命题 Proposition
命题01
若有任意多个数成连比例，且它们的两外项互素，则这些数是与它们有相同比的数组中最小的。
If there be as many numbers as we please in continued proportion, and the extremes of them be prime to one another, the numbers are the least of those which have the same ratio with them.
设有任意多个数A、B、C、D成连比例，
且设它们的两外项A、D互素；
我说，A、B、C、D是与它们有相同比的数组中最小的。
这是因为，如果不是这样，设E、F、G、H分别小于A、B、C、D，且与它们有相同的比。
现在，由于A、B、C、D与E、F、G、H有相同的比，
且A、B、C、D的个数与E、F、G、H的个数相等，
因此，取首末比例，
A比D如同E比H。
［VII. 14］
但A、D互素，
互素的数是与它们有相同比的数对中最小的，
［VII. 21］
且用有相同比的数对中最小的数对量那些有相同比的数对，较大数量尽较大数与较小数量尽较小数有相同的次数，即前项量尽前项与后项量尽后项有相同的次数。
［VII. 20］
因此，A量尽E，较大的量尽较小的：
这是不可能的。
因此，小于A、B、C、D的E、F、G、H与它们没有相同的比。
因此，A、B、C、D是与它们有相同比的数组中最小的。
这就是所要证明的。
命题02
按照指定的个数，求有给定比的成连比例的数组中最小的。
To find numbers in continued proportion, as many as may be prescribed, and the least that are in a given ratio.
设A、B是有给定比的最小数对；
于是，要求按照指定的个数求有A与B之比的成连比例的数组中最小的。
设指定的个数是四；
设A自乘得C，A乘B得D；
B自乘得E；
此外，设A乘C、D、E分别得F、G、H，
且设B乘E得K。
现在，由于A自乘得C，
且A乘B得D，
因此，A比B如同C比D。
［VII. 17］
又，由于A乘B得D，
且B自乘得E，
因此，数A、B乘B分别得数D、E。
因此，A比B如同D比E。
［VII. 18］
但A比B如同C比D；
因此也有，C比D如同D比E。
又，由于A乘C、D得F、G，
因此，C比D如同F比G。
［VII. 17］
但C比D如同A比B；
因此也有，A比B如同F比G。
又，由于A乘D、E得G、H，
因此，D比E如同G比H。
［VII. 17］
但D比E如同A比B。
因此也有，A比B如同G比H。
又，由于A、B乘E得H、K，
因此，A比B如同H比K。
［VII. 18］
但A比B如同F比G，也如同G比H。
因此也有，F比G如同G比H，也如同H比K；
因此，C、D、E以及F、G、H、K都以A比B成连比例。
其次我说，它们是以A比B成连比例的数组中最小的。
这是因为，由于A、B是与它们有相同比的最小数对，
且有相同比的最小数对互素，
［VII. 22］
因此，A、B互素。
又，数A、B分别自乘得数C、E，数A、B分别乘C、E得F、K；
因此，C、E和F、K分别互素。
［VII. 27］
但若有任意多个数成连比例，且它们的两外项互素，则这些数是与它们有相同比的数组中最小的。
［VIII. 1］
因此，C、D、E和F、G、H、K是与A比B有相同比的数组中最小的。
这就是所要证明的。
推论由此显然可得，若成连比例的三个数是与它们有相同比的最小者，则它们的两外项是平方数；若成连比例的四个数是与它们有相同比的最小者，则它们的两外项是立方数。
命题03
若成连比例的任意多个数是与它们有相同比的数组中最小的，则它们的两外项互素。
If as many numbers as we please in continued proportion be the least of those which have the same ratio with them, the extremes of them are prime to one another.
设成连比例的任意多个数A、B、C、D是与它们有相同比的数组中最小的。
我说，它们的两外项A、D互素。
这是因为，设数E、F是与A、B、C、D有相同比的数组中最小的，
［VII. 33］
然后取有相同性质的另外三个数G、H、K，
以及其他的数，一次多一个，
［VIII. 2］
直到个数等于数A、B、C、D的个数。
设所取的数是L、M、N、O。
现在，由于E、F是与它们有相同比的数组中最小的，所以
它们互素。
［VII. 22］
又，由于数E、F分别自乘得数G、K，且E、F分别乘G、K得数L、O，
［VIII. 2，推论］
因此，G、K和L、O两者分别互素。
［VII. 27］
又，由于A、B、C、D是与它们有相同比的数组中最小的，
而L、M、N、O是与A、B、C、D有相同比的数组中最小的，
且数A、B、C、D的个数等于数L、M、N、O的个数，
因此，数A、B、C、D分别等于数L、M、N、O；
因此，A等于L，且D等于O。
又，L、O互素。
因此，A、D也互素。
这就是所要证明的。
命题04
给定以最小数给出的任意多个比，求以给定比成连比例的数组中最小的。
Given as many ratios as we please in least numbers, to find numbers in continued proportion which are the least in the given ratios.
设以最小数给出的比是A比B、C比D和E比F。
于是，要求找到成连比例的数组，它们是以A比B、C比D和E比F成连比例的数组中最小的。
设G是B、C量尽的最小数；
［VII. 34］
又，B量尽G有多少次，就设A量尽H有多少次，
且C量尽G有多少次，就设D量尽K有多少次。
现在，E要么量尽，要么量不尽K。
首先，设E量尽K。
又，E量尽K有多少次，就设F量尽L也有多少次。
现在，由于A量尽H与B量尽G有相同的次数，
因此，A比B如同H比G。
［VII. 定义20，VII. 13］
同理，
C比D如同G比K，
还有E比F如同K比L；
因此，H、G、K、L是以A比B、C比D和E比F成连比例的数组。
其次我说，它们也是有这个性质的数组中最小的。
这是因为，如果H、G、K、L不是以A比B、C比D和E比F成连比例的数组中最小的，则设最小数组是N、O、M、P。
于是，由于A比B如同N比O，
而A、B是最小的，
且用有相同比的最小数对量那些有相同比的数对，较大数量尽较大数与较小数量尽较小数有相同的次数，即前项量尽前项与后项量尽后项有相同的次数，
因此，B量尽O。
［VII. 20］
同理，
C也量尽O；
因此，B、C量尽O；
因此，B、C量尽的最小数也量尽O。
［VII. 35］
但G是B、C量尽的最小数；
因此，G量尽O，较大的量尽较小的：
这是不可能的。
因此，没有比H、G、K、L还小的数组能以A比B、C比D和E比F成连比例。
其次，设E量不尽K。
设M是E、K量尽的最小数。
又，K量尽M有多少次，就设H、G分别量尽N、O有多少次，
且E量尽M有多少次，就设F量尽P也有多少次。
由于H量尽N与G量尽O有相同的次数，
因此，H比G如同N比O。
［VII. 13和定义20］
但H比G如同A比B；
因此也有，A比B如同N比O。
同理也有，
C比D如同O比M。
又，由于E量尽M与F量尽P有相同的次数，
因此，E比F如同M比P；
［VII. 13和定义20］
因此，N、O、M、P以A比B、C比D和E比F成连比例。
其次我说，它们也是以A比B、C比D和E比F成连比例的数组中最小的。
这是因为，如果不是这样，则有某数组小于N、O、M、P而以A比B、C比D和E比F成连比例。
设它们是Q、R、S、T。
现在，由于Q比R如同A比B，
而A、B是最小的，
且用有相同比的最小数对量那些有相同比的数对，较大数量尽较大数与较小数量尽较小数有相同的次数，即前项量尽前项与后项量尽后项有相同的次数；
［VII. 20］
因此，B量尽R。
同理，C也量尽R；
因此，B、C量尽R。
因此，B、C量尽的最小数也量尽R。
［VII. 35］
但G是B、C量尽的最小数；
因此，G量尽R。
又，G比R如同K比S，
因此，K也量尽S。
［VII. 13］
但E也量尽S；
因此，E、K量尽S。
因此，E、K量尽的最小数也量尽S。
［VII. 35］
但M是E、K量尽的最小数。
因此，M量尽S，较大的量尽较小的：
这是不可能的。
因此，没有小于N、O、M、P的数组以A比B、C比D和E比F成连比例；
因此，N、O、M、P是以A比B、C比D和E比F成连比例的数组中最小的。
这就是所要证明的。
命题05
面数之比是其边之比的复比。
Plane numbers have to one another the ratio compounded of the ratios of their sides.
设A、B是面数，且设数C、D是A的边，数E、F是B的边；
我说，A与B之比是其边之比的复比。
这是因为，C比E和D比F已给定，设以C比E和D比F成连比例的最小数组是G、H、K，因此
C比E如同G比H，
且D比F如同H比K。
［VIII. 4］
又设D乘E得L。
现在，由于D乘C得A，且D乘E得L，
因此，C比E如同A比L。
［VII. 17］
但C比E如同G比H；
因此也有，G比H如同A比L。
又，由于E乘D得L，还有E乘F得B，
因此，D比F如同L比B。
［VII. 17］
但D比F如同H比K；
因此也有，H比K如同L比B。
但已证明，G比H如同A比L；
因此，取首末比例，G比K如同A比B。
［VII. 14］
但G与K之比是边之比的复比；
因此，A与B之比也是边之比的复比。
这就是所要证明的。
命题06
若有任意多个成连比例的数，且第一数量不尽第二数，则任一其他数也量不尽任一其他数。
If there be as many numbers as we please in continued proportion, and the first do not measure the second, neither will any other measure any other.
设有任意多个成连比例的数A、B、C、D、E，
且设A量不尽B；
我说，任一其他数也量不尽任一其他数。
现在显然，A、B、C、D、E依次相互量不尽；这是因为A甚至量不尽B。
于是我说，任一其他数也量不尽任一其他数。
这是因为，如果可能，设A量尽C。
又，A、B、C有多少个，就取多少个数F、G、H，它们是与A、B、C有相同比的数组中最小的。
［VII. 33］
现在，由于F、G、H与A、B、C有相同的比，且数A、B、C的个数等于数F、G、H的个数，
因此，取首末比例，A比C如同F比H。
［VII. 14］
又，由于A比B如同F比G，
而A量不尽B，
因此，F也量不尽G；
［VII. 定义20］
因此，F不是一个单元，因为单元量尽任何数。
现在，F、H互素。
［VIII. 3］
又，F比H如同A比C；
因此，A也量不尽C。
类似地，可以证明，任一其他数也量不尽任一其他数。
这就是所要证明的。
命题07
若有任意多个成连比例的数，且第一数量尽最后一数，则第一数也量尽第二数。
If there be as many numbers as we please in continued proportion, and the first measure the last, it will measure the second also.
设有任意多个数A、B、C、D成连比例；且设A量尽D。
我说，A也量尽B。
这是因为，如果A量不尽B，则任一其他数也量不尽任一其他数。
［VIII. 6］
但A量尽D，
因此，A也量尽B。
这就是所要证明的。
命题08
若两数之间有几个与它们成连比例的数，则它们之间有多少个成连比例的数，与原来两数有相同比的两数之间就有多少个成连比例的数。
If between two numbers there fall numbers in continued proportion with them, then, however many numbers fall between them in continued proportion, so many will also fall in continued proportion between the numbers which have the same ratio with the original numbers.
设两数A、B之间有与它们成连比例的数C、D，且设E比F如同A比B。
我说，A、B之间有多少个成连比例的数，E、F之间也有多少个成连比例的数。
这是因为，A、B、C、D有多少个，就取多少个数G、H、K、L为与A、C、D、B有相同比的数组中最小的，
［VII. 33］
因此，它们的两端G、L互素。
［VIII. 3］
现在，由于A、C、D、B与G、H、K、L有相同的比，
且数A、C、D、B的个数等于数G、H、K、L的个数，
因此，取首末比例，A比B如同G比L。
［VII. 14］
但A比B如同E比F；
因此也有，G比L如同E比F。
但G、L互素，
而互素的数是与它们有相同比的数对中最小的，
［VII. 21］
且用有相同比的最小数对量那些有相同比的数对，较大数量尽较大数与较小数量尽较小数有相同的次数，即前项量尽前项与后项量尽后项有相同的次数；
［VII. 20］
因此，G量尽E与L量尽F有相同的次数。
其次，G量尽E有多少次，就设H、K分别量尽M、N也有多少次；
因此，G、H、K、L量尽E、M、N、F有相同的次数。
因此，G、H、K、L与E、M、N、F有相同的比。
［VII. 定义20］
但G、H、K、L与A、C、D、B有相同的比；
因此，A、C、D、B也与E、M、N、F有相同的比。
但A、C、D、B成连比例；
因此，E、M、N、F也成连比例。
因此，A、B之间有多少个成连比例的数，E、F之间也有多少个成连比例的数。
这就是所要证明的。
命题09
若两数互素，且它们之间的一些数成连比例，则它们之间这些成连比例的数有多少个，它们中的每一个与单元之间成连比例的数就有多少个。
If two numbers be prime to one another, and numbers fall between them in continued proportion, then, however many numbers fall between them in continued proportion, so many will also fall between each of them and an unit in continued proportion.
设A、B两数互素，且设C、D是它们之间的成连比例的数，
且设单元为E；
我说，A、B之间成连比例的数有多少个，数A、B中的每一个与单元E之间成连比例的数就有多少个。
这是因为，设两数F、G是与A、C、D、B有相同比的数对中最小的，然后取有相同性质的三个数H、K、L，
直到个数等于A、C、D、B的个数。
［VIII. 2］
设它们是M、N、O、P。
现在，显然可得，F自乘得H，F乘H得M，G自乘得L，且G乘L得P。
［VIII. 2，推论］
又，由于M、N、O、P是与F、G有相同比的数组中最小的，
且A、C、D、B也是与F、G有相同比的数组中最小的，
［VIII. 1］
而数M、N、O、P的个数等于数A、C、D、B的个数，
因此，M、N、O、P分别等于A、C、D、B；
因此，M等于A，且P等于B。
现在，由于F自乘得H，
因此，按照F中的单元数，F量尽H。
但按照F中的单元数，单元E也量尽F；
因此，单元E量尽数F与F量尽H有相同的次数。
因此，单元E比数F如同F比H。
［VII. 定义20］
又，由于F乘H得M，
因此，按照F中的单元数，H量尽M。
但按照数F中的单元数，单元E也量尽数F；
因此，单元E量尽数F与H量尽M有相同的次数。
因此，单元E比数F如同H比M。
但也已证明，单元E比数F如同F比H；
因此也有，单元E比数F如同F比H，也如同H比M。
但M等于A；
因此，单元E比数F如同F比H，也如同H比A。
同理也有，
单元E比数G如同G比L，也如同L比B。
因此，A、B之间成连比例的数有多少个，数A、B中的每一个与单元E之间成连比例的数就有多少个。
这就是所要证明的。
命题10
若两数中的每一个与单元之间有一些数成连比例，则两数中的每一个与单元之间这些成连比例的数有多少个，这两数之间成连比例的数就有多少个。
If numbers fall between each of two numbers and an unit in continued proportion, however many numbers fall between each of them and an unit in continued proportion, so many also will fall between the numbers themselves in continued proportion.
设数D、E和F、G分别是两数A、B与单元C之间成连比例的数；
我说，数A、B中的每一个与单元C之间成连比例的数有多少个，A、B之间成连比例的数就有多少个。
这是因为，设D乘F得H，
且数D、F分别乘H得K、L。
现在，由于单元C比数D如同D比E，
因此，单元C量尽数D与D量尽E有相同的次数。
［VII. 定义20］
但按照D中的单元数，C量尽D；
按照D中的单元数，数D也量尽E；
因此，D自乘得E。
又，由于C比数D如同E比A，
因此，单元C量尽数D与E量尽A有相同的次数。
但按照D中的单元数，单元C量尽数D；
因此，按照D中的单元数，E也量尽A；
因此，D乘E得A。
同理也有，
F自乘得G，且F乘G得B。
又，由于D自乘得E，且D乘F得H，
因此，D比F如同E比H。
［VII. 17］
同理也有，
D比F如同H比G。
［VII. 18］
因此也有，E比H如同H比G。
又，由于D乘数E、H分别得A、K，
因此，E比H如同A比K。
［VII. 17］
但E比H如同D比F；
因此也有，D比F如同A比K。
又，由于数D、F乘H分别得K、L，
因此，D比F如同K比L。
［VII. 18］
但D比F如同A比K；
因此也有，A比K如同K比L。
还有，由于F乘数H、G分别得L、B，
因此，H比G如同L比B。
［VII. 17］
但H比G如同D比F；
因此也有，D比F如同L比B。
但已证明，D比F如同A比K，也如同K比L；
因此也有，A比K如同K比L，也如同L比B。
因此，A，K、L、B成连比例。
因此，数A、B中的每一个与单元C之间成连比例的数有多少个，A、B之间成连比例的数就有多少个。
这就是所要证明的。
命题11
两平方数之间有一个比例中项数，且平方数比平方数是其边比边的二倍比。
Between two square numbers there is one mean proportional number, and the square has to the square the ratio duplicate of that which the side has to the side.
设A、B是两平方数，
且设C是A的边，D是B的边。
我说，A、B之间有一个比例中项数，且A比B是C比D的二倍比。
这是因为，设C乘D得E。
现在，由于A是平方数，且C是它的边，
因此，C自乘得A。
同理也有，
D自乘得B。
于是，由于C乘数C、D分别得A、E，
因此，C比D如同A比E。
［VII. 17］
同理也有，
C比D如同E比B。
［VII. 18］
因此也有，A比E如同E比B。
因此，A、B之间有一个比例中项数。
其次我说，A比B也是C比D的二倍比。
这是因为，由于A、E、B是三个成比例的数，
因此，A比B是A比E的二倍比。
［V. 定义9］
但A比E如同C比D。
因此，A比B是边C比D的二倍比。
这就是所要证明的。
命题12
两立方数之间有两个比例中项数，且立方数比立方数是其边比边的三倍比。
Between two cube numbers there are two mean proportional numbers, and the cube has to the cube the ratio triplicate of that which the side has to the side.
设A、B是两立方数，
且设C是A的边，D是B的边；
我说，A、B之间有两个比例中项数，且A比B是C比D的三倍比。
这是因为，设C自乘得E，且C乘D得F；
设D自乘得G，
且设数C、D乘F分别得H、K。
现在，由于A是立方数，C是它的边，
且C自乘得E，
因此，C自乘得E，且C乘E得A。
同理也有，
D自乘得G，且D乘G得B。
又，由于C乘数C、D分别得E、F，
因此，C比D如同E比F。
［VII. 17］
同理也有，
C比D如同F比G。
［VII. 18］
又，由于C乘数E、F分别得A、H，
因此，E比F如同A比H。
［VII. 17］
但E比F如同C比D。
因此也有，C比D如同A比H。
又，由于数C、D乘F分别得H、K，
因此，C比D如同H比K。
［VII. 18］
又，由于D乘F、G分别得K、B，
因此，F比G如同K比B。
［VII. 17］
但F比G如同C比D；
因此也有，C比D如同A比H，也如同H比K，也如同K比B。
因此，H、K是A、B之间的两比例中项数。
其次我说，A比B也是C比D的三倍比。
这是因为，由于A、H、K、B是成比例的四个数，
因此，A比B是A比H的三倍比。
［V. 定义10］
但A比H如同C比D；
因此，A比B也是C比D的三倍比。
这就是所要证明的。
命题13
若有任意多个数成连比例，且每个数自乘得某数，则这些乘积成连比例；又，若原来的数乘这些乘积得某些数，则最后这些数也成连比例。
If there be as many numbers as we please in continued proportion, and each by multiplying itself make some number, the products will be proportional; and, if the original numbers by multiplying the products make certain numbers, the latter will also be proportional.
设有任意多个数A、B、C成连比例，因此A比B如同B比C；
设A、B、C自乘得D、E、F，
且A、B、C乘D、E、F得G、H、K；
我说，D、E、F和G、H、K都成连比例。
这是因为，设A乘B得L，
且设数A、B分别乘L得M、N。
又，设B乘C得O，
且设数B、C分别乘O得P、Q。
于是，以类似于之前的方式可以证明，
D、L、E和G、M、N、H都以A比B成连比例，
以及，
E、O、F和H、P、Q、K都以B比C成连比例。
现在，A比B如同B比C；
因此，D、L、E与E、O、F也有相同的比，
以及，G、M、N、H与H、P、Q、K有相同的比。
而D、L、E的个数等于E、O、F的个数，
且G、M、N、H的个数等于H、P、Q、K的个数；
因此，取首末比例，
D比E如同E比F，
以及，
G比H如同H比K。
［VII. 14］
这就是所要证明的。
命题14
若一平方数量尽另一平方数，则一边也量尽另一边；又，若一边量尽另一边，则一平方数也量尽另一平方数。
If a square measure a square, the side will also measure the side; and, if the side measure the side, the square will also measure the square.
设A、B是平方数，C、D是它们的边，且设A量尽B；
我说，C也量尽D。
这是因为，设C乘D得E；
因此，A、E、B以C比D成连比例。
［VIII. 11］
又，由于A、E、B成连比例，且A量尽B，
因此，A也量尽E。
［VIII. 7］
又，A比E如同C比D；
因此，C也量尽D。
［VII. 定义20］
又，设C量尽D；
我说，A也量尽B。
这是因为，用同样的作图，可以类似地证明，A、E、B以C比D成连比例。
又，由于C比D如同A比E，
且C量尽D，
因此，A也量尽E。
［VII. 定义20］
而A、E、B成连比例；
因此，A也量尽B。
这就是所要证明的。
命题15
若一立方数量尽另一立方数，则一边也量尽另一边；又，若一边量尽另一边，则一立方数也量尽另一立方数。
If a cube number measure a cube number, the side will also measure the side; and, if the side measure the side, the cube will also measure the cube.
设立方数A量尽立方数B，
且设C是A的边，D是B的边；
我说，C量尽D。
这是因为，设C自乘得E，
且D自乘得G；
又设C乘D得F，
且设C、D分别乘F得H、K。
现在显然可得，E、F、G和A、H、K、B都以C比D成连比例。
［VIII. 11，12］
又，由于A、H、K、B成连比例，
且A量尽B，
因此，它也量尽H。
［VIII. 7］
又，A比H如同C比D；
因此，C也量尽D。
［VII. 定义20］
其次，设C量尽D；
我说，A也量尽B。
这是因为，用同样的作图，可以类似地证明，A、H、K、B以C比D成连比例。
又，由于C量尽D，
且C比D如同A比H，
因此，A也量尽H。
［VII. 定义20］
因此，A也量尽B。
这就是所要证明的。
命题16
若一平方数量不尽另一平方数，则一边也量不尽另一边；又，若一边量不尽另一边，则一平方数也量不尽另一平方数。
If a square number do not measure a square number, neither will the side measure the side; and, if the side do not measure the side, neither will the square measure the square.
设A、B是平方数，且C、D是它们的边；
且设A量不尽B；
我说，C也量不尽D。
这是因为，如果C量尽D，则A也量尽B。
［VIII. 14］
但A量不尽B；
因此，C也量不尽D。
又，设C量不尽D；
我说，A也量不尽B。
这是因为，如果A量尽B，则C也量尽D。
［VIII. 14］
但C量不尽D；
因此，A也量不尽B。
这就是所要证明的。
命题17
若一立方数量不尽另一立方数，则一边也量不尽另一边；又，若一边量不尽另一边，则一立方数也量不尽另一立方数。
If a cube number do not measure a cube number, neither will the side measure the side; and, if the side do not measure the side, neither will the cube measure the cube.
设立方数A量不尽立方数B，
且设C是A的边，D是B的边。
我说，C也量不尽D。
这是因为，如果C量尽D，则A也量尽B。
［VIII. 15］
但A量不尽B；
因此，C也量不尽D。
又，设C量不尽D；
我说，A也量不尽B。
这是因为，如果A量尽B，则C也量尽D。
［VIII. 15］
但C量不尽D；
因此，A也量不尽B。
这就是所要证明的。
命题18
两相似面数之间有一个比例中项数；又，这两个面数之比是两对应边之比的二倍比。
Between two similar plane numbers there is one mean proportional number; and the plane number has to the plane number the ratio duplicate of that which the corresponding side has to the corresponding side.
设A、B是两个相似面数，且设数C、D是A的两边，E、F是B的两边。
现在，由于相似面数的两边成比例，
［VII. 定义21］
因此，C比D如同E比F。
于是我说，A、B之间有一个比例中项数，且A比B是C比E的二倍比或D比F的二倍比，即两对应边之比的二倍比。
现在，由于C比D如同E比F，
因此，取更比例，C比E如同D比F。
［VII. 13］
又，由于A是面数，且C、D是它的两边，
因此，D乘C得A。
同理也有，
E乘F等于B。
现在，设D乘E得G。
于是，由于D乘C得A，且D乘E得G，
因此，C比E如同A比G。
［VII. 17］
但C比E如同D比F；
因此也有，D比F如同A比G。
又，由于E乘D得G，且E乘F得B，
因此，D比F如同G比B。
［VII. 17］
但已证明，D比F如同A比G；
因此也有，A比G如同G比B。
因此，A、G、B成连比例。
因此，A、B之间有一个比例中项数。
其次我说，A比B也是对应边之比的二倍比，即C比E或D比F的二倍比。
这是因为，由于A、G、B成连比例，所以
A比B是A比G的二倍比。
［V. 定义9］
又，A比G如同C比E，也如同D比F。
因此，A比B也是C比E或D比F的二倍比。
这就是所要证明的。
命题19
两相似体数之间有两个比例中项数；又，两相似体数之比是对应边之比的三倍比。
Between two similar solid numbers there fall two mean proportional numbers; and the solid number has to the similar solid number the ratio triplicate of that which the corresponding side has to the corresponding side.
设A、B是两个相似体数，且设C、D、E是A的边，F、G、H是B的边。
现在，由于相似体数的边成比例，
［VII. 定义21］
因此，C比D如同F比G。
且D比E如同G比H。
我说，A、B之间有两个比例中项数，且A比B是C比F、D比G和E比H的三倍比。
这是因为，设C乘D得K，且F乘G得L。
现在，由于C、D与F、G有相同的比，
且K是C、D的乘积，
以及L是F、G的乘积，所以
K、L是相似面数；
［VII. 定义21］
因此，K、L之间有一个比例中项数。
［VIII. 18］
设它是M。
因此，M是D、F的乘积，如这之前的命题所证明的。
［VIII. 18］
这时，由于D乘C得K，且D乘F得M，
因此，C比F如同K比M。
［VII. 17］
但K比M如同M比L。
因此，K、M、L以C比F之比成连比例。
又，由于C比D如同F比G，
取更比例，C比F如同D比G。
［VII. 13］
同理也有，
D比G如同E比H。
因此，K、M、L以C比F、D比G和E比H成连比例。
其次，设E、H分别乘M得N、O。
现在，由于A是一个体数，且C、D、E是它的边，
因此，E乘C、D之积得A。
但C、D之积是K；
因此，E乘K得A。
同理也有，
H乘L得B。
现在，由于E乘K得A，且E乘M得N，
因此，K比M如同A比N。
［VII. 17］
但K比M如同C比F、D比G以及E比H；
因此也有，C比F、D比G和E比H如同A比N。
又，由于E、H分别乘M得N、O，
因此，E比H如同N比O。
［VII. 18］
但E比H如同C比F和D比G；
因此也有，C比F、D比G和E比H如同A比N和N比O。
又，由于H乘M得O，且H乘L得B，
因此，M比L如同O比B。
［VII. 17］
但M比L如同C比F、D比G和E比H。
因此也有，C比F、D比G和E比H不仅如同O比B，而且也如同A比N和N比O。
因此，A、N、O、B以前述边之比成连比例。
其次我说，A比B是对应边之比的三倍比，即是C比F、D比G和E比H的三倍比。
这是因为，由于A、N、O、B是四个成连比例的数，
因此，A比B是A比N的三倍比。
［V. 定义10］
但已证明，A比N如同C比F、D比G和E比H。
因此，A比B是对应边之比的三倍比，即C比F、D比G和E比H的三倍比。
这就是所要证明的。
命题20
若两数之间有一个比例中项数，则这两数是相似面数。
If one mean proportional number fall between two numbers, the numbers will be similar plane numbers.
设两数A、B之间有一个比例中项数C；
我说，A、B是相似面数。
设D、E是与A、C有相同比的数对中最小的，
［VII. 33］
因此，D量尽A与E量尽C有相同的次数。
［VII. 20］
现在，D量尽A有多少次，就设F中有多少单元；
因此，F乘D得A，
因此A是面数，D、F是它的边。
又，由于D、E是与C、B有相同比的数对中最小的，
因此，D量尽C与E量尽B有相同的次数。
［VII. 20］
于是，E量尽B有多少次，就设G中有多少单元；
因此，按照G中的单元数，E量尽B；
因此，G乘E得B。
因此，B是面数，且E、G是它的边。
因此，A、B是面数。
其次我说，它们也相似。
这是因为，由于F乘D得A，且F乘E得C，
因此，D比E如同A比C，即如同C比B。
［VII. 17］
又，由于E分别乘F、G得C、B，
因此，F比G如同C比B。
［VII. 17］
但C比B如同D比E；
因此也有，D比E如同F比G。
取更比例，D比F如同E比G。
［VII. 13］
因此，A、B是相似面数；这是因为它们的边成比例。
这就是所要证明的。
命题21
若两数之间有两个比例中项数，则这两数是相似体数。
If two mean proportion numbers fall between two numbers, the numbers are similar solid numbers.
设两数A、B之间有两个比例中项数C、D；
我说，A、B是相似体数。
取三个数E、F、G是与A、C、D有相同比的数组中最小的；
［VII. 33或VIII. 2］
因此，它们的两端E、G互素。
［VIII. 3］
现在，E、G之间有一个比例中项数F，
因此，E、G是相似面数。
［VIII. 20］
于是，设H、K是E的边，且L、M是G的边。
因此，由前一命题显然可得，E、F、G以H比L和K比M成连比例。
现在，由于E、F、G是与A、C、D有相同比中的数组中最小的，
且数E、F、G的个数等于数A、C、D的个数，
因此，取首末比例，E比G如同A比D。
［VII. 14］
但E、G互素，
而互素的数是与它们有相同比的数对中最小的，
［VII. 21］
且用有相同比的最小数对量那些有相同比的数对，较大数量尽较大数与较小数量尽较小数有相同的次数，即前项量尽前项与后项量尽后项有相同的次数；
［VII. 20］
因此，E量尽A与G量尽D有相同的次数。
现在，E量尽A有多少次，就设N中有多少单元。
因此，N乘E得A。
但E是H、K的乘积；
因此，N乘H、K之积得A。
因此，A是体数，且H、K、N是它的边。
又，由于E、F、G是与C、D、B有相同比的数组中最小的，
因此，E量尽C与G量尽B有相同的次数。
现在，E量尽C有多少次，就设O中有多少单元。
因此，按照O中的单元数，G量尽B；
因此，O乘G得B。
但G是L、M的乘积；
因此，O乘L、M之积得B。
因此，B是体数，且L、M、O是它的边；
因此，A、B是体数。
其次我说，它们也相似。
这是因为，由于N、O乘E得A、C，
因此，N比O如同A比C，即如同E比F。
［VII. 18］
但E比F如同H比L和K比M；
因此也有，H比L如同K比M和N比O。
而H、K、N是A的边，且O、L、M是B的边。
因此，A、B是相似体数。
这就是所要证明的。
命题22
若三数成连比例，且第一数是平方数，则第三数也是平方数。
If three numbers be in continued proportion, and the first be square, the third will also be square.
设A、B、C是三个成连比例的数，且第一数A是平方数；
我说，第三数C也是平方数。
这是因为，A、C之间有一个比例中项数B，
因此，A、C是相似面数。
［VIII. 20］
但A是平方数；
因此，C也是平方数。
这就是所要证明的。
命题23
若四数成连比例，且第一数是立方数，则第四数也是立方数。
If four numbers be in continued proportion, and the first be cube, the fourth will also be cube.
设A、B、C、D是四个成连比例的数，且A是立方数；
我说，D也是立方数。
这是因为，由于A、D之间有两个比例中项数B、C。
因此，A、D是相似体数。
［VIII. 21］
但A是立方数；
因此，D也是立方数。
这就是所要证明的。
命题24
若两数之比如同两平方数之比，且第一数是平方数，则第二数也是平方数。
If two numbers have to one another the ratio which a square number has to a square number, and the first be square, the second will also be square.
设两数A、B之比如同平方数C比平方数D，
且设A是平方数；
我说，B也是平方数。
这是因为，由于C、D是平方数，所以
C、D是相似面数。
因此，C、D之间有一个比例中项数。
［VIII. 18］
又，C比D如同A比B；
因此，A、B之间也有一个比例中项数。
［VIII. 8］
而A是平方数；
因此，B也是平方数。
［VIII. 22］
这就是所要证明的。
命题25
若两数之比如同一个立方数比一个立方数，且第一数是立方数，则第二数也是立方数。
If two numbers have to one another the ratio which a cube number has to a cube number, and the first be cube, the second will also be cube.
设两数A、B之比如同立方数C比立方数D，且设A是立方数；
我说，B也是立方数。
这是因为，由于C、D是立方数，所以
C、D是相似体数。
因此，C、D之间有两个比例中项数。
［VIII. 19］
又，C、D之间有多少个成连比例的数，与它们有相同比的两数之间也有多少个成连比例的数；
［VIII. 8］
因此，A、B之间也有两个比例中项数。
设它们是E、F。
于是，由于四数A、E、F、B成连比例，
且A是立方数，
因此，B也是立方数。
［VIII. 23］
这就是所要证明的。
命题26
相似面数之比如同一个平方数比一个平方数。
Similar plane numbers have to one another the ratio which a square number has to a square number.
设A、B是相似面数；
我说，A比B如同一个平方数比一个平方数。
这是因为，由于A、B是相似面数，
因此，A、B之间有一个比例中项数，
［VIII. 18］
设这个数是C；
且设D、E、F是与A、C、B有相同比的数组中最小的；
［VII. 33或VIII. 2］
因此，它们的两端D、F是平方数。
［VIII. 2，推论］
又，由于D比F如同A比B，
且D、F是平方数。
因此，A比B如同一个平方数比一个平方数。
这就是所要证明的。
命题27
相似体数之比如同一个立方数比一个立方数。
Similar solid numbers have to one another the ratio which a cube number has to a cube number.
设A、B是相似体数；
我说，A比B如同一个立方数比一个立方数。
这是因为，由于A、B是相似体数，
因此，A、B之间有两个比例中项数。
［VIII. 19］
设它们是C、D，
且设E、F、G、H是与A、C、D、B有相同比且个数相等的数组中最小的；
［VII. 33或VIII. 2］
因此，它们的两端E、H是立方数。
［VIII. 2，推论］
又，E比H如同A比B；
因此，A比B也如同一个立方数比一个立方数。
这就是所要证明的。
