除法在人们头脑里与均分没有差别吗

为什么想出这样的应用题这么难？

人们通常认为，如果是日常熟悉的具体场景，思路会清楚一些。但是这个问题表明具体场景并不能保证思维清楚。在上述两个小实验中，大学生设计出的应用题基本都使用相同的日常物件，如糖果、书籍、围巾等，而且都安排在相同的场景，如厨房、学校、郊游、购物等。但是，第一个问题几乎所有人都能回答，而第二个问题却很少有人能答得上来。那么是什么概念鸿沟存在于这两个问题之间？

答案是，这两个问题分属于不同的范畴。它们没有依赖同一个朴素类比。具体来说，第一种问题不要求答案大于初始值，针对这种问题想出的应用题都和均分相关。上面举的例子是为了给读者显示答案的多样性，但从本质上看，大部分问题都非常普通，都是均分同一种东西，一些日常用品而已，而且是同类参与者，如孩子、兄弟姐妹、朋友。这些例子显然表明，人们不假思索想出的除法应用题几乎总和均分的概念相关，具体说就是将某一个量分成几个等份。最典型的例子是人们来均分可数的物件，如糖果、苹果、玻璃球。此外，“均分”这个词和“均分”的同义词也经常出现在应用题的题干里。但是，也有少数应用题使用了更抽象的均分概念。

在这种情况下，人们必须想象比给某人分发某物更抽象的均分。这种均分或许仍然涉及分发的实体，但接受者可能不是人，比如把饼干分包、把椅子排成行。这种均分也可能涉及不可数的物质，如面粉、水、糖、土地。这些物质被分成了几个相等的份额。这里的均分取的不是狭义的有标记的意思，就像打扑克牌时给玩家发牌那样，一个一个数着往外发。而是使用均分更广义的、无标记的意思，即经过某种测量过程把一个整体分成小块。但是无论是哪一种情况，用的无论是均分的标记意义还是无标记意义，学生针对第一个问题想出的答案都不包括除法的结果大于初始量的情况。这并不奇怪，因为均分的本质就是把某物变小。均分涉及将一个实体分成小于自身的部分，每一位接收者必然得到小于整体的一部分。部分不可能大于它所在的整体。

与此相反，在满足第二个问题的应用题中，是另一个朴素类比在背后起作用。这是一个衡量某物的类比，在数学教育中，通常称这类问题涉及“包含除法”。这类除法应用题可以表述为“b可以放入a多少次？”这是一个衡量情境。在这种情境下，b被当作一种测量尺度，用来衡量a的大小尺寸。如果b的大小介于0和1之间，那么就会在a中有更多个b, b的数量就会大于a的尺寸。这就意味着除法的结果大于初始值。例如，5/0.25可以表述为：“1/4可以放进5中多少次？”答案是20。20当然大于5。这一切说明，如果除法问题是均分类的，那么其答案不可能大于起始值。而如果问题是衡量类的，其答案可以大于起始值。

事实上，从历史和学术角度看，在处理除法运算时，衡量是比均分更本质的方法。贝祖在1821年的论著中对除法的定义非常清楚：“通常，一个数除以另一个数的意思是发现第一个数包含第二个数多少次。”⁶事实上，与除法相关的术语也反映出了把除法看成衡量过程的观点。读者会记得在小学课本中，除法的结果叫作商。（正如贝祖解释的那样：“被分割的数是被除数，用来分割的数是除数，告诉我们被除数包含多少次除数的数是商。”）英文的商quotient源于拉丁文quotiens，是quoties的变体，意思是“多少”，而quoties又源于quot，意思是点数物件。总之，今天的术语呼应了除法作为衡量的概念，因为“商”代表“多少次”。

贝祖意识到将除法看成衡量不是唯一的看法，但是他希望读者把衡量的观点当作唯一的观点。“除法运算的目标不总是要发现一个数包含另一个数多少次。但是，在进行除法运算时，应该总是把它当作真正的目标。”⁷这表明，将除法看作以均分为主的观点并不来自数学家，其实数学家通常偏爱把除法看作衡量和点数的观点。与此相反，将除法看作均分的朴素类比不属于数学领域。如上所述，词典通常用日常意义定义divide，其大体意思是：分成若干部分；分开；切割；分成小组；分类；（数学）用除数分成等份（《韦氏新世界词典》，1988）。

除法在人们头脑里与均分没有差别吗？

上述实验结果显示，对大部分人来说，除法是通过均分的朴素类比来理解的。大部分人认为第一个问题非常简单，并想出了和均分有关的应用题。而第二个问题对大多数人来说却困难得多，尽管如果使用衡量类比，它其实很容易处理。孩子们花了多年时间在学校学习除法，到初中结束时，应该掌握了这种基本运算，而成年人则更应该能够理解除法。但实际情况是，所有年龄段的人都在用朴素类比理解除法，把它当作均分而不是其他概念。

对大部分人来说，“除法”这个词不是用来描述他们在学校里学到的概念，而是用来描述他们学前生活的环境，即均分范畴。当均分出现在数学环境时，他们就用从学校学来的术语“除法”来描述。换句话说，大部分人认为“除法”不过是一个表示均分概念的专业术语，特别是当需要计算时，仅此而已。在数学课堂上，均分有一个更冠冕堂皇的名字，就像在日常生活中，人们经常用各种特殊词汇表达熟悉的概念，尽管这些特殊词汇并无深意。比如，在剧院，最好用“咏叹调”而不用“歌”。当你混迹在葡萄酒鉴赏家之中时，你很快就会习惯听到“酒香”而不是“酒味”。医生爱用“窒息”而不说“呼吸困难”，说“龋齿”而不说“虫牙”。

总之，虽然我们一厢情愿地相信学校教育会教会关于除法的全部概念，从而能够将均分的朴素类比像扔掉拐棍一样抛弃掉。但实际情况是，这副拐棍仍然是我们理解除法的主要方法。它只是伪装成富丽堂皇的数学词汇：“除法”。