惩罚
人类发明了一系列富于创造力的惩罚对付违法者。较为常见的有死刑、拷问、打烙印、罚款、监禁、放逐、活动与职业限制、剥夺公民权。在美国，情节不重的违法主要通过罚款、间或以缓刑考验(3)，还有临时吊销驾驶执照等轻度限制及监禁来补充；情节较为严重的违法要综合运用缓刑考验、拘禁、假释、罚款和限制职业选择自由等惩罚手段。最近的一项调查对1965年平均每天接受缓刑考验、假释、监狱教化或少年教养处理的人数作了估计，受到上述处理的总人数约为1 300 000，约占劳动力的2%，大约一半属于缓刑考验，1/3属于监狱教化，其余1/6属于假释。
各种惩罚的成本可以与它们的货币等价物或价值相对照，当然可以用罚款直接衡量。例如，监禁成本是违法者放弃的收入同消费与自由之限制的价值的贴现值之和，由于放弃的收入和监禁限制之价值因人而异，所以，甚至一定时期的监禁判决的成本之取值也不唯一；对于在狱外能够谋取较高报酬的违法者来说，这一成本一般更大一些；[21]监禁判决的时间愈长，每个犯人付出的成本就愈大，因为放弃的收入及放弃的消费同判决时间长度正相关。
惩罚不仅影响犯人，而且影响社会其他成员。撇开征收费用不说，违法者支付的罚款能够成为别人的所得。然而，绝大多数惩罚既有损违法者又有损社会其他成员，例如，监禁需要警卫、监管人员、建筑、食物等方面的支出。目前美国每年仅用于缓刑考验、假释和教化方面的开支就多达10亿美元，一桩案件的日成本相差很大，成人假释较低，只有0.38美元，而青少年的拘留教化则高达11美元（Presidentp>
用以衡量社会损失，并假定
那么目标将是通过f、C或者b的取值使L达至最小。用较为限定的公式讨论问题更简单明了，即假定损失函数等同于违法、定罪及惩罚造成的实际收入的总损失，形如
bpfO项表示实行惩罚的社会总损失，这是因为bf为受到惩罚的每桩违法的损失，pO为（当独立的违法行为的数量相当大时）受到惩罚的违法数量。社会能够直接控制的变量是对付违法的支出费用C、对判定有罪的每桩违法行为的惩罚f以及用b表示的惩罚的形式。这些变量一旦赋值，通过D、C及O函数，便可以间接决定p、O及D，从而最终决定损失L。
为了便于分析，将p而非C视为决策变量，而且，系数b在这里也被视为大于0的已知常数，因此，p和f是仅有的决策变量，为取得最优值需要对L求导以得到两个一阶最优条件[22]
和
当Of和Op不为0时，用Of和Op约简，移项，得到一个更为有趣的表达式
和
这里
和
两个等式的左边表示增加违法数量O的边际成本：（21）式中由f的减少形成违法数量的增加，（22）式中则由p的减少形成违法数量O的增加，因为C′＞0且假定O在D′＞0的范围内，所以通过f增加O的边际成本必定为正。p的减少会部分地减少对付违法的成本，因而，当p减少时增加O的边际成本必定少于当f减少时增加O的边际成本（见图1）；当Cp充分大时前者甚至可以取负值。由－bpf给定的平均“收益”为负，但由（21）式和（22）式右边给定的边际收益不必然为负，如果弹性εp和εf小于1，则该边际收益为正。因为当边际收益等于边际成本时损失最小（见图1），所以εf的最优值必定小于1；当Cp充分大时，εp的最优值才会超过1。这与收入最大化厂商通常的均衡条件相反，由于假定通常情况下平均收益为正，所以通常的均衡条件是需求弹性必定大于1。[23]
图1
因为通过p的改变而改变的O的边际成本小于通过f而改变的O的边际成本，所以，p的均衡的边际收益也必定小于f的均衡边际收益。但（21）式和（22）式表明，当，且仅当εp＞εf时，p的边际收益的取值可以更小。如前所述，这正是表明违法者对风险持偏重态度因而“违法不合算”的条件。由此，如果p与f的取值在违法者总体说来对风险持偏重态度的范围内，那么，违法的损失就可以减至最小。虽然只有违法者的风险态度能够直接决定“违法合算”与否，但理性的公共政策通过p和f的取值间接地为“违法不合算”提供了保证。[24]
前面指出，美国重大犯罪的实际（用弹性衡量）的p对违法的影响超过了f对违法的影响，即，这时违法者对风险持偏重态度，“违法不合算”（Smigel, 1965; Ehrlich, 1967）。而且，两个弹性一般小于1，因而，从以上两个方面来说，实际的公共政策与最优分析的含义是一致的。
如果违法的供给只取决于pf——违法者对风险持中性态度——一个为f的同等百分比的增加所“补偿”的p的减少将不会改变pf、O、D（O）及bpfO，但会减少损失，其原因在于，逮捕与定罪成本因p的降低而减少，因而，通过任意降低p，使其接近于0，使f充分提高，以使乘积pf引致最优违法数量，使社会损失减至最小。[25]进而，如果违法者对风险持回避态度，那么，通过任意降低p使其接近于0，社会损失可降至最低，其原因在于，得到“补偿”的p的减少既减少C又减少O，因而也减少D和bpfO。[26]
18和19世纪的盎格鲁—撒克逊语系国家，甚至当今许多共产主义和不发达国家存在一种趋势，即对判定有罪者施行严厉的惩罚。同时，逮捕与定罪可能性取值很低。[27]这种趋势的合乎情理的解释是，增加定罪可能性明显会占用公共资源和私人资源，表现为更多的警察，法官、陪审团，等等，因而，这种可能性经“补偿”后的减少会明显减少对付违法的支出。由于预期惩罚不变，在损害数量或惩罚成本方面都不会有“明显”的补偿性增长，结果显然是实施不断的政治压力，一方面保持警察及其他支出相对较少，另一方面，通过对罪犯的严厉惩罚加以补偿。
当然，如果违法者对风险持偏重态度，通过p和f有限的正的取值，那么，即使经补偿后的p的减少没有补明显抵消，违法的收入上的损失通常也可以达至最小。脚注暗示了一种可能的抵消，即，如果惩罚过分严厉，法庭和陪审团可能不愿判决违法者。这意味着逮捕与定罪成本既取决于p和D，也取决于f。[28]如果，至少在某些取值区域，C对f比C对p更为敏感[29]，那么，即使违法者对风险持回避态度，在p与f的有限取值内收入的损失也可以最小。这时，经补偿后的p的减少不是使C更低而是使增加C，从而造成损失的增加。
如果损失函数并不简单地等同于收入上的减少，那么，回避风险也许与最优行为一致。例如，可以设想，在蒙受惩罚与不受惩罚的违法之间存在的事后“价格的差别待遇”的增加会增加收入损失，那么“补偿后的”p的减少会增加“价格的差别待遇”，由此增加的损失可以超过C、D和bpfO的减少。[30]
