相乘总是意味着变大吗

相乘总是意味着变大吗？

针对在学校学到的某些概念，有时会有早期的朴素类比与之相对应。这些朴素类比对理解新学的概念很有帮助，但是没有其他熟悉的范畴能够帮助学生进一步深入展开这些概念。出现这种情况时，朴素类比很有可能成为理解这些概念的唯一依靠，并且在学生接受了多年教育之后，仍扮演主要角色。在这种情况下，要想改善这些概念，使它们更加概括更加灵活，就困难多了。乘法和除法这两个最基本的数学概念正是这种情况。

加减乘除在小学期间讲授，而且到中学时期就都已经完全掌握了。因为许多数学概念都建立在加减乘除之上，它们经常被称作四则基本运算。这些经典的数学概念是我们每一个社会成员的文化传统的一部分。哪个成年人如果宣称他不知道乘除为何物，一定会受到白眼。这些概念从小教起，中学生和大学生都应该非常清楚了。然而，认为大部分成年人已经掌握了这些运算的印象其实是一个错觉。将在下面几节举例说明原因。

现在看一看乘法。在对高年级大学生（这里所说的不是数学专业的高年级大学生）的调查中发现，如果他们被问到“什么是最准确的乘法定义”时，他们通常对下列两个定义中的任何一个表示非常满意：

乘法是一个数值的若干次连加。

乘法是把b增加a倍，也就是把b加a次。

很难找到不同意这两个定义的人，几乎也没有人对这两个定义提出改进意见。我们也请高年级大学生提供他们自己的定义。结果同样的定义再次出现。基本的意思是，乘法按照定义就是将一个数反复和自身相加，数着加了多少次，直到结束，尽管他们的措辞不如我们上面给出的定义那么精简。例如：

乘法是把一个特定数值反复相加多次。

乘法是让一个特定数值和自己相加，让加多少次就加多少次。

乘法是把一个特定数值加到它自身，相加的次数视另一个数值而定。

乘法是一种运算，在这种运算中，你将一个特定的量多次与自身相加。

在互联网上，类似的定义俯拾皆是。一个网站提出：“乘法无非就是加法，其中相加的数都相等。所以我们说乘法就是重复被乘数，重复的次数视乘数的个数而定。”

从历史的角度看这个问题，可以考察一下专业人士提出的类似的定义。例如，在1821年，著名法国数学家艾蒂安·贝祖（étienne Bezout）在《水兵和步兵算数专论》（Treatise on Arithmetic Intended for Sailors and Footsoldiers）中写道：“一个数和另一个数相乘就是把第一个数反复相加，第二个数则为相加的次数。”⁴

那么，乘法是重复的加法这个观念难道真的如上面所列的那样无可争辩吗？完全不是！事实上，这个观念是一个远离目标的朴素类比。长远看，它几乎肯定会使任何相信它的人步入歧途。

首先，这个乘法观念规定两个数值之一必须是正整数，因为如果不这样要求，“多少次”就没有意义。将一个数与自身相加二又二分之一次，或者1/3次，或者次，或者π次是什么意思？然而，规定乘法运算中的一个因子必须是整数令人生疑，因为谁都知道两个非整数相乘是可以的。事实上，我们在学校里都学过这种运算，而且计算器将输入的任意两个数相乘的时候从来没有犹豫。如果规定两个因子之一必须是整数，“π × π”这个表达式该是什么意思？

隐藏在这个定义背后的下一个障碍是一个普遍信念，认为如果将b与其自身相加，反复多次，其结果永远大于b。我们不仅认为这个结果比b大一些，而且，按照定义，应该比b大a倍。字典和日常会话也附和了这个朴素信念。事实上，“乘”和“乘法”“倍”这些词给人一种增长的印象，而不是缩减的印象（尽管，如第4章中指出的那样，当事物缩小时，可以用grow说“越来越小”）。所以，可以说兔子繁殖很快，造成群体过密；在好的时候，财富成倍增长，在坏的时候，危险增加，缺乏安全感；等等。⁽²¹⁾英文的前缀，“multi”（多），也总是让人想到增长，例如，“multinational”（多国家）、“multicolored”（多色）、“multilingual”（多语种）、“multimillionaire”（千万富翁）等。但是这个先入之见一旦遇到所乘的数小于1时就要撞墙了，因为，其相乘的结果总是比被乘数小。这个结果与反复相加之和不相容。

除此之外，还有别的麻烦。乘法最为人熟知的性质是交换性，即对于任何数a和b，总是：a×b=b×a。如果乘法被看成是反复的加法，交换律如何能在两个量a和b之间成立实在很难说清楚。事实上，这个朴素类比暗含乘法本质上是不对称的意思，因为乘数和被乘数受到了不同的对待。被乘数与自身反复相加，而乘数记录运算的次数。这显然与交换性的形象不符，因为交换性规定两个数扮演完全可以相互交换的角色。由于朴素类比不能彰显乘法的这一关键特性，孩子会对a自加b次总得到与b自加a次的的结果相同这样一个事实产生困惑，甚至成年人也是如此。当然，可以加入交换律以丰富对乘法的理解，但是把乘法看作反复相加这个朴素类比只能把水搅浑，对自然地理解这个概念没有帮助。

当学生依靠这个朴素类比去解决应用题时，这些次要的绊脚石会演变成严重的障碍。例如，当英国中学生看到这道应用题：“如果1加仑（1加伦≈4.54升）汽油是2.47英镑，0.26加仑汽油是多少钱”，只有44%的学生认识到这实际是一个乘法问题。剩余的56%的学生把它看作一个除法问题，即2.47除以0.26！结果，一道简单的小学水平的乘法题却难倒了大约半数的中学生。

如果把应用题中的数换一下会出现什么情况呢？如果仅把“0.26”换成“5”，再问同一个问题：“如果1加仑汽油是2.47英镑，5加仑汽油是多少钱？”这一次，100%的中学生都做对了。区别在于，第一道题里的朴素类比没有满足将一个数反复相加的形象，因为将一个数与自身相加0.26次无法操作。而在修改后的问题里，运用重复相加的朴素类比很正常（2.47+2.47+2.47+2.47+2.47）。这两道应用题在参加测试的学生中造成的差异说明这个朴素类比在第一道题里没有帮助，但用在第二道题中却很合适。