加3次和加50次大不一样
将上述实验与在巴西做的一组实验相比，可以带来一些启发。巴西的实验对象是十几岁的男孩。这些孩子小学辍学，靠在街上叫卖维持生计。一组男孩被问到下面的简单问题：
一个小孩儿要买巧克力。一块巧克力卖50雷亚尔（巴西货币单位）。小孩儿要买3块。他需要付多少钱？
另一组男孩被问了同样的问题，但问题里面的两个数字互换了：
一个小孩儿要买巧克力。一块巧克力卖3雷亚尔。小孩儿要买50块。他需要付多少钱？
对于本书的读者，答案肯定显而易见：两个问题中的小孩儿都要付出150雷亚尔，尽管其中一个小孩儿比另一个小孩儿得到的巧克力要少得多（至少在数量上看）。当我们读这两道题时，它们看上去都很简单。情境都是一样的，数字也一样（50和3），而且都需要同样的算术运算：乘法。但是，对上述两组在街上叫卖的男孩也一样简单吗？远非如此。
大部分男孩都轻松地回答了第一个问题，而且75%的人答对了。与此相反，没有任何一个在街上叫卖的男孩能处理第二个问题。这一区别背后的原因很简单：归根结底是因为依赖反复相加这个朴素类比。要解决第一个问题，只须加50+50+50就可以得到150雷亚尔。只须加两次，而且步骤很简单。第一步50+50=100，然后是第二步100+50=150。换了次序的问题却完全是另一回事。要算出答案，必须进行一长列反复的加法，即3+3+3+…+3+3+3，需要50个3。我们不难想象，一个小学辍学生是应付不了这个挑战的。
这时候，似乎应该停下来为教育制度唱一首颂歌。教育出来的成年人能够轻而易举地解决小学辍学生无法解决的问题。一眨眼就知道50×3等于3×50，就这么简单。与0%的成功率相比，有理由得出结论：学校教育有效地传授了乘法的真谛。然而，事情并非如此简单。
学校教育告诉我们乘法里的两个数可以互换，这没有争议。人们都知道乘法交换律，即a×b=b× a，可以不假思索就可以在脑子里将它们互换。然而，能够运用乘法交换律进行运算并不意味着成年人对乘法的理解就一定比小学生深刻许多。事实上，通过一个快速的非正式调查就能知道，除了一些严肃的数学爱好者之外，几乎没人知道为什么是这样。例如，为什么5×3等于3×5。初中生、高中生，甚至大学生通常都说不清为什么乘积的两个数可以互换。既然如此，他们如何解释5乘3等于3乘5，或者用符号表示：3+3+3+3+3=5+5+5呢？
大部分人被问到这个问题，都会毫不犹豫地回答，用一个实例验证一下吧，去找一个计算器算一算，用任何一对数都行。有些人会把它当一个定理一样陈述一遍：“在乘法中，你有权将两个因子互换。”还有人会大胆地宣称，好像里面有魔法似的：“就是这样嘛”“事实如此，尽人皆知”。简言之，对于大多数受过良好教育的成年人来说，既然乘法被当作反复的加法，乘法的交换律似乎就是一种神奇的巧合，没有明确的解释或理由。
上面引述的艾蒂安·贝祖的论著，其中对乘法交换律的解释冗长而晦涩。如果你对乘法的理解来自反复加法的朴素类比，那么，问乘法中因子的顺序为什么可以颠倒就等于问两个不同的反复加法为什么答案相同，而这两种运算却没有明显对称。贝祖试图解决这个矛盾，但他的解释并不是很清楚：
只要我们将数看作抽象实体，也就是不考虑依附的单元，那么相乘的两个数哪个是乘数哪个是被乘数就没有区别。例如，3乘4不过就是把1的3倍重复4次。而4乘3则是把4的3倍重复一次。显然，1乘4与4乘1是一回事。你可以将同样的推理用于任何其他数。5
大部分成年人都认为a×b永远等于b×a这一定理非常有用，但它是没有解释的巧合，属于经验真实。他们“明白”乘法交换律就像“明白”为什么自行车不会歪倒，或飞机为什么能在天上飞一样：因为他们一生中见过这些东西，时间长了也就不再觉得这些现象有多神秘，也不觉得需要解释。所以，虽然教育让他们掌握了乘法交换律，但却没有让他们真正明白其所以然，因而他们继续依赖着初始的朴素类比。
那么除法呢？
同样，关于除法也有一个广为流传的朴素类比。它主导着人们的思维，深刻地影响了人们对除法运算的看法。虽然人们普遍认为对受过教育的人来说除法意思十分清楚。但这只是错觉。
这里有一个简单的“家庭实验”，可以将这一隐藏的朴素类比暴露无遗。它将显示这一朴素类比是多么具体而标准。这个实验没有陷阱，只有几个直截了当的问题。第一个问题是预热：设计一道应用题，一个需要除法运算才能解决的问题。希望这个问题不会给任何读者造成困难。例如，下面是大学生设计的几道除法应用题。
◎4个朋友决定平分12块糖。每人应分到几块？
◎90亩地要平分成6块。每块地应有多少亩？
◎母亲为5个孩子买了20个苹果。每个孩子应分几个？
◎剧院里有120个座位，排成10行。每行有几个座位？
◎班级野餐，一位教师买了20个西瓜，放在4辆购物车上。每辆车里放几个西瓜？
◎12尺布可以做4条裙子。一条裙子需要几尺布？
上列每一道题都涉及某个起始数被分割，分割的结果总是小于那个起始数。比如，第一道题将12块糖减少到3块，第二道题将90亩减少到15亩，第三道题将20块糖减少到4块，等等。
这一现象很有意义，因为它表明，当人们在出除法应用题时，他们想到的关键概念是“变小”。正如乘法是反复的加法的印象加强了乘法必然是增长的信念，在除法中，起作用的朴素类比加强了除法是缩小的印象。这一关于除法的印象与“分割”一词在日常话语中的用法完全吻合(22)。当说将X分割时，想到的是将X分成几块，其中每一块显然比X本身要小。1988年版的《韦氏新世界词典》也证实了这一理念。division的定义是：“均分，分派，分配。”此外，除法的概念还经常与削弱的概念相关。例如，“团结才能直立；分裂只有跌倒”，这个口号表明，一个实体若被分割成小块，结果会比整体弱小。
这是两个小小的挑战中的第一个。第二个挑战也是设计一道除法应用题。但是这一次要增加一个条件：答案必须比起始数大。读者们，各就各位！
你或许已经注意到，这次作业里的微小调整意义重大。例如，上列应用题中没有任何一道能够满足这一条件。估计大部分读者都发现第二个挑战的难度大增。设计一道除法应用题对几乎所有人来说都是轻而易举的，而设计一道除法应用题，并让答案比起始数大却相当不容易。它需要绞尽脑汁地思考，而且对许多人来说，是力所不能及的。将某物分割怎么可能产生一个更大的事物呢？
大学生们对第二个挑战的反应差别非常大。有些学生干脆否定：这个挑战根本不可能。对于这些人来说，根据定义，除法与变大的概念根本不相容。所以，他们没有设计能够满足要求的应用题，而是试图解释为什么这项任务没有意义：
◎不可能。除法总是把事物变小。
◎当你分割一个初始数值时，结果必然比原来少。所以这不可能。
◎除法意味着均分，均分的份额是相等的。所以，每个人得到的那一份都比初始量少。因此，要让得到份额的比最初的份额大，这样的除法应用题不可能成立。
◎不可能，因为除法意味着将某物分割成几份。要想得到更多的结果，需要用乘法，而不是除法！
◎不可能，因为每当你分割某物，你总是使它减少。
有些学生承认除法确实可以满足题目要求的特性，因为他们记得在学校里学过，某数除以一个介于0和1之间的数就有这种效果。然而，他们相信，这种形式的数学运算在现实世界中没有对应的情境，所以他们宣称，没有应用题可以满足上述要求。至少他们想不出来。这里是他们的评论：
◎我可以说“10/0.5”，答案是20。但这只是一个计算。你无法设计一个相对应的应用题，因为在现实世界，人们总是把数除以2、3、4等。也就是说，总是除以大于1的数。
◎是的，可以。比如，5/0.2。但是我想不出可以用这个公式表达的现实情境。
◎任何时候，当你把某数除以一个小于1的数，你就会得到一个更大的数。但是，我想不出在现实世界中这个公式可以怎样用。
◎当然，当你除一半时，你得到更多。但是问题是，不可能除以一半。
还有一些学生设计出各种他们认为能够满足上述要求的应用题，但实际上，他们在耍各种小把戏，因为他们设计的问题不能满足要求。例如：
◎小蕾有20瓶葡萄酒。她以8元钱一瓶的价格卖掉了一半。她卖了多少钱？
◎小艾有8个玻璃球。在一次比赛中，他赢了一倍半。他现在有多少玻璃球？
尽管存在上述所有这些反对意见，但其实完全有可能设计出让答案大于初始数的除法应用题。有人找到一些很好的例子：
◎用4斤肉，可以包几个二两肉馅一个的包子？
◎如果我有3天时间准备考试，而且我半天可以读完一本书，考试前我能读完几本书？
◎我有10元钱，巧克力1角钱一块，我能买几块巧克力？
◎我有一卷3米长的布料，一条围巾用料3/8米，我能做几条围巾?
然而，想出和上述4个例子类似的应用题却相当困难。在100个本科生中，只有大约25人想出了类似的应用题，而其他75人没有想出来，上面引述的三类失败例子中各占1/3。所以，从理论上看，一个已经在小学就掌握了的算术运算仍然给成年人甚至大学生带来了许多麻烦。这是不是因为除法应用题学得太早，所以已经被忘记了呢？也不是，因为同样的问题也用来测试了250名七年级的学生。之前3年，这些学生一直在学习除法，所以这类问题对于他们来说仍历历在目（事实上，除数小于1的算术题他们已经学习了至少一整年了）。但是，他们之中超过3/4的人都认为不可能设计出答案大于初始数的应用题。在这250人当中，只有一人想出了满足挑战条件的应用题。
