用实例解惑
伟大的法国数学家亨利·庞加莱深刻思考过科学创造的性质。关于数学家，他给出了如下评论：
谁会认为，他们总是一路向前，一步接一步，却对所要达到的目标没有任何清晰的认识？为了抵达目的，必须对正确路径作出猜测。为此，他们需要一个向导。这个向导主要是类比。1
这段关于数学思考的评论一语中的。当然，我们并不指望读者会全盘接受庞加莱的话。为了支撑庞加莱的观点，也为了打消人们对类比在数学中所起作用的疑虑，将在此展示一系列实例。
首先，回到16世纪早期。当时，欧洲数学家正在试图解决形式为“ax3+bx2+cx+d=0”的三次多项式方程，亦称为三次方程。在此之前的1 500年间，人们已经熟知形式为“ax2+bx+c=0”的二次方程的解法。这个举世皆知的解的核心是一个平方根，即某一个量（具体说是，b2-4ac）的平方根。这个量可以从该二次方程中的3个系数a、b和c计算而得。当时，对此类鲜为人知的事情感兴趣的少数人来说，他们会自然而然地想到某种大体一致的东西是否也适用于三次方程。
但是，为什么数学家会接受这样一个含糊而缺乏精确性的思想呢？答案很简单：任何严肃的数学家都会猜测，这两个方程形式如此相似，它们之间必然存在某种暗含的联系，即某种相似或类比。更具体一些，可以预期，解三次方程的一般公式，其核心部分应该包含一个与b2-4ac相似的数的立方根，而且这个数应该包含该三次方程的4个系数a、b、c和d。
在这里，这样的类比是不可抗拒的，就像第3章中所描述的“我也是”类比那样不可抗拒。数学家，甚至最杰出的数学家，也是普通人。不需要任何有意识的思维过程，他们自然而然地预期这里存在类比。一方面，任何二次方程的两个解可以通过对由方程的3个系数所确定的数开方获得。另一方面，任何一个三次方程的3个解可以通过对由方程的4个系数所确定的数开立方获得。这二者之间一定存在某种类比。这个“从二向三滑动两次，再从三向四滑动一次”（这个滑动本身就是一个微型类比，其形式为：“4之于3类似于3之于2。”）的小猜测似乎微不足道，但假如没有这类看似无关紧要的、在数学中俯拾皆是的概念滑动，任何一点进步都是不可能的。
重温一下三次方程解法的故事。这个故事始于意大利。最初是希皮奥内·德尔费罗（Scipione del Ferro）在博洛尼亚，然后稍晚一些是尼科洛·塔尔塔利亚（Niccolò Tartaglia）在布雷西亚，再后来是杰罗拉莫·卡尔达诺（Gerolamo Cardano）在米兰。德尔费罗首先找到一个部分解，但是他没有公布解法。20年后，塔尔塔利亚基本上找到了完全一样的部分解。最后，卡尔达诺综合他们的发现，把解法发表在一本名为《大术》（Ars Magna）的著作中。奇怪的是，既然问题有了眉目，卡尔达诺却不得不用了13章的篇幅才把三次方程的所有“不同”的解法罗列出来！与此相比，如今，整个解法只需要一个公式，一行就能写下，而且可以轻松教会高中生。当初这个公式为什么如此复杂，而现在却没有任何复杂的迹象呢？
问题出在当时的人们不接受负数的存在。负数对今天的人来说不言自明。在x3+3x2-7x=6这个等式中第三项的系数是负数即-7。这一概念是显而易见的，我们早就知道，减去一个数与加上这个数的负数是相等的。可以把这个等式写成x3+3x2+（-7）x=6。对于生活在卡尔达诺500年之后的我们来说，这两个等式完全可以互换。建立它们之间相等性的概念滑动微不足道，甚至感觉不到这种滑动。但对于写出三次方程巨著的作者来说，-7的概念根本不存在。对于他来说，去掉多项式里的减法的唯一合理办法是将这个不合群的项移到等式的另一侧，因而创造出不同但相关的另一个等式，即x3+3x2=7x+6，让等式里的所有系数都变成正数。
结果，为了处理好三次方程的各种不同的解法，卡尔达诺必须移动方程里的各项，让等式里不存在任何减法，最终变成只有加号，也就是只有正数的新等式。结果，这种安排产生了13种不同性质的三次方程。在当时的专家眼里，每一个三次方程和其他12个都存在本质区别。为了囊括三次方程的通解，卡尔达诺不得不撰写了13章，每一章讲解13种三次方程之一的繁复解法。因此，卡尔达诺关于三次方程的书《大术》，冗长厚重，令人望而却步，但这却并不妨碍它得到正面评论。
从当代人的角度看，卡尔达诺的做法可以比拟为某人发明了13种开罐头的起子，每一种只开一种罐头。同样，卡尔达诺的发明很伟大，但它缺乏一种涵盖一切的构建，可以将表面各异的等式所隐藏的一致性显露无遗。也就是说，三次方程的解缺一把通用的罐头起子。但是，当时的人们没有意识到所有这些不同的方程式实际上是同一个方程式。在当时，这一目标是不可想象的。
卡尔达诺的13种解法看似不同，但实际上它们有惊人的相似之处。这些相似之处，也就是类比，给后来者以启迪，他们尽力将其融会贯通成一个等式。但是，要实现统一，必须延伸、扩充或弯曲概念。在这里，这个概念正是数学中最基本的数的概念。卡尔达诺关于三次方程的13种解法的统一取决于一个概念的延伸。这个概念延伸的意义非常重大。有了它，一个卓越的数学家，如卡尔达诺，看到的13种代数计算才可能被融为一体。
显然，人们需要一个新的概念跳跃，把数的范畴延伸，让它包括负数。这不是一个简单的过程。从古希腊开始，人们就已经知道一些非常简单的等式没有解，例如，2x+6=0。曾经有人考虑过这些等式的解法，但都放弃了，至少在欧洲是如此。卡尔达诺本人知道，一些他称之为“虚拟”数的数可以满足这类等式，但他轻蔑地拒绝接受这种思路。对于他来说，-3的概念不可形象化，是荒谬的，好像某个违反物理学定律的物体一样。这种想法或许可以刺激思考，但必须被看作荒谬的，因为它们在现实世界中无法实现。卡尔达诺因为负数不能和现实世界中任何实体联系在一起，所以称它们为“虚拟的”，并弃之一旁。
但是，他的继承人，特别是博洛尼亚的拉斐尔·邦贝利（Rafael Bombelli），强烈地想要找到卡尔达诺13章里包含的令人困惑的复杂解法中缥缈的一致性。最终，他们接受了负数的概念，让它与正数概念平起平坐（或者几乎平等）。这一发展大大简化了三次方程的解，13家因此从容地汇成一家，与13家相关的13个解也融成了一个简洁的解法。
这个故事为前面章节里反复出现的主题提供了一个绝好的例证。它说明人的心智总要改变其范畴，不仅仅将这些范畴作为已知拿来使用。智能的增长依赖于概念的延伸。在这个具体的例子中，作出接受负数的决定是出于寻找统一的愿望，结果导出令人满意的简化。从此谁也不愿意再回到从前的状态，不愿再看到一长列的特殊解法。
然而，将负数引入数的范畴并没有立即兑现，也不是广为接受的。甚至250年后，符号逻辑发展的中心人物，英国数学家奥古斯塔斯·德摩根（Augustus De Morgan）仍在抵制这一概念。他在1831年的《数学研究与难题》（On the Study and Difficulties of Mathematics）书中写道：
“8-3”容易理解；3可以从8中取出，剩下5。但是“3-8”却不可能，因为你必须从3里面拿出比3大的数。这很荒唐。如果“3-8”这个式子是某个问题的答案，那或者说明这个问题本身是荒谬的，或者说把它换算成某个等式的方式是荒谬的。2
德摩根的论述让我们想到一个7岁的小女孩的一句话。她当时正在参加减法错误的实验。她解释为什么自己在3减8的竖式计算的底部写0的时候说：“如果我手里有3块糖，而我想吃8块，我只能把我有的3块全部吃掉，然后就什么都没剩下了。”虽然相隔几百年，外加年龄和数学能力的巨大差异，本质上，这两位评论者的反应存在共同点。
在该书同一章稍后部分，德摩根提供了一个更具体的例子：
一位父亲56岁，他的儿子29岁。问，什么时候父亲的年龄将会比儿子大一倍？
德摩根将这个文字题翻译成等式：2（29+x）=56+x，其中x等于问题描述的情况实现所需的年数。然后他求出解，很容易得出x为-2。但是，他认为这个结果很荒谬。“需要-2年”，这是什么意思？“从现在起再过-2年”，是什么意思？绝对没有任何意义，甚至比没有还少！之后，他解释道，本来不应该被“父亲的年龄将会”这几个词设置的陷阱所迷惑。相反，应该把x看作父亲比儿子大一倍之后过去了多少年。这样想，就可以把这个等式写成2（29-x）=56-x。答案则是x=2，与事实相符，也就是说，父亲的年龄在两年前是儿子的年龄的2倍。
只有在这种情况下，德摩根才感到满意，并且承认，“-2年将过去”和“已经过去2年”的意思是相等的。所以，他其实也承认某个数值可以为负，但一段时间却不能为负。这样说来，可以假定德摩根对于出现在纯数学里的负数并没有任何芥蒂，尽管他认为负数不适用于现实世界。然而，稍后，在讨论时，他没有把二次方程看作一个单个的、统一的问题，而是将它分解成了6个不同的方程组，用和卡尔达诺完全一样的方式强调方程中的3个系数都必须是正数！因此，德摩根发现有6个不同的二元方程，而不是一个通用的等式。这一结论是在卡尔达诺之后将近300年时得出的！
德摩根的疑虑暴露了一个事实：概念延伸依赖类比的精神力量的推动和对以统一为基础的美学和谐的追求，这是一个渐进而主观性的过程。对某个领域最有洞见的学者在某些概念延伸面前也会犹豫，而这些延伸对后人来说可能会像羊羔一样天真无邪。
在上一章里讨论过一些朴素类比，这些类比出现在学校的早期教育里，例如乘法是反复的加法，或者除法是均分。朴素类比也会持续影响成年人的思维，包括大学学生。在本章中，可以看到，一些名望极高的数学家，例如德摩根，甚至在数的概念上也左右摇摆，在接受或禁止负数的问题上举棋不定。对他来说，哪些数可以在计算中出现取决于文字题所描述的情形。
今天，负数的概念似乎是常识，甚至是老生常谈。这说明日常生活的世界和抽象的数学王国是多么紧密地联系在一起。人们对冬天气温降到零下，对地下楼层用负数标识，都习以为常。看到信用卡账单上用负数表示的数字，你知道，你欠公司的钱为负，也就是说，公司欠你钱。在这类自然环境中遇到负数的孩子对负数的一般概念不会有任何疑惑。就这样，曾经振聋发聩的智能成果变成了常识性不加思考的习惯。
