语言对朴素类比的影响
在除法的朴素类比中，均分比衡量占优势。这是不是意味着前者比后者更简单？既然均分的念头如此自然而熟悉，它会一直被当作除法的现成的类比而自动跳入我们的脑海吗？既然衡量的念头如此稀缺而陌生，它就不太容易被用作除法的类比吗？这就是均分在除法的思维图像中占据大部分地盘的原因吗？
答案是否定的。均分作为除法的朴素类比占绝对优势不是由于它内在的简单性，而仅仅是由于语言的偶然性。在讲英文的大部分人心里，除法与均分被无意识地联系在一起是因为，在英文中“除法”有数学意义也有日常意义，而日常意义的内涵免不了要渗透到技术术语的意义中。结果，作为均分的除法的朴素类比压倒了作为衡量的除法的朴素类比。
假设有一个神秘的数学概念叫“割补术”(23)。如果有人告诉你，割补术既包含把事物平滑地绑在一起的意思，也包含把事物扯碎的意思，那么，基于你从前对医疗手术的熟悉，为了理解这个数学概念，你无意识找到的朴素类比可能更偏向于绑在一起而不是扯碎。关于除法和均分，可以讲一个类似的故事。假设在几百年前，用来表达数学概念除法的英文单词不是division（除法）而是measurement（衡量）。果真如此的话，今天的孩子，当他们第一次听到叫作“衡量”的数学概念时，很可能为这个概念创造出一个非常不同的、占主导地位的朴素类比。这时答案比初始数大的想法，即a/b有时比a大，就丝毫不会让人觉得奇怪或费解了。
总之，说“除法是均分”的朴素类比占优势，并不暗含在认知方面设想衡量比设想均分更困难的意思，即“多少个B能装满A”不比“如果我将A分割成B份，每一份多大”更困难。事实上，存在许多相反的情况。我们已经看到，衡量应用题，诸如“200里面有多少个50”比某些涉及相同数字的均分应用题，诸如“把200块糖分给50个孩子”容易得多。
从这个例子和许多其他相似的例子中可以学到，均分作为除法的朴素类比，其优势不是因为它比衡量更容易想象，而是由于“分割”的日常用语意义无意识地渗入“除”的专业术语意义，尽管在许多情境中，衡量才是更恰当的类比。换句话说，在我们心中“150里面有多少个50”（50，又一个50，再一个50，正好150，所以答案是3）这样的题很好做。但是，要意识到刚才做了一道除法题却并不容易，因为做除法题的感觉通常被那个词的日常用语的意思笼罩着，而那个日常用语与衡量某物的意思没有关系。
学校教育未触及到心灵的部分
在学校学到的东西会深刻地影响我们如何看待周围的事物吗？学校教会了我们“形式地”思考日常情境吗？这样问的意思是，我们是否学到了一种能力，让我们不受事物具体细节的打扰而心无旁骛地直奔事物的抽象内核。在日常生活中也或多或少地这样做。经常忽略一些事物的具体方面，尽管内心完全能够感知它们。例如，我们知道但忘记储藏室的门曾经是一棵树的一部分，希特勒曾经是一个婴儿，餐桌上的肉不久前是在田野里吃草的动物的身体，等等。尽管我们接受这些事实的真实性，然而却系统性地忽略了它们。因此，可以公正地说，我们确实看不到牛排里的动物，门里的树，元首照片里的婴儿。这不是愚蠢，而是智能。
同理，我们也不注意周围事物的许多特性。谁会把挂在墙上的画当作托盘把用过的碗筷端到厨房，或者当作记事板在上面贴满家庭照片，或者当作小地毯铺在地板上当装饰？然而，在理论上，或者为了应急，想到上述用途或许也是合情合理的。只有在极端愤怒或恐惧的情境中，才会想到拿蜡烛、盘子、花瓶、水杯、塑像、椅子和镜子作潜在的武器。这种“遗忘”是本该如此的。
分类意味着采取某个观点。一旦将周围环境中的某事物归入一个范畴，这一决定往往会把与所选范畴不相干的各种特性的感知屏蔽掉。谁会琢磨饺子里的肉馅来自公羊还是母羊？谁又会在乎皮鞋是左脚的还是右脚的，如果你已经饿得半死要拿来煮了吃掉？简言之，我们总是在不断地进行抽象，因而也就不断将周围事物中数不清的、潜在的可观察的方方面面忽略掉。再重复一遍，这不是愚蠢而是智能。学校是在更加系统地教会我们使用这种“智能遗忘”或“智能忽略”吗，特别是在数学领域？
大部分人在做哪怕是一道非常简单的数学应用题时，也很难忽视其中无关的内容。他们不是从形式的角度去处理应用题，而是受其中一些明显的具体特性的影响。虽然他们最终发现了应用题中的抽象的数学结构，但是这一认识却不能完全压抑从应用题的整体情境中自发产生的初始印象，因为总有许多具体的东西与更加抽象的东西混在一起。我们对数学场景纯形式的感知能力，也就是让我们的思维过程不受应用题里无关的表层特性所感染的能力，是非常有限的。
这里将用对成年人来说最简单的乘法实例来说明这一观点。如前所述，乘法是小学最早教授的算术运算之一。乘法的概念简单明确，很少有人觉得还有什么可以再学的。为了进一步简化问题，在这里只讨论正整数的乘法实例。比较下面三种情况：
一家百货店里面的每一件商品都是4元。我买了3支铅笔。花了多少钱？
我给4个孩子每人买了3支铅笔。我一共买了多少支铅笔？
我给4个孩子每人买了一支蓝铅笔、一支绿铅笔和一支红铅笔。我一共买了多少支铅笔？
用纯形式的眼光看事物，会立刻过滤掉商店、讲话的人、铅笔、颜色、孩子和钱，而直接处理最根本性的念头：“这些题目全都涉及4和3的乘法。”然后就进行运算。这样看待这些应用题将不会涉及两个因子的对称性问题，因为，如果在纯抽象层次上理解这些题，那它们全都仅仅是乘法题。事实上，看到上面的题，很少有人会琢磨：“这是一个‘4 × 3’的情况，还是一个‘3×4’的情况？”相反，我们会想到：“3和4相乘”。至少，作为成年人，在处理这些应用题时，这是第一内省印象。但是，在这三道应用题里，除了“3和4相乘”之外，真的什么别的东西都没有感知到吗？解题时，真的看到并做了同样的事吗？现在更仔细地考察一下。
在第一题里，每一件商品都是4元，我花4元买一支铅笔，然后另一支，然后再一支。这样，我最后花了4+4+4=3×4=12元。
在第二题中，我给孩子买铅笔，给每一个孩子买3支。这样，我给第一个孩子买了3支，第二个孩子3支，第三个孩子3支，第四个孩子3支。总共，我买了3+3+3+3=4×3=12支。
在第三题中，有两种可能的视角。从第一个视角来看，我们关注每一个孩子得到什么，也就是说，与第二题看事物一样。每一个孩子得到3支铅笔，这是四个孩子“得到3”的情况，这意味着3+3+3+3=4×3=12支。
从第二个视角来看，我们关注颜色而不是孩子。我买了4支蓝铅笔（一个孩子一支）、4支绿铅笔和4支红铅笔。所以，因为有三种颜色，我买了4+4+4=4×3=12支。
假如在解这些应用题时，你立刻感知到了其抽象含义，即乘法，那么无论问题怎样具体地与现实生活相关，因子的前后顺序都不会对问题有任何影响。与此相反，假如这些应用题是在反复的加法的朴素类比过滤之后被潜意识地感知到的，而不是被形式化地理解为乘法，那么，朴素类比将指导解题的路径，因而人们得到的答案将受到上述思路的影响。
为了检验这个假设，我们请高年级的小学生和大学生来解这些应用题，但要求他们不使用乘法。结果，几乎每一个人，孩子和大学生都一样，使用了反复的加法。这并不奇怪。不过，他们选用的加法很大程度上取决于问题是如何表述的。这倒是比较奇怪。
大约90%的受试者用了“4+4+4”来解第一道题。相同数量的人用了“3+3+3+3”来解第二道题。与铅笔颜色相关的第三道题，大约50%的人用了“3+3+3+3”，这强调了孩子，大约40%的人用了“4+4+4”，这强调了铅笔的颜色。剩余的10%的人没有表现明显的组合。他们看到的反复的加法是“1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1”。当然，这些被试仍然作出了无意识的组合，或者是“（1+1+1）+（1+1+1）+（1+1+1）+（1+1+1）”，每一组代表一个孩子，或者是“（1+1+1+1）+（1+1+1+1）+（1+1+1+1）”，每一组代表一种颜色。
这一发现明显证实了我们的预测：看到一道应用题，人们在试图解题时，不但要理解题的形式结构，而且要根据问题的表述方式极力寻找一个反复加法的类比。总的说来，为了解决这些应用题，人们倾向于在心里模拟应用题里描述的场景。
假如不是这样，如果题里描述的场景立刻从“形式的”角度被理解了，也就是说，被试立刻想到了乘法的抽象概念，那么由于乘法被明文禁止，所有受试都会使用反复的加法：“4+4+4。”因为这个公式包含的计算最少，因而也就没有任何理由使用“3+3+3+3”，后边这个公式里有更多加号。
总之，我们的讨论表明，哪怕是最基本的数学情境中，人们也不能完全忽视所有的表面的、具体的细节而直奔抽象的形式结构。无论怎样，数学情境的具体描写、相似情境的熟悉程度，以及这些情境自然唤起的朴素类比，所有这些都会影响人们的思考。
有时情境替我们思考
这里有一道题，里面没有脑筋急转弯：
劳伦斯买了一个美术文具包用了7元，然后又买了一个文件夹，一共用了15元。约翰买了一个文件夹和一个丁字尺。他用的钱比劳伦斯少3元。问丁字尺多少钱？
当然，你已经得出正确的答案，但这不是这里的关键点。讨论关键点之前，仔细想一想这道题，并且试图找到最合理最有效的解题途径，一步一步列出最短最简单的方法。
通常，人们会想到下列三个步骤：
文件夹的价格：15-7=8元
约翰用的钱：15-3=12元
丁字尺的价格：12-8=4元
这种解法完全正确。但是，现在做一做下面这道题。还是要找到最短的解题路径。
劳拉上了7年芭蕾课，15岁那年她停课了。琼也是同一年龄开始上芭蕾课的，但她停课早3年。问琼上了多少年芭蕾课？
在这里，我们同样对最经济的解题方法感兴趣，想知道都需要哪些步骤。所以，请找到并列出解题的最少的步骤。
一种办法就是列出和前面那道题基本一样的步骤：
劳拉（也是琼）开始学芭蕾的年龄：15-7=8岁
琼停课的年龄：15-3=12岁
琼上芭蕾的总年数：12-8=4年
虽然这个答案完全正确，但是你或许已经想到另外一种解法。如果劳拉和琼同年开始上芭蕾课，而且琼比劳拉早3年停课，那么琼比劳拉少上3年课，所以她上了7-3=4年（我们已经知道劳拉上了7年芭蕾课）。这个途径只需要一步运算！
对大多数人来说，第二道题存在另一种解题途径的事实表明这两道题有本质区别，因为芭蕾课的问题只要一步就做出来了，而买丁字尺的问题却没有类似的捷径。然而，真是这样吗？
在第一道题的环境中使用减法7-3=4是什么意思？当然，这样运算的结果是正确的：4元。但是，这样做有什么意义？看到这道题的大部分人都倾向于认为这样做没有意义，或者，即使这样做有意义，也要花很长时间才能想清楚为什么有意义，而且费这么多时间不值得。但是，这个情况可以这样想：“劳伦斯和约翰都买了丁字尺外加其他一样东西。”这样看问题会引导我们只用一步就得到答案。一个人比另一个人少用3元。所以，这两个人用钱的差别完全取决于其他东西。所以，约翰的其他东西（丁字尺）一定比劳伦斯的其他东西（美术文具包）少3元：7-3=4。
比较这两道题的答案时，令我们感到惊奇的是，只有不到5%的小学生和不到5%的成年人（事实上，受过高等教育的成年人，即大学生和小学老师）找到了解第一道题的一步减法的捷径，而大约50%的小学生和50%的成年人都立刻找到了解第二道题的一步减法的捷径。所以，虽然这两道应用题都只需要非常简单的减法运算，而且问题都涉及非常具体的环境，但是几乎没有人找到第一道题的一步解题方法，而第二道题的一步解题的方法却很容易被发现。
