当我们谈到用算术去证明定理时，那些真正已经触及或可能触及人类心灵的问题并不会像回答“人们可以跳多高”“一个人在5分钟内能吃多少热狗”“一个人可以记住圆周率小数点后多少位”“人类目前可以到达多远的太空”等问题那样简单。它们会更像“一个人在5分钟内能吃多少热狗且不会让自己感到恶心”之类的问题，它们是在不同的时代、不同的社会中由不同的人得到不同答案的问题。
——托克尔·弗兰岑（Torkel Franzén）
哥德尔的不完备性定理因为启发了两种对立的、持久的错误论调而享有盛誉。它既被拿来“证明”人类的思维比你所期待的更狭窄，也被拿来“证明”人类的思维比你所期待的更宽广。
第一种错误论调似乎主要是受人们对“不完备性”这个词过于宽泛的解释的“启发”，认为“哥德尔证明了一切形式的推理都是很不充分的”。
事实上，哥德尔只是证明了如下内容：首先，正如我们所看到的那样，无论你选择哪一个（正确的）数学公理，都会有很多（正确的）命题你无法证明，第二，数学本身不能够被用来证明其自身的一致性。
这些说明公理系统存在着明显的局限性。但人类的思维并不存在这种明显的局限性，因为人类的思维本身并不是公理系统。我们思考时经常用的是类比和比喻，我们总以直觉和本能作为向导，我们在前进的过程中会不断改变规则。人类的思维就是一种充满了各种偶然性的混杂，我们因此会常常犯错，但正因为如此，我们的思维完全不受哥德尔不完备性定理的约束。
对第一种错误的论调就说这么多吧。第二种错误论调就更有趣了。
第二种论调大概是这样的：一台基于数学公理（即所谓的皮亚诺公理）运行的计算机，绝对无法证明赫拉克勒斯可以击败九头蛇。[1]但是，因为我们都深知数学是具有一致性的，所以你和我都知道赫拉克勒斯可以击败九头蛇。因此，你和我都知道一些连计算机都证明不了的东西。所以，你和我的大脑比任何计算机都强大。
当我还是个孩子的时候，我有一个超级好玩的玩具叫“第一代数码计算机”。在销声匿迹几十年后，我很高兴地看到这款玩具又出现在了市场上。“第一代数码计算机”完全就是一台机械计算器：它利用弹簧和橡皮筋来运行，而且你必须使用一套工具来初始化它的状态。编程的办法是把细小的塑料管（从饮料吸管剪下来的）贴上合适的标签，而运行程序的办法则是推动当中的一个杠杆。计算机的背面完全暴露在外面，所以你能看到塑料管、橡皮筋互相推来推去。玩过“第一代数码计算机”的孩子可以深刻洞察到计算机的工作原理。
你可以用“第一代数码计算机”编程来设计游戏，尽管设计出来的游戏不可能太复杂。它的计数能力最多只有8位。我可以下棋（但不是绝顶高手），而且我可以准确地预计300种可能发生的情况。这是否证明我的大脑比任何计算机都强大呢？不，这只能证明我的大脑比“第一代数码计算机”强大。
同样，赫拉克勒斯打九头蛇的游戏也只能证明你和我的大脑比某些计算机强大，并不能证明它们比任何计算机都强大。一台只能依照皮亚诺公理运转的计算机不能得出赫拉克勒斯总可以击败九头蛇的结论。但一台依照皮亚诺公理和表明数学内部一致性的“超级公理”（或者就此而言，证明赫拉克勒斯总可以击败九头蛇的公理）运转的计算机可以很容易得出这样的结论。
如果你真的想要提出一个哥德尔式的命题，比如人类的思维能力比计算机的运算能力更强大，你不如把论证做得更漂亮些。下面便是一种尝试：你和我“刚刚发现”，一旦你接受了数学公理，你就可以同样接受超级公理。你可以断言，没有电脑可以产生这样的跳跃性思维。
不幸的是，针对这个命题，我们可以很容易就制造出一台能产生这样的跳跃性思维的计算机。首先，你将皮亚诺公理输入计算机。然后，在旁边添加一个大的蓝色按钮。当按钮被按下时，一个新的公理便被加入了，其内容是目前已知的公理都是具有一致性的。最终，你不妨给计算机加装一条机器臂，每次做证明卡住，需要新的公理的时候，它都可以自己去按下那个蓝色按钮。[2]现在，我们已经制造出一台能够“只意识到”添加超级公理很合理的计算机。然后，如果有需要的话，它可以继续按下按钮，而且“只意识到”添加超超级公理（其内容便是包括超级公理在内的所有公理都是具有一致性的）也很合理。依此类推下去，它就像一个人。
然而，这里好像仍然有一点是人能做到而计算机做不到的：你和我可以意识到添加终极公理（无论按下蓝色按钮多少次，得到的公理总是具有一致性的）也很合理。但是这意味着你和我比任何计算机都强大了吗？不，这只会让我们显得比这台计算机强大。只需制造一台一按下红色按钮就可导入终极公理的计算机，就能证明我们并不比这台计算机强大。
依此类推。你可以告诉我在这个功能区所用的原则，在这些原则的指导下，“只意识到”这个功能会知道添加哪些公理到你的理论中比较合适，我来为计算机添加按钮以便体现这些原则。
虽然还不够完全，但这已经足以揭示第二种论调的错误之处了。我们还可以尝试用最后一搏来使它起死回生：“当然，如果我把自己加入公理的原则告诉你，你就可以制造出能够表达这些原则的计算机。但是，我的原则是无限的。我有一个原则，即无论你按下多少次按钮，你的理论依旧是具有一致性的。你可以再用一个绿色的按钮来表述它，但我再加入一个新原则，即无论你按下多少次绿色按钮，你的理论依旧是具有一致性的。无论你制造了多么强大的计算机，我总能找出你没有预置进计算机内的原则。所以，没有计算机能跟我的大脑一样强大。”
因此，当你使用到更高层次的原则时，把握住每一个原则的含义就更加困难了，更不用说还要确认它的正确性了。你真的确信，运用很多很多很多很多次“按下蓝色按钮很合理”的原则的原则的原则的原则以后，你还能保持数学具有一致性的观点不变吗？按照托克尔·弗兰岑的话来说就是：
当我们继续制定更有力、更广泛的原则，将一个正确的理论放大为一个更丰富且正确的理论时，我们就要面对一系列问题，一系列需要用“的确如此”还是“显然不对”来回答的问题……不同的数学家、哲学家对于这些问题会给出不同的答案，甚至会有很多人说并没有明确的答案。为了设计出一个能完全模仿人类数学家的反应的机器人，我们原本应该提供给它类似的参考答案的范围。除非我们做到了这一点……否则，我们就没有理由宣称人类数学家可以证实所有机器人无法证实的内容。可是，我们其实只是成功地将机器人变得跟人类一样，而机器人在从一个影响深远的正确理论思考出更强有力的正确理论的过程中，是思维混乱的，无法确认结果的。
换言之，你的思维中能够很自然就接纳的原则很可能并不是无限的，而且只要它们不是无限的，我就可以将它们全部输入到一台计算机里去。哥德尔的理论并不能用来反驳这一点。
[1] 这里我用到了关于赫拉克勒斯和九头蛇这个游戏的两重事实：1）单用皮亚诺公理不可能证明赫拉克勒斯可以打败九头蛇；2）如果加入超级公理，用来说明皮亚诺公理具有一致性，就有可能证明赫拉克勒斯可以打败九头蛇。
[2] 对于这个贴切的形象，我要特别感谢已故的逻辑学家托克尔·弗兰岑。
