条件证明（CP）
条件证明（conditionalproof,CP）既是一条规则，也是构建演绎推论的策略。它建立在下面的观念基础上：如果我们要构建关于假言判断P→Q的演绎推论，我们证明的是什么呢？我们证明的是“如果P为真，那么Q也为真”。实现这个目标的方法之一就是假设P为真（也就是说加上P作为附加的前提），然后证明在这个假设基础上Q也必定为真。如果我们能做到这一点——在假设P之后证明了Q，那么，我们也就证明了如果P那么Q，或者是P→Q。让我们先通过例子看如何进行这种证明；然后再作解释。
使用CP作为新规则的方法是：在给定的前提之后，直接记下我们想要证明的假言判断的前件，并给推理串的这个步骤的编码画上圈；在该行的注释中，标明“CP前提”。下面就是范例：
在证明了所需要的假言判断的后件之后，接着写下整个假言判断。然后，在推理串左边的空白处画上一条线，把画圈的前提和我们由此推出后件的那一行连接起来（看下面的例子）。在推出整个假言判断的最后一行的注释中，列出从划圈的行到假言判断后件的那一行并标出CP规则。在推理串左侧空白处用连接线把先前的CP前提与从中推导出后件的那个步骤连接起来，意味着我们不再把假设作为前提，自此，该假设已经是最后一行中的假言判断的前件了。这就是所谓的消除假设前提。下面就是整个过程：
结合上例，我们继续对条件证明作如下解释。让我们把要证明的结论设想为：根据两个已有的前提，如果再有～P，就能得到R。证明它的方法之一就是假定有～P，然后看能否得出R。在推理串的第三行里，我们做的正是：设定～P。给这一行画圈的意思是，指出这是我们设定的前提（我们的“CP前提”），因此它是我们完成证明之前必须要消除掉的前提。（我们不能发明、运用和保留任何自己喜欢的前提——如果那样的话，我们就能证明一切。）一旦我们设定了～P作为前提，得出R就容易了！第4步和第5步都是显而易见的（如果不是，说明你需要熟练推理规则）。在从第3步到第5步的过程中，我们已经确实证明了如果有了～P，就能得出R。所以记下第6步就是合理的，因为第6步所表达的正是：如果～P，那么R。
一旦我们得出了假言判断～P→R，就不再依赖CP前提，所以我们在推理串左边空白处从CP前提到由之推出的最后一步画上连接线，表明消除了这个设定的前提。
下面是运用CP规则的一些重要规定：
1.CP只能用于推出假言判断：在消去CP前提以后，接下来的一步必须是假言判断，它以其在先的步骤为后件，以CP前提为前件。（注意：许多判断和假言判断都是等值的。比如，要得到（～PV Q），只要先证明（P→Q），然后运用蕴涵析取律IMPL。）
2.如果在一次推理中不止一次运用CP规则——也就是说，如果引入不止一个CP前提，它们必须以与引入假设相反的顺序依次消去。这意味着从不同的CP前提处引出的消除假设前提的线必须不能互相交叉。看下面的例子。
3.一旦一个CP前提被消去了，从该前提推导出的任何步骤——那些步骤被左边空白处画的线包围起来——都不能再用于该演绎推理。（它们依赖于CP前提，而且，它已经被消去了。）
4.所有的CP前提都必须被消去。
听起来CP规则运用的规定有些复杂，但实际运用时并非如此。看完下面的例子，回头参考这些运用CP的规定，就会直观一些。
下面运用CP的例子中，有两个附加的前提是假设的，并且以相反的顺序被消去。
注意，在第5步加上的附加前提在第8步完成的时候消去了，而第10步完成的时候第3步的前提消去了。再一次注意：无论何时消去假设前提，你必须让这个判断成为演绎推理中下一步中假言判断的前件。（你若尝试不使用CP来完成前面的演绎；就会庆幸可以运用这个规则，虽然看上去掌握这条规则有些困难，但使用CP让许多演绎推论得以简化。）
再看一些运用规则CP的实例：
下例中先后运用了两次CP规则：
下例中，一个CP出现在另一个CP的“内部”：
在结束本章之前，应该指出，真值函数逻辑体系具有重要理论意义的两个特征：可靠性和完全性。一个逻辑系统是可靠的（对我们这里的目的而言这是最重要的），就是指按照该系统的规则构造的每一个演绎推理都是有效的论证。换句话说，就是没有一个或一系列演绎推理会让我们从真的句子开始，却以假的句子结束。
说一个体系是完全的，是指对于任何一个（或者可能的）有效的论证而言，都可以通过该系统的规则，从论证的前提演绎出论证的结论。也就是说，如果结论C的确可以从前提P和Q中有效地推出，那么一定可以构建这样的演绎推理，该推理从P和Q开始，以C结束。
还可以构建其他既可靠又完全的系统，而且系统的规则比我们所介绍的系统可以少得多。然而，在那样的系统中，建构推理却往往很难。尽管我们介绍的系统中有相当多的规则，但你一旦掌握了它们，构建证明就不太困难。所以在一定程度上，每一个逻辑系统都基于一种权衡。你可以采用小巧而精致的系统，但它们难以运用；或者你可以采用庞大而不那么精致的系统，但实际运用起来更有效率。（就某些目的而言，较小的系统往往更有效率，但本书的目的与之不同。）
总结
□真值符号，各真值符号的真值表，以及与真值符号相对应的自然语言联结词“并非”“并且”“或者”以及“如果……那么”。
□真值函数的符号形式也可以表达电子集成线路，因为句子的“真”和“假”可以对应于线路的“开”和“关”。
□可以通过四个真值函数符号和代表判断的字母来刻画自然语言句子的符号形式，需要注意的是要准确地刻画。
□通过真值表法和简化真值表法可以确定一个给定的真值函数论证是否有效。
□有效论证的基本模式和真值函数的等值式有助于判定有效的论证。
□通过建构演绎推理可以证明真值函数论证的有效性，所运用的规则包括有效论证的基本模式、真值函数的等值式以及条件证明规则。
