日常概念和科学概念
我们希望从教学计划中除掉一个关于学习的狭隘认识。这个认识假定在学校获取的知识独立于日常知识。这种理念鼓励人们在教授新思想时不涉及日常概念，除非是一些最简单的、与日常经验不可分割的概念。这种关于学习的狭隘观点建立在一种心智理念的基础之上。根据这种理念，把学校学到的知识和思想储存在大脑的一个隔间，并与日常学到的知识和思想分开。年复一年，我们扩充从学校学来的知识，就像建造一座砖房一样，增加的每一块砖都有过去垒的砖的支持，而这块新砖也转而支持后来添加的新砖。
这种观点在某些方面很有吸引力，因为它可以简化学校的课程设计。使教学变得更加容易，它将每个学科都看成一座孤岛，与其他学科分割开。在每一个学科内部，则试图用逻辑将该学科的概念分解开来，并且将它们按照严格的自然次序排列起来。这样，讲授任何复杂的概念等同于讲授同一领域内的一组简单概念。而讲授这些简单概念又是通过讲授同领域内的更简单的概念来实现的。
在教育领域有一个历史悠久的神话，认为在这两种知识之间存在一个密不通风的屏障：日常知识可以无须正式教育而自我生长，而在学校传授的正式知识，则独立于日常知识。这种天真的观点认为，学校是一个神奇的捷径，在这里，数千年来人类努力发展的思想可以在几年时间内传授给任何一个人。
另一个信念也对学校的课程，特别是科学课程的设置，施加了相当大的影响。这一信念主张科学知识最好用严谨和正规的术语传授，特别是用数学公式。这种严格的正规教育与新手吸取知识的方式和专家处理知识的方式相对应。据信，书本上的正规知识和头脑内部的表象之间的初始差距，随着逐渐靠近专业会趋于零。
既然正在讨论差距趋于零这个题目，下面这个棘手的公式表现的意思是函数f（x）在点x0是连续的（倒置的“A”和反向的“E”是速记符号，分别代表“对所有”和“存在”；箭头读成“如果……则……”）：
难道会假设所有熟悉数学的人都会用这些符号去思考连续性吗？熟悉微积分的人真的总是在脑子里想象和处理希腊字母吗？对这些人来说，这就是连续性的意义吗？娴熟使用了这个公式后，他们真的把从前有的关于连续性的直觉概念都彻底抛弃了吗？果真如此，那么，为了教育专业人才，甚至向普通学生传授这类技术概念，正确的方法是只讲授这类公式，因为这类公式代表着这些概念中最纯净最严谨的本质，特别是，要让学生将连续性的概念看成是上列公式的同义词。
然而，这种教育观点与专业人士的实际思路相吻合。他们认为应当使用缜密的公式以便尽量严格、无歧义地表达微妙的概念。这是一个由来已久的哲学假设所带来的结果，并被更广泛的文化传统所强化，也就是说逻辑思维高于类比思维。具体地说，这种观点来自对类比思维的刻板印象。这种刻板印象认为，依赖类比，初涉某一领域时或许有用，但基本上是小儿科的。一旦进入某一领域的实质部分并开始严肃思考时，类比应当被迅速抛弃，就像抛弃拐杖一样。另一个关于类比思维的半生不熟的定型观念是它像一匹不可驯服的野马，不可预测也不值得信赖，因此应该避开它，即使它偶尔会爆出真正的洞见火花。类比不属于推理的范围，而属于“直觉”范围。类比是非理性的，不能也不应该被传授。
科学概念是以流动的方式体现在并“生存于”这些对概念有着深刻理解的人的头脑之中的。这与正式严谨的逻辑符号完全不是一码事。逻辑符号经过仔细设计，尽量简洁而严谨。这两种东西不应该合并在一起。正如上文所述，连续函数的概念有一个准确的正式定义。但连续函数形成的心理范畴则边界模糊、成员不定，内部成员的典型性程度也不同，而且其判断标准也因数学家而异。历史上的一个著名例子正好可以说明这个问题。19世纪末，人们发现了在每个无理点连续，而在每个有理点不连续的函数。这一特征出乎意料，以至于一些著名数学家给它们贴上“病态的”标签，并且极力要把这个“瘟疫”从数学中清除。而其他数学家则因为这个新的研究领域的出现而异常激动。这个历史插曲很难说与数学是精准而绝对的客观知识的固态形象相吻合。在第8章，会看到人们熟知的范畴，比如数，也有模糊的边界和典型度各异的成员。经验丰富的数学家也会各持己见，对某个成员属不属于某个范畴而展开激烈争辩。
把严格的正式定义与人们脑中关于概念的心理现实混为一谈，是令人遗憾但却非常普遍的现象。它对教育的影响令人担忧。后果之一是它蒙蔽了教育机构的主旨：构建实用而可靠的范畴。另一个后果是，这种思路指导下的教学方法以棘手的公式和严谨的演绎为基础，而忽略了运用类比通过直觉方式建立恰当的范畴家族的方法。
我们的看法与上述将逻辑视为中心的观点不同。事实上，正如在第4章中所强调的，专业知识是随着范畴的获取和组织而积累起来的。人们所依赖的不是对情境进行公式化的感知。人们具有将新情境看作熟悉环境的能力，因为他们具有分类的能力。获得某一领域的知识就是构建相关的范畴。类比思维是理解新情境和构建新概念的关键。这一道理适用于所有人，从最没有把握的新手到游刃有余的专家。二者的区别不是他们的思维方式，并非是专家依靠逻辑思维、新手依靠类比思维，而是他们掌握的范畴库存，以及这些范畴是如何组织起来的。
例如，关于一个在点x0的函数的连续性，专家真的是在用希腊字母思考吗？他们真的在脑海里来回倒腾罗马字母吗？几乎不。相反，他们都有关于这些概念的鲜明的视觉图像。公式里的希腊字母只不过是图像转换的帮手。如果希望f（x）的值非常接近f（x0）的值，特别是如果希望它们之间的差别不超过小数ε（这个条件用符号│f（x）-f（x0）│<ε表达），那么实现连续性需要存在一个以点x0为中心的微小区域，该区域的两个边缘在离开中心的距离δ之内（这个区域由符号│x-x0│<δ表达），且在整个区域内都满足前述条件。
假如你受过数学训练而且正在思考连续性的意思，你会想象一个以点（x0，f（x0））为中心的小方盒。连续性的意思是，无论你希望f（x）多么靠近f（x0）（这个想法可以转换成一个矮盒子的形象，在其中所有的函数y值在垂直方向都非常近），你都可以把盒子想象得非常窄，窄到所需条件在其中任何地方都成立。“无论你希望f（x）多么靠近f（x0）”这句话是“?ε”的视觉表现（?ε念作“对全部epsilon”），而“你可以把盒子想得非常窄”这句话是“?δ”的视觉表现（?δ念作“存在某delta”）。最终，一切都聚焦到尺度任意小的函数图形上，因而与熟悉的事物有关，例如，放大镜、显微镜，还有走向某个物体时，从远处看时模糊的部分逐渐变清晰。这些都是日常经历，是一个精通数学的人理解连续性所依赖的经历。所以，理解连续性这个丰富的概念就是构建这样一个视觉图像。那些epsilons和deltas只不过是帮助你达到目标的工具，匆匆用之，用后迅速弃之。
总之，学生消化吸收在学校学到的知识的过程不是形式化的，而是通过朴素类比实现的，也就是与熟悉范畴之间的类比。这些熟悉范畴可以来自任何领域，而且经常来自没有在课堂上讲授过的领域。因此，知识领域是独立自足的假设是错误的，因为学生总是不可避免地把该领域里的新概念和日常生活的经验联系在一起。此外，朴素类比一旦在新手头脑里扎下根来，就不会随着时间的推移而消失。学业继续，年复一年，朴素类比依然不离不弃，因为任何人都非常需要简单基本的直觉。事实上，有些朴素类比非常顽固，我们甚至不禁怀疑学校教育在某些领域的效果。给普通学生传授人类经过数千年积累起来的微妙的思想，这个使命令人尊重，但这个目标并不能完全靠学校教育实现。
某些人们普遍认为很简单，并且在小学就已经学过的概念，是通过朴素类比来理解的。这很不幸，因为这些朴素类比适用范围非常狭窄，而这些经常造成误导的类比在经过初中、高中和大学的教育后依然根深蒂固。它们的潜移默化的影响持续存在。理论上本该被驱逐出去了，实际上却没有。因此，这些生命力极强的朴素类比一直在受过良好教育的成年人甚至专业人士的思维过程的背后。认为教育能消除朴素类比的想法并不可靠。刻板的思维定式认为，掌握了科学思想的人生活在定义严格的世界中，这些标准的定义遵从逻辑法则，类比在这种信念中没有任何位置。然而，这不过是一厢情愿。不可否认，科学教育传递的思想确实能够超越日常经验，尤其是在科学思想更加抽象的条件下。但是，学习科学思想的过程和学习其他思想的过程没有任何不同。科学思想也同样根植于朴素类比。这是普适的，无论对于新手、中级学者，还是专业人士都适用。
