命题 Proposition
命题01
若两相似面数相乘得某数，则这个乘积是平方数。
If two similar plane numbers by multiplying one another make some number, the product will be square.
?
设A、B是两个相似面数，且设A乘B得C；
我说，C是平方数。
这是因为，设A自乘得D。
因此，D是平方数。
于是，由于A自乘得D，且A乘B得C，
因此，A比B如同D比C。
［VII. 17］
又，由于A、B是相似面数，
因此，A、B之间有一个比例中项数。
［VIII. 18］
但如果两数之间有多少个成连比例的数，与它们有相同比的两数之间也有多少个成连比例的数；
［VIII. 8］
因此，D、C之间也有一个比例中项数。
而D是平方数；
因此，C也是平方数。
［VIII. 22］
这就是所要证明的。
命题02
若两数相乘得一个平方数，则它们是相似面数。
If two numbers by multiplying one another make a square number, they are similar plane numbers.
设A、B是两个数，且设A乘B得平方数C；
我说，A、B是相似面数。
这是因为，设A自乘得D；
因此，D是平方数。
现在，由于A自乘得D，且A乘B得C，
因此，A比B如同D比C。
［VII. 17］
又，由于D是平方数，且C也是平方数，
因此，D、C是相似面数。
因此，数D、C之间有一个比例中项数。
［VIII. 18］
又，D比C如同A比B；
因此，A、B之间也有一个比例中项数，
［VIII. 8］
但若两数之间有一个比例中项数，则它们是相似面数；
［VIII. 20］
因此，A、B是相似面数。
这就是所要证明的。
命题03
若一个立方数自乘得某数，则这个乘积是立方数。
If a cube number by multiplying itself make some number, the product will be cube.
?
设立方数A自乘得B；
我说，B是立方数。
这是因为，设C是A的边，且C自乘得D。
于是显然可得，C乘D得A。
现在，由于C自乘得D，
因此，按照C中的单元数，C量尽D。
但按照C中的单元数，单元也量尽C；
因此，单元比C如同C比D。
［VII. 定义20］
又，由于C乘D得A，
因此，按照C中的单元数，D量尽A。
但按照C中的单元数，单元也量尽C；
因此，单元比C如同D比A。
但单元比C如同C比D；
因此也有，单元比C如同C比D，也如同D比A。
因此，单元与数A之间有两个比例中项数C、D成连比例。
又，由于A自乘得B，
因此，按照A中的单元数，A量尽B。
但按照A中的单元数，单元也量尽A；
因此，单元比A如同A比B。
［VII. 定义20］
但单元与A之间有两个比例中项数；
因此，A、B之间也有两个比例中项数。
［VIII. 8］
但若两数之间有两个比例中项数，且第一个是立方数，则第二个也是立方数。
［VIII. 23］
而A是立方数；
因此，B也是立方数。
这就是所要证明的。
命题04
若一个立方数乘一个立方数得某数，则这个乘积是立方数。
If a cube number by multiplying a cube number make some number, the product will be cube.
设立方数A乘立方数B得C；
我说，C是立方数。
这是因为，设A自乘得D；
因此，D是立方数。
［IX. 3］
又，由于A自乘得D，且A乘B得C，
因此，A比B如同D比C。
［VII. 17］
又，由于A、B是立方数，所以
A、B是相似体数。
因此，A、B之间有两个比例中项数；
［VIII. 19］
因此，D、C之间也有两个比例中项数。
［VIII. 8］
而D是立方数；
因此，C也是立方数。
［VIII. 23］
这就是所要证明的。
命题05
若一个立方数乘某数得一个立方数，则此被乘数也是立方数。
If a cube number by multiplying any number make a cube number, the multiplied number will also be cube.
?
设立方数A乘某数B得立方数C；
我说，B是立方数。
这是因为，设A自乘得D；
因此，D是立方数。
［IX. 3］
现在，由于A自乘得D，且A乘B得C，
因此，A比B如同D比C。
［VII. 17］
又，由于D、C是立方数，所以
它们是相似体数。
因此，D、C之间有两个比例中项数。
［VIII. 19］
又，D比C如同A比B；
因此，A、B之间也有两个比例中项数。
［VIII. 8］
而A是立方数；
因此，B也是立方数。
［VIII. 23］
这就是所要证明的。
命题06
若一数自乘得一个立方数，则它本身也是立方数。
If a number by multiplying itself make a cube number, it will itself also be cube.
?
设数A自乘得立方数B；
我说，A也是立方数。
这是因为，设A乘B得C。
于是，由于A自乘得B，且A乘B得C，
因此，C是立方数。
又，由于A自乘得B，
因此，按照A中的单元数，A量尽B。
但按照A中的单元数，单元也量尽A。
因此，单元比A如同A比B。
［VII. 定义20］
又，由于A乘B得C，
因此，按照A中的单元数，B量尽C。
但按照A中的单元数，单元也量尽A。
因此，单元比A如同B比C。
［VII. 定义20］
但单元比A如同A比B；
因此也有，A比B如同B比C。
又，由于B、C是立方数，所以
它们是相似体数。
因此，B、C之间有两个比例中项数。
［VIII. 19］
又，B比C如同A比B。
因此，A、B之间也有两个比例中项数。
［VIII. 8］
而B是立方数，
因此，A也是立方数。
［参见VIII. 23］
这就是所要证明的。
命题07
若一个合数乘一数得某数，则这个乘积是体数。
1f a composite number by multiplying any number make some member, the product will be solid.
?
设合数A乘一数B得C；
我说，C是体数。
这是因为，由于A是合数，所以它被某数量尽。
［VII. 定义13］
设A被D量尽；
且D量尽A有多少次，就设E中有多少单元。
于是，由于按照E中的单元数，D量尽A，
因此，E乘D得A。
［VII. 定义15］
又，由于A乘B得C，
且A是D、E的乘积。
因此，D、E之积乘B得C。
因此，C是体数，且D、E、B是它的边。
这就是所要证明的。
命题08
若从单元开始有任意多个数成连比例，则从单元起的第三个数是平方数，之后每隔一个也都是平方数；第四个数是立方数，之后每隔两个也都是立方数；第七个数既是立方数又是平方数，之后每隔五个也都既是立方数又是平方数。
If as many numbers as we please beginning from an unit be in continued proportion, the third from the unit will be square, as will also those which successively leave out one; the fourth will be cube, as will also all those which leave out two; and the seventh will be at once cube and square, as will also those which leave out five.
?
设从单元开始有任意多个数A、B、C、D、E、F成连比例；
我说，从单元起的第三个数B是平方数，之后每隔一个也都是平方数；第四个数C是立方数，之后每隔两个也都是立方数；第七个数F既是立方数又是平方数，之后每隔五个也都既是立方数又是平方数。
这是因为，由于单元比A如同A比B，
因此，单元量尽A与A量尽B有相同的次数。
［VII. 定义20］
但按照A中的单元数，单元量尽A；
因此，按照A中的单元数，A也量尽B。
因此，A自乘得B；
因此，B是平方数。
又，由于B、C、D成连比例，且B是平方数，
因此，D也是平方数。
［VIII. 22］
同理，
F也是平方数。
类似地，可以证明，之后每隔一个数都是平方数。
其次我说，从单元起的第四个数C是立方数，之后每隔两个也都是立方数。
这是因为，由于单元比A如同B比C，
因此，单元量尽数A与B量尽C有相同的次数。
但按照A中的单元数，单元量尽A；
因此，按照A中的单元数，B也量尽C。
因此，A乘B得C。
于是，由于A自乘得B，且A乘B得C，
因此，C是立方数。
又，由于C、D、E、F成连比例，且C是立方数，
因此，F也是立方数。
［VIII. 23］
但已证明，它也是平方数；
因此，从单元起的第七个数既是立方数又是平方数。
类似地，可以证明，之后每隔五个的所有那些数也都既是平方数又是立方数。
这就是所要证明的。
命题09
若从单元开始有任意多个数成连比例，且单元后面的数是平方数，则所有其余的数也是平方数。又，若单元后面的数是立方数，则所有其余的数也是立方数。
If as many numbers as we please beginning from an unit be in continued proportion, and the number after the unit be square, all the rest will also be square. And, if the number after the unit be cube, all the rest will also be cube.
?
设从单元开始有任意多个数A、B、C、D、E、F成连比例，
且设单元后面的数A是平方数；
我说，所有其余的数也是平方数。
现已证明，从单元起的第三个数B是平方数，之后每隔一个也都是平方数；
［IX. 8］
我说，所有其余的数也是平方数。
这是因为，由于A、B、C成连比例，
且A是平方数，
因此，C也是平方数。
［VIII. 22］
又，由于B、C、D成连比例，
且B是平方数，
因此，D也是平方数。
［VIII. 22］
类似地，可以证明，所有其余的数也是平方数。
其次，设A是立方数；
我说，所有其余的数也是立方数。
现已证明，从单元起的第四个数C是立方数，之后每隔两个的所有那些数也都是立方数；
［IX. 8］
我说，所有其余的数也是立方数。
这是因为，由于单元比A如同A比B，
因此，单元量尽A与A量尽B有相同的次数。
但按照A中的单元数，单元量尽A；
因此，按照A中的单元数，A也量尽B；
因此，A自乘得B。
而A是立方数。
但若一个立方数自乘得某数，则这个乘积是立方数。
［IX. 3］
因此，B也是立方数。
又，由于A、B、C、D这四个数成连比例，
且A是立方数，于是
D也是立方数。
［VIII. 23］
同理，
E也是立方数，以及类似地，所有其余的数也是立方数。
这就是所要证明的。
命题10
若从单元开始有任意多个数成连比例，且单元后面的数不是平方数，则除了从单元起的第三个数和每隔一个的所有那些数以外，任何其他数都不是平方数。又，若单元后面的数不是立方数，则除了从单元起的第四个数和每隔两个的所有那些数以外，任何其他数都不是立方数。
If as many numbers as we please beginning from an unit be in continued proportion, and the number after the unit be not square, neither will any other be square except the third from the unit and all those which leave out one. And, if the number after the unit be not cube, neither will any other be cube except the fourth from the unit and all those which leave out two.
?
设从单元开始有任意多个数A、B、C、D、E、F成连比例，
且设单元后面的数A不是平方数；
我说，除了从单元起的第三个数和每隔一个的所有那些数以外，任何其他数都不是平方数。
这是因为，如果可能，设C是平方数。
但B也是平方数；
［IX. 8］
因此，B比C如同一个平方数比一个平方数。
又，B比C如同A比B；
因此，A比B如同一个平方数比一个平方数；
因此，A、B是相似面数。
［VIII. 26，逆命题］
而B是平方数；
因此，A也是平方数：
这与假设矛盾。
因此，C不是平方数。
类似地，可以证明，除了从单元起的第三个数和每隔一个的所有那些数以外，任何其他数都不是平方数。
其次，设A不是立方数。
我说，除了从单元起的第四个数和每隔两个的所有那些数以外，其他任何数都不是立方数。
这是因为，如果可能，设D是立方数。
现在，C也是立方数；因为它是从单元起的第四个数。
［IX. 8］
而C比D如同B比C；
因此，B比C如同一个立方数比一个立方数。
而C是立方数；
因此，B也是立方数。
［VIII. 25］
又，由于单元比A如同A比B，
而按照A中的单元数，单元量尽A；
因此，按照A中的单元数，A也量尽B。
因此，A自乘得立方数B。
但若一个数自乘得一个立方数，则它自身也是立方数。
［IX. 6］
因此，A也是立方数：
这与假设矛盾。
因此，D不是立方数。
类似地，可以证明，除了从单元起的第四个数和每隔两个的所有那些数以外，任何其他数都不是立方数。
这就是所要证明的。
命题11
若从单元开始有任意多个数成连比例，则按照成连比例数组中的某个数，较小数量尽较大数。
If as many numbers as we please beginning from an unit be in continued proportion, the less measures the greater according to some one of the numbers which have place among the proportional numbers.
?
设从单元A开始，有任意多个数B、C、D、E成连比例。
我说，按照数C、D中的某一个，B、C、D、E中的最小数B量尽E。
这是因为，由于单元A比B如同D比E，
因此，单元A量尽数B与D量尽E有相同的次数；
因此，取更比例，单元A量尽D与B量尽E有相同的次数。
［VII. 15］
但按照D中的单元数，单元A量尽D；
因此，按照D中的单元数，B也量尽E。
因此，按照成连比例数组中的某个数D，较小数B量尽较大数E。
这就是所要证明的。
推论显然，无论量数从单元算起在什么位置，沿着量数前面的数的方向，所按照的数从被量数算起也有同样的位置。
命题12
若从单元开始有任意多个数成连比例，则无论有多少个素数量尽最后一个数，单元后面那个数也被同样的素数量尽。
If as many numbers as we please beginning from an unit be in continued proportion, by however many prime numbers the last is measured, the next to the unit will also be measured by the same.
?
设从单元开始，有任意多个数A、B、C、D成连比例。
我说，无论有多少个素数量尽D，A也被同样的素数量尽。
设D被某素数E量尽；
我说，E量尽A。
这是因为，假设E量不尽A；
现在，E是素数，且任一素数与它量不尽的数互素；
［VII. 29］
因此，E、A互素。
又，由于E量尽D，设按照F，E量尽D，
因此，E乘F得D。
又，由于按照C中的单元数，A量尽D，
［IX. 11和推论］
因此，A乘C得D。
但还有，E乘F得D；
因此，A、C的乘积等于E、F的乘积。
因此，A比E如同F比C。
［VII. 19］
又，A、E互素，
而互素的数是与它们有相同比的数对中最小的，
［VII. 21］
且用有相同比的最小数对量那些有相同比的数对，较大数量尽较大数与较小数量尽较小数有相同的次数，即前项量尽前项与后项量尽后项有相同的次数；
［VII. 20］
因此，E量尽C。
设按照G，E量尽C；
因此，E乘G得C。
但根据前一命题，
A乘B也得C。
［IX. 11和推论］
因此，A、B的乘积等于E、G的乘积。
因此，A比E如同G比B。
［VII. 19］
但A、E互素，
而互素的数是与它们有相同比的数对中最小的，
［VII. 21］
且用有相同比的最小数对量那些有相同比的数对，较大数量尽较大数与较小数量尽较小数有相同的次数，即前项量尽前项与后项量尽后项有相同的次数；
［VII. 20］
因此，E量尽B。
设按照H，E量尽B；
因此，E乘H得B。
但A自乘也得B；
［IX. 8］
因此，E、H的乘积等于A的平方。
因此，E比A如同A比H。
［VII. 19］
又，A、E互素，
而互素的数是与它们有相同比的数对中最小的，
［VII. 21］
且用有相同比的最小数对量那些有相同比的数对，较大数量尽较大数与较小数量尽较小数有相同的次数，即前项量尽前项与后项量尽后项有相同的次数；
［VII. 20］
因此，E量尽A，即前项量尽前项。
但已假设E量不尽A：
这是不可能的。
因此，E、A不互素。
因此，E、A互合。
但互合的数被某数量尽。
［VII. 定义14］
又，由于按照假设，E是素数，
而素数不被任何除自身以外的数量尽，
因此，E量尽A、E，
因此，E量尽A。
［但它也量尽D；
因此，E量尽A、D。］
类似地，可以证明，无论有多少个素数量尽D，A也被同样的素数量尽。
这就是所要证明的。
命题13
若从单元开始有任意多个数成连比例，且单元后面那个数是素数，则除了这些成比例的数中的那些数以外，任何数都量不尽其中最大的数。
If as many numbers as we please beginning from an unit be in continued proportion, and the number after the unit be prime, the greatest will not be measured by any except those which have a place among the proportional numbers.
设从单元开始，有任意多个数A、B、C、D成连比例，且单元后面那个数A是素数；
我说，它们中最大的数D不被除A、B、C以外的任何其他数量尽。
如果可能，设D被E量尽，且设E不同于数A、B、C中的任何一个。
于是显然，E不是素数。
这是因为，如果E是素数，并且量尽D，
那么E也量尽素数A
［IX. 12］，尽管E不同于A：
这是不可能的。
因此，E不是素数。
因此，E是合数。
但任何合数都被某一素数量尽；
［VII. 31］
因此，E被某一素数量尽。
其次我说，E不被除A以外的任何其他素数量尽。
这是因为，如果E被另一素数量尽，
而E量尽D，
则这一另外的数也量尽D；
于是，它也量尽素数A
［IX. 12］，尽管它不同于A：
这是不可能的。
因此，A量尽E。
又，由于E量尽D，设E按照F量尽D。
我说，F不同于数A、B、C中的任何一个。
这是因为，如果F与数A、B、C中的一个相同，
且F按照E量尽D，
则数A、B、C之一也按照E量尽D。
但数A、B、C之一按照数A、B、C之一量尽D；
［IX. 11］
因此，E也与数A、B、C之一相同：
这与假设矛盾。
因此，F不同于A、B、C中的任何一个。
类似地，可以证明，F被A量尽，只要再次证明F不是素数。
这是因为，如果F是素数，且量尽D，
则它也量尽素数A
［IX. 12］，尽管它不同于A：
这是不可能的；
因此，F不是素数。
因此，F是合数。
但任何合数都被某一素数量尽；
［VII. 31］
因此，F被某一素数量尽。
其次我说，F不被除A以外的任何其他素数量尽。
这是因为，如果F被另一素数量尽，
而F量尽D，
则这一另外的数也量尽D；
于是，它也量尽素数A
［IX. 12］，尽管它不同于A：
这是不可能的。
因此，A量尽F。
又，由于E按照F量尽D，
因此，E乘F得D。
但还有，A乘C也得D；
［IX. 11］
因此，A、C的乘积等于E、F的乘积。
因此有比例，A比F如同F比C。
［VII. 19］
但A量尽E；
因此，F也量尽C。
设F按照G量尽C。
于是，类似地，可以证明，G不同于数A、B中的任何一个，且A量尽G。
又，由于F按照G量尽C，
因此，F乘G得C。
但还有，A乘B也得C；
［IX. 11］
因此，A、B的乘积等于F、G的乘积。
因此有比例，A比F如同G比B。
［VII. 19］
但A量尽F；
因此，G也量尽B。
设G按照H量尽B。
于是，类似地，可以证明，H与A不同。
又，由于G按照H量尽B，
因此，G乘H得B。
但还有，A自乘也得B；
［IX. 8］
因此，H、G的乘积等于A的平方。
因此，H比A如同A比G。
［VII. 19］
但A量尽G；
因此，H也量尽素数A，尽管H不同于A；
这是荒谬的。
因此，最大的数D不被除A、B、C以外的任何其他数量尽。
这就是所要证明的。
命题14
若一数是被若干素数量尽的最小数，则除了原来量尽它的那些素数以外，任何其他素数都量不尽这个数。
If a number be the least that is measured by prime numbers, it will not be measured by any other prime number except those originally measuring it.
?
设数A是被素数B、C、D量尽的最小数；
我说，除了B、C、D以外，任何其他素数都量不尽A。
这是因为，如果可能，设素数E能量尽A，且设E不同于B、C、D中的任何一个。
现在，由于E量尽A，设E按照F量尽A；
因此，E乘F得A。
且A被素数B、C、D量尽。
但若两数相乘得某数，且某素数量尽该乘积，则它也量尽原来两数之一；
［VIII. 30］
因此，B、C、D量尽数E、F中的一个。
现在，它们量不尽E；
因为E是素数，且不同于数B、C、D中的任何一个。
因此，它们量尽F，而F小于A：
这是不可能的，因为根据假设，A是被B、C、D量尽的最小数。
因此，除了B、C、D以外，没有素数量尽A。
这就是所要证明的。
命题15
若成连比例的三个数是那些与它们有相同比的数组中最小的，则它们中任何两个之和与其余那个数互素。
If three numbers in continued proportion be the least of those which have the same ratio with them, any two whatever added together will be prime to the remaining number.
?
设成连比例的三个数A、B、C是与它们有相同比的数组中最小的；
我说，数A、B、C中任何两个之和与其余那个数互素，即A、B之和与C互素；B、C之和与A互素，以及A、C之和与B互素。
这是因为，设两数DE、EF是与A、B、C有相同比的数组中最小的。
［VIII. 2］
于是显然，DE自乘得A，DE乘EF得B，以及EF自乘得C。
［VIII. 2］
现在，由于DE、EF是最小的，
所以它们互素。
［VII. 22］
但若两数互素，则它们之和也与每一个互素；
［VII. 28］
因此，DF也与数DE、EF中的每一个互素。
但DE也与EF互素；
因此，DF、DE与EF互素。
但若两数与某数互素，则它们的乘积也与该数互素；
［VII. 24］
因此，FD、DE的乘积与EF互素；
因此，FD、DE的乘积也与EF的平方互素。
［VII. 25］
但FD、DE的乘积是DE的平方与DE、EF的乘积之和；
［II. 3］
因此，DE的平方与DE、EF的乘积之和与EF的平方互素。
又，DE的平方是A，
DE、EF的乘积是B，
而EF的平方是C；
因此，A、B之和与C互素。
类似地，可以证明，B、C之和与A互素。
其次我说，A、C之和也与B互素。
这是因为，由于DF与数DE、EF中的每一个互素，
因此，DF的平方也与DE、EF的乘积 互素。
［VII. 24，25］
但DE、EF的平方和加上DE、EF乘积的二倍等于DF的平方；
［II. 4］
因此，DE、EF的平方和加上DE、EF乘积的二倍与DE、EF的乘积互素。
取分比例，DE、EF的平方和与DE、EF的乘积之和与DE、EF的乘积互素。
因此，再取分比例，DE、EF的平方和与DE、EF的乘积互素。
又，DE的平方是A，
DE、EF的乘积是B，
且EF的平方是C。
因此，A、C之和与B互素。
这就是所要证明的。
命题16
若两数互素，则第一数比第二数不如同第二数比任何其他数。
If two numbers be prime to one another, the second will not be to any other number as the first is to the second.
?
设两数A、B互素。
我说，A比B不如同B比任何其他数。
这是因为，如果可能，设A比B如同B比C。
现在，A、B互素，
而互素的数是与它们有相同比的数对中最小的，
［VII. 21］
且用有相同比的最小数对量那些有相同比的数对，较大数量尽较大数与较小数量尽较小数有相同的次数，即前项量尽前项与后项量尽后项有相同的次数；
［VII. 20］
因此，作为前项量尽前项，A量尽B。
但它也量尽自身；
因此，A量尽互素的A、B：
这是荒谬的。
因此，A比B不如同B比C。
这就是所要证明的。
命题17
若有任意多个数成连比例，且它们的两端互素，则第一数比第二数不如同最后一数比任何其他数。
If there be as many numbers as we please in continued proportion, and the extremes of them be prime to one another, the last will not be to any other number as the first to the second.
?
设有任意多个数A、B、C、D成连比例，
且设它们的两端A、D互素；
我说，A比B不如同D比任何其他数。
这是因为，如果可能，设A比B如同D比E。
［VII. 13］
但A、D互素，
而互素的数是与它们有相同比的数对中最小的，
［VII. 21］
且用有相同比的最小数对量那些有相同比的数对，较大数量尽较大数与较小数量尽较小数有相同的次数，即前项量尽前项与后项量尽后项有相同的次数；
［VII. 20］
因此，A量尽B。
又，A比B如同B比C。
因此，B也量尽C；
因此，A也量尽C。
又，由于B比C如同C比D，
且B量尽C，
因此，C也量尽D。
而A也量尽C；
因此，A也量尽D。
而A也量尽A自身；
因此，A量尽互素的A、D：
这是不可能的。
因此，A比B不如同D比任何其他数。
这就是所要证明的。
命题18
给定两个数，考察是否可能对它们求出第三比例数。
Given two numbers, to investigate whether it is possible to find a third proportional to them.
?
设A、B是给定的两个数，要求考察是否可能对它们求出第三比例数。
现在，A、B要么互素，要么不互素。
如果它们互素，则已经证明，不可能对它们求出第三比例数。
［IX. 16］
其次，设A、B不互素，
且设B自乘得C。
于是，A要么量尽C，要么量不尽C。
首先，设A按照D量尽C；
因此，A乘D得C。
但B自乘也得C；
因此，A、D的乘积等于B的平方。
因此，A比B如同B比D；
［VII. 19］
这样就对A、B求出了第三比例数D。
其次，设A量不尽C；
我说，对A、B求出第三比例数是不可能的。
这是因为，如果可能，设已求出第三比例数D。
因此，A、D的乘积等于B的平方。
但B的平方是C；
因此，A、D的乘积等于C。
因此，A乘D得C；
因此，A按照D量尽C。
但根据假设，A也量不尽C：
这是荒谬的。
因此，当A量不尽C时，对A、B不可能求出第三比例数。
这就是所要证明的。
命题19
给定三个数，考察何时可能对它们求出第四比例数。
Given three numbers, to investigate when it is possible to find a fourth proportional to them.
?
设A、B、C是给定的三个数，要求考察何时可能对它们求出第四比例数。……[1]
命题20
存在着比指定的任意多个素数更多的素数。
Prime numbers are more than any assigned multitude of prime numbers.
?
设A、B、C是指定的素数。
我说，存在着比A、B、C更多的素数。
这是因为，取被A、B、C量尽的最小数，
［VII. 36］
并设它为DE；
再给DE加上单元DF。
于是，EF要么是素数，要么不是素数。
首先，设它是素数；
于是，已经找到了比A、B、C更多的素数A、B、C、EF。
其次，设EF不是素数；
因此，EF被某个素数量尽；
［VII. 31］
设EF被素数G量尽。
我说，G与数A、B、C中的任何一个都不同。
这是因为，如果可能，设G与数A、B、C中的某一个相同。
现在，A、B、C量尽DE；
因此，G也量尽DE。
但G也量尽EF。
因此，G作为一个数量尽余数，即单元DF：
这是荒谬的。
因此，G与数A、B、C中的任何一个都不同。
又根据假设，G是素数。
因此，已经找到了素数A、B、C、G，其个数多于指定的A、B、C的个数。
这就是所要证明的。
命题21
把任意多个偶数相加，总和是偶数。
If as many even numbers as we please be added together, the whole is even.
?
设把任意多个偶数AB、BC、CD、DE相加；
我说，总和AE是偶数。
这是因为，由于数AB、BC、CD、DE中的每一个都是偶数，所以它有半个部分；
［VII. 定义6］
因此，总和AE也有半个部分。
但偶数是能被分成两个相等部分的数；
［VII. 定义6］
因此，AE是偶数。
这就是所要证明的。
命题22
把任意多个奇数相加，且其个数是偶数，则总和是偶数。
If as many odd numbers as we please be added together, and their multitude be even, the whole will be even.
?
把偶数个奇数AB、BC、CD、DE相加；
我说，总和AE是偶数。
这是因为，由于数AB、BC、CD、DE中的每一个都是奇数，所以如果从每一个中减去一个单元，则每一个余数都是偶数；
［VII. 定义7］
因此，它们的总和是偶数。
［IX. 21］
但单元的个数也是偶数。
因此，总和AE也是偶数。
［IX. 21］
这就是所要证明的。
命题23
把任意多个奇数相加，且其个数是奇数，则总和也是奇数。
If as many odd numbers as we please be added together, and their multitude be odd, the whole will also be odd.
?
设奇数个奇数AB、BC、CD相加；
我说，总和AD是奇数。
设从CD中减去单元DE；
因此，余数CE是偶数。
［VII. 定义7］
但CA也是偶数；
［IX. 22］
因此，总和AE也是偶数。
［IX. 21］
而DE是一个单元。
因此，AD是奇数。
［VII. 定义7］
这就是所要证明的。
命题24
从偶数中减去偶数，余数是偶数。
If from an even number an even number be subtracted, the remainder will be even.
?
设从偶数AB中减去偶数BC；
我说，余数CA是偶数。
这是因为，由于AB是偶数，所以它有半个部分。
［VII. 定义6］
同理，BC也有半个部分；
因此，余数CA也有半个部分，因此AC也是偶数。
这就是所要证明的。
命题25
从偶数中减去奇数，余数是奇数。
If from an even number an odd number be subtracted, the remainder will be odd.
?
设从偶数AB中减去奇数BC；
我说，余数CA是奇数。
设从BC中减去单元CD；
因此，DB是偶数。
［VII. 定义7］
但AB也是偶数；
因此，余数AD也是偶数。
［IX. 24］
而CD是单元；
因此，CA是奇数。
［VII. 定义7］
这就是所要证明的。
命题26
从奇数中减去奇数，余数是偶数。
If from an odd number an, odd number be subtracted, the remainder will be even.
?
设从奇数AB中减去奇数BC；
我说，余数CA是偶数。
这是因为，由于AB是奇数，设从AB中减去单元BD；
因此，余数AD是偶数。
［VII. 定义7］
同理，CD也是偶数；
［VII. 定义7］
因此，余数CA也是偶数。
［IX. 24］
这就是所要证明的。
命题27
从奇数中减去偶数，余数是奇数。
If from an odd number an even number be subtracted, the remainder will be odd.
?
设从奇数AB中减去偶数BC；
我说，余数CA是奇数。
设从奇数AB中减去单元AD；
因此，DB是偶数。
［VII. 定义7］
但BC也是偶数；
因此，余数CD是偶数。
［IX. 24］
因此，CA是奇数。
［VII. 定义7］
这就是所要证明的。
命题28
奇数乘偶数，乘积是偶数。
If an odd number by multiplying an even number make some number, the product will be even.
?
设奇数A乘偶数B得C；
我说，C是偶数。
这是因为，由于A乘B得C，
因此，A中有多少单元，C就由多少个等于B的数相加而成。
［VII. 定义15］
而B是偶数；
因此，C由若干偶数相加而成。
但把任意多个偶数相加，总和是偶数。
［IX. 21］
因此，C是偶数。
这就是所要证明的。
命题29
奇数乘奇数，乘积是奇数。
If an odd number by multiplying an odd number make some number, the product will be odd.
?
设奇数A乘奇数B得C；
我说，C是奇数。
这是因为，由于A乘B得C，
因此，A中有多少单元，C就由多少个等于B的数相加而成。
［VII. 定义15］
而数A、B中的每一个都是奇数；
因此，C由奇数个奇数相加而成。
因此，C是奇数。
［IX. 23］
这就是所要证明的。
命题30
若一个奇数量尽一个偶数，则这个奇数也量尽这个偶数的一半。
If an odd number measure an even number, it will also measure the half of it.
?
设奇数A量尽偶数B；
我说，A也量尽B的一半。
这是因为，由于A量尽B，
设A按照C量尽B；
我说，C不是奇数。
这是因为，如果可能，设C是奇数。
于是，由于A按照C量尽B，
因此，A乘C得B。
因此，B由奇数个奇数相加而成。
因此，B是奇数：
［IX. 23］
这是荒谬的，因为根据假设B是偶数。
因此，C不是奇数；
因此，C是偶数。
因此，A量尽B有偶数次。
因此，A也量尽B的一半。
这就是所要证明的。
命题31
若一个奇数与某数互素，则这个奇数与此数的二倍互素。
If an odd number be prime to any number, it will also be prime to the double of it.
?
设奇数A与某数B互素，且设C是B的二倍；
我说，A与C互素。
这是因为，如果它们不互素，则有某数量尽它们。
设这个数是D。
现在，A是奇数；
因此，D也是奇数，
又，由于D是量尽C的奇数，
且C是偶数，
因此，D也量尽C的一半。
［IX. 30］
但B是C的一半；
因此，D量尽B。
但D也量尽A；
因此，D量尽互素的A、B：
这是不可能的。
因此，A不能不与C互素。
因此，A、C互素。
这就是所要证明的。
命题32
从二开始连续二倍的每一个数仅是偶倍偶数。
Each of the numbers which are continually doubled beginning from a dyad is even-times even only.
?
设二是A，并设任意多个数B、C、D是从A开始的连续二倍的数；
我说，B、C、D仅是偶倍偶数。
现在，数B、C、D中的每一个显然是偶倍偶数；这是因为它是从二开始加倍的。
我说，它也仅是偶倍偶数。
这是因为，设从一个单元开始。
于是，由于从单元开始的任意多个数成连比例，
且单元后面的数A是素数，
因此，除A、B、C以外，任何其他数都量不尽数A、B、C、D中最大的D。
［IX. 13］
又，数A、B、C中的每一个都是偶数；
因此，D仅是偶倍偶数。
［VII. 定义8］
类似地，可以证明，数B、C中的每一个也仅是偶倍偶数。
这就是所要证明的。
命题33
若一数的一半是奇数，则它仅是偶倍奇数。
If a number have its half odd, it is even-times odd only.
?
设数A的一半是奇数；
我说，A仅是偶倍奇数。
现在，它显然是偶倍奇数；这是因为，它的一半是奇数，且此奇数量尽它的次数为偶数。
［VII. 定义9］
其次我说，它也仅是偶倍奇数。
这是因为，如果A也是偶倍偶数，那么
它被一个偶数按照偶数量尽；
［VII. 定义8］
于是，它的一半也被一个偶数量尽，尽管它的一半是奇数：
这是荒谬的。
因此，A仅是偶倍奇数。
这就是所要证明的。
命题34
若一个数既不是从二开始连续二倍的数，它的一半也不是奇数，则它既是偶倍偶数，又是偶倍奇数。
If a number neither be one of those which are continually doubled from a dyad, nor have its half odd, it is both even-times even and even-times odd.
?
设数A既不是从二开始连续二倍的数，它的一半也不是奇数；
我说，A既是偶倍偶数又是偶倍奇数。
现在，A显然是偶倍偶数；
这是因为它的一半不是奇数。
［VII. 定义8］
其次我说，它也是偶倍奇数。
这是因为，如果将A二等分，然后将它的一半二等分，以此类推，我们会遇到某个奇数，它按照一个偶数量尽A。
这是因为，如果不是这样，我们会遇到二，
且A是从二开始连续二倍的那些数中的数：
这与假设矛盾。
于是，A是偶倍奇数。
但已证明，它也是偶倍偶数。
因此，A既是偶倍偶数又是偶倍奇数。
这就是所要证明的。
命题35
若有任意多个数成连比例，又从第二数和最后一数中减去等于第一数的数，则从第二数得的余数比第一数如同从最后一数得的余数比最后一数以前各项之和。
If as many numbers as we please be in continued proportion, and there be subtracted from the second and the last numbers equal to the first, then, as the excess of the second is to the first, so will the excess of the last be to all those before it.
?
设从最小的A开始的任意多个数A、BC、D、EF成连比例，
且设从BC和EF中减去等于A的数BG、FH；
我说，GC比A如同EH比A、BC、D之和。
这是因为，设FK等于BC，且FL等于D。
于是，由于FK等于BC，
且其中的部分FH等于部分BG，
因此，余数HK等于余数GC。
又，由于EF比D如同D比BC，又如同BC比A，
而D等于FL，BC等于FK，A等于FH。
因此，EF比FL如同LF比FK，又如同FK比FH。
取分比例，EL比LF如同LK比FK，又如同KH比FH。
［VII. 11，13］
因此也有，前项之一比后项之一如同所有前项之和比所有后项之和；
［VII. 12］
因此，KH比FH如同EL、LK、KH之和比LF、FK、HF之和。
但KH等于CG，FH等于A，EL、LK、KH之和等于D、BC、A之和；
因此，CG比A如同EH比D、BC、A之和。
因此，从第二数得的余数比第一数如同从最后一数得的余数比最后一数以前各项之和。
这就是所要证明的。
命题36
若从单元开始有任意多个数以二倍比成连比例，且所有数之和是素数，则这个和与最后一数的乘积是完全数。
If as many numbers as we please beginning from an unit be set out continuously in double proportion, until the sum of all becomes prime, and if the sum multiplied into the last make some number, the product will be perfect.
?
设从单元开始有任意多个数A、B、C、D以二倍比成连比例，且所有数之和是素数，
设E等于其和，且设E乘D得FG；
我说，FG是完全数。
这是因为，A、B、C、D有多少个，就设有多少个E、HK、L、M为从E开始的以二倍比成连比例的数；
于是，取首末比例，A比D如同E比M。
［VII. 14］
因此，E、D的乘积等于A、M的乘积。
［VII. 19］
而E、D的乘积是FG；
因此，A、M的乘积也是FG。
因此，A乘M得FG；
因此，按照A中的单元数，M量尽FG。
而A是二；
因此，FG是M的二倍。
但M、L、HK、E彼此连续二倍，
因此，E、HK、L、M、FG以二倍比成连比例。
现在，设从第二数HK和最后一数FG中减去等于第一数E的数；
因此，从第二数得的余数比第一数如同从最后一数得的余数比最后一数以前各项之和。
［IX. 35］
因此，NK比E如同OG比M、L、HK、E之和。
而NK等于E；
因此，OG也等于M、L、HK、E之和。
但FO也等于E，
而E等于A、B、C、D与单元之和。
因此，整个FG等于E、HK、L、M与A、B、C、D以及单元之和；
且FG被它们量尽。
我还说，除A、B、C、D、E、HK、L、M和单元以外，任何其他数都量不尽FG。
这是因为，如果可能，设某数P量尽FG，
且设P不同于数A、B、C、D、E、HK、L、M中的任何一个。
又，P量尽FG有多少次，就设Q中有多少单元；
因此，Q乘P得FG。
但E乘D也得FG；
因此，E比Q如同P比D。
［VII. 19］
又，由于A、B、C、D从单元开始成连比例，
因此，除A、B、C以外，任何其他数都量不尽D。
［IX. 13］
又，根据假设，P不同于数A、B、C中的任何一个；
因此，P量不尽D。
但P比D如同E比Q；
因此，E也量不尽Q。
［VII. 定义20］
而E是素数；
且任一素数与它量不尽的任一数互素。
［VII. 29］
因此，E、Q互素。
但互素的数是与它们有相同比的数对中最小的，
［VII. 21］
且用有相同比的数对中最小的数对量那些有相同比的数对，较大数量尽较大数与较小数量尽较小数有相同的次数，也就是说，前项量尽前项与后项量尽后项有相同的次数；
［VII. 20］
又，E比Q如同P比D；
因此，E量尽P与Q量尽D有相同的次数。
但除A、B、C以外，任何其他数都量不尽D；
因此，Q与A、B、C中的一个相同。
设它与B相同。
又，B、C、D有多少个，就从E开始取多少个E、HK、L。
现在，E、HK、L与B、C、D有相同的比；
因此，取首末比例，B比D如同E比L。
［VII. 14］
因此，B、L的乘积等于D、E的乘积。
［VII. 19］
但D、E的乘积等于Q、P的乘积；
因此，Q、P的乘积也等于B、L的乘积。
因此，Q比B如同L比P。
［VII. 19］
而Q与B相同；
因此，L也与P相同：
这是不可能的，这是因为，根据假设，P不同于给定的任何数。
因此，除A、B、C、D、E、HK、L、M和单元以外，没有数量尽FG。
又，已经证明，FG等于A、B、C、D、E、HK、L、M以及单元之和。
且完全数是等于其自身所有部分之和的数；
［VII. 定义22］
因此，FG是完全数。
这就是所要证明的。
?
[1]?据希思的说法，该命题的希腊文本错误百出，且该证明的完整无缺的部分是错误的。然而，与命题18类似，A、B、C的第四比例数存在的条件是：A量尽B与C的乘积。（译者注）
