这一切都意味着什么？
同样的一步运算法可以用来解上述两道题。这绝非偶然，因为这两道题表述的情况都可以用下列形式规则来描述。这条规则让人感觉好像是从一本从集合论教科书里找来的公理：
如果两个集重叠，两集之间大小的区别等于它们非重叠部分大小的区别。
如果将这条规则应用于第一道题，它告诉我们劳伦斯和约翰花的钱的区别一定等于他们买的东西中不重叠部分的区别，即劳伦斯的美术文具包和约翰的丁字尺之间的区别。如果将这条规则应用于第二道题，它告诉我们，既然劳拉和琼有同样长不上课的时间，她们停课年龄的区别一定等于她们上课时间的区别。如果每人都学习并理解了这条形式规则，那么，可以期待这两个问题都会用一步减法来解决。然而，已经看到，预期并没有实现。为什么会是这样呢？
因为这条形式规则不是大部分人思维的组成部分。甚至那些发现了第二题一步解法的人也很可能没意识到这条规则的存在。相反，他们任由问题本身左右他们的思维。如果他们找到了一步解法，那是因为他们被自然而然地引向了答案。在一个人的思维过程中，每一个情境都由该情境唤起的范畴所定义。这样的感知，而不是任何形式规则的应用，才是指导思维的东西。
因此，第二道芭蕾课的题是这样被感知的：如果两件事发生在同一时刻，而其中一件比另一件持续的时间短了N时间单位，那么，这个事件就比另一个事件提前N时间单位结束。这种思路对于所有人来说都显而易见，整个句子读起来都像空洞的同义反复。即使如此，还是用稍微不同的方式重新陈述一遍：如果两个事件同时发生，那么，它们持续时间的区别等于它们停止时刻的间隔。人们对时间的感知根深蒂固。让他们对这一基本原则有一种本能的理解：花的时间越少意味着结束得越早，这使他们在回忆第二道题时经常曲解问题的陈述。
具体地说，学生在读到“琼和劳拉同时开始上芭蕾课，但少上了3年”之后，要他们凭记忆将这一陈述写下来，他们经常不能正确地复述，而是写成：“琼和劳拉同时开始上芭蕾课，但早3年结束。”他们的推理与对情境的感知紧密融合在了一起，致使他们看不到原题。他们没意识到在记忆里，其实已经改写了原句。
事实上，从起始的句子“琼少上3年”到最后的句子“琼结束早3年”的转换，是将时间长短的区别改成了时间终止点的区别。在结构相同的第一道应用题中，这一转换就像将劳伦斯和约翰花掉的3元钱的区别变成美术文具包和丁字尺的区别。然而，在我们的实验中，却没有人在读到“约翰的总花销比劳伦斯的少3元”之后，凭记忆把它复述成“丁字尺比美术文具包少3元”。
在这里可以看到，人们对时间关系的先入为主的知识（“少3年”可以转换为“早3年”，反之亦然），使他们只需一步就可以解决与时间相关的应用题。从这个意义上讲，有理由断言，是情境在替受试者“进行思考”。发现一步解题法不是掌握了上述集合论规则的结果。
解决芭蕾问题的学生并没有依靠抽象的形式结构，即上面引述的“公理”，这或许已经十分清楚了。他们在解题时没有必要使用集合论的抽象规则。当他们在思考时，没有把时间间隔想象成集（如果他们真这样想了，每一个集里面将包含无限个无限小的时刻！）。他们也不会将劳拉和琼开始学芭蕾的相同年龄想象成两个集的重叠（用集合论的术语说是“交集”）。也不会将两个小女孩上芭蕾课的时间长短想象成两个集不重叠的部分。也不会将两个小女孩停止上课的年龄想象成两个集的大小。事实上，将这个问题用集合论的语言重新表述需要认真开动脑筋，因为集合论不是人们思考问题的自然框架。迅速有效地解题不能说明解题人正确地使用了形式规则（所谓的“公理”）。相反，学生思考的主要过程是用熟悉的时间范畴去感知这一问题的情境。他们完全没有必要将这个情境转换成像集合论这样的陌生而抽象的技术形式。
下面的三个图表明了想象这两个同样结构的应用题的三种方式。最上面的图显示了大部分人是如何想象第一道题的。典型的假设是，为了算出丁字尺的价格，你必须从约翰的总花销中减去文件夹的价钱，而总花销本身是另一个减法运算的结果，文件夹的价钱则是从劳伦斯的总花销减去美术文具包得到的。因此，一共需要进行三步减法运算。在这张图里，我们看不到约翰和劳伦斯的总花销的区别与丁字尺和美术文具包的价格的区别是一样的。作为一步解题的先决条件的关键信息不在场，这就决定了解题必须要走三步。
中间的图表示大多数人想象第二道题的自然解法。他们开始的想法是，琼和劳拉在同一年龄开始学芭蕾。所以，她们学芭蕾的时间长短的区别等于她们停课时的年龄差别。这个想法在图示中表现得太明显了。这也说明了为什么一步解法很容易被找到。在此，我们要指出这个图示是建立在框架概念整合的基础之上的。吉尔斯·福康涅和马克·特纳一定会高兴地指出，将两个女孩的生活排在一条时间轴的水平线上。将她们的生活这样排在一条线上意味着将她们的生日摆在时间轴的同一个位置。这样的安排也使她们第一堂课重合。
图1 第一道应用题，解题通常需要三步
图2 第二道应用题，解题通常只需要一步
图3 两道应用题共同的深层结构，解题只需要一步
图1和图2各自表现一个具体问题。这样的图示没有表明这两个问题的共性。只看这两个图，人们会认为它们代表两个性质迥异的问题，而且人们在做过题之后也会这样认为。然而，图3却表明这两个问题可以被看成同一个问题。它还表明一步解题法不但可以自然地应用于芭蕾课问题，也同样适用于文具问题。上面的“公理”深奥而难把握，而这个视觉图示用一张图把两个问题组在了一起，表明了二者同构，即它们有相同的底层结构，而且表明，它们只需要一个算术运算就可以解决。
这三个图示表明，人们把应用题视觉化的方式既可能揭示也可能掩盖解题的途径。第三张图比上面两张更抽象，因为它将两个问题统一在了一张图中。但另一方面，两个盒子置于同一个底座之上，这一形象却非常具体。这个共享的底座代表了第一个问题里的文件夹和第二个问题里的起始年龄，这样的形式使在“公理”中看起来晦涩的思想突然变得十分明澈，因为简单而熟悉的日常形象，例如放在一个共享的底座上的盒子，将它充实得有血有肉了。带领年轻学生看到这两个应用题里的“底座”是在传授一个优雅的顿悟。这对未经训练的成年人来说是不可企及的。
因此，人们总要设法避开情境的形式化，总要利用在与周围世界交往的过程中经年累月积累起来的熟悉的范畴。教学人员面临的关键挑战是如何把人们这些惯性思维方式考虑在内。虽然大部分教师知道一个问题怎样“打扮”会深刻影响该问题的难易程度，但是大部分教学人员尚未学会把打扮数学问题的艺术转变成强大的教学工具。实现这个目标将是一个巨大进步，但同时也是一个巨大的挑战。
