定义?Definitions
01 /?体是有长、宽和高的东西。
A?solid?is that which has length, breadth, and depth.
02 / 体之端是面。
An extremity of a solid is a surface.
03 / 当一直线与一平面上所有与它相交的直线都成直角时，此直线与该平面成直角。
A?straight line is at right angles to a plane, when it makes right angles with all the straight lines which meet it and are in the plane.
04 / 当在两个平面之一内所作的直线与两平面的交线成直角并且与另一平面成直角时，这两个平面成直角。
A plane is at right angles to a planewhen the straight lines drawn, in one of the planes, at right angles to the common section of the planes are at right angles to the remaining plane.
05 / 从一直线在平面上方的端点向平面作垂线，该直线与连接垂足和直线在平面上端点的直线所成的角是该直线与平面的倾角。
The inclination of a straight line to a planeis, assuming a perpendicular drawn from the extremity of the straight line which is elevated above the plane to the plane, and a straight line joined from the point thus arising to the extremity of the straight line which is in the plane, the angle contained by the straight line so drawn and the straight line standing up.
06 / 从两平面交线上的同一点在各自平面上所作交线的垂线所成的锐角是两平面的倾角。
The inclination of a plane to a planeis the acute angle contained by the straight lines drawn at right angles to the common section at the same point, one in each of the planes.
07 / 当一对平面的倾角等于另外一对平面的倾角时，则称它们有相似的倾角。
A plane is said to be?similarly inclined?to a plane as another is to another when the said angles of the inclinations are equal to one another.
08 /?平行平面是不相交的平面。
Parallel planesare those which do not meet.
09 /?相似立体形是由个数相等的相似平面所围成的那些立体形。
Similar solid figuresare those contained by similar planes equal in multitude.
10 /?相等且相似的立体形是由个数和大小相等的相似平面所围成的那些立体形。
Equal and similar solid figuresare those contained by similar planes equal in multitude and in magnitude.
11 /?立体角是由彼此交于同一点且不在同一面内的两条以上的线所共同构成的倾角。或者说：立体角是由不在同一平面上且在同一点构造的两个以上的平面角所围成的角。
A?solid angle?is the inclination constituted by more than two lines which meet one another and are not in the same surface, towards all the lines. Otherwise: A?solid angle?is that which is contained by more than two plane angles which are not in the same plane and are constructed to one point.
12 /?棱锥是从一个平面到一个点所构成的各个平面所围成的立体形。
A?pyramid?is a solid figure, contained by planes, which is constructed from one plane to one point.
13 /?棱柱是由一些平面构成的立体形，其中两个相对的平面是相等、相似且平行的，其余各面则是平行四边形。
A?prism?is a solid figure contained by planes two of which, namely those which are opposite, are equal, similar and parallel, while the rest are parallelograms.
14 /?球是一个半圆的直径保持固定，旋转半圆到运动的初始位置所形成的图形。
When, the diameter of a semicircle remaining fixed, the semicircle is carried round and restored again to the same position from which it began to be moved, the figure so comprehended is a?sphere.
15 /?球的轴是半圆绕之旋转的保持固定的直线。
The?axis of the sphere?is the straight line which remains fixed and about which the semicircle is turned.
16 /?球心与半圆的圆心相同。
The?centre of the sphere?is the same as that of the semicircle.
17 /?球的直径是过球心且沿两个方向终止于球面的任一直线。
A?diameter of the sphere?is any straight line drawn through the centre and terminated in both directions by the surface of the sphere.
18 / 固定直角三角形的一条直角边，旋转直角三角形到运动的初始位置，所形成的图形是圆锥。又，若保持固定的直角边等于另一直角边，则所形成的圆锥是直角圆锥；若小于另一直角边，则是钝角圆锥；若大于另一直角边，则是锐角圆锥。
When, one side of those about the right angle in a right-angled triangle remaining fixed, the triangle is carried round and restored again to the same position from which it began to be moved, the figure so comprehended is a?cone. And, if the straight line which remains fixed be equal to the remaining side about the right angle which is carried round, the cone will be?right-angled; if less,?obtuse-angled; and if greater,?acute-angled.
19 /?圆锥的轴是三角形旋转时保持固定的直线。
The?axis of the cone?is the straight line which remains fixed and about which the triangle is turned.
20 /?圆锥的底是三角形旋转时被带着旋转的直线所描出的圆。
And the?base?is the circle described by the straight line which is carried round.
21 / 固定矩形的一边，旋转矩形到运动的初始位置时，所形成的图形是圆柱。
When, one side of those about the right angle in a rectangular parallelogram remaining fixed, the parallelogram is carried round and restored again to the same position from which it began to be moved, the figure so comprehended is a?cylinder.
22 /?圆柱的轴是矩形绕之旋转的保持固定的直线。
The?axis of the cylinder?is the straight line which remains fixed and about which the parallelogram is turned.
23 /?圆柱的底是被带着旋转的矩形的相对两边所描出的圆。
And the?bases?are the circles described by the two sides opposite to one another which are carried round.
24 /?相似圆锥和相似圆柱是轴与底的直径成比例的那些圆锥和圆柱。
Similar cones and cylindersare those in which the axes and the diameters of the bases are proportional.
25 /?正立方体是六个相等的正方形所围成的立体形。
A?cube?is a solid figure contained by six equal squares.
26 /?正八面体是八个相等的等边三角形所围成的立体形。
An?octahedron?is a solid figure contained by eight equal and equilateral triangles.
27 /?正二十面体是二十个相等的等边三角形所围成的立体形。
An?icosahedron?is a solid figure contained by twenty equal and equilateral triangles.
28 /?正十二面体是十二个相等的等边等角五边形所围成的立体形。
A?dodecahedron?is a solid figure contained by twelve equal, equilateral, and equiangular pentagons.
命题?Proposition
命题01
一直线不可能一部分在所假定的平面上，一部分在更高的平面上。
A part of a straight line cannot be in the plane of reference and a part in a plane more elevated.
?
这是因为，如果可能，设直线ABC的一部分AB在所假定的平面上，一部分BC在更高的平面上。
于是，在所假定的平面上有某直线与AB连成同一直线。
设它为BD；
因此，AB是两直线ABC、ABD的共同部分：
这是不可能的，因为若以B为圆心、以AB为距离作圆，则直径截出不等的圆周。
因此，一直线不可能一部分在所假定的平面上，一部分在更高的平面上。
这就是所要证明的。
命题02
若两直线相交，则它们在同一平面上，且每个三角形都在同一平面上。
If two straight lines cut one another, they are in one plane, and every triangle is in one plane.
?
设两直线AB、CD交于点E；
我说，AB、CD在同一平面上，且每个三角形都在同一平面上。
这是因为，设在EC、EB上任取点F、G，
连接CB、FG，
引FH、GK；
首先我说，三角形ECB在同一平面上。
这是因为，如果三角形ECB的一部分，即FHC或GBK，在所假定的平面上，其余部分在另一个平面上，
则直线EC、EB之一的一部分也在所假定的平面上，一部分在另一平面上。
但如果三角形ECB的一部分FCBG在所假定的平面上，其余部分在另一平面上，
则两直线EC、EB的一部分也在所假定的平面上，一部分在另一平面上：
已经证明这是荒谬的。
［XI. 1］
因此，三角形ECB在同一平面上。
但无论三角形ECB在哪个平面上，直线EC、EB也都在那个平面上，
且无论直线EC、EB在哪个平面上，AB、CD也在那个平面上。
［XI. 1］
因此，直线AB、CD在同一平面上，
且每个三角形都在同一平面上。
这就是所要证明的。
命题03
若两平面相交，则它们的交线是一条直线。
If two planes cut one another, their common section is a straight line.
?
设两平面AB、BC相交，DB是它们的交线；
我说，线DB是一条直线。
这是因为，如果不是这样，那么从D到B在平面AB上连接直线DEB，
且在平面BC上连接直线DFB。
于是，两直线DEB、DFB有相同的端点，而且显然围成一个面：
这是荒谬的。
因此，DEB、DFB都不是直线。
类似地，可以证明，除平面AB、BC的交线DB以外，再没有任何其他直线从D连接到B。
这就是所要证明的。
命题04
若一直线在另外两条直线的交点处与它们成直角，则该直线与过两直线的平面也成直角。
If a straight line be set up at right angles to two straight lines which cut one another, at their common point of section, it will also be at right angles to the plane through them.
?
设直线EF在两条直线AB、CD的交点E与它们成直角；
我说，EF也与过AB、CD的平面成直角。
这是因为，设AE、EB、CE、ED相交且彼此相等，
且过E任引一直线GEH；
连接AD、CB。
又［在EF上］任取点F，连接FA、FG、FD、FC、FH、FB。
现在，由于两直线AE、ED等于两直线CE、EB，且夹相等的角，
［I. 15］
因此，底AD等于底CB，
而三角形AED等于三角形CEB，
［I. 4］
因此，角DAE也等于角EBC。
但角AEG也等于角BEH；
［I. 15］
因此，三角形AGE、BEH分别有两角和一边相等，即等角的夹边AE、EB相等；
因此，其余的边也等于其余的边。
［I. 26］
因此，GE等于EH，且AG等于BH。
又，由于AE等于EB，
而FE是公共的，且在直角处。
因此，底FA等于底FB。
［I. 4］
同理，
FC也等FD。
又，由于AD等于CB，
且FA等于FB，所以
两边FA、AD分别等于两边FB、BC；
而已经证明，底FD等于底FC；
因此，角FAD也等于角FBC。
［I. 8］
又，由于已经证明，AG等于BH，
且FA也等于FB，所以
两边FA、AG等于两边FB、BH。
而已经证明，角FAG等于角FBH；
因此，底FG等于底FH。
［I. 4］
现在，由于已经证明，GE等于EH，
且EF公用，所以
两边GE、EF等于两边HE、EF；
而底FG等于底FH；
因此，角GEF等于角HEF。
［I. 8］
因此，角GEF、HEF中的每一个都是直角。
因此，FE与过E任作的直线GH成直角。
类似地，可以证明，FE与所假定平面上与它相交的所有直线都成直角。
但是当一直线与一平面上所有与它相交的直线都成直角时，此直线与该平面成直角。
［XI. 定义3］
因此，FE与所假定的平面成直角。
但所假定的平面是过直线AB、CD的平面，
因此，FE与过AB、CD的平面成直角。
这就是所要证明的。
命题05
若一直线在三直线的交点处与三直线成直角，则此三直线在同一平面上。
If a straight line be set up at rigid angles to three straight lines which meet one another, at their common point of section, the three straight lines are in one plane.
?
设直线AB在三直线BC、BD、BE的交点B与它们成直角；
我说，BC、BD、BE在同一平面上。
这是因为，假设它们不在同一平面上，但如果可能，设BD、BE在所假定的平面上，BC在更高的平面上；
过AB、BC作平面；
于是，它与所假定平面的交线是一条直线。
［XI. 3］
设它是BF。
因此，三直线AB、BC、BF在同一平面上，即过AB、BC的平面。
现在，由于AB与直线BD、BE中的每一条都成直角，
因此，AB也与过BD、BE的平面成直角。
［XI. 4］
但过BD、BE的平面是所假定的平面；
因此，AB与所假定的平面成直角。
于是，AB也和所假定的平面上与AB相交的所有直线成直角。
［XI. 定义3］
但所假定的平面上的BF与AB相交；
因此，角ABF是直角。
但根据假设，角ABC也是直角；
因此，角ABF等于角ABC。
且它们在同一平面上：
这是不可能的。
因此，直线BC不在更高的平面上；
因此，三直线BC、BD、BE在同一平面上。
因此，如果一直线在三直线的交点与三直线成直角，则此三直线在同一平面上。
这就是所要证明的。
命题06
若两直线与同一平面成直角，则这两直线平行。
If two straight lines be at right angles to the same plane, the straight lines will be parallel.
?
设两直线AB、CD与所假定的平面成直角；
我说，AB平行于CD。
这是因为，设它们与所假定的平面交于点B、D，
连接直线BD，
在所假定的平面上作DE与BD成直角，
取DE等于AB，
连接BE、AE、AD。
现在，由于AB与所假定的平面成直角，所以它也和所假定的平面上与AB相交的所有直线成直角。
［XI. 定义3］
但直线BD、BE中的每一个都在所假定的平面上，且与AB相交；
因此，角ABD、ABE中的每一个都是直角。
同理，
角CDB、CDE中的每一个也都是直角。
又，由于AB等于DE，
且BD公用，所以
两边AB、BD等于两边ED、DB；
而它们夹直角；
因此，底AD等于底BE。
［I. 4］
又，由于AB等于DE，
而AD也等于BE，所以
两边AB、BE等于两边ED、DA；
而AE是它们的公共底；
因此，角ABE等于角EDA。
［I. 8］
但角ABE是直角；
因此，角EDA也是直角；
因此，ED与DA成直角。
但它也与直线BD、DC中的每一条成直角；
因此，ED在三直线BD、DA、DC的交点处与它们成直角；
因此，三直线BD、DA、DC在同一平面上。
［XI. 5］
但无论DB、DA在哪个平面上，AB也在这个平面上，
这是因为任何三角形都在同一平面上；
［XI. 2］
因此，直线AB、BD、DC在同一平面上。
而角ABD、BDC中的每一个都是直角，
因此，AB平行于CD。
［I. 28］
这就是所要证明的。
命题07
若两直线平行，在它们上各任取一点，则连接两点的直线与两平行直线在同一平面上。
If two straight lines be parallel and points be taken at random on each of them, the straight line joining the points is in the same plane with the parallel straight lines.
?
设AB、CD是两平行直线，
分别在它们上任取点E、F；
我说，连接点E、F的直线与两平行直线在同一平面上。
这是因为，假设不是这样，如果可能，设直线EGF在更高的平面上，
过EGF作一平面；
于是，它与所假定的平面交于一条直线。
［XI. 3］
设它是EF；
因此，两直线EGF、EF围成一个面：
这是不可能的
因此，连接E和F的直线不在更高的平面上；
因此，连接E和F的直线在过平行线AB、CD的平面上。
这就是所要证明的。
命题08
若两直线平行，其中一直线与某平面成直角，则另一直线也与同一平面成直角。
If two straight lines be parallel, and one of them be at right angles to any plane, the remaining one will also be at right angles to the same plane.
?
设AB、CD是两平行直线，
且其中的AB与所假定的平面成直角；
我说，另一直线CD也与同一平面成直角。
这是因为，设AB、CD与所假定的平面交于点B、D。
连接BD；
因此，AB、CD、BD在同一平面上。
［XI. 7］
在所假定的平面上作DE与BD成直角，
取DE等于AB，
连接BE、AE、AD。
现在，由于AB与所假定的平面成直角，因此，AB与所假定的平面上与AB相交的所有直线都成直角；
［XI. 定义3］
因此，角ABD、ABE中的每一个都是直角。
又，由于直线BD与平行线AB、CD相交，
因此，角ABD、CDB之和等于两直角。
［I. 29］
但角ABD是直角；
因此，角CDB也是直角；
因此，CD与BD成直角。
又，由于AB等于DE，
且BD公用，所以
两边AB、BD等于两边ED、DB；
而角ABD等于角EDB，
这是因为它们都是直角；
因此，底AD等于底BE。
又，由于AB等于DE，
且BE等于AD，所以
两边AB、BE分别等于两边ED、DA，
而AE是它们的公用底；
因此，角ABE等于角EDA。
但角ABE是直角；
因此，角EDA也是直角；
因此，ED与AD成直角。
但它也与DB成直角；
因此，ED也与过BD、DA的平面成直角。
［XI. 4］
因此，ED也和过BD、DA的平面上与ED相交的直线都成直角。
但DC在过BD、DA的平面上，这是因为AB、BD在过BD、DA的平面上，
［XI. 2］
而DC也在AB、BD所在的平面上。
因此，ED与DC成直角，
因此，CD也与DE成直角。
但CD也与BD成直角，
因此，CD在两直线DE、DB的交点D与两直线成直角；
因此，CD也与过DE、DB的平面成直角。
［XI. 4］
但过DE、DB的平面是所假定的平面；
因此，CD与所假定的平面成直角。
这就是所要证明的。
命题09
与同一直线平行且与之不在同一平面上的直线也彼此平行。
Straight lines which are parallel to the same straight line and are not in the same plane with it are also parallel to one another.
?
设直线AB、CD中的每一条都平行于与之不在同一平面上的直线EF；
我说，AB平行于CD。
这是因为，在EF上任取一点G，
从它在过EF、AB的平面上作GH与EF成直角，又在过FE、CD的平面上作GK与EF成直角。
现在，由于EF与直线GH、GK中的每一条都成直角，
因此，EF也与过GH、GK的平面成直角。
［XI. 4］
而EF平行于AB；
因此，AB也与过HG、GK的平面成直角。
［XI. 8］
同理，CD也与过HG、GK的平面成直角；
因此，直线AB、CD中的每一条都与过HG、GK的平面成直角。
但若两条直线都与同一平面成直角，则这两条直线平行。
［XI. 6］
因此，AB平行于CD。
这就是所要证明的。
命题10
若两相交直线平行于不在同一平面上的两相交直线，则它们夹的角相等。
If two straight lines meeting one another be parallel to two straight lines meeting one another not in the same plane, they will contain equal angles.
?
设彼此相交的两直线AB、BC平行于不在同一平面上的两相交直线DE、EF；
我说，角ABC等于角DEF。
这是因为，截取彼此相等的BA、BC、ED、EF，且连接AD、CF、BE、AC、DF。
现在，由于BA等于且平行于ED，
因此，AD也等于且平行于BE。
［I. 33］
同理，
CF也等于且平行于BE。
因此，直线AD、CF中的每一条都等于且平行于BE。
但与同一直线平行且与之同一平面上的直线也彼此平行；
［XI. 9］
因此，AD平行且等于CF。
而AC、DF连接着它们；
因此，AC也等于且平行于DF。
［I. 33］
现在，由于两边AB、BC等于两边DE、EF，
且底AC等于底DF，
因此，角ABC等于角DEF。
［I. 8］
这就是所要证明的。
命题11
从平面外给定一点作一直线垂直于给定的平面。
From a given elevated point to draw a straight line perpendicular to a given plane.
?
设A是平面外给定的点，且所假定的平面是给定的平面；
于是，要求从点A作一直线垂直于所假定的平面。
在所假定的平面上任意作直线BC，
且从点A作AD垂直于BC。
［I. 12］
于是，如果AD也垂直于所假定的平面，则所要求的直线已作出。
但如果不是这样，则在所假定的平面上从点D作DE与BC成直角，
［I. 11］
从A作AF垂直于DE，
［I. 12］
且过点F作GH平行于BC。
［I. 31］
现在，由于BC与直线DA、DE中的每一条都成直角，
因此，BC也与过ED、DA的平面成直角。
［XI. 4］
且GH平行于它；
但如果两直线平行，其中一直线与某平面成直角，则另一直线也与同一平面成直角；
［XI. 8］
因此，GH也与过ED、DA的平面成直角。
因此，GH也和过ED、DA的平面上与GH相交的所有直线成直角。
［XI. 定义3］
但AF与GH相交，且在过ED、DA的平面上；
因此，GH与FA成直角，
因此，FA也与GH成直角。
但AF也与DE成直角；
因此，AF与直线GH、DE中的每一条都成直角。
但如果一直线在另外两条直线的交点处与它们成直角，则该直线与过两直线的平面也成直角；
［XI. 4］
因此，FA与过ED、GH的平面成直角。
但过ED、GH的平面是所假定的平面；
因此，AF与所假定的平面成直角。
这样便从平面外的给定点A作出了直线AF垂直于所假定的平面。
这就是所要作的。
命题12
在给定平面上一给定点作一直线与该平面成直角。
To set up a straight line at right angles to a given plane from a given point in it.
?
设所假定的平面就是给定的平面，A是其上一点；
于是，要求从点A作一直线与该平面成直角。
设想B是平面外任一点，
从B作BC垂直于所假定的平面，
［XI. 11］
且过点A作AD平行于BC。
［I. 31］
于是，由于AD、CB是两平行直线，而其中之一BC与所假定的平面成直角，
因此，其余一条AD也与所假定的平面成直角。
［XI. 8］
这样便在给定平面上的点A作出了AD与该平面成直角。
这就是所要作的。
命题13
从同一点在同侧不可能作两条直线与该平面成直角。
From the same point two straight lines cannot be set up at right angles to the same plane on the same side.
?
这是因为，如果可能，从同一点A在同侧作两条直线AB、AC与该平面成直角，
且过BA、AC作一平面；
于是，它与所假定的平面交成一条过A的直线。
［XI. 3］
设此直线是DAE；
因此，直线AB、AC、DAE在同一平面上。
又，由于CA与所假定的平面成直角，所以CA与所假定的平面上所有与CA相交的直线都成直角。
［XI. 定义3］
但DAE与CA相交，且在所假定的平面上；
因此，角CAE是直角。
同理，
角BAE也是直角；
因此，角CAE等于角BAE。
而它们在同一平面上：
这是不可能的。
这就是所要证明的。
命题14
与同一直线成直角的平面是平行的。
Planes to which the same straight line is at right angles will be parallel.
?
设某直线AB与平面CD、EF中的每一个都成直角；
我说，这两个平面是平行的。
这是因为，如果不是这样，则它们延长后会相交。
设它们相交；
于是它们交成一直线。
［XI. 3］
设它们交成GH；
在GH上任取一点K，
连接AK、BK。
现在，由于AB与平面EF成直角，
因此，AB也与延长的平面EF上的直线BK成直角；
［XI. 定义3］
因此，角ABK是直角。
同理，
角BAK也是直角。
于是，在三角形ABK中，两个角ABK、BAK之和等于两直角之和：
这是不可能的。
［I. 17］
因此，平面CD、EF延长后不相交；
因此，平面CD、EF是平行的。
［XI. 定义8］
因此，与同一直线成直角的平面是平行的。
这就是所要证明的。
命题15
若两条相交直线平行于不在同一平面上的另外两条相交直线，则过两对直线的平面平行。
If two straight lines meeting one another be parallel to two straight lines meeting one another, not being in the same plane, the planes through them are parallel.
?
设两条相交直线AB、BC平行于不在同一平面上的另外两条相交直线DE、EF；
我说，过AB、BC的平面与过DE、EF的平面延长后不相交。
这是因为，从点B作BG垂直于过DE、EF的平面，
［XI. 11］
设它与平面交于点G；
过G作GH平行于ED，且作GK平行于EF。
［I. 31］
现在，由于BG与过DE、EF的平面成直角，
因此，BG也和过DE、EF的平面上与BG相交的所有直线成直角。
［XI. 定义3］
但直线GH、GK中的每一条都与BG相交，且在过DE、EF的平面上；
因此，角BGH、BGK中的每一个都是直角。
又，由于BA平行于GH，
［XI. 9］
因此，角GBA、BGH之和等于两直角。
［I. 29］
但角BGH是直角；
因此，角GBA也是直角；
因此，GB与BA成直角。
同理，
GB也与BC成直角。
于是，由于直线GB与相交的两直线BA、BC成直角，
因此，GB也与过BA、BC的平面成直角。
［XI. 4］
但与同一直线成直角的平面是平行的；
［XI. 14］
因此，过AB、BC的平面平行于过DE、EF的平面。
因此，若两条相交直线平行于不在同一平面上的另外两条相交直线，则过两对直线的平面平行。
这就是所要证明的。
命题16
若两平行平面被某平面所截，则其交线平行。
If two parallel planes be cut by any plane, their common sections are parallel.
?
设两平行平面AB、CD被平面EFHG所截，
且设EF、GH是它们的交线；
我说，EF平行于GH。
这是因为，如果两直线不平行，则EF、GH延长后要么沿F、H方向，要么沿E、G方向相交。
沿F、H方向延长它们，先设它们相交于K。
现在，由于EFK在平面AB上，
因此，EFK上的所有点也在平面AB上。
［XI. 1］
但K是直线EFK上的一个点；
因此，K在平面AB上。
同理，
K也在平面CD上；
因此，平面AB、CD延长后相交。
但它们不相交，这是因为，根据假设它们是平行的；
因此，直线EF、GH沿F、H方向延长后不相交。
类似地，可以证明，直线EF、GH沿E、G方向延长后也不相交。
但沿哪个方向延长都不相交的直线是平行的。
［I. 定义23］
因此，EF平行于GH。
这就是所要证明的。
命题17
若两直线被平行平面所截，则截得的直线有相同的比。
If two straight lines be cut by parallel planes, they will be cut in the same ratios.
?
设两直线AB、CD被平行平面GH、KL、MN所截，其截点为A、E、B和C、F、D；
我说，直线AE比EB如同CF比FD。
这是因为，连接AC、BD、AD，
设AD与平面KL交于点O，
连接EO、OF。
现在，由于两平行平面KL、MN被平面EBDO所截，所以
它们的交线EO、BD是平行的。
［XI. 16］
同理，由于两平行平面GH、KL被平面AOFC所截，所以
它们的交线AC、OF是平行的。
［XI. 16］
又，由于直线EO平行于三角形ABD的一边BD，
因此有比例，AE比EB如同AO比OD。
［VI. 2］
又，由于直线OF平行于三角形ADC的一边AC，
因此有比例，AO比OD如同CF比FD。
［VI. 2］
但已证明，AO比OD如同AE比EB；
因此也有，AE比EB如同CF比FD。
［V. 11］
这就是所要证明的。
?
命题18
若一直线与某平面成直角，则过此直线的所有平面都与该平面成直角。
If a straight line be at right angles to any plane, all the planes through it will also be at right angles to the same plane.
?
设某直线AB与所假定的平面成直角；
我说，过AB的所有平面都与所假定的平面成直角。
这是因为，作过AB的平面DE，
设CE是平面DE与所假定的平面的交线，
在CE上任取一点F，
在平面DE上从F作FG与CE成直角。
［I. 11］
现在，由于AB与所假定的平面成直角，所以AB也和所假定的平面上与AB相交的所有直线成直角；
［IX. 定义3］
因此，AB也与CE成直角；
因此，角ABF是直角。
但角GFB也是直角；
因此，AB平行于FG。
［I. 28］
但AB与所假定的平面成直角；
因此，FG也与所假定的平面成直角。
［XI. 8］
现在，当在两个平面之一内所作的直线与两平面的交线成直角并且与另一平面成直角时，这两个平面成直角。
［XI. 定义4］
且已经证明，与平面的交线CE成直角的平面DE上的FG与所假定的平面成直角；
因此，平面DE与所假定的平面成直角。
类似地，也可以证明，过AB的所有平面都与所假定的平面成直角。
这就是所要证明的。
命题19
若两相交平面与某平面成直角，则它们的交线也与该平面成直角。
If two planes which cut one another be at right angles to any plane, their common section will also be at right angles to the same plane.
?
设两平面AB、BC与所假定的平面成直角，
且设BD是它们的交线；
我说，BD与所假定的平面成直角。
这是因为，假设不是这样，那么在平面AB上从D作DE与直线AD成直角，
且在平面BC上作DF与CD成直角。
现在，由于平面AB与所假定的平面成直角，
且在平面AB上已作DE与它们的交线AD成直角，
因此，DE与所假定的平面成直角。
［XI. 定义4］
类似地，可以证明，
DF也与所假定的平面成直角。
因此，从同一点D在所假定的平面同侧有两条直线与该平面成直角：
这是不可能的。
［XI. 13］
因此，除平面AB、BC的交线DB以外，从点D再作不出直线与所假定的平面成直角。
这就是所要证明的。
命题20
若三个平面角围成一个立体角，则任意两个平面角之和大于第三个平面角。
If a solid angle be contained by three plane angles, any two, taken together in any manner, are greater that the remaining one.
?
设三个平面角BAC、CAD、DAB围成A处的立体角；
我说，角BAC、CAD、DAB中的任意两角之和大于第三个角。
现在，如果角BAC、CAD、DAB彼此相等，那么显然，任意两角之和大于第三个角。
但如果不是这样，设角BAC较大，
在过BA、AC的平面上，在直线AB上的点A处作角BAE等于角DAB；
取AE等于AD，
且过点E作BEC与直线AB、AC交于点B、C；
连接DB、DC。
现在，由于AD等于AE，
且AB公用，所以
两边等于两边；
而角DAB等于角BAE；
因此，底DB等于底BE。
［I. 4］
又，由于两边BD、DC之和大于BC，
［l. 20］
且已经证明，其中DB等于BE，
因此，余下的DC大于余下的EC。
现在，由于DA等于AE，
AC公用，
且底DC大于底EC，
因此，角DAC大于角EAC。
［I. 25］
但已取角DAB等于角BAE；
因此，角DAB、DAC之和大于角BAC。
类似地，可以证明，其余的角也是这样，任意两个平面角之和大于第三个平面角。
这就是所要证明的。
命题21
任何立体角都由其和小于四直角的平面角所围成。
Any solid angle is contained by plane angles less than four right angles.
?
设A处的角是平面角BAC、CAD、DAB所围成的立体角；
我说，角BAC、CAD、DAB之和小于四直角。
这是因为，在直线AB、AC、AD上分别取点B、C、D，
连接BC、CD、DB。
现在，由于B所处的立体角是由三个平面角CBA、ABD、CBD所围成的，所以
其中任意两角之和大于第三个角；
［XI. 20］
因此，角CBA、ABD之和大于角CBD。
同理，
角BCA、ACD之和大于角BCD，
且角CDA、ADB之和大于角CDB；
因此，六个角CBA、ABD、BCA、ACD、CDA、ADB之和大于三个角CBD、BCD、CDB之和。
但三个角CBD、BDC、BCD之和等于两直角；
［I. 32］
因此，六个角CBA、ABD、BCA、ACD、CDA、ADB之和大于两直角。
又，由于三角形ABC、ACD、ADB中每一个的三个角之和等于两直角，
因此，这三个三角形的九个角，即角CBA、ACB、BAC、ACD、CDA、CAD、ADB、DBA、BAD之和等于六直角；
而其中六个角ABC、BCA、ACD、CDA、ADB、DBA之和大于两直角；
因此，围成这个立体角的其余三个角BAC、CAD、DAB之和小于四直角。
这就是所要证明的。
命题22
若有三个平面角，其中任意两角之和大于第三个角，且由相等的直线所夹，则连接这些相等直线端点的三条直线可以构成一个三角形。
If there be three plane angles of which two, taken together in any manner, are greater than the remaining one, and they are contained by equal straight lines, it is possible to construct a triangle out of the straight lines joining the extremities of the equal straight lines.
?
设有三个平面角ABC、DEF、GHK，其中任意两角之和大于第三个角，即
角ABC、DEF之和大于角GHK，
角DEF、GHK之和大于角ABC，
且角GHK、ABC之和大于角DEF；
设直线AB、BC、DE、EF、GH、HK相等，
连接AC、DF、GK；
我说，由等于AC、DF、GK的直线可以构成一个三角形，也就是说，直线AC、DF、GK中的任意两条之和大于第三条。
现在，如果角ABC、DEF、GHK彼此相等，那么显然，AC、DF、GK也相等，则由等于AC、DF、GK的直线可以构成一个三角形。
?
但如果不是这样，设它们不等，
在直线HK上的点H作角KHL等于角ABC；
取HL等于直线AB、BC、DE、EF、GH、HK中的一条，
连接KL、GL。
现在，由于两边AB、BC等于两边KH、HL，
且B处的角等于角KHL，
因此，底AC等于底KL。
［I. 4］
又，由于角ABC、GHK之和大于角DEF，
而角ABC等于角KHL，
因此，角GHL大于角DEF。
又，由于两边GH、HL等于两边DE、EF，
且角GHL大于角DEF，
因此，底GL大于底DF。
［I. 24］
但GK、KL之和大于GL。
因此，GK、KL之和更大于DF。
但KL等于AC；
因此，AC、GK之和大于其余的直线DF。
类似地，可以证明，
AC、DF之和大于GK，
以及DF、GK之和大于AC。
因此，由等于AC、DF、GK的直线可以构成一个三角形。
这就是所要证明的。
命题23
在三个平面角中，任意两角之和大于第三个角，且这三个角之和小于四直角：由这三个平面角构成一个立体角。
To construct a solid angle out of three plane angles two of which, taken together in any manner, are greater than the remaining one: thus the three angles must be less than four right angles.
?
设角ABC、DEF、GHK是三个给定的平面角，且设其中任意两角之和大于第三个角，而三个角之和小于四直角；
于是，要求由等于角ABC、DEF、GHK的角作一个立体角。
截取AB、BC、DE、EF、GH、HK使它们彼此相等，
连接AC、DF、GK；
因此，可以由等于AC、DF、GK的直线作一个三角形。
［XI. 22］
这样作出三角形LMN，使AC等于LM，DF等于MN，以及GK等于NL，
作三角形LMN的外接圆LMN，
设它的圆心是O；
连接LO、MO、NO；
我说，AB大于LO。
这是因为，如果不是这样，则AB要么等于LO，要么小于LO。
首先，设AB等于LO。
于是，由于AB等于LO，
而AB等于BC，且OL等于OM，所以
两边AB、BC分别等于两边LO、OM；
而根据假设，底AC等于底LM；
因此，角ABC等于角LOM。
［I. 8］
同理，
角DEF也等于角MON，
以及角GHK等于角NOL；
因此，三个角ABC、DEF、GHK之和等于三个角LOM、MON、NOL之和。
但三个角LOM、MON、NOL之和等于四直角；
因此，角ABC、DEF、GHK之和等于四直角。
但根据假设，它们又小于四直角：
这是荒谬的。
因此，AB不等于LO。
其次我说，AB也不小于LO。
这是因为，如果可能，设AB小于LO，
且作OP等于AB，OQ等于BC，
连接PQ。
于是，由于AB等于BC，所以
OP也等于OQ，
因此，余量LP等于QM。
因此，LM平行于PQ，
［VI. 2］
而LMO与PQO是等角的；
［I. 29］
因此，OL比LM如同OP比PQ；
［VI. 4］
取更比例，得LO比OP如同LM比PQ。
［V. 16］
但LO大于OP；
因此，LM也大于PQ。
但取LM等于AC；
因此，AC也大于PQ。
于是，由于两边AB、BC等于两边PO、OQ，
且底AC大于底PQ，
因此，角ABC大于角POQ。
［I. 25］
类似地，可以证明，
角DEF也大于角MON，
且角GHK大于角NOL。
因此，三个角ABC、DEF、GHK之和大于三个角LOM、MON、NOL之和。
但根据假设，角ABC、DEF、GHK之和小于四直角；
因此，角LOM、MON、NOL之和更小于四直角。
但它们之和也等于四直角：
这是荒谬的。
因此，AB不小于LO。
而已经证明，AB也不等于LO；
因此，AB大于LO。
然后，从点O作OR与圆LMN的平面成直角，
［XI. 12］
且使AB上的正方形比LO上的正方形大一个OR上的正方形；
［引理］
连接RL、RM、RN。
于是，由于RO与圆LMN的平面成直角，
因此，RO也与直线LO、MO、NO中的每一条成直角。
又，由于LO等于OM，
而OR公用且与它们成直角，
因此，底?RL等于底RM。
［I. 4］
同理，
RN也等于直线RL、RM中的每一条；
因此，三直线RL、RM、RN彼此相等。
其次，由于根据假设，AB上的正方形比LO上的正方形大一个OR上的正方形，
因此，AB上的正方形等于LO、OR上的正方形之和。
但LR上的正方形等于LO、OR上的正方形之和，这是因为角LOR是直角；
［I. 47］
因此，AB上的正方形等于RL上的正方形；
因此，AB等于RL。
但直线BC、DE、EF、GH、HK中的每一条都等于AB，
而直线RM、RN中的每一条都等于RL；
因此，直线AB、BC、DE、EF、GH、HK中的每一条都等于直线RL、RM、RN中的每一条。
又，由于两边LR、RM等于两边AB、BC，
且根据假设，底LM等于底AC，
因此，角LRM等于角ABC。
［I. 8］
同理，
角MRN也等于角DEF，
且角LRN等于角GHK。
这样便由等于三个给定角ABC、DEF、GHK的三个平面角LRM、MRN、LRN作出了R处的立体角，该立体角由角LRM、MRN、LRN所围成。
这就是所要作的。
引理但如何才能作出OR上的正方形，使它等于AB上的正方形与LO上的正方形之差呢？
?
给定直线AB、LO，
且设AB较大；
在AB上作半圆ABC，
将等于直线LO的AC纳入半圆ABC，而LO不大于直径AB；
［IV. 1］
连接CB。
于是，由于角ACB是半圆ABC上的角，
因此，角ACB是直角。
［III. 31］
因此，AB上的正方形等于AC、CB上的正方形之和。
［I. 47］
因此，AB上的正方形比AC上的正方形大一个CB上的正方形。
但AC等于LO。
因此，AB上的正方形比LO上的正方形大一个CB上的正方形。
于是，如果截取OR等于BC，则AB上的正方形比LO上的正方形大一个OR上的正方形。
这就是所要作的。
命题24
如果若干平行平面围成一个立体，则其相对的面相等且为平行四边形。
If a solid be contained by parallel planes, the opposite planes in it are equal and parallelogrammic.
?
设平行平面AC、GF、AH、DF、BF、AE围成一个立体CDHG。
我说，其相对的面相等且为平行四边形。
这是因为，由于两平行平面BG、CE被平面AC所截，所以
它们的交线平行。
［XI. 16］
因此，AB平行于DC。
又，由于两平行平面BF、AE被平面AC所截，所以
它们的交线平行。
［XI. 16］
因此，BC平行于AD。
但已证明，AB平行于DC；
因此，AC是平行四边形。
类似地，可以证明，平面DF、FG、GB、BF、AE中的每一个都是平行四边形。
连接AH、DF。
于是，由于AB平行于DC，且BH平行于CF，所以
两相交直线AB、BH平行于不在同一平面上的两相交直线DC、CF；
因此，它们夹相等的角。
［XI. 10］
因此，角ABH等于角DCF。
又，由于两边AB、BH等于两边DC、CF，
［I. 34］
且角ABH等于角DCF，
因此，底AH等于底DF，
且三角形ABH等于三角形DCF。
［I. 4］
而平行四边形BG是三角形ABH的二倍，且平行四边形CE是三角形DCF的二倍；
［I. 34］
因此，平行四边形BG等于平行四边形CE。
类似地，可以证明，
AC也等于GF，
且AE等于BF。
这就是所要证明的。
命题25
若一个平行六面体被一个平行于相对平面的平面所截，则底比底如同立体比立体。
If a parallelepipedal solid be cut by a plane which is parallel to the opposite planes, then, as the base is to the base, so will the solid be to the solid.
?
设平行六面体ABCD被平行于相对平面RA、DH的平面FG所截；
我说，底AEFV比底EHCF如同立体ABFU比立体EGCD。
这是因为，沿每一个方向延长AH，
取任意数量的直线AK、KL等于AE，
又取任意数量的直线HM、MN等于EH；
并将平行四边形LP、KV、HW、MS和立体LQ、KR、DM、MT补充完整。
于是，由于直线LK、KA、AE彼此相等，所以
平行四边形LP、KV、AF也彼此相等，
且平行四边形KO、KB、AG彼此相等，
以及LX、KQ、AR彼此相等，因为它 们是相对的面。
［XI. 24］
同理，
平行四边形EC、HW、MS也彼此相等，
HG、HI、IN彼此相等，
以及DH、MY、NT彼此相等。
因此，在立体LQ、KR、AU中，各有三个平面相等。
但三个平面等于三个相对的平面；
因此，三个立体LQ、KR、AU彼此相等。
［XI. 定义10］
同理，
三个立体ED、DM、MT也彼此相等。
因此，底LF是底AF的多少倍，立体LU也是立体AU的多少倍。
同理，
底NF是底FH的多少倍，立体NU也是立体HU的同样多少倍。
又，如果底LF等于底NF，则立体LU也等于立体NU；
如果底LF大于底NF，则立体LU也大于立体NU；
如果底LF小于底NF，则立体LU也小于立体NU。
因此，有四个量，两个底AF、FH，和两个立体AU、UH，
已取底AF和立体AU的等倍量，即底LF和立体LU，
以及底HF和立体HU的等倍量，即底NF和立体NU，
且已证明，如果底LF大于底FN，则立体LU也大于立体NU，
如果底LF等于底FN，则立体LU也等于立体NU，
如果底LF小于底FN，则立体LU也小于立体NU。
因此，底AF比底FH如同立体AU比立体UH。
［V. 定义5］
这就是所要证明的。
命题26
在给定直线上的一给定点作一个立体角等于给定的立体角。
On a given straight line, and at a given point on it, to construct a solid angle equal to a given solid angle.
?
设AB是给定的直线，A是其上的给定点，D处的角是由角EDC、EDF、FDC所围成的给定的立体角；
于是，要求在直线AB上的点A作一个立体角等于D处的立体角。
在DF上任取一点F，
从F作FG垂直于过ED、DC的平面，设它和平面交于G，
［XI. 11］
连接DG，
在直线AB上的点A处作角BAL等于角EDC，以及角BAK等于角EDG，
［I. 23］
取AK等于DG，
从点K作KH与过BA、AL的平面成直角，
［XI. 12］
取KH等于GF，
连接HA；
我说，A处由角BAL、BAH、HAL所围成的立体角等于D处由角EDC、EDF、FDC所围成的立体角。
这是因为，设AB、DE彼此相等，
连接HB、KB、FE、GE。
于是，由于FG与所假定的平面成直角，所以FG和所假定的平面上与FG相交的所有直线都成直角；
［XI. 定义3］
因此，角FGD、FGE中的每一个都是直角。
同理，
角HKA、HKB中的每一个也都是直角。
又，由于两边KA、AB分别等于两边GD、DE，
且它们夹相等的角，
因此，底KB等于底GE。
［I. 4］
但KH也等于GF，
而它们夹直角；
因此，HB也等于FE。
［I. 4］
又，由于两边AK、KH分别等于DG、GF，
而它们夹直角；
因此，底AH等于底FD。
［I. 4］
但AB也等于DE，
因此，两边HA、AB等于两边DF、DE。
又，底HB等于FE；
因此，角BAH等于角EDF。
［I. 8］
同理，
角HAL也等于角FDC。
而角BAL也等于角EDC。
这样便在直线AB上的点A处作出了一个立体角等于给定点D处给定的立体角。
这就是所要作的。
命题27
在给定直线上作一个与给定的平行六面体相似且有相似位置的平行六面体。
On a given straight line to describe a parallelepipedal solid similar and similarly situated to a given parallelepipedal solid.
?
设AB是给定直线，CD是给定的平行六面体；于是，要求在给定直线AB上作一个与给定的平行六面体CD相似且有相似位置的平行六面体。
在直线AB上的点A处作一个由角BAH、HAK、KAB围成的立体角等于C处的立体角，因此角BAH等于角ECF，角BAK等于角ECG，角KAH等于角GCF；
并设法使EC比CG如同BA比AK，
且GC比CF如同KA比AH。
［VI. 12］
因此也有，取首末比例，
EC比CF如同BA比AH。
［V. 22］
将平行四边形HB和立体AL补充完整。
现在，由于EC比CG如同BA比AK，
于是夹相等角ECG、BAK的边成比例，
因此，平行四边形GE相似于平行四边形KB。
同理，
平行四边形GF也相似于平行四边形KH，
以及FE相似于HB；
因此，立体CD的三个平行四边形相似于立体AL的三个平行四边形。
但前面三个平行四边形与三个对面的平行四边形相等且相似，
且后面三个平行四边形与三个对面的平行四边形相等且相似；
因此，整个立体CD相似于整个立体AL。
［XI. 定义9］
这样便在给定直线AB上作出了与给定的平行六面体CD相似且有相似位置的立体AL。
这就是所要作的。
命题28
若平行六面体被一个过相对的面的对角线的平面所截，则该立体被这个平面二等分。
If a parallelepipedal solid be cut by a plane through the diagonals of the opposite planes, the solid will be bisected by the plane.
?
设平行六面体AB被过相对的面的对角线CF、DE的平面CDEF所截；
我说，立体AB被平面CDEF二等分。
这是因为，由于三角形CGF等于三角形CFB，
［I. 34］
且三角形ADE等于三角形DEH，
而平行四边形CA也等于平行四边形EB，这是因为它们是相对的面，
且GE等于CH，
因此，由两个三角形CGF、ADE和三个平行四边形GE、AC、CE所围成的棱柱也等于由两个三角形CFB、DEH和三个平行四边形CH、BE、CE所围成的棱柱；
这是因为，这两个棱柱是由大小和数量相等的平面所围成的。
［XI. 定义10］
因此，整个立体AB被平面CDEF二等分。
这就是所要证明的。
命题29
同底同高且侧棱端点在相同直线上的平行六面体彼此相等。
Parallelepipedal solids which are on the same base and of the same height, and in which the extremities of the sides which stand up are on the same straight lines, are equal to one another.
?
设CM、CN是同底AB且同高的两个平行六面体，
且设其侧棱AG、AF、LM、LN、CD、CE、BH、BK的端点在相同直线FN、DK上；
我说，立体CM等于立体CN。
这是因为，由于图形CH、CK中的每一个都是平行四边形，CB等于直线DH、EK中的每一条，
［I. 34］
因此，DH也等于EK。
从它们中各减去EH；
因此，余量DE等于余量HK。
因此，三角形DCE也等于三角形HBK，
［I. 8，4］
且平行四边形DG等于平行四边形HN。
［I. 36］
同理，
三角形AFG也等于三角形MLN。
但平行四边形CF等于平行四边形BM，且CG等于BN，这是因为它们是相对的面；
因此，由两个三角形AFG、DCE和三个平行四边形AD、DG、CG所围成的棱柱等于由两个三角形MLN、HBK和三个平行四边形BM、HN、BN所围成的棱柱。
给它们分别加上以平行四边形AB为底、其相对的面是GEHM的立体；
因此，整个平行六面体CM等于整个平行六面体CN。
这就是所要证明的。
命题30
同底同高且侧棱端点不在相同直线上的平行六面体彼此相等。
Parallelepipedal solids which are on the same base and of the same height, and in which the extremities of the sides which stand up are not on the same straight lines, are equal to one another.
设CM、CN是同底AB且同高的两个平行六面体，
且设其侧棱AF、AG、LM、LN、CD、CE、BH、BK的端点不在相同直线上；
我说，立体CM等于立体CN。
这是因为，延长NK、DH，它们交于R，
又延长FM、GE至P、Q；
连接AO、LP、CQ、BR。
于是，以平行四边形ACBL为底、以FDHM为其相对的面的立体CM等于以平行四边形ACBL为底、以OQRP为其相对的面的立体CP；
这是因为，它们同底ACBL且同高，且其侧棱AF、AO、LM、LP、CD、CQ、BH、BR的端点在相同直线FP、DR上。
［XI. 29］
但以平行四边形ACBL为底、以OQRP为其相对的面的立体CP等于以平行四边形ACBL为底、以GEKN为其相对的面的立体CN；
这是因为，它们同底ACBL且同高，且其侧棱AG、AO、CE、CQ、LN、LP、BK、BR的端点在相同直线GQ、NR上。
因此，立体CM也等于立体CN。
这就是所要证明的。
命题31
等底等高且侧棱端点不在相同直线上的平行六面体彼此相等。
Parallelepipedal solids which are on the same base and of the same height, and in which the extremities of the sides which stand up are not on the same straight lines, are equal to one another.
?
设平行六面体AE、CF等高且有相等的底AB、CD。
我说，立体AE等于立体CF。
首先，设侧棱HK、BE、AG、LM、PQ、DF、CO、RS与底AB、CD成直角；
延长直线CR成直线RT；
在直线RT上的点R作角TRU等于角ALB，
［I. 23］
取RT等于AL，且RU等于LB，
并将底RW和立体XU补充完整。
现在，由于两边TR、RU等于两边AL、LB，
且它们夹相等的角，
因此，平行四边形RW与平行四边形HL相等且相似。
又，由于AL等于RT，LM等于RS，
且它们夹直角，
因此，平行四边形RX等于且相似于平行四边形AM。
同理，
SU也等于且相似于LE；
因此，立体AE的三个平行四边形等于且相似于立体XU的三个平行四边形。
但前面三个平行四边形等于且相似于三个相对的平行四边形，后面三个平行四边形等于且相似于三个相对的平行四边形；
［XI. 24］
因此，整个平行六面体AE等于整个平行六面体XU。
［XI. 定义10］
延长DR、WU交于Y，
过T作aTb平行于DY，
延长PD至a，
并将立体YX、RI补充完整。
于是，以平行四边形RX为底、以Yc为其相对的面的立体XY等于以平行四边形RX为底、以UV为其相对的面的立体XU，
这是因为，它们同底RX且同高，且侧棱RY、RU、Tb、TW、Se、Sd、Xc、XV的端点在相同直线YW、eV上。
［XI. 29］
但立体XU等于立体AE；
因此，立体XY也等于立体AE。
又，由于平行四边形RUWT等于平行四边形YT，
这是因为它们同底RT且在相同的平行线RT、YW之间，
［I. 35］
而平行四边形RUWT等于平行四边形CD，因为它也等于AB，
因此，平行四边形YT也等于CD。
但DT是另一个平行四边形；
因此，CD比DT如同YT比DT。
［V. 7］
又，由于平行六面体CI被与相对平面平行的平面RF所截，所以
底CD比底DT如同立体CF比立体RI。
［XI. 25］
同理，
由于平行六面体YI被与相对平面平行的平面RX所截，所以
底YT比底TD如同立体YX比立体RI。
［XI. 25］
但底CD比DT如同YT比DT；
因此也有，立体CF比立体RI如同立体 YX比立体RI。
［V. 11］
因此，立体CF、YX中的每一个与RI都有相同的比；
因此，立体CF等于立体YX。
［V. 9］
但已证明，立体YX等于AE；
因此，AE也等于CF。
其次，设侧棱AG、HK、BE、LM、CN、PQ、DF、RS与底AB、CD不成直角；
则我又说，立体AE等于立体CF。
?
这是因为，从点K、E、G、M、Q、F、N、S作KO、ET、GU、MV、QW、FX、NY、SI垂直于所假定的平面，且与该平面交于点O、T、U、V、W、X、Y、I，
连接OT、OU、UV、TV、WX、WY、YI、IX。
于是，立体KV等于立体QI，
这是因为它们等底KM、QS且同高，且它们的侧棱与它们的底成直角。
但立体KV等于立体AE，
且QI等于CF；
这是因为它们同底同高，且侧棱的端点不在相同直线上。
［XI. 30］
因此，立体AE也等于立体CF。
这就是所要证明的。
命题32
等高的平行六面体之比如同其底之比。
Parallelepipedal solids which are of the same height are to one another as their bases.
?
设AB、CD是等高的平行六面体；
我说，平行六面体AB、CD之比如同其底之比，即底AE比底CF如同立体AB比立体CD。
这是因为，对FG贴合出FH等于AE，
［I. 45］
且以FH为底、以CD的高为高，将平行六面体GK补充完整。
于是，立体AB等于立体GK；
这是因为它们等底AE、FH且同高。
［XI. 31］
又，由于平行六面体CK被与相对平面平行的平面DG所截，
因此，底CF比底FH如同立体CD比 立体DH。
［XI. 25］
但底FH等于底AE，
且立体GK等于立体AB；
因此也有，底AE比底CF如同立体AB比立体CD。
这就是所要证明的。
命题33
相似平行六面体之比如同其对应边的三倍比。
Similar parallelepipedal solids are to one another in the triplicate ratio of their corresponding sides.
?
设AB、CD是相似平行六面体，
且设AE是与CF对应的边；
我说，立体AB比立体CD是AE比CF的三倍比。
这是因为，把AE、GE、HE延长至EK、EL、EM，
取EK等于CF，EL等于FN，以及EM等于FR，
并将平行四边形KL和立体KP补充完整。
现在，由于两边KE、EL等于两边CF、FN，
而角KEL也等于角CFN，因为角AEG也等于角CFN，这是因为立体AB、CD相似，
因此，平行四边形KL相等＜且相似＞于平行四边形CN。
同理，
平行四边形KM也等于且相似于CR，
以及EP相等且相似于DF；
因此，立体KP的三个平行四边形相等且相似于立体CD的三个平行四边形。
但前面三个平行四边形相等且相似于与它们相对的三个平行四边形，后面三个平行四边形相等且相似于与它们相对的三个平行四边形；
［XI. 24］
因此，整个立体KP相等且相似于整个 立体CD。
［XI. 定义10］
将平行四边形GK补充完整，
且以平行四边形GK、KL为底、以AB的高为高，将立体EO、LQ补充完整。
于是，由于立体AB、CD相似，所以
AE比CF如同EG比FN，又如同EH比FR，
而CF等于EK，FN等于EL，且FR等于EM，
因此，AE比EK如同GE比EL，也如同HE比EM。
但AE比EK如同平行四边形AG比GK，
GE比EL如同GK比KL，
且HE比EM如同QE比KM；
［VI. 1］
因此也有，平行四边形AG比GK如同GK比KL，也如同QE比KM。
但AG比GK如同立体AB比立体EO，
GK比KL如同立体OE比立体QL，
且QE比KM如同立体QL比立体KP；
［XI. 32］
因此也有，立体AB比EO如同EO比QL，也如同QL比KP。
但如果四个量成连比例，则第一个量比第四个量是第一个量比第二个量的三倍比；
［V. 定义10］
因此，立体AB比KP是AB比EO的三倍比。
但AB比EO如同平行四边形AG比GK，也如同直线AE比EK；
［VI. 1］
因此，立体AB比KP也是AE比EK的三倍比。
但立体KP等于立体CD，
且直线EK等于CF；
因此，立体AB比立体CD也是其对应边AE比其对应边CF的三倍比。
这就是所要证明的。
推论由此显然可得，如果四条直线成［连］比例，则第一条比第四条如同第一条上的平行六面体比第二条上与之相似且有相似位置的平行六面体，这是因为第一条比第四条是第一条比第二条的三倍比。
命题34
相等平行六面体的底与高成互反比例；底与高成互反比例的平行六面体相等。
In equal parallelepipedal solids the bases are reciprocal proportional to the heights; and those parallelepipedal solids in which the bases are reciprocally proportional to the heights are equal.
?
设AB、CD是相等的平行六面体；
我说，在平行六面体AB、CD中，底与高成互反比例，
即底EH比底NQ如同立体CD的高比立体AB的高。
首先，设侧棱AG、EF、LB、HK、CM、NO、PD、QR与它们的底成直角；
我说，底EH比底NQ如同CM比AG。
现在，如果底EH等于底NQ，
而立体AB也等于立体CD，
则CM也等于AG。
这是因为，等高的平行六面体之比如同其底之比；
［XI. 32］
且底EH比NQ如同CM比AG，
显然，在平行六面体AB、CD中，底与高成互反比例。
其次，设底EH不等于底NQ，
但设EH较大。
现在，由于立体AB等于立体CD；
因此，CM也大于AG。
于是，取CT等于AG，
且以NQ为底、以CT为高，将平行六面体VC补充完整。
现在，由于立体AB等于立体CD，
且CV在它们之外，
而等量比同一个量，其比相同，
［V. 7］
因此，立体AB比立体CV如同立体CD比立体CV。
但立体AB比立体CV如同底EH比底NQ，
这是因为立体AB、CV等高；
［XI. 32］
又，立体CD比立体CV如同底MQ比底TQ，
［XI. 25］
也如同CM比CT；
［VI. 1］
因此也有，底EH比底NQ如同MC比CT。
但CT等于AG；
因此也有，底EH比底NQ如同MC比AG。
因此，在平行六面体AB、CD中，它们的底与高成互反比例。
又，在平行六面体AB、CD中，设它们的底与高成互反比例，即底EH比底NQ如同立体CD的高比立体AB的高；
我说，立体AB等于立体CD。
设侧棱与底成直角。
现在，如果底EH等于底NQ，
且底EH比底NQ如同立体CD的高比立体AB的高，
因此，立体CD的高也等于立体AB的高。
而等底同高的平行六面体彼此相等；
［XI. 31］
因此，立体AB等于立体CD。
其次，设底EH不等于底NQ，
但设EH较大；
因此，立体CD的高也大于立体AB的高，
即CM大于AG。
再取CT等于AG，
且类似地将CV补充完整。
由于底EH比底NQ如同MC比AG，
而AG等于CT，
因此，底EH比底NQ如同CM比CT。
但底EH比底NQ如同立体AB比立体CV，
这是因为立体AB、CV等高；
［XI. 32］
且CM比CT如同底MQ比底QT，
［VI. 1］
也如同立体CD比立体CV。
［XI. 25］
因此也有，立体AB比立体CV如同立体CD比立体CV；
因此，立体AB、CD中的每一个与CV都有相同的比。
因此，立体AB等于立体CD。
［V. 9］
现在，设侧棱FE、BL、GA、HK、ON、DP、MC、RQ与它们的底不成直角；
?
从点F、G、B、K、O、M、D、R向过EH、NQ的平面作垂线，
且设它们与平面交于S、T、U、V、W、X、Y、a，
将立体FV、Oa补充完整；
我说，在这种情况下，如果立体AB、CD相等，则它们的底与高也成互反比例，即底EH比底NQ如同立体CD的高比立体AB的高。
由于立体AB等于立体CD，
而AB等于BT，
这是因为它们同底FK且等高；
［XI. 29，30］
而立体CD等于DX，
这是因为它们同底RO且等高；
［XI. 29，30］
因此，立体BT也等于立体DX。
因此，底FK比底OR如同立体DX的高比立体BT的高。
［部分I］
而底FK等于底EH，
且底OR等于底NQ；
因此，底EH比底NQ如同立体DX的高比立体BT的高。
但立体DX、BT分别与立体DC、BA同高；
因此，底EH比底NQ如同立体DC的高比立体AB的高。
因此，在平行六面体AB、CD中，底与高成互反比例。
又，在平行六面体AB、CD中，设底与高成互反比例，
即底EH比底NQ如同立体CD的高比立体AB的高；
我说，立体AB等于立体CD。
这是因为，同样作图，
由于底EH比底NQ如同立体CD的高比立体AB的高，
而底EH等于底FK，
且NQ等于OR，
因此，底FK比底OR如同立体CD的高比立体AB的高。
但立体AB、CD分别与立体BT、DX同高；
因此，底FK比底OR如同立体DX的高比立体BT的高。
因此，在平行六面体BT、DX中，底与高成互反比例；
因此，立体BT等于立体DX。
［部分I］
但BT等于BA，
这是因为它们同底FK且等高；
［XI. 29，30］
而立体DX等于立体DC。
［XI. 29，30］
因此，立体AB也等于立体CD。
这就是所要证明的。
命题35
如果有两个相等的平面角，在其顶点作面外直线分别与原直线夹角相等，若在面外直线上任取一点，并从该点向原来的角所在平面作垂线，则连接垂足与原来角顶点的直线与面外直线夹角相等。
If there be two equal plane angles, and on their vertices then be set up elevated straight lines containing equal angles with the original straight lines respectively, if on the elevated straight lines points be taken at random and perpendiculars be drawn from them to the planes in which the original angles are, and if from the points so arising in the planes straight lines be joined to the vertices of the original angles, they will contain, with the elevated straight lines, equal angles.
设BAC、EDF是两个相等的直线角，从点A、D作面外直线AG、DM，它们分别与原直线夹角相等，即角MDE等于角GAB，角MDF等于角GAC，
在AG、DM上任取点G、M，
从点G、M作GL、MN垂直于过BA、AC的平面和过ED、DF的平面，设它们与两平面交于L、N，
连接LA、ND；
我说，角GAL等于角MDN。
取AH等于DM，
过点H作HK平行于GL。
但GL垂直于过BA、AC的平面；
因此，HK也垂直于过BA、AC的平面。
［XI. 8］
从点K、N作KC、NF、KB、NE垂直于直线AC、DF、AB、DE，
连接HC、CB、MF、FE。
由于HA上的正方形等于HK、KA上的正方形之和，
且KC、CA上的正方形之和等于KA上的正方形，
［I. 47］
因此，HA上的正方形也等于HK、KC、CA上的正方形之和。
但HC上的正方形等于HK、KC上的正方形之和；
［I. 47］
因此，HA上的正方形等于HC、CA上的正方形之和。
因此，角HCA是直角。
［I. 48］
同理，
角DFM也是直角。
因此，角ACH等于角DFM。
但角HAC也等于角MDF。
因此，三角形MDF、HAC有两个角分别等于两个角，一边等于一边，即等角的对边HA等于MD；
因此，它们其余的边也等于其余的边。
［I. 26］
因此，AC等于DF。
类似地，可以证明，AB也等于DE。
于是，由于AC等于DF，且AB等于DE，所以
两边CA、AB等于两边FD、DE。
又，角CAB也等于角FDE；
因此，底BC等于底EF，三角形等于三角形，其余的角等于其余的角；
［I. 4］
因此，角ACB等于角DFE。
但直角ACK也等于直角DFN；
因此，其余的角BCK也等于其余的角EFN。
同理，
角CBK也等于角FEN。
因此，三角形BCK、EFN有两个角分别等于两个角，一边等于一边，即等角的夹边BC等于EF；
因此，它们其余的边也等于其余的边。
［I. 26］
因此，CK等于FN。
但AC也等于DF；
因此，两边AC、CK等于两边DF、FN；
且它们都夹直角。
因此，底AK等于底DN。
［I. 4］
又，由于AH等于DM，所以
AH上的正方形也等于DM上的正方形。
但AK、KH上的正方形之和等于AH上的正方形，
这是因为角AKH是直角；
［I. 47］
且DN、NM上的正方形之和等于DM上的正方形，
这是因为角DNM是直角；
［I. 47］
因此，AK、KH上的正方形之和等于DN、NM上的正方形之和；
且其中AK上的正方形等于DN上的正方形；
因此，其余的KH上的正方形等于NM上的正方形；
因此，HK等于MN。
又，由于两边HA、AK分别等于两边MD、DN，
且已证明，底HK等于底MN，
因此，角HAK等于角MDN。
［I. 8］
这就是所要证明的。
推论由此显然可得，如果有两个相等的平面角，在这两个角上作相等的面外直线，且面外直线分别与原直线夹相等的角，则从面外直线端点向原角所在平面所作的垂线相等。
命题36
若三条直线成比例，则由这三条直线构成的平行六面体等于在中项上作出的等边且与前一立体等角的平行六面体。
If three straight lines be proportional, the parallelepipedal solid formed out of the three is equal to the parallelepipedal solid on the mean which is equilateral, but equiangular with the aforesaid solid.
?
设A、B、C是成比例的三条直线，即A比B如同B比C；
我说，由A、B、C所构成的立体等于在B上作出的等边且与前一立体等角的立体。
在E处作出由三个角DEG、GEF、FED所围成的立体角，
取直线DE、GE、EF中的每一条等于B，
并将平行六面体EK补充完整，
取LM等于A，
在直线LM上的点L处作一个立体角等于E处的立体角，即由NLO、OLM、MLN所围成的立体角；
取LO等于B，LN等于C。
现在，由于A比B如同B比C，
而A等于LM，B等于直线LO、ED中的每一条，以及C等于LN，
因此，LM比EF如同DE比LN。
于是，夹等角NLM、DEF的边成互反比例；
因此，平行四边形MN等于平行四边形DF。
［VI. 14］
又，由于角DEF、NLM是两个平面直线角，在其顶点所作的面外直线LO、EG彼此相等，且分别与原直线夹等角，
因此，从点G、O向过NL、LM和DE、EF的平面所作的垂线相等；
［XI. 35，推论］
因此，立体LH、EK同高。
但等底同高的平行六面体彼此相等；
［XI. 31］
因此，立体HL等于立体EK。
而LH是由A、B、C所构成的立体，EK是在B上作出的立体；
因此，由A、B、C所构成的平行六面体等于在B上作出的等边且与前一立体等角的立体。
这就是所要证明的。
命题37
若四条直线成比例，则在它们上作的相似且有相似位置的平行六面体也成比例；又，若在它们上作的相似且有相似位置的平行六面体成比例，则这四条直线本身也成比例。
If four straight lines be proportional, the parallelepipedal solids on them which are similar and similarly described will also be proportional; and, if the parallelepipedal solids on them which are similar and similarly described be proportional, the straight lines will themselves also be proportional.
?
设AB、CD、EF、GH是成比例的四条直线，即AB比CD如同EF比GH；
且在AB、CD、EF、GH上作相似且有相似位置的平行六面体KA、LC、ME、NG；
我说，KA比LC如同ME比NG。
这是因为，由于平行六面体KA与LC相似，
因此，KA比LC是AB比CD的三倍比。
［XI. 33］
同理，
ME比NG也是EF比GH的三倍比。
［XI. 33］
而AB比CD如同EF比GH。
因此也有，AK比LC如同ME比NG。
其次，设立体ME比立体NG如同立体AK比立体LC；
我说，直线AB比CD如同EF比GH。
这是因为，由于KA比LC是AB比CD的三倍比，
［XI. 33］
且ME比NG也是EF比GH的三倍比，
［XI. 33］
且KA比LC如同ME比NG，
因此也有，AB比CD如同EF比GH。
这就是所要证明的。
命题38
若一个立方体相对的面的边被二等分，且过分点作平面，则这些平面的交线与立方体的对角线彼此二等分。
If the sides of the opposite planes of a cube be bisected, and planes be carried through the points of section, the common section of the planes and the diameter of the cube bisect one another.
?
设立方体AF相对的面CF、AH的各边在点K、L、M、N、O、Q、P、R被二等分，且过分点作平面KN、OR；
设US是平面的交线，且DG是立方体AF的对角线。
我说，UT等于TS，DT等于TG。
这是因为，连接DU、UE、BS、SG。
于是，由于DO平行于PE，所以
内错角DOU、UPE彼此相等。
［I. 29］
又，由于DO等于PE，OU等于UP，
且它们夹相等的角，
因此，底DU等于底UE，
三角形DOU等于三角形PUE，
且其余的角等于其余的角；
［I. 4］
因此，角OUD等于角PUE。
因此，DUE是一条直线。
［I. 14］
同理，BSG也是一条直线，
且BS等于SG。
现在，由于CA等于且平行于DB，
而CA也等于且平行于EG，
因此，DB也等于且平行于EG。
［XI. 9］
而直线DE、BG连接它们的端点；
因此，DE平行于BG。
［I. 33］
因此，角EDT等于角BGT，
这是因为它们是内错角；
［I. 29］
且角DTU等于角GTS。
［I. 15］
因此，三角形DTU、GTS有两角等于两角，一边等于一边，即等角所对的一边，即DU等于GS，
这是因为它们是DE、BG的一半；
因此，其余的边也等于其余的边。
［I. 26］
因此，DT等于TG，UT等于TS。
这就是所要证明的。
命题39
若有两个等高的棱柱，一个以平行四边形为底，另一个以三角形为底，且平行四边形是三角形的二倍，则两棱柱相等。
If there be two prisms of equal height, and one have a parallelogram as base and the other a triangle, and if the parallelogram be double of the triangle, the prisms will be equal.
?
设ABCDEF、GHKLMN是两个等高的棱柱，
一个以平行四边形AF为底，另一个以三角形GHK为底，
且平行四边形AF是三角形GHK的二倍；
我说，棱柱ABCDEF等于棱柱GHKLMN。
将立体AO、GP补充完整。
由于平行四边形AF是三角形GHK的二倍，
而平行四边形HK也是三角形GHK的二倍，
［I. 34］
因此，平行四边形AF等于平行四边形HK。
但等底同高的平行六面体彼此相等；
［XI. 31］
因此，立体AO等于立体GP。
而棱柱ABCDEF是立体AO的一半，
且棱柱GHKLMN是立体GP的一半；
［XI. 28］
因此，棱柱ABCDEF等于棱柱GHKLMN。
这就是所要证明的。
