9.1 真值表和真值函数符号
我们的“逻辑词汇表”将包括判断变元和真值函数符号。我们先介绍用字母来代表判断。然后再讨论核心问题——真值表及其符号。
判断变元（claim variable）
在第8章，我们用大写字母代表直言判断中的词项。本章中，我们用大写字母代表判断。接下来的讨论中，我们主要关注诸如“并非”、“并且”、“或者”等词语在判断中所起的作用，以及它们如何联结简单判断从而构成复合判断。请不要混淆：在第8章中，大写字母表示词项，在这里大写字母表示判断，所以这些字母被称为判断变元。
真值表（truth table）
在真值函数逻辑里，任何给定的判断P不是真的，就是假的，没有其他可能。下面的图表是真值表，它罗列了P的真值的两种可能情形（T表示真值为真，F表示真值为假）：
可以利用真值表来定义真值函数符号：无论判断P的真值如何，其负判断或矛盾判断（用符号～P表示）的真值与之正好相反。因此，负判断（negation）的真值表为：
上述真值表左边一列展示了P判断真值的两种可能情况，而右边一列是基于P的真值而得出的～P的真值情况。这就是对否定符号“～”的定义。在P前面加“～”这个符号意味着“改变P的真值，即从T变为F或从F变为T”。我们把～P读做“非P”。如果P表示“帕克在家”，那么～P就表示“帕克在家不是事实”或“帕克不在家”。
因为任何给定的判断非真即假，对于两个判断P和Q而言，其真值情形的四种组合分别为，两个判断P和Q都真、都假或它们的真值正好相反，其中一个为真，另一个为假。具体如下图所示：
□语词“和”的运用，有时会引起有趣搞笑的效果。上图中，布鲁塔斯要问的是“几个男孩？几个女孩？”杰克却以为它要问的是“几个是男孩或女孩”。当然甚至还可以做第三种理解：“几个既是男孩又是女孩”。当然，没有。
合取判断（conjunction）是由两个（被称为合取支的）简单判断构成的复合判断：当且仅当构成它的两个简单判断（合取支）都为真时，合取判断为真。合取判断的一个例子是“帕克在家而摩尔在工作”。符号“＆”把两个合取支P、Q联结起来，表达“P且Q”。合取判断的真值表为：
P＆Q只有在第一行才是真的，其中P和Q都是真的。请注意，第一行的“真值条件”与上文所陈述的真值条件是一致的。
另一种记住合取判断如何运作的方法是：只要有任何一个合取支是假的，那么这个合取判断就是假的。还要记住，尽管在日常语言中与符号“＆”最贴近的词是“并且”，但也还有其他词可以用符号“＆”来正确地刻画，比如“但是”、“而”及“尽管”等。如果P表示“帕森斯在上课”、Q表示“昆西缺席了”，那么“尽管昆西缺席了，帕森斯在上课”就应该表示为P＆Q。因为只有在一种情况下这个复合判断才为真：即两个构成部分都为真。而符号“＆”作为联结词表达的正是这个意思。
析取判断（disjunction）是由两个（被称为析取支的）简单判断组成的复合判断。当且仅当两个析取支都假时，析取判断为假。例如：“帕克在家或摩尔在工作”。用符号来表达析取判断时，符号“∨”用来代表析取判断的联结词，在日常语言中，与符号“∨”最贴近的词是“或”。析取判断的真值表为：
请注意，析取判断的真值只有在最后一行才是假的，该行中，它的两个析取支都是假的。在其他三种情况下，析取判断都是真的。
由两个简单判断构成的第三种复合判断是假言判断（conditionalclaim）。在日常语言中，通常用词语“如果……那么……”来表述条件，例如：“如果帕克在家，那么摩尔就在工作。”
用箭头符号“→”来表示假言判断的联结词，假言判断的符号形式是：P→Q。假言判断中的前一个简单判断即P，是前件（antecedent），而第二个简单判断，即Q，是后件（consequent）。当且仅当前件为真而且后件为假时，假言判断为假。假言判断的真值表为：
只有在第二行中，即前件P为真而且后件Q为假时，假言判断的真值才为假。其他所有的情况下，假言判断都是真的。
在四种真值函数判断——负判断、合取判断、析取判断和假言判断中，最让学生费解的是假言判断。让我们通过实例来进一步了解假言判断的性质。假设摩尔向你承诺，如果他上午拿到薪水，中午就请客。这可以表达为假言判断：
如果摩尔上午拿到薪水，那么他中午请客。
我们可以分别用P（表示摩尔上午拿到薪水这个判断）和L（表示摩尔中午请客这个判断）及联结词符号把上述判断表达为：P→L。为了理解假言判断的真值表，让我们问自己一个问题：在什么情况下摩尔违背了他的诺言？稍加思考就会得出：在说摩尔违背诺言之前，必须有两件事发生。首先，他确实在今天上午领到了薪水（毕竟，他没有说如果没有拿到薪水他也会这么做）；另外，他领到了薪水之后中午却没有请客。这两个条件加起来才使得摩尔最初的诺言为假。注意：在其他任何情况下，我们都不能说摩尔违背了他的诺言。这就是为什么假言判断的真值表中只有一种情况为假，该情形就是：前件为真而且后件为假。在图9-1中总结了关于所有四种联结词符号的基本信息。
图 9-1 四种基本的真值函数符号
这些真值函数符号可以组合起来运用。例如：“如果波拉没有去上班，那么昆西就不得不连上两个班。”我们分别用判断变元来表示这两个判断：
P=波拉去上班。
Q=昆西必须连上两个班。
这样就可以把上述复合判断用符号表示为：
～P→Q
这个符号表达式的真值表为：
注意：判断形式～P→Q的真值表只有最后一行为假。因为这一行并且只有这一行，前件～P为真而后件Q为假。注意，运算是由简单到复杂以至最复杂逐步进行的：在给定的一行中，P的真值决定了～P的真值，继之，～P的真值和Q的真值一起共同决定了～P→Q的真值。
再看另一例子：“如果波拉去上班，那么昆西和罗杰斯会放一天假。”这个判断可用符号表示如下：
P→（Q＆R）
这个判断形式中需要使用圆括号，以避免与判断形式（P→Q）＆R相混淆，后者是另一个不同判断的形式，它们的真值表也各不相同。我们所讨论的判断是一个后件为合取判断的假言判断；而（P→Q）＆R是一个合取判断，而其中的一个合取支是假言判断。圆括号使得这点清晰化。
为建立判断形式P→（Q＆R）的真值表，我们需要知道一些准则。首先，要知道如何列出关于三个简单判断P、Q和R的真值组合。只有一个字母的简单判断形式的真值有两种可能性：真和假。由两个字母构成的复合判断形式中，真值有四种可能性。复合判断形式中每增加一个字母，各判断变元的真值组合的可能性就要在以前的基础上加倍，真值表的行数也因此加倍。判断一个复合判断形式的真值表的行数的公式是r=2n，其中r是表格的行数，而n是判断形式中的字母数。因为我们正在讨论的判断形式中有三个字母，其真值表就有八行，每一行所列的都是P、Q和R的一种可能的真假组合。下面就是这八种真值组合的可能情况：
创建这样一个真值表的系统方法就是在最右边的一栏里依次填写T和F，然后在其左边一栏里两个一组地依次填写T和F，再在其左边的一栏里四个一组地依次填写T和F，如此类推。最左边的一栏总是先列总行数一半的T，然后列总行数一半的F。
列出了判断变元真值组合的可能情况之后，就要计算在每一具体情况下（即真值表的每一行中）复合判断的真值。一个复合判断的真值完全依赖于它的组成部分的真值；如果这些部分自身也是复合的，其真值又依赖于它的组成部分；如此类推，直到依赖于单一字母的真值。
洞察 自测
上述各卡片一面是字母，另一面是数字。各卡片上的符号须遵循如下规则：“如果一面是元音字母，则卡片的另一面是偶数。”
问题：为检查上述卡片是否遵守了这个规则，至少要翻看几张卡片来检查？（不少学生并没有顺利通过这个简单的批判性思维测验。）
让我们建立P→（Q＆R）的真值表，并看看它是怎样运作的。
真值表左边的三列，也就是P、Q和R下面的三列，是我们的参考列，它们是按照我们上面讨论过的方式建立起来的，决定着真值表中其他各列的内容。根据第二和第三列（也就是Q和R下面的列），我们可以给Q＆R下面的一列填上内容。注意，这一列仅仅在第一行和第五行为T，因为该行中Q和R都是真的。接着，根据P下面的一列和Q＆R下面的一列，我们可以给最后一列填上内容，那就是整个判断形式的真值表。只有在第二、第三和第四行，它才是假的，这些行都是前件为真而且后件为假。
我们的真值表所呈现的是对原判断的真值函数分析。这种分析展示的是复合判断的真值依赖于作为其构成部分的简单判断的真值。
如果至此你还没有理解真值表、真值函数符号等概念，请认真学习、掌握这些内容。你还要学会建立由三个或更多字母组成的判断形式的真值表。接下来我们将学习的内容都以此为基础。就像建筑一样，只有在坚实的基础上，才能构造牢固的大厦。请你们扎实掌握这里所介绍的基础知识。
最后需要注意的是：如果两个判断的真值表完全相同，就说明它们是相互等值的。两个判断的真值表相同，是指这两个判断的真值表各行中，T和F完全相同。一般地说，当两个判断相互等值时，就可以用一个替换另一个。从真值函数的角度看，它们互相蕴涵。
