命题?Proposition
命题01
圆内接相似多边形之比如同直径上的正方形之比。
Similar polygons inscribed in circles are to one another as the squares on the diameters.
?
设ABC、FGH是圆，
ABCDE、FGHKL是内接于它们的相似多边形，且BM、GN是圆的直径；
我说，BM上的正方形比GN上的正方形如同多边形ABCDE比多边形FGHKL。
连接BE、AM、GL、FN。
现在，由于多边形ABCDE相似于多边形FGHKL，所以
角BAE等于角GFL，
且BA比AE如同GF比FL。
［VI. 定义1］
于是，两个三角形BAE、GFL有一个角等于一个角，即角BAE等于角GFL，且夹角相等的边成比例；
因此，三角形ABE与三角形FGL是等角的。
［VI. 6］
因此，角AEB等于角FLG。
但角AEB等于角AMB，
这是因为它们在同一圆周上；
［III. 27］
且角FLG等于角FNG；
因此，角AMB也等于角FNG。
但直角BAM也等于直角GFN；
［III. 31］
因此，其余的角等于其余的角。
［I. 32］
因此，三角形ABM与三角形FGN是等角的。
因此有比例，BM比GN如同BA比GF。
［VI. 4］
但BM上的正方形比GN上的正方形是BM比GN的二倍比，
且多边形ABCDE比多边形FGHKL是BA比GF的二倍比；
［VI. 20］
因此也有，BM上的正方形比GN上的正方形如同多边形ABCDE比多边形FGHKL。
这就是所要证明的。
命题02
圆与圆之比如同直径上的正方形之比。
Circles are to one another as the squares on the diameters.
?
设ABCD、EFGH是圆，BD、FH是它们的直径；
我说，圆ABCD比圆EFGH如同BD上的正方形比FH上的正方形。
这是因为，如果BD上的正方形比FH上的正方形不如同圆ABCD比圆EFGH，
那么BD上的正方形比FH上的正方形如同圆ABCD比某个小于圆EFGH的面积或某个大于圆EFGH的面积。
首先，设成比例的是一个小于圆EFGH的面积S。
设正方形EFGH内接于圆EFGH；于是，这个内接正方形大于圆EFGH的一半，因为如果过点E、F、G、H作圆的切线，则正方形EFGH是圆外切正方形的一半，而圆小于外切正方形；
因此，内接正方形EFGH大于圆EFGH的一半。
设圆周EF、FG、GH、HE在点K、L、M、N被二等分，
且连接EK、KF、FL、LG、GM、MH、HN、NE；
因此，三角形EKF、FLG、GMH、HNE中的每一个也大于包含该三角形的弓形的一半，因为如果过点K、L、M、N作圆的切线，且在直线EF、FG、GH、HE上将平行四边形补充完整，则三角形EKF、FLG、GMH、HNE中的每一个都是包含它的平行四边形的一半，
而包含它的弓形小于包含它的平行四边形；
因此，三角形EKF、FLG、GMH、HNE中的每一个都大于包含它的弓形的一半。
于是，将其余的圆周二等分并连接直线，这样继续作下去，可使余下的弓形之和小于圆EFGH超出面积S的部分。
这是因为，在第十卷的命题1中已经证明，给定两个不等的量，从较大量中减去一个大于它的一半的量，再从余量中减去大于该余量一半的量，这样继续作下去，则会得到某个小于较小量的余量。
这样做余下的弓形，设圆EFGH在EK、KF、FL、LG、GM、MH、HN、NE上的弓形之和小于圆EFGH超出面积S的部分。
因此，余量即多边形EKFLGMHN大于面积S。
设圆ABCD的内接多边形AOBPCQDR也相似于多边形EKFLGMHN；
因此，BD上的正方形比FH上的正方形如同多边形AOBPCQDR比多边形EKFLGMHN。
［XII. 1］
但BD上的正方形比FH上的正方形也如同圆ABCD比面积S；
因此也有，圆ABCD比面积S如同多边形AOBPCQDR比多边形EKFLGMHN；
［V. 11］
因此，取更比例，圆ABCD比它的内接多边形如同面积S比多边形EKFLGMHN。
［V. 16］
但圆ABCD大于它的内接多边形；
因此，面积S也大于多边形EKFLGMHN。
但它也小于多边形EKFLGMHN：
这是不可能的。
因此，BD上的正方形比FH上的正方形不如同圆ABCD比某个小于圆EFGH的面积。
类似地，可以证明，圆EFGH比某个小于圆ABCD的面积也不如同FH上的正方形比BD上的正方形。
其次我说，圆ABCD比某个大于圆EFGH的面积也不如同BD上的正方形比FH上的正方形。
这是因为，如果可能，设成比例的是一个大于圆EFGH的面积S。
因此，取反比例，FH上的正方形比DB上的正方形如同面积S比圆ABCD。
但面积S比圆ABCD如同圆EFGH比某个小于圆ABCD的面积；
因此也有，FH上的正方形比BD上的正方形如同圆EFGH比某个小于圆ABCD的面积：
［V. 11］
已经证明这是不可能的。
因此，BD上的正方形比FH上的正方形不如同圆ABCD比某个大于圆EFGH的面积。
而已经证明，成比例的也不是某个小于圆EFGH的面积；
因此，BD上的正方形比FH上的正方形如同圆ABCD比圆EFGH。
这就是所要证明的。
引理我说，若面积S大于圆EFGH，则面积S比圆ABCD如同圆EFGH比某个小于圆ABCD的面积。
设法使面积S比圆ABCD如同圆EFGH比面积T。
我说，面积T小于圆ABCD。
这是因为，由于面积S比圆ABCD如同圆EFGH比面积T，因此，取更比例，面积S比圆EFGH等于圆ABCD比面积T。
［V. 16］
但面积S大于圆EFGH；
因此，圆ABCD大于面积T。
因此，面积S比圆ABCD如同圆EFGH比某个小于圆ABCD的面积。
这就是所要证明的。
命题03
任一以三角形为底的棱锥可被分成两个相等的、与整个棱锥相似且以三角形为底的棱锥，以及其和大于整个棱锥一半的两个相等的棱柱。
Any pyramid which has a triangular base is divided into two pyramids equal and similar to one another, similar to the whole and having triangular bases, and into two equal prisms; and the two prisms are greater than the half of the whole pyramid.
?
设有一个以三角形ABC为底且以点D为顶点的棱锥；
我说，棱锥ABCD可被分成两个相等的、与整个棱锥相似且以三角形为底的棱锥，以及其和大于整个棱锥一半的两个相等的棱柱。
这是因为，设AB、BC、CA、AD、DB、DC在点E、F、G、H、K、L被二等分，连接HE、EG、GH、HK、KL、LH、KF、FG。
由于AE等于EB，且AH等于DH，
因此，EH平行于DB。
［VI. 2］
同理，
HK也平行于AB。
因此，HEBK是平行四边形；
因此，HK等于EB。
［I. 34］
但EB等于EA；
因此，AE也等于HK。
但AH也等于HD；
因此，两边EA、AH分别等于两边KH、HD，
而角EAH等于角KHD；
因此，底EH等于底KD。
［I. 4］
因此，三角形AEH等于且相似于三角形HKD。
同理，
三角形AHG也等于且相似于三角形HLD。
现在，由于两相交直线EH、HG平行于两相交直线KD、DL，且不在同一平面上，所以
它们的夹角相等。
［XI. 10］
因此，角EHG等于角KDL。
又，由于两直线EH、HG分别等于KD、DL，且角EHG等于角KDL，
因此，底EG等于底KL；
［I. 4］
因此，三角形EHG相等且相似于三角形KDL。
同理，
三角形AEG也等于且相似于三角形HKL。
因此，以三角形AEG为底且以点H为顶点的棱锥等于且相似于以三角形HKL为底且以点D为顶点的棱锥。
［XI. 定义10］
又，由于HK平行于三角形ADB的一边AB，所以
三角形ADB与三角形DHK是等角的，
［I. 29］
且它们的边成比例；
因此，三角形ADB相似于三角形DHK。
［VI. 定义1］
同理，
三角形DBC也相似于三角形DKL，
且三角形ADC相似于三角形DLH。
现在，由于两相交直线BA、AC平行于两相交直线KH、HL，且不在同一平面上，所以
它们的夹角相等。
［XI. 10］
因此，角BAC等于角KHL。
而BA比AC如同KH比HL；
因此，三角形ABC相似于三角形HKL。
因此也有，以三角形ABC为底且以点D为顶点的棱锥相似于以三角形HKL为底且以点D为顶点的棱锥。
但已证明，以三角形HKL为底且以点D为顶点的棱锥相似于以三角形AEG为底且以点H为顶点的棱锥。
因此，棱锥AEGH、HKLD中的每一个都相似于整个棱锥ABCD。
其次，由于BF等于FC，所以
平行四边形EBFG等于二倍的三角形GFC。
又，由于如果有两个等高的棱柱，一个以平行四边形为底，另一个以三角形为底，且平行四边形是三角形的二倍，则两棱柱相等，
［XI. 39］
因此，由两个三角形BKF、EHG和三个平行四边形EBFG、EBKH、HKFG所围成的棱柱等于由两个三角形GFC、HKL和三个平行四边形KFCL、LCGH、HKFG所围成的棱柱。
显然，以平行四边形EBFG为底且以直线HK为其对棱的棱柱与以三角形GFC为底且以三角形HKL为其对面的棱柱中的每一个都大于以三角形AEG、HKL为底且以点H、D为顶点的棱锥中的每一个，
因为如果连接直线EF、EK，则以平行四边形EBFG为底且以HK为其对棱的棱柱大于以三角形EBF为底且以点K为顶点的棱锥。
但以三角形EBF为底且以点K为顶点的棱锥等于以三角形AEG为底且以点H为顶点的棱锥；
这是因为它们由相等且相似的平面所围成。
因此也有，以平行四边形EBFG为底且以直线HK为其对棱的棱柱大于以三角形AEG为底且以点H为顶点的棱锥。
但以平行四边形EBFG为底且以直线HK为其对棱的棱柱等于以三角形GFC为底且以三角形HKL为其对面的棱柱，
而以三角形AEG为底且以点H为顶点的棱锥等于以三角形HKL为底且以点D为顶点的棱锥。
因此，上述棱柱之和大于以三角形AEG、HKL为底且以点H、D为顶点的上述棱锥之和。
因此，以三角形ABC为底且以点D为顶点的整个棱锥已被分成两个彼此相等的棱锥和两个相等的棱柱，且这两个棱柱之和大于整个棱锥的一半。
这就是所要证明的。
命题04
若有以三角形为底且同高的两个棱锥，都被分成彼此相等且与整个棱锥相似的两个棱锥和两个相等的棱柱，则一个棱锥的底比另一个棱锥的底如同一个棱锥中的所有棱柱之和比另一个棱锥中相等个数的所有棱柱之和。
If there be two pyramids of the same height which have triangular bases, and each of them be divided into two pyramids equal to one another and similar to the whole, and into two equal prisms, then, as the base of the one pyramid is to the base of the other pyramid, so will all the prisms in the one pyramid be to all the prisms, being equal in multitude, in the other pyramid.
?
设有同高且以三角形ABC、DEF为底，以点G、H为顶点的两个棱锥，
且设它们中的每一个都被分成彼此相等且与整个棱锥相似的两个棱锥和两个相等的棱柱；
［XII. 3］
我说，底ABC比底DEF如同棱锥ABCG中所有棱柱之和比棱锥DEFH中相等个数的棱柱之和。
这是因为，由于BO等于OC，且AL等于LC。
因此，LO平行于AB，
且三角形ABC相似于三角形LOC。
同理，
三角形DEF也相似于三角形RVF。
又，由于BC是CO的二倍，EF是FV的二倍，
因此，BC比CO如同EF比FV。
又，在BC、CO上作相似且有相似位置的直线形ABC、LOC，且在EF、FV上作相似且有相似位置的直线形DEF、RVF；
因此，三角形ABC比三角形LOC如同三角形DEF比三角形RVF；
［VI. 22］
因此，取更比例，三角形ABC比三角形DEF如同三角形LOC比三角形RVF。
［V. 16］
但三角形LOC比三角形RVF如同以三角形LOG为底且以三角形PMN为其对面的棱柱比以三角形RVF为底且以STU为其对面的棱柱；
［下面的引理］
因此也有，三角形ABC比三角形DEF如同以三角形LOC为底且以PMN为其对面的棱柱比以三角形RVF为底且以STU为其对面的棱柱。
但上述棱柱之比如同以平行四边形KBOL为底且以直线PM为其对棱的棱柱比以平行四边形QEVR为底且以直线ST为其对棱的棱柱。
［XI. 39；参见XII. 3］
因此也有，这两个棱柱之比，即以平行四边形KBOL为底且以PM为其对棱的棱柱比以三角形LOC为底且以PMN为其对面的棱柱，如同以QEVR为底且以直线ST为其对棱的棱柱比以三角形RVF为底且以STU为其对面的棱柱。
［V. 12］
因此也有，底ABC比底DEF如同上述两个棱柱之和比上述两个棱柱之和。
类似地，如果棱锥PMNG、STUH被分成两个棱柱和两个棱锥，
则底PMN比底STU如同棱锥PMNG中的两个棱柱之和比棱锥STUH中的两个棱柱之和。
但底PMN比底STU如同底ABC比底DEF；
这是因为三角形PMN、STU分别等于三角形LOC、RVF。
因此也有，底ABC比底DEF如同这四个棱柱比这四个棱柱。
类似地也有，如果将其余的棱锥再分成两个棱锥和两个棱柱，则底ABC比底DEF如同棱锥ABCG中所有棱柱之和比棱锥DEFH中相等个数的所有棱柱之和。
这就是所要证明的。
引理但三角形LOC比三角形RVF如同以三角形LOC为底且以PMN为其对面的棱柱比以三角形RVF为底且以STU为其对面的棱柱，我们必须证明如下。
在同样的图中，从G、H向平面ABC、DEF作垂线；两垂线必然相等，因为根据假设，两棱锥等高。
现在，由于两直线GC和从G所作的垂线被平行平面ABC、PMN所截，所以
截得的直线有相同的比。
［XI. 17］
而CG被平面PMN二等分于N；
因此，从G到平面ABC的垂线也被平面PMN二等分。
同理，
从H到平面DEF的垂线也被平面STU二等分。
又，从G、H到平面ABC、DEF的垂线相等；
因此，从三角形PMN、STU到平面ABC、DEF的垂线也相等。
因此，以三角形LOC、RVF为底且以PMN、STU为其对面的棱柱等高。
因此也有，由上述棱柱所作的等高的平行六面体之比如同其底之比；
［X. 32］
因此，它们的一半即上述棱柱之比如同底LOC比底RVF。
这就是所要证明的。
命题05
以三角形为底且同高的棱锥之比如同底之比。
Pyramids which are of the same height and have triangular bases are to one another as the bases.
?
设有以三角形ABC、DEF为底且以点G、H为顶点的同高的棱锥；
我说，底ABC比底DEF如同棱锥ABCG比棱锥DEFH。
这是因为，如果棱锥ABCG比棱锥DEFH不如同底ABC比底DEF，则底ABC比底DEF如同棱锥ABCG比某个小于棱锥DEFH或大于棱锥DEFH的立体。
首先，设成比例的是一个小于棱锥DEFH的立体W，且将棱锥DEFH分成彼此相等且与整个棱锥相似的两个棱锥和两个相等的棱柱；
则两个棱柱之和大于整个棱锥的一半。
［XII. 3］
再以类似的方式去分这样得到的棱锥，
这样继续作下去，直至由棱锥DEFH得到某些小于棱锥DEFH超出立体W的部分的棱锥。
［X. 1］
为了论证，设由此得到的棱锥是DQRS、STUH；
因此，棱锥DEFH中余下的棱柱之和大于立体W。
设棱锥ABCG也被类似地分割，且分割的次数类似于棱锥DEFH；
因此，底ABC比底DEF如同棱锥ABCG中的棱柱之和比棱锥DEFH中的棱柱之和。
［XII. 4］
但底ABC比底DEF也如同棱锥ABCG比立体W；
因此也有，棱锥ABCG比立体W如同棱锥ABCG中的棱柱之和比棱锥DEFH内部的棱柱之和；
［V. 11］
因此，取更比例，棱锥ABCG比它中的棱柱之和如同立体W比棱锥DEFH中的棱柱之和。
［V. 16］
但棱锥ABCG大于它内部的棱柱之和；
因此，立体W也大于棱锥DEFH中的棱柱之和。
但它也小于：
这是不可能的。
因此，棱锥ABCG比任何小于棱锥DEFH的立体不如同底ABC比底DEF。
类似地，可以证明，棱锥DEFH比任何小于棱柱ABCG的立体也不如同底DEF比底ABC。
其次我说，棱锥ABCG比任何大于棱锥DEFH的立体也不如同底ABC比底DEF。
这是因为，如果可能，设成比例的是一个大于棱锥DEFH的立体W；
因此，取反比例，底DEF比底ABC如同立体W比棱锥ABCG。
但前已证明，立体W比立体ABCG如同棱锥DEFH比某个小于棱锥ABCG的立体；
［XII. 2，引理］
因此也有，底DEF比底ABC如同棱锥DEFH比某个小于棱锥ABCG的立体：
［V. 11］
已经证明这是荒谬的。
因此，棱锥ABCG比任何大于棱锥DEFH的立体不如同底ABC比底DEF。
但已证明，棱锥ABCG比任何小于棱锥DEFH的立体也不如同底ABC比底DEF。
因此，底ABC比底DEF如同棱锥ABCG比棱锥DEFH。
这就是所要证明的。
命题06
同高且以多边形为底的棱锥之比如同底之比。
Pyramids which are of the same height and have polygonal bases are to one another as the bases.
?
设同高的两个棱锥以多边形ABCDE、FGHKL为底且以点M、N为顶点；
我说，底ABCDE比底FGHKL如同棱锥ABCDEM比棱锥FGHKLN。
连接AC、AD、FH、FK。
于是，由于ABCM、ACDM是以三角形为底且等高的两个棱锥，所以
它们之比如同底之比；
［XII. 5］
因此，底ABC比底ACD如同棱锥ABCM比棱锥ACDM。
又，取合比例，底ABCD比底ACD如同棱锥ABCDM比棱锥ACDM。
［V. 18］
但也有，底ACD比底ADE如同棱锥ACDM比棱锥ADEM。
［XII. 5］
因此，取首末比例，底ABCD比底ADE如同棱锥ABCDM比棱锥ADEM。
［V. 22］
又，取合比例，底ABCDE比底ADE如同棱锥ABCDEM比棱锥ADEM。
［V. 18］
类似地，也可以证明，底FGHKL比底FGH如同棱锥FGHKLN比棱锥FGHN。
又，由于ADEM、FGHN是以三角形为底且等高的两个棱锥，
因此，底ADE比底FGH如同棱锥 ADEM比棱锥FGHN。
［XII. 5］
但底ADE比底ABCDE如同棱锥ADEM比棱锥ABCDEM。
因此也有，取首末比例，底ABCDE比底FGH如同棱锥ABCDEM比棱锥FGHN。
［V. 22］
但还有，底FGH比底FGHKL也如同棱锥FGHN比棱锥FGHKLN。
因此也有，取首末比例，底ABCDE比底FGHKL如同棱锥ABCDEM比棱锥FGHKLN。
［V. 22］
这就是所要证明的。
命题07
任一以三角形为底的棱柱可被分成三个彼此相等的以三角形为底的棱锥。
Any prism which has a triangular base is divided into three pyramids equal to one another which have triangular bases.
?
设有一个以三角形ABC为底且以DEF为其对面的棱柱；
我说，棱柱ABCDEF可被分成三个彼此相等的以三角形为底的棱锥。
这是因为，连接BD、EC、CD。
由于ABED是平行四边形，且BD是它的对角线，
因此，三角形ABD等于三角形EBD；
［I. 34］
因此也有，以三角形ABD为底且以点C为顶点的棱锥等于以三角形DEB为底且以点C为顶点的棱锥。
［XII. 5］
但以三角形DEB为底且以点C为顶点的棱锥与以三角形EBC为底且以点D为顶点的棱锥相同；
因为它们由相同的面所围成。
因此，以三角形ABD为底且以点C为顶点的棱锥也等于以三角形EBC为底且以点D为顶点的棱锥。
又，由于FCBE是平行四边形，
且CE是它的对角线，所以
三角形CEF等于三角形CBE。
［I. 34］
因此也有，以三角形BCE为底且以点D为顶点的棱锥等于以ECF为底且以点D为顶点的棱锥。
［XII. 5］
但已证明，以三角形BCE为底且以点D为顶点的棱锥等于以三角形ABD为底且以点C为顶点的棱锥；
因此也有，以三角形CEF为底且以点D为顶点的棱锥等于以三角形ABD为底且以点C为顶点的棱锥；
因此，棱柱ABCDEF已被分成三个彼此相等的以三角形为底的棱锥。
又，由于以三角形ABD为底且以点C为顶点的棱锥与以三角形CAB为底且以点D为顶点的棱锥相同，
因为它们由相同的平面所围成；
而已经证明，以三角形ABD为底且以点C为顶点的棱锥等于以三角形ABC为底且以DEF为其对面的棱柱的三分之一，
因此也有，以三角形ABC为底且以点D为顶点的棱锥等于以相同的三角形ABC为底且以DEF为对面的棱柱的三分之一。
这就是所要证明的。
推论由此显然可得，任何棱锥是和它同底等高的棱柱的三分之一。
命题08
以三角形为底的相似棱锥之比是其对应边之比的三倍比。
Similar pyramids which have triangular bases are in the triplicate ratio of their corresponding sides.
?
设两个相似且有相似位置的棱锥分别以三角形ABC、DEF为底且以点G、H为顶点；
我说，棱锥ABCG比DEFH如同BC比EF的三倍比。
这是因为，将平行六面体BGML、EHQP补充完整。
现在，由于棱锥ABCG相似于棱锥DEFH，
因此，角ABC等于角DEF，
角GBC等于角HEF，
且角ABG等于角DEH；
且AB比DE如同BC比EF，也如同BG比EH。
又，由于AB比DE如同BC比EF，
且夹角相等的边成比例，
因此，平行四边形BM相似于平行四边形EQ。
同理，
BN也相似于ER，且BK也相似于EO；
因此，三个平行四边形MB、BK、BN相似于三个平行四边形EQ、EO、ER。
但三个平行四边形MB、BK、BN等于且相似于它们的三个对面，
且三个面EQ、EO、ER相等且相似于它们的对面。
［XI. 24］
因此，立体BGML、EHQP由同样多个相似平面所围成。
因此，立体BGML相似于立体EHQP。
但相似的平行六面体之比是其对应边之比的三倍比。
［XI. 33］
因此，立体BGML比立体EHQP是对应边BC比对应边EF的三倍比。
但立体BGML比立体EHQP如同棱锥ABCG比棱锥DEFH，
因为棱锥是平行六面体的六分之一，又因为是平行六面体一半的棱柱［XI. 28］也是棱锥的三倍。
［XII. 7］
因此，棱锥ABCG比棱锥DEFH也是BC比EF的三倍比。
这就是所要证明的。
推论由此显然可得，以多边形为底的相似棱锥之比是其对应边之比的三倍比。
这是因为，如果它们被分成以三角形为底的棱锥，由于构成它们的底的相似多边形也被分成同样多个对应于整体的相似三角形，
［VI. 20］
于是，在一个完整棱锥中以三角形为底的棱锥比另一个完整棱锥中以三角形为底的棱锥也如同在一个完整棱锥中以三角形为底的所有棱锥之和比在另一个完整棱锥中以三角形为底的所有棱锥之和［V. 12］，即如同以多边形为底的棱锥本身比以多边形为底的棱锥。
但以三角形为底的棱锥比以三角形为底的棱锥是对应边之比的三倍比；
因此也有，以多边形为底的棱锥比以相似多边形为底的棱锥是对应边之比的三倍比。
这就是所要证明的。
命题09
以三角形为底的相等棱锥，底与高成互反比例；又，底与高成互反比例的棱锥相等。
In equal pyramids which have triangular bases the bases are reciprocally proportional to the heights; and those pyramids in which the bases are reciprocally proportional to the heights are equal.
?
设相等的棱锥分别以三角形ABC、DEF为底且以点G、H为顶点；
我说，在棱锥ABCG、DEFH中，底与高成互反比例，即底ABC比底DEF如同棱锥DEFH的高比棱锥ABCG的高。
这是因为，将平行六面体BGML、EHQP补充完整。
现在，由于棱锥ABCG等于棱锥DEFH，
且立体BGML是六倍的棱锥ABCG，
且立体EHQP是六倍的棱锥DEFH，
因此，立体BGML等于立体EHQP。
但相等平行六面体的底与高成互反比例；
［XI. 34］
因此，底BM比底EQ如同立体EHQP的高比立体BGML的高。
但底BM比EQ如同三角形ABC比三角形DEF。
［I. 34］
因此也有，三角形ABC比三角形DEF如同立体EHQP的高比立体BGML的高。
［V. 11］
但立体EHQP的高与棱锥DEFH的高相同，
且立体BGML的高与棱锥ABCG的高相同，
因此，底ABC比底DEF如同棱锥DEFH的高比棱锥ABCG的高。
因此，在棱锥ABCG、DEFH中，它们的底与高成互反比例。
其次，在棱锥ABCG、DEFH中，设它们的底和高成互反比例；
即底ABC比底DEF如同棱锥DEFH的高比棱锥ABCG的高；
我说，棱锥ABCG等于棱锥DEFH。
这是因为，同样作图，
由于底ABC比底DEF如同棱锥DEFH的高比棱锥ABCG的高，
而底ABC比底DEF如同平行四边形BM比平行四边形EQ，
因此也有，平行四边形BM比平行四边形EQ如同棱锥DEFH的高比棱锥ABCG的高。
［V. 11］
但棱锥DEFH的高与平行六面体EHQP的高相同，
且棱锥ABCG的高与平行六面体BGML的高相同；
因此，底BM比底EQ如同平行六面体EHQP的高比平行六面体BGML的高。
但底与高成互反比例的平行六面体相等；
［XI. 34］
因此，平行六面体BGML等于平行六面体EHQP。
而棱锥ABCG是BGML的六分之一，棱锥DEFH是平行六面体EHQP的六分之一；
因此，棱锥ABCG等于棱锥DEFH。
这就是所要证明的。
命题10
任一圆锥是与它同底等高的圆柱的三分之一。
Any cone is a third part of the cylinder which has the same base with it and equal height.
?
设一个圆锥与一个圆柱同底，即圆ABCD，且等高；
我说，该圆锥是该圆柱的三分之一，即该圆柱是该圆锥的三倍。
这是因为，如果圆柱不是圆锥的三倍，则圆柱要么大于圆锥的三倍，要么小于圆锥的三倍。
首先，设圆柱大于圆锥的三倍，
且设正方形ABCD内接于圆ABCD；
［IV. 6］
于是，正方形ABCD大于圆ABCD的一半。
在正方形ABCD上作一个与圆柱等高的棱柱。
于是，该棱柱大于圆柱的一半，这是因为，如果作圆ABCD的外切正方形，
［IV. 7］
则圆ABCD的内接正方形是圆外切正方形的一半，
且在它们上作的平行六面体棱柱等高，
而同高的平行六面体之比如同其底之比；
［XI. 32］
因此也有，在正方形ABCD上所作的棱柱是在圆ABCD的外切正方形上所作棱柱的一半；
［参见XI. 28，或XII. 6和7，推论］
而圆柱小于在圆ABCD外切正方形上所作的棱柱；
因此，在与圆柱等高的正方形ABCD上所作的棱柱大于圆柱的一半。
设圆周AB、BC、CD、DA在点E、F、G、H被二等分，
连接AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA；
于是，已经证明，三角形AEB、BFC、CGD、DHA中的每一个都大于圆ABCD中包含该三角形的弓形的一半。
［XII. 2］
在三角形AEB、BFC、CGD、DHA中的每一个上作与圆柱等高的棱柱；
于是，如此作的每一个棱柱都大于包含它的弓形圆柱的一半，
这是因为，如果过点E、F、G、H作AB、BC、CD、DA的平行线，将AB、BC、CD、DA上的平行四边形补充完整，且在其上作与圆柱等高的平行六面体，则在三角形AEB、BFC、CGD、DHA上所作的棱柱是如此所作的各个立体的一半；
而弓形圆柱之和小于所作的平行六面体之和；
因此也有，在三角形AEB、BFC、CGD、DHA上的棱柱之和大于包含它们的弓形圆柱之和的一半。
于是，将余下的各个圆周二等分，连接直线，在每个三角形上作与圆柱等高的棱柱，
这样继续作下去，
将会余下一些弓形圆柱，它们之和小于圆柱超出三倍圆锥的部分。
［X. 1］
设余下一些弓形圆柱，它们是AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA；
因此，余下的以多边形AEBFCGDH为底且其高与圆柱的高相同的棱柱大于圆锥的三倍。
但以多边形AEBFCGDH为底且与圆柱同高的棱柱是以多边形AEBFCGDH为底且顶点与圆锥相同的棱锥的三倍；
［XII. 7，推论］
因此也有，以多边形AEBFCGDH为底且顶点与圆锥相同的棱锥大于以圆ABCD为底的圆锥。
但它也小于以圆ABCD为底的圆锥，这是因为它被后者所包含：
这是不可能的。
因此，圆柱不大于圆锥的三倍。
其次我说，圆柱也不小于圆锥的三倍，
这是因为，如果可能，设圆柱小于圆锥的三倍，
因此，反过来，圆锥大于圆柱的三分之一。
设正方形ABCD内接于圆ABCD；
因此，正方形ABCD大于圆ABCD的一半。
现在，在正方形ABCD上作一个顶点与圆锥相同的棱锥；
因此，这个棱锥大于圆锥的一半，
既然前已证明，如果作圆的外切正方形，则正方形ABCD是圆外切正方形的一半，
而且，如果在正方形上作与圆锥等高的平行六面体，也被称为棱柱，则在正方形ABCD上所作的棱柱是在圆外切正方形上所作棱柱的一半，
这是因为它们彼此之比如同其底之比。
［XI. 32］
因此也有，它们的三分之一之比也是这个比；
因此也有，以正方形ABCD为底的棱锥是在圆外切正方形上所作棱锥的一半。
而在圆外切正方形上所作的棱锥大于圆锥，
这是因为在圆外切正方形上所作的棱锥包含圆锥。
因此，以正方形ABCD为底且顶点与圆锥相同的棱锥大于圆锥的一半。
设圆周AB、BC、CD、DA在点E、F、G、H被二等分，
连接AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA；
因此也有，三角形AEB、BFC、CGD、DHA中的每一个都大于圆ABCD的包含它的弓形的一半。
现在，在三角形AEB、BFC、CGD、DHA中的每一个上分别作顶点与圆锥相同的棱锥；
因此也有，这些棱锥中的每一个都以同样的方式大于包含它的弓形圆锥的一半。
于是，通过将余下的圆周二等分，连接直线，在每个三角形上作顶点与圆锥相同的棱锥，
这样继续作下去，
将会余下一些弓形圆锥，它们之和小于圆锥超出圆柱三分之一的部分。
［X. 1］
设余下一些弓形圆柱，它们是AE、EB、BF、FC、CG、GD、DH、HA上的弓形圆柱；
因此，余下的以多边形AEBFCGDH为底且顶点与圆锥相同的棱锥大于圆柱的三分之一。
但以多边形AEBFCGDH为底且顶点与圆锥相同的棱锥是以多边形AEBFCGDH为底且与圆柱同高的棱柱的三分之一；
因此，以多边形AEBFCGDH为底且与圆柱同高的棱柱大于以圆ABCD为底的圆柱。
但棱柱也小于圆柱，这是因为棱柱被圆柱所包含：
这是不可能的。
因此，圆柱不小于圆锥的三倍。
但已证明，圆柱也不大于圆锥的三倍；
因此，圆柱是圆锥的三倍；
因此，圆锥是圆柱的三分之一。
这就是所要证明的。
命题11
同高的圆锥或圆柱之比如同其底之比。
Cones and cylinders which are of the same height are to one another as their bases.
?
设有同高的圆锥或圆柱，
设圆ABCD、EFGH是它们的底，KL、MN是它们的轴，且AC、EG是它们底的直径；
我说，圆ABCD比圆EFGH如同圆锥AL比圆锥EN。
这是因为，如果不是这样，那么圆ABCD比圆EFGH如同圆锥AL比某个要么小于要么大于圆锥EN的立体。
首先，设成比例的是一个小于圆锥EN的立体O，
且设立体X等于立体O小于圆锥EN的部分；
因此，圆锥EN等于立体O、X之和。
设正方形EFGH内接于圆EFGH；
因此，正方形大于圆的一半。
在正方形EFGH上作与圆锥等高的棱锥；
因此，这个棱锥大于圆锥的一半，
这是因为，如果作圆的外切正方形，且在它上作与圆锥等高的棱锥，则内接棱锥是外切棱锥的一半，
这是因为它们彼此之比如同其底之比，
［XII. 6］
而圆锥小于外切棱锥。
设圆周HE、EF、FG、GH在点P、Q、R、S被二等分，连接HP、PE、EQ、QF、FR、RG、GS、SH。
因此，三角形HPE、EQF、FRG、GSH中的每一个都大于包含它的弓形的一半。
在三角形HPE、EQF、FRG、GSH中的每一个上作与圆锥等高的棱锥；
因此也有，所作棱锥中的每一个都大于包含它的弓形圆锥的一半。
于是，通过将余下的圆周二等分，连接直线，在每个三角形上作顶点与圆锥相同的棱锥，
这样继续作下去，
将会余下一些弓形圆锥，它们之和小于立体X。
［X. 1］
设余下的是HP、PE、EQ、QF、FR、RG、GS、SH上的弓形圆锥；
因此，余下的以多边形HPEQFRGS为底且与圆锥同高的棱锥大于立体O。
也设内接于圆ABCD的多边形DTAUBVCW与多边形HPEQFRGS相似且有相似位置，
且在它上作与圆锥AL等高的棱锥。
于是，由于AC上的正方形比EG上的正方形如同多边形DTAUBVCW比多边形HPEQFRGS，
［XII. 1］
而AC上的正方形比EG上的正方形如同圆ABCD比圆EFGH，
［XII. 2］
因此也有，圆ABCD比圆EFGH如同多边形DTAUBVCW比多边形HPEQFRGS。
但圆ABCD比圆EFGH如同圆锥AL比立体O，
且多边形DTAUBVCW比多边形HPEQFRGS如同以多边形DTAUBVCW为底且以点L为顶点的棱锥比以多边形HPEQFRGS为底且以点N为顶点的棱锥。
［XII. 6］
因此也有，圆锥AL比立体O如同以多边形DTAUBVCW为底且以点L为顶点的棱锥比以多边形HPEQFRGS为底且以点N为顶点的棱锥；
［V. 11］
因此，取更比例，圆锥AL比它中的棱锥如同立体O比圆锥EN中的棱锥。
［V. 16］
但圆锥AL大于它中的棱锥；
因此，立体O也大于圆锥EN中的棱锥。
但立体O也小于圆锥EN中的棱锥：
这是荒谬的。
因此，圆锥AL比任何小于圆锥EN的立体都不如同圆ABCD比圆EFGH。
类似地，可以证明，圆锥EN比任何小于圆锥AL的立体也都不如同圆EFGH比圆ABCD。
其次我说，圆锥AL比任何大于圆锥EN的立体也不如同圆ABCD比圆EFGH。
这是因为，如果可能，设成比例的是一个大于圆锥EN的立体O；
因此，取反比例，圆EFGH比圆ABCD如同立体O比圆锥AL。
但立体O比圆锥AL如同圆锥EN比某个小于圆锥AL的立体；
因此也有，圆EFGH比圆ABCD如同圆锥EN比某个小于圆锥AL的立体：
已经证明这是不可能的。
因此，圆锥AL比任何大于圆锥EN的立体都不如同圆ABCD比圆EFGH。
但已证明，成这个比例的也不是小于EN的立体；
因此，圆ABCD比圆EFGH如同圆锥AL比圆锥EN。
但圆锥比圆锥等于圆柱比圆柱，
这是因为圆柱是圆锥的三倍。
［XII. 10］
因此也有，圆ABCD比圆EFGH如同其上等高的圆柱之比。
这就是所要证明的。
命题12
相似的圆锥或圆柱之比是其底上直径之比的三倍比。
Similar cones and cylinders are to one another in the triplicate ratio of the diameters in their bases.
?
设有相似的圆锥或圆柱，
设圆ABCD、EFGH是它们的底，BD与FH是底的直径，且KL、MN是圆锥及圆柱的轴。
我说，以圆ABCD为底且以L为顶点的圆锥比以圆EFGH为底且以N为顶点的圆锥是BD比FH的三倍比。
这是因为，如果圆锥ABCDL比圆锥EFGHN不是BD比FH的三倍比，
则圆锥ABCDL比某个要么小于要么大于圆锥EFGHN的立体是BD比FH的三倍比。
首先，设成此三倍比的是一个小于圆锥EFGHN的立体O。
设正方形EFGH内接于圆EFGH；
［IV. 6］
因此，正方形EFGH大于圆EFGH的一半。
现在，在正方形EFGH上作一个顶点与圆锥相同的棱锥；
因此，此棱锥大于圆锥的一半。
设圆周EF、FG、GH、HE在点P、Q、R、S被二等分，
连接EP、PF、FQ、QG、GR、RH、HS、SE。
因此，三角形EPF、FQG、GRH、HSE中的每一个也大于圆EFGH中包含它的弓形的一半。
现在，在三角形EPF、FQG、GRH、HSE中的每一个上作一个顶点与圆锥相同的棱锥；
因此，这样作的每一个棱锥也大于包含它的弓形圆锥的一半。
于是，将余下各个圆周二等分，连接直线，在每个三角形上作顶点与圆锥相同的棱锥，
这样继续作下去，
将会余下一些弓形圆锥，它们之和小于圆锥EFGHN超出立体O的部分。
［X. 1］
设余下一些弓形圆锥，它们是EP、PF、FQ、QG、GR、RH、HS、SE上的弓形圆锥；
因此，余下的以多边形EPFQGRHS为底且以点N为顶点的棱锥大于立体O。
也作圆ABCD的内接多边形ATBUCVDW与多边形EPFQGRHS相似且有相似位置，
在多边形ATBUCVDW上作顶点与圆锥相同的棱锥；
由若干三角形围成一个以多边形ATBUCVDW为底且以点L为顶点的棱锥，设LBT是这些三角形之一，
又由若干三角形围成一个以多边形EPFQGRHS为底且以点N为顶点的棱锥，设NFP是这些三角形之一；
接连KT、MP。
现在，由于圆锥ABCDL相似于圆锥EFGHN，
因此，BD比FH如同轴KL比轴MN。
［XI. 定义24］
但BD比FH如同BK比FM；
因此也有，BK比FM如同KL比MN。
又，取更比例，BK比KL如同FM比MN。
［V. 16］
而等角即角BKL、FMN的边成比例；
因此，三角形BKL相似于三角形FMN。
［VI. 6］
又，由于BK比KT如同FM比MP，
且它们的夹角相等，即角BKT、FMP，
这是因为，无论角BKT是圆心K的四个直角的多少部分，角FMP也是圆心M的四个直角的同样多少部分；
于是，由于夹角相等的边成比例，
因此，三角形BKT相似于 三角形FMP。
［VI. 6］
又，由于已经证明，BK比KL如同FM比MN，
而BK等于KT，FM等于PM，
因此，TK比KL如同PM比MN；
又，等角即角TKL、PMN的边成比例，这是因为它们是直角；
因此，三角形LKT相似于三角形NMP。
［VI. 6］
又，由于三角形LKB相似于NMF，
所以
LB比BK如同NF比FM，
又，由于三角形BKT相似于FMP，
所以
KB比BT如同MF比FP，
因此，取首末比例，LB比BT如同NF比FP。
［V. 22］
又，由于三角形LTK相似于NPM，
所以
LT比TK如同NP比PM，
又，由于三角形TKB相似于PMF，
所以
KT比TB如同MP比PF；
因此，取首末比例，LT比TB如同NP比PF。
［V. 22］
但已证明，TB比BL如同PF比FN。
因此，取首末比例，TL比LB如同PN比NF。
［V. 22］
因此，在三角形LTB、NPF中，边成比例；
因此，三角形LTB、NPF等角；
［VI. 5］
因此，它们也相似。
［VI. 定义I］
因此，以三角形BKT为底且以点L为顶点的棱锥也相似于以三角形FMP为底且以点N为顶点的棱锥，
这是因为，它们由相等个数的相似平面所围成。
［XI. 定义9］
但以三角形为底的相似棱锥之比是其对应边之比的三倍比。
［XII. 8］
因此，棱锥BKTL比棱锥FMPN是BK比FM的三倍比。
类似地，从A、W、D、V、C、U到K连直线，又从E、S、H、R、G、Q到M连直线，在每个三角形上作顶点与圆锥相同的棱锥，
可以证明，每对相似棱锥之比是对应边BK比对应边FM的三倍比，即BD比FH的三倍比。
又，前项之一比后项之一如同所有前项之和比所有后项之和；
［V. 12］
因此也有，棱锥BKTL比棱锥FMPN如同以多边形ATBUCVDW为底且以点L为顶点的整个棱锥比以多边形EPFQGRHS为底且以点N为顶点的整个棱锥；
因此也有，以ATBUCVDW为底且以点L为顶点的棱锥比以多边形EPFQGRHS为底且以点N为顶点的棱锥是BD比FH的三倍比。
但根据假设，以圆ABCD为底且以点L为顶点的圆锥比立体O是BD比FH的三倍比；
因此，以圆ABCD为底且以点L为顶点的圆锥比立体O如同以多边形ATBUCVDW为底且以L为顶点的棱锥比以多边形EPFQ-GRHS为底且以点N为顶点的棱锥；
因此，取更比例，以圆ABCD为底且以L为顶点的圆锥比它所包含的以多边形ATBUCVDW为底且以L为顶点的棱锥如同立体O比以多边形EPFQGRHS为底且以N为顶点的棱锥。
［V. 16］
但上述圆锥大于它之中的棱锥；
这是因为圆锥包含棱锥。
因此，立体O也大于以多边形EPFQGRHS为底且以N为顶点的棱锥。
但立体O也小于棱锥：
这是不可能的。
因此，以圆ABCD为底且以L为顶点的圆锥比任何小于以圆EFGH为底且以点N为顶点的圆锥的立体都不是BD比FH的三倍比。
类似地，可以证明，圆锥EFGHN比任何小于圆锥ABCDL的立体也不是FH比BD的三倍比。
其次我说，圆锥ABCDL比任何大于圆锥EFGHN的立体也不是BD比FH的三倍比。
这是因为，如果可能，设成比例的是一个大于圆锥EFGHN的立体O。
因此，取反比例，立体O比圆锥ABCDL是FH比BD的三倍比。
但立体O比圆锥ABCDL如同圆锥EFGHN比某个小于圆锥ABCDL的立体。
因此，圆锥EFGHN比某个小于圆锥ABCDL的立体是FH比BD的三倍比：
已经证明这是不可能的。
因此，圆锥ABCDL比任何大于圆锥EFGHN的立体都不是BD比FH的三倍比。
但已证明，成比例的也不是一个小于圆锥EFGHN的立体。
因此，圆锥ABCDL比圆锥EFGHN是BD比FH的三倍比。
但圆锥比圆锥如同圆柱比圆柱，
这是因为，同底等高的圆柱是圆锥的三倍；
［XII. 10］
因此，圆柱比圆柱也是BD比FH的三倍比。
这就是所要证明的。
命题13
若一圆柱被平行于其对面的平面所截，则圆柱比圆柱如同轴比轴。
If a cylinder be cut by a plane which is parallel to its opposite planes, then, as the cylinder is to the cylinder, so will the axis be to the axis.
?
设圆柱AD被平行于对面AB、CD的平面GH所截，
且设平面GH与轴交于点K；
我说，圆柱BG比圆柱GD如同轴EK比轴KF。
这是因为，沿两个方向延长轴EF至点L、M，
取任意多个轴EN、NL等于轴EK，
以及取任意多个FO、OM等于FK；
又作以LM为轴的圆柱PW，其底为圆PQ、VW。
过点N、O作平面平行于AB、CD和圆柱PW的底，
又设由此产生以N、O为圆心的圆RS、TU。
于是，由于轴LN、NE、EK彼此相等，
因此，圆柱QR、RB、BG彼此之比如同其底之比。
［XII. 11］
但其底相等；
因此，圆柱QR、RB、BG也彼此相等。
于是，由于轴LN、NE、EK彼此相等，
且圆柱QR、RB、BG也彼此相等，
且前者的个数等于后者的个数，
因此，轴KL是轴EK的多少倍，圆柱QG也是圆柱GB的多少倍。
同理，轴MK是轴KF的多少倍，圆柱WG也是圆柱GD的多少倍。
又，如果轴KL等于轴KM，则圆柱QG也等于圆柱GW，
如果轴KL大于轴KM，则圆柱QG也大于圆柱GW，
如果轴KL小于轴KM，则圆柱QG也小于圆柱GW。
于是，有四个量，轴EK、KF和圆柱BG、GD，
已取轴EK和圆柱BG的等倍量，即轴LK和圆柱QG，
以及轴KF和圆柱GD的等倍量，即轴KM及圆柱GW；
且已证明，如果轴KL大于轴KM，则圆柱QG也大于圆柱GW，
如果轴KL等于轴KM，则圆柱QG也等于圆柱GW；
如果轴KL小于轴KM，则圆柱QG也小于圆柱GW。
因此，轴EK比轴KF如同圆柱BG比圆柱GD。
［V. 定义5］
这就是所要证明的。
命题14
等底的圆锥或圆柱之比如同其高之比。
Cones and cylinders which are on equal bases are to one another as their heights.
?
设EB、FD是等底的圆柱，底为圆AB、CD；
我说，圆柱EB比圆柱FD如同高GH比高KL。
延长轴KL至点N，
使LN等于轴GH，
又作以LN为轴的圆柱CM。
于是，由于圆柱EB、CM同高，所以它们彼此之比如同其底之比。
［XII. 11］
但它们的底彼此相等：
因此，圆柱EB、CM也相等。
又，由于圆柱FM被平行于其对面的平面CD所截，
因此，圆柱CM比圆柱FD如同轴LN比轴KL。
［XII. 13］
但圆柱CM等于圆柱EB，
且轴LN等于轴GH；
因此，圆柱EB比圆柱FD如同轴GH比轴KL。
但圆柱EB比圆柱FD如同圆锥ABG比圆锥CDK。
［XII. 10］
因此也有，轴GH比轴KL如同圆锥ABG比圆锥CDK，也如同圆柱EB比圆柱FD。
这就是所要证明的。
命题15
相等的圆锥或圆柱，其底与高成互反比例；底与高成互反比例的圆锥或圆柱相等。
In equal cones and cylinders the bases are reciprocally proportional to the heights; and those cones and cylinders in which the bases are reciprocally proportional to the heights are equal.
?
设有以圆ABCD、EFGH为底的相等的圆锥或圆柱；
设AC、EG是底的直径，
且KL、MN是轴，也是圆锥或圆柱的高；
将圆柱AO、EP补充完整。
我说，圆柱AO、EP的底与高成互反比例，
即底ABCD比底EFGH如同高MN比高KL。
这是因为，高LK要么等于高MN，要么不等于高MN。
首先，设高LK等于高MN。
现在，圆柱AO也等于圆柱EP。
但同高的圆锥或圆柱之比如同其底之比；
［XII. 11］
因此，底ABCD也等于底EFGH。
因此也有，取互反比例，底ABCD比底EFGH如同高MN比高KL。
其次，设高LK不等于MN，
而是MN较大；
从高MN上截取QN等于KL，
过点Q作平面TUS平行于圆EFGH、RP的平面，圆柱EP被它所截，
且设圆柱ES以圆EFGH为底，以NQ为高。
现在，由于圆柱AO等于圆柱EP，
因此，圆柱AO比圆柱ES如同圆柱EP比圆柱ES。
［V. 7］
但圆柱AO比圆柱ES如同底ABCD比底EFGH，
这是因为圆柱AO、ES同高；
［XII. 11］
又，圆柱EP比圆柱ES如同高MN比高QN，
这是因为圆柱EP被一个平行于其对面的平面所截。
［XII. 13］
因此也有，底ABCD比底EFGH如同高MN比高QN。
［V. 11］
但高QN等于高KL；
因此，底ABCD比底EFGH如同高MN比高KL。
因此，在圆柱AO、EP中，底与高成互反比例。
其次，在圆柱AO、EP中，设底与高成互反比例，
即底ABCD比底EFGH如同高MN比高KL；
我说，圆柱AO等于圆柱EP。
这是因为，同样作图，
由于底ABCD比底EFGH如同高MN比高KL，
而高KL等于高QN，
因此，底ABCD比底EFGH如同高MN比高QN。
但底ABCD比底EFGH如同圆柱AO比圆柱ES，
这是因为它们同高；
［XII. 11］
而高MN比QN如同圆柱EP比圆柱ES；
［XII. 13］
因此，圆柱AO比圆柱ES如同圆柱EP比圆柱ES。
［V. 11］
因此，圆柱AO等于圆柱EP。
［V. 9］
这对圆锥来说也是如此。
这就是所要证明的。
命题16
给定两同心圆，在大圆中作一个有偶数条边的、不与小圆相切的内接等边多边形。
Given two circles about the same centre, to inscribe in the greater circle an equilateral polygon with an even number of sides which does not touch the lesser circle.
?
设ABCD、EFGH是以K为共同圆心的两个给定的圆；
于是，要求在大圆ABCD中作一个有偶数条边的、不与小圆EFGH相切的内接等边多边形。
过圆心K作直线BKD，
又从点G作GA与直线BD成直角并延长到C；
因此，AC与圆EFGH相切。
［III. 16，推论］
然后，将圆周BAD二等分，再将它的一半二等分，这样继续作下去，则会留下一个小于AD的圆周。
［X. 1］
设这样留下的圆周是LD；
从L作LM垂直于BD并延长至N，
连接LD、DN；
因此，LD等于DN。
［III. 3，I. 4］
现在，由于LN平行于AC，
且AC与圆EFGH相切，
因此，LN不与圆EFGH相切；
因此，LD、DN更不与圆EFGH相切。
于是，如果将等于LD的直线连续纳入圆ABCD，则在圆ABCD中作出一个有偶数条边的、不与小圆EFGH相切的内接等边多边形。
这就是所要作的。
命题17
给定两同心球，在大球中作一个不与小球的球面相切的内接多面体。
Given two spheres about the same centre, to inscribe in the greater sphere a polyhedral solid which does not touch the lesser sphere at its surface.
?
设两球有相同的球心A；
于是，要求在大球中作一个不与小球的球面相切的内接多面体。
设两球被过球心的任一平面所截；
于是，截线是圆，
这是因为，球是直径保持固定，半圆绕直径旋转而成的；
［XI. 定义14］
因此，无论设想半圆处于任何位置，过半圆的平面都在球面上产生一个圆。
显然，这个圆是最大的，
这是因为，球的直径，当然既是半圆的直径也是圆的直径，大于在圆中或球中所作的所有直线。
然后，设BCDE是大球中的圆，
且FGH是小球中的圆；
在它们中作两直径BD、CE彼此成直角；
于是，给定同心的两圆BCDE、FGH，在大圆BCDE中作一个有偶数条边的、不与小圆EGH相切的内接等边多边形。
设BK、KL、LM、ME是象限BE中的边，
连接KA并延长至N，
从点A作AO与圆BCDE的平面成直角，且它与球面交于O，
过AO和直线BD、KN中的每一条作平面；
于是，出于已经陈述的理由，它们与球面截出最大的圆。
设已经作出了它们，
且设在它们中，BOD、KON是BD、KN上的半圆。
现在，由于OA与圆BCDE的平面成直角，
因此，所有过OA的平面都与圆BCDE的平面成直角；
［XI. 18］
因此，半圆BOD、KON也与圆BCDE的平面成直角。
又，由于半圆BED、BOD、KON相等，
这是因为它们在相等的直径BD、KN上，
因此，象限BE、BO、KO也彼此相等。
因此，象限BO、KO中有多少条直线等于直线BK、KL、LM、ME，象限BE中就有多边形的多少条边。
设它们内接，且设它们是BP、PQ、QR、RO和KS、ST、TU、UO，
连接SP、TQ、UR，
从P、S作圆BCDE的平面的垂线；
［XI. 11］
它们将落在平面的公共交线BD、KN上，
这是因为BOD、KON的平面与圆BCDE的平面也成直角。
［参见XI. 定义4］
设它们是PV、SW，
连接WV。
现在，由于在相等的半圆BOD、KON中已经截取了相等的直线BP、KS，
且已作垂线PV、SW，
因此，PV等于SW，且BV等于KW。
［III. 27，I. 26］
但整个BA也等于整个KA；
因此，余下的VA也等于余下的WA；
因此，BV比VA如同KW比WA；
因此，WV平行于KB。
［VI. 2］
又，由于直线PV、SW中的每一条都与圆BCDE的平面成直角，
因此，PV平行于SW。
［XI. 6］
但已证明，PV也等于SW；
因此，WV、SP相等且平行。
［I. 33］
又，由于WV平行于SP，
而WV平行于KB，
因此，SP也平行于KB。
［XI. 9］
连接BP、KS的端点；
因此，四边形KBPS在同一平面上，
这是因为，如果两直线平行，在它们上各任取一点，则连接两点的直线与两平行直线在同一平面上。
［XI. 7］
同理，四边形SPQT、TQRU中的每一个也在同一平面上。
但三角形URO也在同一平面上。
［XI. 2］
于是，如果从点P、S、Q、T、R、U向A连接直线，则可作出圆周BO、KO之间的某个多面体，它由以四边形KBPS、SPQT、TQRU和三角形URO为底且以点A为顶点的棱锥所构成。
又，如果我们就边KL、LM、ME中的每一条像BK一样作同样的图，且就其余三个象限也作同样的图，
则可作出某个球内接多面体，它由以上述四边形和三角形URO以及其他与之对应的四边形和三角形为底且以点A为顶点的棱锥所构成。
我说，上述多面体不在圆FGH所在的面与小球相切。
从点A作AX垂直于四边形KBPS的平面，且设它与平面交于点X；
［XI. 11］
连接XB、XK。
于是，由于AX与四边形KBPS的平面成直角，因此它也与四边形平面上与之相交的所有直线成直角。
［XI. 定义3］
因此，AX与直线BX、XK中的每一条成直角。
又，由于AB等于AK，所以
AB上的正方形也等于AK上的正方形。
且AX、XB上的正方形之和等于AB上的正方形，
这是因为X处的角是直角；
［I. 47］
且AX、XK上的正方形之和等于AK上 的正方形。
［I. 47］
因此，AX、XB上的正方形之和等于AX、XK上的正方形之和。
从它们中各减去AX上的正方形；
因此，余下的BX上的正方形等于余下的XK上的正方形；
因此，BX等于XK。
类似地，可以证明，从X到P、S连接的直线等于直线BX、XK中的每一条。
因此，以X为圆心且以XB、XK中的一条为距离所作的圆也过P、S，
且KBPS是一个圆内的四边形。
现在，由于KB大于WV，
而WV等于SP，
因此，KB大于SP。
但KB等于直线KS、BP中的每一条；
因此，直线KS、BP中的每一条都大于SP。
又，由于KBPS是一个圆内的四边形，
而KB、BP、KS相等，且PS较小，
且BX是圆的半径，
因此，KB上的正方形大于BX上的正方形的二倍。
从K作KZ垂直于BV。
于是，由于BD小于DZ的二倍，
且BD比DZ如同矩形DB、BZ比矩形DZ、ZB，
如果在BZ上作一个正方形，且将ZD上的平行四边形补充完整，
则矩形DB、BZ也小于矩形DZ、ZB的二倍。
且如果连接KD，
则矩形DB、BZ等于BK上的正方形，
而矩形DZ、ZB等于KZ上的正方形；
［III. 31，VI. 8和推论］
因此，KB上的正方形小于KZ上的正方形的二倍。
但KB上的正方形大于BX上的正方形的二倍；
因此，KZ上的正方形大于BX上的正方形。
又，由于BA等于KA，所以
BA上的正方形等于AK上的正方形。
而BX、XA上的正方形之和等于BA上的正方形，
且KZ、ZA上的正方形之和等于KA上的正方形；
［I. 47］
因此，BX、XA上的正方形之和等于KZ、ZA上的正方形之和，
且其中KZ上的正方形大于BX上的正方形；
因此，余下的ZA上的正方形小于XA上的正方形。
因此，AX大于AZ；
因此，AX更大于AG。
而AX是多面体一个底上的垂线，
且AG在小球的球面上；[1]
因此，多面体不与小球的球面相切。
这样便对给定的两同心球，在大球中作出了一个不与小球的球面相切的内接多面体。
这就是所要作的。
推论但如果另一个球的内接多面体也相似于球BCDE中的多面体，
则球BCDE中的多面体比另一个球中的多面体是球BCDE的直径比另一个球的直径的三倍比。
这是因为，将这两个多面体分成个数相等、安排相似的棱锥，这些棱锥是相似的。
而相似棱锥之比是其对应边之比的三倍比；
［XII. 8，推论］
因此，以四边形KBPS为底且以点A为顶点的棱锥比另一个球中有相似安排的棱锥是对应边比对应边的三倍比，即以A为球心的球的半径AB比另一个球的半径的三倍比。
类似地也有，以A为球心的球中的每个棱锥比另一个球中有相似安排的棱锥是AB比另一个球的半径的三倍比。
而前项之一比后项之一如同所有前项之和比所有后项之和。
［V. 12］
因此，以A为球心的球中的整个多面体比另一个球中的整个多面体是AB比另一个球的半径的三倍比，即直径BD比另一个球的直径的三倍比。
这就是所要证明的。
命题18
球与球之比是其直径之比的三倍比。
Spheres are to one another in the triplicate ratio of their respective diameters.
?
作球ABC、DEF，
且设BC、EF是它们的直径；
我说，球ABC比球DEF是BC比EF的三倍比。
这是因为，如果球ABC比球DEF不是BC比EF的三倍比，
则球ABC比某个小于DEF或大于球DEF的球是BC比EF的三倍比。
首先，设成比例的是一个小于DEF的球GHK，
设球DEF与球GHK同心，
在大球DEF中作一个不与小球GHK的球面相切的内接多面体，
［XII. 17］
且在球ABC中作一个内接多面体相似于球DEF中的多面体；
因此，ABC中的多面体比DEF中的多面体是BC比EF的三倍比。
［XII. 17，推论］
但球ABC比球GHK也是BC比EF的三倍比；
因此，球ABC比球GHK如同在球ABC中的多面体比球DEF中的多面体；
取更比例，球ABC比它内部的多面体如同球GHK比球DEF中的多面体。
［V. 16］
但球ABC大于它内部的多面体；
因此，球GHK也大于球DEF中的多面体。
但球GHK也小于球DEF中的多面体，
这是因为球GHK被球DEF中的多面体所包含。
因此，球ABC比一个小于球DEF的球不是直径BC比直径EF的三倍比。
类似地，可以证明，球DEF比一个小于球ABC的球也不是EF比BC的三倍比。
其次我说，球ABC比某个大于球DEF的球也不是BC比EF的三倍比。
这是因为，如果可能，设成比例的是一个大于DEF的球LMN；
因此，取反比例，球LMN比球ABC是直径EF比BC的三倍比。
但因为LMN大于DEF，
因此，球LMN比球ABC如同球DEF比某个小于球ABC的球，如前已证明的。
［XII. 2，引理］
因此，球DEF比某个小于球ABC的球也是EF比BC的三倍比：
已经证明这是不可能的。
因此，球ABC比某个大于球DEF的球不是BC比EF的三倍比。
但已证明，球ABC比某个小于球DEF的球也不是BC比EF的三倍比。
因此，球ABC比球DEF是BC与EF的三倍比。
这就是所要证明的。
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[1]?原文如此，疑有误，应为“AG是小球的半径“。（译者注）
