考方式》中有生动的描述。几何直观在数学中非常重要。它赋予某些实体以几何诠释。如果没有几何诠释，这些实体的存在似乎都是反直觉的，甚至是自相矛盾的。如果能够找到一种几何方式让我们看到它们，总会有助于接受抽象的数学实体，因为这样的映射给这些实体一种实在感，使它们更容易被接受。
N维空间
平方数的概念，其名称出自平面上的一个正方形几何图象。这个图象的四边等长，因此其面积是长的自乘的乘积。同理，一个立方数最初被理解为一个实在的立方体体积，即，三个相等长度相乘的积。但是，没有人敢超出立方体，至少没有人敢这样去做，因为这样一个量要从一个可观察到的物体获得名字。所以，一则算数运算，如果写成“5 × 5 × 5 × 5”一点问题也没有，只要没有人试图给它一个几何解释。这让我们想到前面一章讨论过的以0和1之间的数作为除数的除法。大部分人都能够从形式上进行运算，但只有极少数的成年人，包括大学生，能清楚地理解除法的真正含义，并想象出这个运算所表现的某个现实世界的情形。当有人提出一个大胆的类比设想，认为5 × 5 × 5 × 5的积或许代表什么东西，或许像一个面积或体积那样，但却和四维空间相关时，人们都极力反对，感到这有悖于空间的本质。甚至到了19世纪初，许多数学家仍然对此表示反对。这也说明，不仅只有儿童或非数学家才会依靠具体的类比理解抽象的数学运算。由于这种算式缺乏空间类比，这造成了维的概念不能延伸到三以外。对数学家也是如此。这种状况一直延续到进入19世纪后很长时间。
然而，冰一旦被打破，时间不长，N维空间的思想，四、五、六、七维……就被接受了。这个过程受惠于在高维空间成立的定理和在熟悉的低维空间成立的定理之间的紧密类比。事实上，想象四维空间的最佳办法是将自己想象成一个生存在二维空间的可怜人。这个人努力试图形象化一个三维空间。我们很容易在这个人身上找到自己，一个勇敢奋争试图冲出自己局限的人。正像那个比我们受限更大的人，也使用我们作类比的技能去扩展心灵世界。可以这样想：“我的局限就像他的局限一样，只是稍微复杂一些！”通过想象那个二维空间的人是如何超越他的局限，我们也试图超越自己的局限。障碍一旦被征服，这个类比的巨大力量就再也不会回到原来的状态。潘多拉的盒子打开了，我们可以轻易地从四维跳到五维、六维，以至无穷。
“什么？！一个有无限维的空间？胡扯！”在19世纪末，许多数学家就是这样回应的。然而，现代数学家对于这样的反应只是一笑而置之，因为对他们来说，多维空间的思想似乎是不言自明的。事实上，这只不过是冰山的一角。德国数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）的学术研究表明，存在着不止一个无穷，而是多个无穷。这已经是常识。当然存在着无穷个不同的无穷。
包含可数的无穷维的空间被称为“希尔伯特空间”。可数无穷是无穷中最小号的一个。数学家称之为自然数集合的基数，也就是全部整数的集合的基数。对于理论物理学家来说，量子力学就“住”在这个空间里。也就是说，根据现代物理，宇宙就建立在希尔伯特空间的数学之上。与现实世界的联系使无限维空间的概念变得有道理。
但不要忘记，在整数之间也存在着许多其他数，例如，1/2、5/17、3.14159265358979等。20世纪初期，一些对抽象空间感兴趣的数学家，特别是德国数学家费利克斯·豪斯多夫（Felix Hausdorff），想出各种办法来推广维的概念。他们的研究证实空间的概念可以有0.73维，甚至π维。这些发现恰好可以用来描述之后波兰裔法国数学家本华·曼德博（Beno?t Mandelbrot）称作分形几何物体的维数。
在这一系列的发现之后，人们自然会想到一定存在负数或虚数的维度。但奇怪的是，虽然这个想法很有吸引力，却一直没有人去探索。至少，如果有的话，目前还尚未知晓。但是，现今的数学家特别推崇概念推广，所以这个想法只要让他们知道，一定会有人认真地去探索隐含在这些术语中的所有那些抽象的美丽新世界。
