有些等式比其他等式更平等
考察完近年来发源于技术领域，并在不知不觉间侵入日常生活的朴素类比之后，现在回过头来继续关注教育领域，讨论朴素类比在儿童是如何在学校获得基本的数学概念时所扮演的角色。
“3+2=5”这个等式完全清楚吗？只有一种方式去理解这个等式吗？所有受过教育的成年人都以同样的方式理解等号吗？从理论上讲，等式代表完全对等或可以互换。也就是说，等号两侧的表达式代表同样的事物。这样看来，相等的概念似乎简单明了，很难想象还有其他方式去解释它。然而，相等的概念还有另外一面。它来自朴素类比。我们将称之为“动作-结果类比”。
在这个另类的解释中，等式的左侧代表动作，右侧代表动作的结果。这是一个朴素类比。在这个类比中，等式被理解为需要时间的过程。它出现的情况和学校或数学毫无关系。它影响着所有人，包括小孩子。例如：
用手指着+哭=得到所要之物
花瓶+碰掉=地板上的玻璃碴
泥+手=肮脏
DVD+DVD播放机+遥控器=看电影
巧克力+面粉+鸡蛋+搅拌+烘烤=蛋糕
奶酪+生菜+西红柿+面包=三明治
3+2=5
这里，等号是一个符号，把世界上的某种动作与动作的结果连接在一起。它可以读作“产生”或“导致”或“得出”。这样看，“3+2=5”不再是一个相等的陈述。它代表的是将3和2相加得到5这个过程。
互换和动作-结果是两个不同的概念。动作-结果明显包含了不对称的等式概念。在这里，等号两侧内容扮演不同的角色，一侧永远代表过程，而另一侧永远代表其结果。“5=5”将与这个观点不相容，因为没有表明过程。同样，“7-2=8-3”也不对，因为没有结果。再有，写下“5=3+2”也会令人迷失方向，因为动作和结果站错了位置。事实上，许多小学一年级和二年级的学生正是用这种方式理解相等的。他们坚持认为“5=3+2”是“颠倒的”，“7-2=8-3”没有意义，因为“问题后面应该跟着结果，而不是另一个问题”。有些学生甚至对“5=5”都感到困惑。他们宁可用“7-2=5”取而代之。
在孩子接触相等概念之前，动作-结果的朴素类比就是他们的向导。过程及其结果的概念连蹒跚学步的儿童都觉得熟悉。这个概念与因果关系是近亲，它与手段和目的的概念也非常接近：工欲善其事，必先利其器。
虽然现代的儿童在小学已经对相等概念有了相当的理解，但是发明等号“=”符号却让人类花费了相当长的时间。数学的相等符号直到1557年才首次出现在威尔士数学家罗伯特·雷科德（Robert Recorde）的著作中。他在书中写道：
正如我经常在工作中所做的，我将设定两条长度相等的平行线，或孪生线，像这样：=，因为没有两样东西能这样相等。3
文中的“孪生”意思是“双胞胎”。上下两条“双生”的水平线是为了象征相等的基本概念。代表相等的符号需要这么长时间才出现，尽管数学已经存在了至少两千年，这一事实本身说明，它远非一个不言自明的概念。
虽然对于今天的成年人来说，“相等就是等同”的概念在数学环境中似乎显而易见。但这并不是说相等的动作-结果的概念就从他们心目中消失了。事实上，从人们写下或念出等式的方式上，仍能瞥见他们的无意识的理解。例如，在读“4+3=7”时，许多人会说“4加3得7”，而在读“7=4+3”时，他们会说“7是4和3之和”。如果说教育的结果是学生学会将等式看成是互换的陈述，那么到高中毕业后，等号的动作-结果观念应当从他们的思维中彻底消失了；等式两侧的顺序应该无关紧要；等式的两种写法也应该采用同样的解读。然而，实际情况并不是这样。来考察一些具体的例子，先从数学领域以外的例子开始。
广告中的朴素等式
广告的标准噱头是唤醒人们的童真而不是吸引初露头角的数学家。下面是一组从真正的广告中采集来的“等式”的例子：
买两件=第二件半价
买一副眼镜=免费赠送一副墨镜
买本店购物卡=免费送货到家一年
买一台电视=一台DVD播放器只要一元
买一只烤鸭=免费赠送一只烤鸭
为了证明这些“等式”背后没有互换的概念，将等式两侧调换一下。你将看到，新“等式”听起来非常愚蠢，甚至是无稽之谈。
第二件半价=买两件
免费赠送一副墨镜=买一副眼镜
免费送货到家一年=买本店购物卡
一台DVD播放器只要一元=买一台电视
免费赠送一只烤鸭=买一只烤鸭
这些例子表明，人们对等号的最初朦胧的理解来自朴素类比：动作之后是结果。即使互换的概念在教育过程中逐渐占了上风，动作-结果观念却没能被彻底根除。如果有恰当的诱饵，它总能从冬眠状态里被引诱出来。从这里可以看出，教育并不能把关于数学的最初朴素想法，甚至那些认为最无关紧要的概念消除掉。这些概念在小学就已经教过，那时的孩子只有六七岁。在儿童时代，甚至在成人阶段，这些朴素观念与正规观念并存。正规观念是在学校里灌输的，但是它也依赖于已有的熟悉的概念，也就是同样的东西，也就是同一性。从最早的观念（动作-结果）到更深奥的观念（同一性）的过渡，并不能抹掉早期观念。它一直可以被激活，而且在日常生活中经常被唤起，甚至在数学或物理学环境中亦如此。下面马上将会看到这一点。
等式与物理学家
对物理学家来说，经典力学中最基本的公式无疑是牛顿第二定律。这个定律描述了力是如何影响物体运动的。这一著名定律的基本意思与上面讨论的朴素类比是相容的。朴素类比要求，等式的一侧应当代表过程，另一侧代表该过程的结果。在这里，过程（在理想情况下占据等式的左侧）应当是以F表示的力，作用于以m表示的质量，而结果（在理想情况下占据等式的右侧）则是以a表示的施加质量的加速度。把上面这段话转化成符号，就是等式：“F/m=a”。然而，不幸的是，牛顿的这条定律几乎从来不这样写。人们总是把它写成：“F=ma”。这个著名公式让许多学生感到困惑，因为等式的任何一侧都没有干净利落地表达过程或结果。这个公式的变体“F/m=a”显示出的朴素类比要清楚得多，因而让学生更容易把握。但它几乎从不出现在任何教科书中。纯粹从逻辑角度看，牛顿定律的两个表达方式是完全相等的，而且完全可以互换。但是从心理学和教育学的角度，它们显然不同。
幸运的是，物理学家对这样的心理压力通常比较敏感。在大部分时间里，他们总是尽力把他们的等式用最干净、最清楚的因果关系的形式表现出来，让等式一侧导致另一侧。比如，下面的麦克斯韦四个电磁方程的第一个：
div E=4πρ
其中E代表电场，ρ代表电荷密度（也就是在任一空间点有多少电荷），“div”代表微分学里的一种运算，称为“散度”，π是熟悉的圆周率3.14159……
这个公式被物理学家普遍读作：“电荷在空间的分布（因）总要产生电场在空间的模式（果）。”然而，由于某些历史原因，因（电荷分布）按惯例处在这个等式的右侧，而果（电场）在左侧，这颠倒了通常的动作-结果的顺序。物理学家为什么总是颠倒地写这个等式呢？这很难说，但基本上，这是一个无害的“职业走样”。无论怎样，凭直觉，麦克斯韦的第一方程包含了一个物理学的因果关系，只不过是因在右侧，而果在左侧。事实上，麦克斯韦的四个方程都包含着相似的因果关系，而且它们都是从右向左的因果关系流向。
但是，看麦克斯韦方程还有另外一个方式。再看一看上面的第一方程。这个方程的意思是，如果计算电场的散度，你将得到电荷密度。这样的计算也可以看作一种因果关系或动作-结果关系。在此，一些量被输到计算机器里，机器运转一会儿，最终输出一些新量。这样看，“因”或初始事件（将输入值输入计算设备）总是在左侧，而“果”或后续事件（计算设备输出的数值）总是在右侧。所以，又有了从左向右的因果关系流向。
但是，必须记住这只是一种数学性的因果关系，意思是，如果已知空间任何地点的电场，就可以计算出电荷密度。然而，正如在上面指出的，这个方程也可以被解读为一种物理学意义上的因果关系，意思是如果你把电荷按某种方式安排在空间里，你总可以发现某一特定的电场模式围绕着它们。一句话，电荷产生电场。当这样看这个方程，因果关系的流向是从右向左，即，从电荷向电场。物理学家正是这样看待这个方程的，无论是有意还是无意。事实上，如果有人说，麦克斯韦第一方程的意思是一个电场在空间散开造成某处一个微小的电荷，物理学家会觉得很荒谬。这就像说，弥漫在社区的一股恶臭使一只惊恐的臭鼬藏到灌木丛里一样颠倒因果。注意这里使用了一个漫画类比。
总的来说，麦克斯韦方程从右向左读时可以看作表达了物理学的因果性，即一个物理原因导致一个结果；当从左向右读这些方程时，它可以被看作表达了数学的因果性，即一个计算产生一个结果。而且麦克斯韦方程不是例外。物理学家总是试图摆弄他们的方程，让它们获得这种特性，也就是让因在一侧，果在另一侧。这样做从逻辑角度看当然是没有必要的，但它大大有助于表述的清晰。例如，这里有另外两种表达麦克斯韦第一方程的方法。它们都绝对正确，但会让物理学家挠着脑瓜问：“这样写有什么意义？”
div E/2-2 πρ=0 div E/4ρ=π
事实上，这两个方程都将这一定律的关键藏起来了，即一个现象催生另一个现象。
简言之，物理学家和其他人一样，对将方程比作因果关系的朴素类比有所偏爱，且从中获益。
