正方形是矩形吗

正方形是矩形吗？

正方形真的是矩形吗？这个问题的答案是个典型的标记的例子。从一个数学家的角度而言，正方形当然是矩形，因为正方形满足矩形的定义。从这个角度来说，这个问题没有任何歧义，答案就是简单明了的“是”。

如果某人看了各种不同四边形的定义，他可以轻松地画出一个它们之间的关系图：

图中不同的范畴表明了人们对于上文所示的四边形可采用的不同的角度。根据上面的关系图，正方形同属于五个不同的范畴，即正方形、矩形、菱形、平行四边形以及四边形。如果把它视作四边形，那么正方形有两条对角线，不过这没什么特别的；如果把它视作平行四边形，那么正方形的两条对角线正好在它们的中点相交；如果把它视作菱形，那么它的两条对角线相互垂直；以及如果把它视作矩形，那么这两条对角线则相等。

不过，对于四边形的世界来说，这个关系图还不够复杂。试想，如果忻忻的老师出了这么一道题：“画一个正方形、一个矩形、一个菱形以及一个平行四边形。”却看到自己的某个学生只画了一个正方形时会怎么想呢？实际上，她应该对这位学生大为赞赏，给他最高的分数，因为这个答案暗含了对于这些定义精确的理解。好吧，让我们假设这位老师真的这么做了。即便如此，这么个玩笑般的答案也一定在她的意料之外。对于这么个极不寻常的答案，是大为赞赏还是恼怒不已就因人而异了。但对于这么一个完全正确而且优雅省事的答案，她为什么会大吃一惊呢？

上文给出的四边形范畴的关系图无法告诉我们老师面对不同的答案时会作出何种反应。试想，如果忻忻在第一道题中，在正方形里写下了四个不同的标记，表示这同时是一个正方形、一个矩形、一个菱形以及一个平行四边形；在非正方形的矩形里写下了两个不同的标记，表示这同时是一个矩形以及一个平行四边形；在非正方形的菱形里也写下了两个标记，表示这同时是一个菱形以及一个平行四边形。这些标记是忻忻严格遵循自己总结出的定义（即第二题的答案）的结果，她的老师对第二题的答案十分满意，并给出了满分。不过对于第一题，这位老师已经给了完全不同的传统的答案满分，面对另一个完全不同的非常规答案她还会给出满分吗？某人可能觉得这位老师应该对此大为赞赏，毫无保留地给出满分，因为班上有这么一位有洞见的学生，写下这么有见解的答案。不过这就得看这位老师对于非常规的观点是欣赏还是鄙夷了。

事实上，对于“非正方形的矩形”或“非正方形的菱形”等范畴，我们需要在其严格数学定义与人们非正式的概念之间架起桥梁。更准确地说，当我们想起“菱形”时，总是无意之间假设那是“非正方形的”。当然存在正方形的菱形，但它们就像是特例，需要我们从“通常的”的菱形即非正方形的菱形中，加以区分。我们再一次来到了标记的世界。比如说，可以假设两个新的范畴，菱形₁与菱形₂，类比于车₁与车₂。正如有标记的范畴车₁把卡车排除在外，而无标记的范畴车₂将其包含在内，菱形₁把正方形排除在外，而菱形₂将其包含在内。

因此，每一个正方形都是矩形₂，而非矩形₁；每一个矩形（不论是第一类还是第二类）都是平行四边形₂，而非平行四边形₁。与上文的关系图相比，不同种类的四边形之间有了更复杂的关系，如图所示：

现在有了八个范畴，隶属于四个抽象层次。要想成为我们提到的“行家”，这八个范畴都需要掌握。要掌握这些范畴，一是需要理解严格、正式的数学定义；二是要结合不同的语境理解这些词。这样就不难理解为何这个问题会让学生们头痛不已了。

我们并不是在说上述的这种层次关系是一个明显的结构（比如说字母表），每一个理解四边形的人都把它背得滚瓜烂熟。恰恰相反，它一点儿也不需要死记硬背。对于一个有数学天赋的人来说，图中的每一条线都源自于对两个特定概念间联系的透彻理解，由此自然而然地就推出了全部的关系。颇具讽刺意味的是，这种界限分明的理解却建立在模棱两可的用词上：有时，可以看到一个正方形与一个矩形有着鲜明的对比；可在另外的情况下，却又被视作一种矩形。

上述这些表明，即使是在数学领域，人们期待着精确的陈述，还是经常会发生同一个词指代两个或是多个概念的情况，因而产生歧义。在上文的例子中，要想成为这个领域的行家就需要掌握多个范畴，比如说“非正方形的菱形”（即菱形₁）与“不论是否为正方形的菱形”（即菱形₂）。这些全部加起来，变成了八个范畴，比原先的多出来三个。因此，对于“正方形”“矩形”“菱形”“平行四边形”以及“四边形”这几个词指代的范畴，要想把它们之间的关系弄明白可不容易。

事实上，我们在法国进行的一项研究表明，大多数的大学生以及中学生并没有意识到这些范畴间的从属关系，很多人都直截了当地拒绝接受正方形是矩形或是菱形。如果有人问他们概念的定义时，他们甚至会凭空造出一些新的特征。比如，他们坚持认为“长方形的长要比宽更长”或是“长方形有两对等边，但不是四条边全部相等”，或是“菱形有四条等边，但是没有直角”。

上述情况表明，这些词最常见的理解，即无标记的含义，通常没被意识到，而学生们的那些即兴定义大都指向有标记的范畴，比如说，非正方形的矩形、非正方形的菱形等。这些学生（对于中学生来说这些可能是新知识，而对于大学生来说就是背景知识了）共有的特点是，他们心中都有着一个两层的关系图：四边形在最顶端，下面分别有着平行四边形、矩形、菱形，以及正方形。

有些学生的答案可能稍微复杂一些，他们会在中间加上一层，即平行四边形。因此，最顶层是四边形，中间层是平行四边形，最底层是矩形、菱形，以及正方形：

我们的研究表明，只有极少的参与者才能像行家似的，掌握着我们前文给出的四层结构。

如前所述，要想在某个领域成为行家需要掌握诸多范畴，并高效地管理它们。因此，要想充分地理解四边形，不光是要知道正方形、矩形、菱形以及平行四边形都是特殊的四边形；还需要知道它们之间的关系。高效地管理范畴是成为行家的关键，因为行家可不会局限于狭隘的技术领域。行家要对各个领域都有深刻的理解。每个人都是各自生活、工作以及兴趣爱好上的行家。准确来说，行家并不总是需要高度的创造性或是洞见，尽管有这些也无妨。