三
所有的推理可分为两种：①解释性推理，也叫演绎法或分析法；②扩充性推理，也叫综合法或归纳法（不很确切）。在解释性推理中，首先在前提中规定了某些事实。这些事实在每一种情况下都涵盖无尽的内容，但它们常常可以通过一些规律性的方式总结在一个简单的命题中。因此，在命题“苏格拉底是一个人”中，意味着（没有其他可能性）他一生中的每时每刻（或者你可以说，在他一生中的大部分时间）是一个人。他不可能有一瞬间是一棵树或一只狗；他没有流入水中，或一次出现在两个地方；你不可能像透过一张光学图像一样，把你的手指透过他的身体等。现在，我们有了一些事实，虽然我们得出这些规定时并没有把它整理成命题的目的，但是我们或许就能在其中发现某种规定；这样我们就可以将其部分或全部形成一个新的命题。如果不提出命题，它便可能被忽略。而这一命题就是分析性推理的结论。这些都属于数学论证方法。但综合性推理与之截然不同。在这种推理情况下，结论中总结出的事实并没有在前提中阐述出来。得出的事实也各不相同，比如人们若有m次看到了潮汐上涨，就会得出结论，下一次潮汐会上涨。这些是增加我们常识的唯一推论，当然其他的推论也可能有用。
在任何可能的问题中，我们给出了某些事件出现的相对频率，我们认为在这些事实中，就隐藏着另一个事件出现的相对频率。解法前面已经讲过了。因此，这只是解释性推理，而非综合性推理。综合性推理的结论是要超出给定前提的范围的。因此，要想通过这种方法来发现综合性推理中的概率是缘木求鱼。
大多数关于概率的论文都含有一个不同寻常的原则。例如，如果一个居住在地中海沿岸、从未听说过潮汐的原始人来到了比斯开湾，看到潮汐上涨m次，他就可以知道潮汐上涨的概率等于：
凯特勒在他的一本著作中强调了这一点，并将其作为归纳推理理论的基础。
但是，如果这个人从未见过潮汐，也就是说，给定m=0，此解决方案就不再成立。这样，下一次潮汐上涨的可能性就是。换句话说，解决方案涉及概念论的原则，即完全未知的事件的概率为一半对一半。其中包含的道理还可以由下面这个例子得出，即好几个缸里装着相同数量的球，部分为白色，部分为黑色。一个缸里都是白球；一个缸里有一个黑球，其余为白球；另一个缸里都是黑球，其余为白球；以此类推，黑球比例依次增加，直到缸里全是黑球。但是，在这种人为安排和自然概率之间进行类比唯一可能的原因是，我们所不知道的替代方案必须被认为是有同等可能性的。但这个原则是荒谬的。按照这个原则，列举不同可能性有无限多种方式，都会产生不同的结果。如果有方法列举可能性，并使它们都相等，那也绝不是用这种方法，而是如下方案：假设我们有一个巨大的仓库，黑球和白球混在一起；并且假设每个缸内的球数都是固定的，是从仓库里随机取出来的。仓库中白球的相对数量可以是任何值，比如。那么，第一个球是白色的缸就占，第一个球是黑色的缸占。在取出第一个球是白色的缸里，第二个球是白色的占；在第一个球是黑色的缸里，第二个球是白色的也占。于是，我们就可以得到一个分布表，w代表白色球，b代表黑色球。读者可以自行检验。
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第二组只有一个b，只有2行相同，第三组有4行相同，第四组有8行相同，第五组有16行相同，每次翻1倍。这是因为我们认为仓库中的黑球是白球的2倍。若我们假设是以10倍递增，就不是1、2、4、8、16，而是1、10、100、1000、10000。
另一种情况是，如果仓库中的黑白球数量相等，那么每组就会只有一行。现在假设从其中一个缸中抽出两个球，并且发现都是白球，下一个是白球的概率是多少？如果被抽出的两个是开始投入缸中的两个，那么下一个取出的是第三个投入的球，则无论前两个球是什么颜色，第三个是白球的概率相同。因为我们认为，只有相同比例的缸在前两个为白色白色、白色黑色、黑色白色和黑色黑色之后，第三个球才是白色。因此，在这种情况下，第三个球是白色的机会与前两个相同。但是，通过观察第84页上的分布表，读者可以看到，在每组中取出球和放入球的频率相同，因此抓球结果与放入顺序无关。因此，已经取出的球的颜色对其他球是白色或黑色的概率都没有影响。
现在，如果有方法来列举自然情况下的可能性，并使得每种可能性相同，那么显然应该使每组自然的元素排列或组合（也就是我们所假设的分布方式）的可能性相同，因此，似乎可以假设任何这样的分布都是可能的，而这种假设只能得出一个结论，即从过去推断未来，经验绝对是毫无价值的。事实上，在你认为我们完全忽视的机会占到一半时，关于潮汐的问题在概率上与抛硬币的问题没有任何差别，一枚硬币（已知正反两面的可能性均等）成功正面朝上也可以有m次。简而言之，假设自然完全是杂乱无章的，或是独立因素的随机组合，那么就无法从一个事实推论出另一个事实；而且，正如我们后面会看到的那样，没有推理就不能从纯粹的观察中得出判断，这不啻假设人类的所有知识都是错误的，真知是不可能的。假设我们过去或多或少发现自然是有一定秩序的，这纯粹只是运气，而现在我们的运气已经用完了。现在，我们可能没有相反的证据，但是，若认为大部分问题都解决了、没有人会怀疑或能够质疑、对此否定的人会认为自己很愚蠢，那么推理也就毫无必要了。
我们有权谈论自然排列的各种相对概率，比如宇宙的数量是否和黑莓一样多；我们是否能把各个宇宙放到一个袋子里，充分摇匀，取出一个样本，检验每种排列的可能性分别是多少。但是，即使在这种情况下，我们还会被一个更广阔的宇宙包含在内，对于它来说，概率便没有用武之地了。
