硅谷著名投资人——彼得·蒂尔，在《从0到1》一书里有这样一句，极具创造力的断言，即：“幂次法则，是宇宙的法则，是宇宙最强大的力量。”
事实上，幂次法则说的就是，统计学上的幂律分布现象，它是一种非线性变化，主导着从量变到质变的过程。通俗的来说，它代表着的就是——“强者越强，弱者越弱”的普遍规律。
本文，将会深度解读，幂次法则背后的原理，以及它与世界运作的本质关联。而幂次法则是一种底层逻辑的世界观，透过这个视角，我们将会看到一个不一样的世界及其发展轨迹。
主题目录如下：
- 神奇的幂次法则
- 幂次函数与指数函数
- 幂次量变与指数质变
- 幂次法则统治世界
- 结语
限于篇幅，《深度解读幂次法则》将会分为上下两个部分：
上部分——将会解读幂次法则在真实世界中的表现及其数学角度的描述，
下部分——将会解读为什么幂次法则是世界运作的底层规律。
神奇的幂次法则
幂次法则（Power Law）——是指事物的发展，其规模（如数量、大小、程度、频率等）与排名呈现幂次反比（幂次指常数次幂，如x^2）。
也就是说，规模越小排名越高，规模越大排名越低；或者说，决定性的大事件罕见，不重要的小事件众多；改变世界的天才罕见，被世界改变的平庸众多；高光时刻罕见，无聊时光众多，等等——其内核就是，罕见的重要性与广泛的平凡性。
例如，规模x是人数，排名Pr(x)是财富，接着幂律分布函数选取Pr(x) = 100x^-1，那么就能得出如下的，人数财富分布：
- Pr(1) = 100——人数规模是1，财富是100。
- Pr(0.25) = 400——人数规模0.25占20%（0.25 / 1.25），财富占400即80%（400 / 500）。
- Pr(4) = 25——人数规模4占80%（4 / 5），财富是25占20%（25 / 125）。
显然，这就是二八定律，即：大多数人获得少量财富，少数人获得大量财富。
是的，幂次法则——指的就是幂律分布所呈现的结果，除了二八定律，与之相似的说法还有很多，如：长尾理论、马太效应、偏好依附、反馈增强、赢家通吃，等等。
这些在不同领域，不同的说法，体现的都是幂次法则，只不过它们的幂律系数不同，而它们都会呈现出，如下所示的幂律图像（绿色是头部，黄色是长尾）：
绿色是头部，黄色是长尾
那么，在这个图像（头部罕见，尾部众多、快速衰减）背后，对应到现实世界的运作，其实就是——幂次变化，即：两个变量之间，呈现幂次比例关系。
幂次变化——就是指数不变，底数变化，如：x^2，x^-1，x取随机变量，指数为正就是正比例变化，指数为负就是反比例变化。注意：墨菲定律、复利效应、摩尔定律等——是指数变化。
事实上，根据经验和统计研究发现，幂律在我们的世界中是广泛且无所不在的，例如：
- 月球表面月坑直径大小的分布，行星间碎片大小的分布。
- 地震规模的分布，火山喷发规模的分布。
- 战争规模的分布，停电波及范围的分布。
- 计算机文件大小的分布，网页被点击次数的分布
- 论文数的分布，论文被引用次数的分布。
- 人类语言中单词使用频率的分布，大多数国家姓氏的分布。
- 生物各种演化分支的丰富度分布，神经元集群活动规模的分布。
- 书籍唱片的销售分布，电影获奥斯卡奖数的分布。
- 网络粉丝数的分布，评论点赞数的分布。
- 地球上文明强弱的分布，宇宙中文明存在的分布。
- 等等……
显然，以上这些，都体现了“强者越强，弱者越弱，中庸难存”，即：赢家通吃的局面——而这就是幂次变化带来的非线性效果。
在此需要特别指出的是：幂律由于存在分形特性，因此所有的幂律分布都是“嵌套”存在的。
例如，在二八定律中，20%的人掌握了80%的财富，那在这20%里仍然是20%对80%，即：4%的人掌握了64%（20% * 20% | 80% * 80%），0.8%的人掌握了51.2%（4% * 20% | 64% * 80%）等等，以此类推。
接下来，我们从数学的角度来看一下，幂次变化与指数变化的关系。
幂次函数与指数函数
首先，解释一下这个“幂”字，在中文里它是指“遮盖巾”的意思。而在数学里，乘方的表达式，就是指数写在底数的头上，这如同遮盖了一个头巾一般，所以“幂”——就是指乘方运算的结果。
例如，2的N次方，即N个2乘方运算的结果，也称为2的N次幂。
那么，幂数——就是幂结果的那个数字，也就是幂，同时也称为幂次，或幂次方。因此，在英文中——幂、幂数、幂次、幂次方，都称为——Power，即：代表巨大的力量或权利，显然这是乘方运算带来的效果。
在此，我们可以看到，幂的最终数值，其实取决于两个数，即：底数与指数，而这对应了两种变化——底数变化与指数变化。
对于底数变化，需要指数不变，如：1的2次方（1^2 ），2的2次方（2^2 ），3的2次方（3^2 ）等等，其形式是——f(x) = x^n，x是变量，n是常数（如2）。而这样的函数，就被称为——幂次函数，或幂函数。
例如，正方形面积的变化，是函数x^2中边长x决定的。
对于指数函数，需要指数变化，如：2的1次方（2^1 ），2的2次方（2^2 ），2的3次方（2^3 ）等等，其形式是——f(x) = n^x，x是变量，n是常数。而这样的函数，就被称为——指数函数。
例如，计算机内存容量的变化，是函数2^x中比特位x决定的。
那么，幂次函数对应的增长就是——幂次增长，指数函数对应的增长就是——指数增长，两者的关系在于：当自变量（底数与指数）很小的时候，幂次增长快于指数增长，但随着自变量不断增加，指数增长会远远超越幂次增长，并呈现出“爆炸性”的膨胀。
例如，幂次函数x^2与指数函数2^x，当x = -1时是1对0.5，当x = 2时两者相等，当x = 10时是100对1024，当x = 20时是400对1,048,576。
显然，由于指数增长这种“爆炸性”，在现实中它并不能维持很长时间（如复利效应，就是一种指数增长），否则就会消耗掉难以想象的资源，相反幂次增长，则就可以维持更长的时间。
而在统计学中，有两种统计概率的分布现象，就是由带系数的幂次函数与指数函数来表示的，它们被称为——幂律分布（Power Law Distribution）与指数分布（Exponential Distribution）。
- 幂律分布公式：Pr(x) = cx^(-a)，c和a是常量（c > 0，a > 0）。
- 指数分布公式：Pr(x) = e^(-λx)，e和λ是常量（λ > 0 代表单位时间内事件发生概率）。
幂律分布，是帕累托分布的导数。
幂律分布——是概率密度函数（Probability Density Function）。
帕累托分布——是累积分布函数（CDF，Cumulative Distribution Function）。
分布函数的导数——是密度函数。
密度函数的积分——是分布函数。
注：概率分布函数（Probability Distribution Function）与累积分布函数（CDF，Cumulative Distribution Function）等价。
这两种分布图像的对比，如下（蓝色幂律分布，红色指数分布）：
蓝色幂律分布，红色指数分布
由图我们可以看出：
- 幂律分布的概率，在开始阶段高于指数分布。
- 幂律分布的概率，其衰减速度快于指数分布。
- 幂律分布的概率，在最后阶段高于指数分布。
可见，总体上相比指数分布，幂律分布衰减速度更快，但有更高的头部与更长的尾部。这正是说明了，幂律分布非常的不平均。
另外，还有一个隐藏的不同之处，就是：幂律分布具有标度不变性（Scale Invariance），即不同的幂律函数只是不同系数的标度缩放，其函数图像具有相似不变性，也就是说幂律具有分形特性。
分形图形的基本特征，就是具有标度不变性，即：在不同的尺度下，图形具有自相似性，这是一种尺度上的对称性。这表明，分形图形具有与尺度无关的几何特性，即几何参数的不变性。
因此，在双对数坐标下，幂律分布是直线（负斜率）——具有缩放自相似性，而指数分布是曲线——没有缩放自相似性。
双对数坐标——指的是两个坐标轴的单位长度，都是经过对数计算后的平面坐标系。
接下来，我们来看一下，量变质变与幂次变化和指数变化的关系。
幂次量变与指数质变
从量变到质变，就是从0到1，中间隔着的就是——积累，而质变是可以抵过所有量变总和的。
那么，深入思考，我们就会有两个疑问，即：量变积累是如何抵达质变的？以及质变为什么会超越所有的量变之和？
这就是，幂次变化与质变变化登场的时刻。
首先说结论，量变——就是幂次变化，质变——就是指数变化，即：幂次量变积累出指数质变。
接下来，我们就用这个结论，来回答上面的两个疑问。
第一个问题，要搞清楚量变到质变的积累过程，需要回忆一下，幂次函数与指数函数，它们的形式分别是：x^2与2^x（假定系数常量为2）。
那么，如前文所述，这两个函数的关系，有三个阶段，如下：
- 第一阶段，在变量x较小的时候，幂次增长大于等于指数增长。
- 第二阶段，在变量x超过某个临界值的时候，幂次增长小于指数增长，并逐渐拉开差距。
- 第三阶段，在变量x越来越大的时候，指数增长出现“爆炸性”膨胀，幂次增长“望尘莫及”。
由此可见，在第一阶段——我们很容易通过幂次量变，来抵达指数质变；在第二阶段，我们需要更多的幂次量变，才能抵达指数质变；而在第三阶段，无论多少幂次量变，都无法再获得指数质变。
显然，从整体来看，我们会发现对于幂次增长——改变底数x是比较容易的，而对于指数增长——改变指数x是越来越困难的，直到变成不可能。
也正因为此，幂次增长就像是在量变，是我们可以一步步完成的积累，而量变积累抵达质变，其实就是幂次增长与指数增长的“交点”。
那么，随着不断地抵达质变，就会来到无论怎么积累量变，也无法抵达质变的时刻，这就是幂次增长远远被指数增长甩在了“身后”的原因——这时候只有通过切换幂次常数，比如由x^2切换到x^6去追赶2^x，才能继续抵达指数增长，从而继续产生质变效应。
而我们可以把——切换幂次常数，看成诸如：格局的跳变、圈子的转换、轨道的跃迁、领域的开辟、环境的巨变……等等——总之，这是“赛道”的切换效应。
于是，再结合从0到1与从1到N来看：
- 量变——就是底数从1到N的幂次变化。
- 质变——就是指数从0到1的指数变化（即幂次常数的变化）。
第二个问题，说质变可以抵过所有的量变总和，其实就是说，指数增长是可以抵过所有幂次增长的总和。
显然，指数增长的“爆炸性”，从数学上就已经证明了这一点，即：每次指数级变化，都是对过去所有积累的“翻倍”。
相比较，幂次增长，只是对过去积累的“非倍数”增量，如2 * 2到3 * 3、3 * 3到4 * 4，所以幂次增长是——量变。但需要注意的是，在开始阶段，我们总是很容易，通过幂次量变来抵达指数质变的。
然后，我们会发现，幂次量变积累所形成的结果——就是幂律分布。因为，如果量变积累是——幂次增长，那么积累完成度就是——系数除以幂次增长，而积累价值就是——系数除以积累完成度。
例如，量变积累是x^2，积累完成度是100 / x^2（系数为100），积累价值是100 / 完成度（系数为100）；那么积累2，完成度就是25，完成价值是4；如果积累10，完成度就只有1，完成价值就是100。
另外，幂律分布具有分形的自相似性，也就是说，无论是在局部还是整体，都是幂律分布的结果，即：强者越强（头部），弱者越弱（长尾），中庸难存（衰减）。
那为什么会这样呢？有三个方面的原因：
- 第一，幂次量变不断积累出指数质变，所以“高段”就会与“后段”远远拉开差距，形成头部。
- 第二，幂次量变在最初容易达成指数质变，所以“初段”不会绝迹，形成长尾。
- 第三，幂次量变到指数质变的难度不断增大，所以“中段”要么进入头部（拉开差距），要么进入尾部（被拉开差距）。
最后，需要注意的是，幂次变化与指数变化，都是非线性的变化，幂次量变可以在一定条件下“捕获质变”，但会越来越难，直到如果不切换幂次常数，就再也无法获得质变。
例如，获得了垄断，就是来到了幂律的“头部”，也是幂次增长的极限，此后就很难再获得指数质变了，除非切换“赛道”（即幂次常数），从而开启一个新“幂律地图”上的竞赛。
幂次法则统治世界
现在，让我们回到幂次法则的洞见：它是宇宙的本质规律。
这个视角的意义，就在于——所有事物的发展，都是非线性的幂次量变——这里的重点是两个关键词，即：所有事物和幂次量变。
第一，所有的事物，都在积累自己的量变，无一例外。
显然，质变就是我们所期待的巨大变革，但质变很难获得，需要付出超越我们心理预期的努力——因为人类的心理，对事物发展认知，倾向于正态分布和线性反馈。这种现实和心理预期的反差，也是让人们难于坚持和创新的——天生障碍和巨大困难。
正态分布（Normal Distribution），又名高斯分布（Gaussian Distribution），也称常态分布。其正态曲线，呈钟型、两头低、中间高、左右对称，因此人们又经常称之为钟形曲线。
而在质变之前，事物是处在一种竞争关系之下的，并且竞争从某种角度来看——就是零和游戏的博弈，是此消彼长的资源争夺。这会让人们没有时间和机会去思考，只是不断地跟着竞争对手，去做没创新的重复——从1到N。
那么，从0到1的质变，则会带来垄断——这是资源的总体增长，所有人都会在质变中获利，结果就是共赢，而整个社会和文明，也会因此得到发展和推动。
事实上，加班延长工作时间，是一种“低级压榨”——因为毫无效率和创造力，只是在堆重复的“数量”——从1到N，并且在这个“数量”中会塞入很多的“隐患”——各种Bug。
而“高级压榨”，是用最好的状态和创造力，去创造激动人心的结果——从而产生从0到1，这样的局面也会从零和游戏的博弈，转变成所有人都获利的共赢。
可见，低级剥削是在分蛋糕，高级剥削是在创造蛋糕——人类共同的敌人是本能，而不是智能——与其用本能去剥削智能，不如用智能去抑制和战胜本能（欲望让人追逐利润、无视他人利益）。
另外，虽然垄断会带来缺少竞争（即缺少压力源）的弊端，但过度竞争的危害更大，因为广泛存在参考点依赖的心理偏差，会让竞争不再向着有利共赢的局面发展。
参考点依赖——是指决策依赖于多个选项的比较，有点“两权其害取其轻”的意味，但这个过程的结果是往往是错配，因为比较让我们失去了“独立的理性判断”。
例如，孔雀的尾巴和麋鹿的大角，都是过度繁衍竞争的结果，这种竞争结果不利于个体及种群的整体生存（容易被捕食且耗费能量），仅仅是繁衍竞争过程中的失控或失调表现。
第二，幂次量变可以（在一定范围内）产生指数质变。
因此，在没有抵达指数质变的时候，就什么也不是——和前一个阶段差别不大，可一旦抵达质变点，就是一次指数级别——“陡峭曲线”的升级，即：指数增长。
而指数增长，带来的是超越之前所有积累之和的增长——这令人激动不已、又垂涎欲滴，并且还是改变世界和历史等一切轨迹的——根本驱动力。
那么，可以想象，在贫穷和财富之间，应该有一条基准线，即质变点。
当物质生活，越过这一条基准线，人们生活的满意度，就会极大的提高，创造力出现从0到1的质变——从而让产品质量和服务体验得到巨大的增强，无论是竞争还是合作都能形成正向循环，令社会整体和人均财富不断增加，人们生活的幸福感也会不断提高，结果就会更加激发人们的创造力。
显然，这是一个循环共赢的局面，呈现的就是幂次法则的“头部”。
相反，在基准线以下，人们在为基础物质生活条件而奔波——就会缺乏创造力、没有购买力、没有生产效率，只能重复从1到N，就无法提供更好的产品和服务，形成负向循环，社会财富就会变成零和游戏，人与人之间充满了你死我活的竞争和博弈，从而就会更加抑制和降低人们的创造力。
显然，这是一个循环齐输的局面，呈现的就是幂次法则的“长尾”。
可见，只有越过了这条物质基准线的质变点，一切才能有所发展——甚至不断地发展，一个人才有更多的上升机会和可能性。
最后，我们在质变点，观察到的现象——就是涌现。
涌现——是指系统从低层次到高层次的发展过程中，一些特性不存在于低层系统中，却突然出现在了高层系统中。简而言之，就是系统特性呈现出了，整体大于（甚至不同于）局部之和的现象。
例如，语言表达中整体与局部的关系——句子整体的含义，要比局部每个单词的意思之和，更为丰富多变，而只有理解了每个单词的意思，才能读懂整句话的意思，甚至获得更为深刻的内涵。这里，一个句子的整体信息，就会大于局部每个单词的信息之和。
那么显然，在涌现的过程中，必然存在着，从量变到质变的非线性变化，即从0到1。
局部之和也会小于整体，但这里没有涌现，例如：团队里都是“顶级专家”，结果互相不服合作效率低下；爱下蛋的母鸡好斗，在一起不下蛋只打架。
