[1]未予关注可能源于这样的观点，即认为非法行为太不道德，因此不值得任何系统的科学的关注。道德态度对科学分析的影响，马歇尔已经做了清晰的探讨。他认为由于存在边际效用递减，即使是公平的赌博也是一个“经济错误”，他说道：“这种快乐的损失必须比从赌博的刺激中获得的快乐少，我们再回到边沁用‘道德败坏’这个词来说明赌博的乐趣；经验表明，尽管可能带来更高和更稳定的生活乐趣，但赌博更容易让一个人变得不安分、性情狂燥、不适合稳定的工作。”（Marshall，1961，数学附录，注释X）
[2]1959年，13个州的这方面支出约200万美元，见Landes（1966）。
[3]表面上，欺诈、偷窃等无法得出真正的社会成本，但换个角度，可用受害者的损失来衡量，而受害者的损失可由等量的犯罪收益来补偿。转换后，犯罪收益的市场价值就是直接社会成本的一个估计值。如果偷窃和欺诈行业是“竞争的”，犯罪时间投入的总价值——包括在看守所和监狱呆的时间——加上资本投入的价值，对风险的补偿等，可以大致等值地估计受害者损失的市场价值。结果是，除中间产品投入，受害者的损失，相当于是犯罪的真实社会成本，可以通过衡量对犯罪投入的劳动和资本的总价值来估计。
[4]对1929年使城市化和收入增长受压的持续性衰退的分析，见Cagan（1965，chap.iv）。
[5]1929年，纸币结算与消费支出之比仅为0.05，1965年，这一比值为0.08，1965年每个家庭的纸币结算高达738美元。
[6]Cagan（1965，chap.iv）将1929—1960年纸币持有量的增加归功于因税率上升引起的逃税漏税。
[7] 下标i是有限制的，为了说明，讨论的只是一种活动。
[8]根据犯罪委员会的报告，85%—90%的警力成本是警察的工资和津贴（Crime Commission, 1967a, p.35）。
[9]犯罪委员会的工作小组报告涉及了更好的、更有效率的先进技术的应用方面的建议（Crime Commission, 1976e）。
[10] 对成本函数求导，有Cpp=C″（hp）2+C′hpp；Coo=C″（ho）2+C′hoo；Cpo=C″hohp+C′hpo。若边际成本上升，Cpp或Coo为负的必要条件是hpp或hoo大大小于0，这种可能性很小，然而，Cpo近似为0的必要条件是hpo大大小于0，这也是不可能的，请注意，如果“活动”只用定罪衡量，则有hpp=hoo=0，以及hpo＞0。
[11]7项犯罪即：故意杀人、暴力强奸、抢劫、严重暴力伤害人身、入宅行窃、一般盗窃、汽车偷盗。
[12]例如，Shawness（1965）曾说道：“一些法官将所有精力都放在惩罚的手段上。这虽说也是他们的本职工作。但是，这样做并未像他们预想的那样，能在很大程度上阻止犯罪。侦查过程的确定性远比惩罚的严厉性重要。”也可参考18世纪意大利经济学家和犯罪学家C. B. Beccaria的观点（Radzinowicz, 1948, I, 282）。
[13]然而，可参阅Smigel（1965）；Ehrlich（1967）。
[14]关于这些范畴的讨论，可参阅Sutherland（1960）。
[15] pj和fj均可视作取决于法官、陪审团和检控官等的分布，在合适的j取值内。ui取决于p和f对其他竞争性犯罪的惩罚。犯罪者会替代犯罪行为的证据，见Smigel（1965）。
[16] 违法的预期效用定义为
EUj=pjUj（Yj-fj）+（1-pj）Uj（Yj）
这里，Yj表示违法者j从违法行为中获得的货币及心理方面的收益；Uj表示其效用函数，fj可以理解为j受到惩罚的货币等价物，于是
和
只要收入的边际效用为正。通过纳入某些因素的成本与可能性，便可以将分析予以扩展，这些因素是逮捕、拘禁，以及未能定罪的审理。
[17] EYj=pj（Yj-fj）+（1-pj）Yj=Yj-pjfj。
[18] 这意味着fj的减少可以“补偿”pj的增加，这种变化将减少效用和违法。
[19] 由注释[16]
当
等式左边为Yj-fj和Yj之间效用的平均变化值。当时，上式大于、等于或小于U′j（Yj-fj）。对风险的偏重中性和回避态度分别用U″j＞0，U″j=0，U″j＜0加以定义。
[20] p可以定义为pj的加权平均值，有如
对f和U也有类似定义。
[21]从这个角度看，监禁是一个以排队定价的“等待时间”的特殊例子（Becker, 1965, esp.pp.515—16; Kleinman, 1967）。
[22] 数学附录将分析第二个条件。
[23] 因此，如果b＜0，平均收益为正，εf的最优值大于1，且只有Cp足够大时，εp小于1。
[24] 若b＜0，则最优条件为εp＜εf，就是说，违法者对风险持回避态度，最优社会政策即在“违法合算”的范围内选取p与f的值。
[25] 若O只依赖pf，由于εf=εp=ε，当p=0，C=0，由（21）式和（22）式给定的均衡条件合二为一
由此，以及关系式O=O（pf），可以决定O及pf的均衡值。
[26] 若b＜0，最优解为p≈0，如果违法者对风险持中性态度或偏重态度，f可以取任意高的值。
[27]关于18与19世纪英国刑法的研究，可参考Radzinowicz（1948，vol.I）。尽管那时合法的死刑判决很少对不太严重的犯罪施行，但惩罚还是非常严厉的。
近期，越南判定一位有名的商人在大米上“投机倒把”，同时，最近一些苏联监狱中的经济犯也被处以严厉的刑期惩罚。
[28]此处应强调Evsey Domar的贡献。
[29] 尤其是对更大的f和更小的p。
[30] 若p为违法者受到惩罚的可能性，则1-p为违法不受惩罚的可能性，预期惩罚为μ=pf，方差σ2=p（1-p）f2，方差系数
当p=1，v=0；当p=0，v→∞
若损失函数为
L′=L+ψ（v），ψ′＞0
最优条件则为
和
因为ψ′（dv/dp）（1/Op）为正，它将充分抵消小于O的Cp（1/Op）。
[31]我在这里先强调，是因为边沁的“惩罚的确定性越含糊，惩罚可能就越严厉”说法（1931b，chap.ii，名为“惩罚”的部分，第二条）。边沁的说法有可能成立，当p（或f）外生决定，且L的最小化仅由f（或p）来决定，那时f（或p）的最优值与给定的p（或f）值反向变动（见数学附录）。若L的最小化仅由f和p共同决定，它们一般正向变动。
[32]“如果一个嫌犯既没有被受害人指认，也没有被以犯罪的名义逮捕，想要再逮捕他的可能性就很小了”（President's Commission, 1967e, p.8）。这个结论是基于1966年1月对洛杉矶部分地区进行的犯罪研究。
[33]参见Becker（1962）的分析，他认为，较“理性”的人而言，易冲动的及其他“非理性”的人更多地被制止购买价格已经上升的商品。
[34] 通过斜率Op，供给弹性在（22）式中依旧被保留，因为初始价格并不会影响边际成本，但在此处，通过p会影响到C。
[35]“惩罚的痛苦必须超过犯罪带来的收益。”（Bentham, 1931b，第一条）
[36]所谓“受害者”意指社会其他部分，而不仅仅限于实际蒙受伤害的人。
[37]这一结果也可以从数学附录的关于C增加的影响的特别例子中得出。
[38] 由于均衡要求f=G′（），且由（28）式有
D′（）=H′（）-G′（）=-C′（，1）
直接替代，得（29）式。
[39] 就是说，如果下式合乎情理，
那么
和
[40]早期的一些关注犯罪学的作家就认识到了罚款的优越性。例如，“金钱惩罚是非常经济的，因为支付罚金的人所感受到的痛苦，转化为接受罚金的人的收益”（Bentham, 1931b, chap.vi），以及“监禁在早期（如10世纪）看似是一个无用的惩罚；它并不能满足复仇的需要，它让犯人无所事事，我们所做的一切是昂贵的。”（Pollock and Maitland, 1952, p.516）
[41] 另一方面，包括食物、衣服和住宿场所等形式的转移支付。
[42]边沁认识到这点，他说道“提供受害方的赔偿额是一项惩罚的另一个重要特征。它一举可以完成两个目标——惩罚罪犯并补偿其犯罪行为：消除第一阶段的邪恶，且能停止受害人报警。这是金钱惩罚的一个明显的特征。”（1931，chap.vi）
[43] 同样的，社会对征兵有强制转移，如对一些对退伍军人的额外支付，主要体现在教育、奖金及住院治疗的权利等。
[44]参见Sutherland（1960，pp.267—68）列示的一些经济活动。
[45]早期的英国法非常重视货币罚金，甚至对谋杀也是。“每一种人的每一种击打或伤口都可以定价，大部分的法理学必须有这种预设的价格知识。”（Pollock and Maitland, 1952, p.451）
在最近的动画片Mutt and Jeff中也体现了类似思想，一辆警车上有这样的标语：“限速30英里/小时——每超速1英里罚款5美元——选择你能承受的速度。”
[46]例如，边沁说道：“金钱惩罚，如果总量固定，是最不平等的……罚金的决定并不考虑犯罪的收益或其带来的痛苦，或罪犯的经济状况……金钱惩罚应该根据罪犯的财富调节。它不应该是一个绝对量，而应该是根据犯罪的行为、罪犯的财富制定的相对量。”（1931b，chap.ix）注意到，根据（29式）确定的最优罚金额，确实考虑到了“犯罪的收益”和“其带来的痛苦”。
[47] 注意到，利用时间来减少给定判罚的可能性与收入无关，因为判罚是固定在时间上，而不是货币上；同理，利用金钱来减少给定罚金数额的可能性也与收入无关，因为判罚是固定在货币上，而不是时间上。
[48]在某一研究中，一般的违法者不能支付罚款（President明智的辩护理由，如惩罚性赔偿金是已定罪的损害的3倍。
[56] 古典学说认为，D′（M）恒大于0，这里，M衡量各种贸易限制，D′衡量边际损害，批评的观点认为，对某些M而言，D′（M）＜0，如前文所述，若D′恒大于0，则补偿罚款会挫败各种违法，即各种贸易限制，若D′有时小于0（除非侦破与定罪的边际成本相对D′充分大，否则），某些违法会依然存在。
[57]Harper和James说道：“有时（罚金）可以以一个比较合理的水平衡量出来。但是，它通常也仅仅只是一个对个人伤害的数字性和推测性的结果。因此，当下的目标是，法律至少应规定一个大致的关于损害、伤害程度与对应罚金数额之间的关系。”（1956，p.1301）
[58] Ck的增长——Oj和C保持不变——会解决对j造成的损害，因为对k的损害也大部分可以被解决。
[59] 不同于预期社会损失，预期私人损失往往有相当大的差异，因为针对任何单一个体的独立的犯罪行为毕竟是少数。若j不是风险中性的，L可能需要被调整以包含一个依赖于bjpjfjOj的分布的变量。
[60] 我已经假设
换句话说，j非常“不重要”以至于不能影响其他成员的支出。看似有理，实则是建议由（21）和（22）式给出的最优条件需要调整。因为公共支出的影响依赖于私人支出，既然公共支出足够“重要”以影响私人的行动，（22）式则需调整
对（21）式也如此操作。“这里的”概率p是pj的加权平均值。（22′）式暗含一个推论，公共支出的增加可部分地被由此引致的个人支出的减少抵消。
[61] ep＞ea的充分必要条件为
这里，
（见第9章第271—272页上的分析）对（2′）式微分，可将（1′）写作
或
但是，若处处U″＜0则（4′）成立，若处处U″≥0则不成立。
[62]这些成本不是微不足道的。例如，1966年仅美国专利局一家就花掉3.4亿美元（Bureau of the Budget, 1967），在申请的准备和诉讼方面的支出可能更多。
[63] 在基础研究中专利不被许可的原因可能是，新概念和定理的所有权的发现（即成本）很有难度。
[64]（34）和（35）式的右边都可以设为0，即最优条件变为：
和
由于上述两个公式对任意p1和a的有限值都无法满足，因此在p1和a之间分配奖金有困难（参加第五部分关于罚款的类似分析）。
[65] 用符号表示，效率可定义为
这里，，及表示最优值，若p=f=0，则产生违法O1，O2为使D最小的O值。
[66]较少“计算”的犯罪行为对p和f变动的影响也较少，关于这个论断也存在理论上的争论，参加Becker（1962）。
[67]1966年1月对洛杉矶部分地区进行的犯罪研究发现，“超过半数的逮捕是在犯罪发生后8小时内进行的，2/3在一周内进行”（President's Commission, 1967e, p.8）。
[68]与实际效率相关的、但不一定是最优的证据，以及白领犯罪的惩罚，可参加Stigler（1962，1966），Landes（1966）以及Johnson（1967）。
[69]Jacob Mincer第一个向我建议此方法。
[70]一个从这些角度对辛迪加的解释可参见Schilling（1967）。
[71] 若Ep和Ef是常量，O=kp-αf-b，其中a=1/Ep且b=1/Ef。因此有
和
[72] 若
（D″+C″）（1-Ep）+bp（1-Ef）（1-Ep）fO＞（D″+C″）（1-Ef）+bf（1-Ef）2pO
或
（1-Ep）Δ项可能大于（1-Ef）Σ。因为左式大于0，右式小于0，不等式肯定成立。
(1)重印自theJournal of Political Economy76, no.2 (March/April 1968); 169—217. 1968 by The University of Chicago。
(2)在本文中，犯罪与违法的含义同一般情况下的含义有所不同，进一步说，这两个范畴在本文中是混用的。——译者注
(3)指对判处轻刑的犯人根据犯罪情节，认为适用缓刑可保不再危害社会的，可以宣布缓刑，用缓刑考验来代替服刑。——译者注
(4)在美国指监视缓刑犯的官员。——译者注
