9.3 真值函数论证
直言三段论（在第8章里讨论的）共有256种形式。而真值函数的论证形式则可能是无穷多。尽管如此，检验真值函数论证（truth-functionalarguments）是否有效的方法足以检验任何一种真值函数论证。接下来，我们将介绍三种检验方法：真值表法、简化真值表法和演绎法。
让我们先复习一下“有效”概念。一个论证是有效的，当且仅当前提为真能保证结论为真——也就是说，如果前提为真，结论就不可能为假。（记住，逻辑并不关注前提实际是否为真。）
真值表法
运用这种方法检验论证是否有效，需要熟悉四种真值函数符号的真值表，所以，请做必要的复习以确保你清楚地理解相关知识。这里仅介绍如何运用这些方法——建构论证的真值表，是罗列各判断变元真值的所有可能情况；然后看是否存在如下可能：前提为真（作为前提的每一个判断都真）而结论为假。如果有这种情况——只要真值表里有一行就足够了，那么这个论证就是无效的。
让我们看一个简单的例子。令P和Q代表任意两个判断，下面是用符号表达的论证：
该论证的真值表为，前提中每个部分设为一列，最后一列代表结论：
真值表的前两列排列了论证中判断变元真值组合的所有可能情形。第3列和第4列分别是论证中的两个前提，第5列是论证的结论。每一行中前提及结论的真值决定于该行中判断变元的真值。请注意，在这个真值表的第三行，两个前提都是真的，而结论却是假的。这就告诉我们该论证有可能前提为真而结论为假；因此，这个论证是无效的。无论判断变元P和Q代表什么，具有这一模式的论证都是无效的。下面是此类论证形式的一个实例：
如果圣徒队打败了四九人队，那么巨人队就会进入季后赛。但是圣徒队不会打败四九人队，所以巨人队不会进入季后赛。
用S代替“圣徒队打败了（或将打败）四九人队”，用G代替“巨人队就会进入（或将进入）季后赛”，我们可以用符号表达该论证：
第一个前提是假言判断，另一个前提否定该假言判断前件，结论否定该假言判断的后件。该论证的结构与上述我们给出了真值表的论证完全一样；所以，它也是无效的。
让我们再看一个例子：
将有大量北极气团（A）流向中西部，除非急流（J）向南移动。可惜，急流不可能向南移动，所以，北极气团将流向中西部。
用符号表达为：
这个论证的真值表为：
注意，该真值表的第3列代表的是论证的第一个前提，第4列代表第二个前提，判断变元中的一个（也就是第一栏）代表结论。我们要知道这个论证是否有效，就是看有无可能其前提为真而结论为假，如果有这样的可能性，那么在真值表中会表现出来，因为真值表罗列了判断变元A和J真值组合的所有可能情况。该真值表只有在第二行里，前提都是真的，检查该行中的结论A就会发现，在该行里结论也是真的。因此，没有这样一种可能，其中前提为真而结论为假。所以，该论证是有效的。
下面是一个复杂些的例子：
如果斯嘉丽在该案中有罪，那么怀特夫人肯定没有锁后门，并且上校肯定在十点之前就寝。然而，或者怀特夫人锁了后门，或者上校在十点之前并没就寝。因此，斯嘉丽无罪。
为表示这个论证的形式，我们用字母表示简单判断：
S=斯嘉丽在该案中有罪。
W=怀特夫人没有锁后门。
C=上校在十点之前就寝。
用符号来表达这个论证：
让我们思考处理这个论证的方法。你在阅读的时候，参考上面符号化的论证。注意第一个判断是假言判断，前件为“斯嘉丽在该案中有罪”，后件是一个合取判断。回想一下合取判断的真值表就会发现，要使得该合取判断为真，“怀特夫人没有锁后门”和“上校在十点之前就寝”必须都为真。而第二个前提是一个析取判断，告诉我们或者怀特夫人锁了后门或者上校在十点前并没就寝。但是如果这两个析取支中有一个或两个是真的，那么前面的合取判断中至少有一个支判断是假的，所以不会出现合取判断的支判断都是真的。这就意味着符号W＆C所表达的合取判断一定为假，即假言前提的后件就是假的。在这种情况下，怎样才能使假言前提为真呢？唯有其前件也为假，也就是说，结论“斯嘉丽无罪”肯定是真的。
前3列是个判断变元，第7列和第8列是论证的前提，第9列是论证的结论。第4、5和6列分别是判断形式的各构成部分；我们如果足够熟练，可以省略这些，但列出它们让计算第7列和8列的真值更为简单。
只要填满了真值表，评估论证是否有效就简单了。只要看是否能找出前提为真而结论为假的一行。只要能发现这样一行，就足以证明论证无效。
该例中，我们发现只有在真值表的最后三行中前提都是真的。而这几行里，结论也是真的。所以不存在这种情况——真值表里没有这样一行，其中前提都是真的而结论为假。因此，该论证是有效的。
现实生活 戈尔的连锁论证
如果政府不尽快采取行动（没有迹象表明他们将采取行动），二氧化碳排放将导致全球气温的可怕升高，果真如此，将会引起一系列灾难，灾难的发生将导致这个星球不再适宜人类生存。不幸的是，我们的地球可供人类生存取决于政府的及时行动，但到目前为止，没有迹象表明政府准备采取行动。
——戈尔言论的夸张版
注意：这段言论是两个连锁论证。
简化真值表法
尽管通过完整的真值表总是能准确地判断真值函数论证是否有效，但它也是相当冗长繁琐的工作。幸运的是，有一种更简单易行的方法可以帮助我们找到答案。这种判定真值函数论证有效或无效的简单易行的方法就是简化真值表法。该方法背后的理念是：如果一个论证是无效的，那么在论证的真值表中至少有一行是前提为真而结论为假。简化真值表法就直接去寻找真值表中的这一行。请看下面的论证形式：
先看论证的结论：结论是假言判断，只有一种方法使其为假，即：使其前件为真而后件为假。为满足这一点，就要令P和R都为假。
在结论为假的条件下能让两个前提都真吗？只要Q为真，就可以满足这一点。也就是：
判断变元的这种真值组合使得两个前提都真而结论为假，因而证明了这个论证是无效的。我们不必繁琐地创建整个真值表而只给出能证明论证无效的相关一行。如果论证是有效的，我们就无法找到这样一行。
下面说明对于有效的论证如何运用这种方法：
使得该论证结论为假的唯一方法是让S为真而R为假，所以要做如下赋值：
既然S为真，为使第二个前提为真就要Q为真。由此继续赋值：
但基于上述真值，根本不可能使得第一个判断为真，既然P∨Q为真（既然Q为真）而R为假。因为除上述赋值方法外，没有其他方法使得结论为假而第二个前提为真，又因为这种赋值方法无法使得第一个前提为真，所以我们就能得出结论：该论证有效。
有时候，可能有不止一种方法让论证的结论为假。例如：
因为该论证的结论是合取判断，如果有一个或两个合取支为假，它就为假，这就意味着如果从结论入手，我们可以让S为真而T为假，S为假而T为真，或者S和T都是假的。但我们要尽可能避免麻烦，所以我们要看是否可以从其他地方入手。（记住：该方法的理念是试着给字母赋值，使得前提为真而结论为假。如果我们能做到，论证就是无效的。）
在这个例子中，要使得第一个前提为真，我们必须给字母P赋真值。因为前提是一个合取判断，而要使它整体为真，它的两个部分必须都为真。那就是我们寻找的东西：在那里我们被要求给一个或更多的字母赋真或假的值。我们赋值之后，看看它们给我们什么线索。在这个例子中，一旦我们给P赋真值，就可以发现为了使第三个前提为真，必须使得T为真（因为前件真且后件假使该前提为假，而我们要努力使每个前提为真）。在使T为真之后，我们发现要使得结论为假，S必须为假，所以我们就这样给S赋值。这个任务几乎做完之后，我们只要给Q和R赋值就行了。
还有其他字母让我们可以确定地赋值吗？是的：我们必须使得R为假从而使得第二个前提为真。在做完这步赋值之后，就会发现Q必须为真才能保证第一个前提为真。所有判断变元的赋值情形为：
这就是该论证的真值表里的一行——也是唯一的一行，该行的字母真值使得论证的所有前提为真而结论为假；因此，这一行就证明了该论证是无效的。
洞察 常见的真值函数论证模式
有些真值函数模式在我们的思维中如此常见，以至于我们没有意识到这种运算的存在。下面成对罗列的分别是三种常用的有效的论证模式及其对应物，貌似有效推理而其实不然。识别并区分它们有助于我们进行正确的推理。
上例中，第一个前提可以让我们确定地给一个字母赋值。有时候结论或任何一个前提都不能让我们确定地给任何字母赋值。遇到这种情形时，我们必须借助试错法：通过一种赋值让结论为假（或一些前提为真），看看能否使得前提为真而结论为假。如果不能，就进行另一种赋值。如果所有赋值情形都不能使得前提为真而结论为假，那么这个论证就是有效的。
通常，真值表里有不止一行使得前提为真而结论为假，其中任何一行都可以证明论证无效。不要形成错误的观念：即仅仅因为有一行前提都真而且结论也真，就认为结论能从前提中推出，即论证有效。要证明论证有效，必须是所有前提为真的行中，结论都为真。
复习：试图给判断形式中的字母赋真假值，使得所有的前提为真而结论为假。可能有不止一种赋值可以做到这一点；其中任何一种赋值都可以证明该论证是无效的。如果不可能使得前提为真而结论为假，那么该论证就是有效的。
