定义?Definitions
01 / 每一个存在的事物凭借单元而被称为一。
An?unit?is that by virtue of which each of the things that exist is called one.
02 / 一个数是由若干单元组成的“多少”。
A?number?is a multitude composed of units.
03 / 一个较小数量尽较大数时，是较大数的一部分；
A number is?a part?of a number, the less of the greater, when it measures the greater;
04 / 但一个较小数量不尽较大数时，是较大数的几部分。
but?parts?when it does not measure it.
05 / 较大数被较小数量尽时，是较小数的一个倍数。
The greater number is a?multiple?of the less when it is measured by the less.
06 /?偶数是能被分成两个相等部分的数。
An?even number?is that which is divisible into two equal parts.
07 /?奇数是不能被分成两个相等部分的数，或者与一个偶数相差一个单元的数。
An?odd number?is that which is not divisible into two equal parts, or that which differs by an unit from an even number.
08 /?偶倍偶数是被一个偶数按照偶数量尽的数。
An?even-times even number?is that which is measured by an even number according to an even number.
09 /?偶倍奇数是被一个偶数按照奇数量尽的数。
An?even-times odd number?is that which is measured by an even number according to an odd number.
10 /?奇倍奇数是被一个奇数按照奇数量尽的数。
An?odd-times odd number?is that which is measured by an odd number according to an odd number.
11 /?素数是只能被单元量尽的数。
A?prime number?is that which is measured by an unit alone.
12 /?互素的数是只能被作为公度的一个单元量尽的那些数。
Numbers?prime to one another?are those which are measured by an unit alone as a common measure.
13 /?合数是能被某个数量尽的数。
A?composite number?is that which is measured by some number.
14 /?互合的数是能被作为公度的某个数量尽的那些数。
Numbers?composite to one another?are those which are measured by some number as a common measure.
15 / 所谓一个数乘一个数，就是被乘数自身相加另一个数中单元的个数那么多次，从而得出某个数。
A number is said to?multiply?a number when that which is multiplied is added to itself as many times as there are units in the other, and thus some number is produced.
16 / 当两数相乘得出某个数时，得出的数叫作面数，它的边就是相乘的两数。
And, when two numbers having multiplied one another make some number, the number so produced is called?plane, and its?sides?are the numbers which have multiplied one another.
17 / 当三数相乘得出某个数时，得出的数叫作体数，它的边就是相乘的三数。
And, when three numbers having multiplied one another make some number, the number so produced is?solid, and its?sides?are the numbers which have multiplied one another.
18 /?平方数是相等数乘相等数，或由两个相等数所包含的数。
A?square number?is equal multiplied by equal, or a number which is contained by two equal numbers.
19 /?立方数是相等数乘相等数再乘相等数，或由三个相等数所包含的数。
And a?cube?is equal multiplied by equal and again by equal, or a number which is contained by three equal numbers.
20 / 当第一个数是第二个数的某倍、某一部分或某几部分，第三个数也是第四个数的同样倍数、一部分或几部分时，这四个数成比例。
Numbers are?proportional?when the first is the same multiple, or the same part, or the same parts, of the second that the third is of the fourth.
21 /?相似的面数和体数是其边成比例的那些面数和体数。
Similar planeand?solidnumbers are those which have their sides proportional.
22 /?完全数是等于其自身所有部分之和的数。
A?perfect number?is that which is equal to its own parts.
命题?Proposition
命题01
设有两个不相等的数，依次从较大数中不断减去较小数，若余数总是量不尽它前面一个数，直到余数为一个单元，则这两个数互素。
Two unequal numbers being set out, and the less being continually subtracted in turn from the greater, if the number which is left never measures the one before it until an unit is left, the original numbers will be prime to one another.
?
设有两个不相等的数AB、CD，从较大数中不断减去较小数，设余数总是量不尽它前面一个数，直到余数为一个单元；
我说，AB、CD互素，即只有一个单元能量尽AB、CD。
这是因为，如果AB、CD不互素，则有某个数量尽它们。
设量尽它们的数是E；
用CD量BF，设余数FA小于CD，
又用AF量DG，设余数GC小于AF，
以及用GC量FH，设余数为一个单元HA。
于是，由于E量尽CD，且CD量尽BF，
因此，E也量尽BF。
但E也量尽整个BA；
因此，E也量尽余数AF。
但AF量尽DG；
因此，E也量尽DG。
但E也量尽整个DC；
因此，它也量尽余数CG。
由于CG量尽FH；
因此，E也量尽FH。
但E也量尽整个FA；
因此，E也量尽余数，即单元AH，尽管E是一个数：这是不可能的。
因此，没有数同时量尽AB、CD；
因此，AB、CD互素。
［VII. 定义12］
这就是所要证明的。
命题02
给定两个不互素的数，求它们的最大公度数。
Given two numbers not prime to one another, to find their greatest common measure.
?
设AB、CD是两个不互素的数。
于是，要求AB、CD的最大公度数。
现在，如果CD量尽AB（它也量尽它自身），那么CD就是CD、AB的一个公度数。
而且显然，CD也是最大公度数；这是因为没有比CD更大的数能量尽CD。
但如果CD量不尽AB，那么从AB、CD的较大者中不断减去较小者，则有某个余数能量尽它前面一个余数。
这是因为，余数不会是一个单元；否则AB、CD互素，
［VII. 1］
而这与假设矛盾。
因此，某个余数会量尽它前面一个余数。
现在，用CD量BE，设余数EA小于CD，
用EA量DF，设余数FC小于EA，
又设CF量尽AE。
于是，由于CF量尽AE，且AE量尽DF，
因此，CF也量尽DF。
但CF也量尽它自身；
因此，CF也量尽整个CD。
但CD量尽BE；
因此，CF也量尽BE。
但CF也量尽EA；
因此，CF也量尽整个BA。
但CF也量尽CD；
因此，CF量尽AB、CD。
因此，CF是AB、CD的一个公度数。
其次我说，它也是最大公度数。
这是因为，如果CF不是AB、CD的最大公度数，则有某个大于CF的数量尽AB、CD这两个数。
设量尽它们的这样一个数是G。
现在，由于G量尽CD，而CD量尽BE，所以
G也量尽BE。
但G也量尽整个BA；
因此，G也量尽余数AE。
但AE量尽DF；
因此，G也量尽DF。
但G也量尽整个DC；
因此，G也量尽余数CF，较大的量尽较小的：这是不可能的。
因此，没有大于CF的数量尽AB、CD；
因此，CF是AB、CD的最大公度数。
这就是所要证明的。
推论由此显然可得，若一个数量尽两个数，则它也量尽这两个数的最大公度数。
命题03
给定三个不互素的数，求它们的最大公度数。
Given three numbers not prime to one another, to find their greatest common measure.
?
设A、B、C是给定的三个不互素的数；
于是，要求A、B、C的最大公度数。
取两数A、B的最大公度数D；
［VII. 2］
于是，D要么量尽，要么量不尽C。
首先，设D量尽C。
但D也量尽A、B；
因此，D量尽A、B、C；
因此，D是A、B、C的一个公度数。
我说，它也是最大公度数。
这是因为，如果D不是A、B、C的最大公度数，则有某个大于D的数量尽A、B、C。
设量尽它们的这样一个数是E。
由于E量尽A、B、C，所以，
E也量尽A、B；
因此，E也量尽A、B的最大公度数。
［VII. 2，推论］
而A、B的最大公度数是D；
因此，E量尽D，较大的量尽较小的：
这是不可能的。
因此，没有大于D的数量尽数A、B、C；
因此，D是A、B、C的最大公度数。
其次，设D量不尽C；
首先我说，C、D不互素。
这是因为，由于A、B、C不互素，所以有某个数量尽它们。
既然量尽A、B、C的数也量尽A、B，并且量尽A、B的最大公度数D。［VII. 2，推论］但它也量尽C；
因此，这个数量尽数D、C；
因此，D，C不互素。
然后，取它们的最大公度数E。
［VII. 2］
于是，由于E量尽D，
而D量尽A、B，
因此，E也量尽A、B。
但E也量尽C；
因此，E量尽A、B、C；
因此，E是A、B、C的一个公度数。
其次，我说，E也是最大公度数。
这是因为，如果E不是A、B、C的最大公度数，那么有某个大于E的数量尽数A、B、C。
设这样一个量尽它们的数是F。
现在，由于F量尽A、B、C，所以
F也量尽A、B；
因此，F也量尽A、B的最大公度数。
［VII. 2，推论］
但A、B的最大公度数是D；
因此，F量尽D。
而F也量尽C；
因此，F量尽D、C；
因此，F量尽D、C的最大公度数。
［VII. 2，推论］
但D、C的最大公度数是E；
因此，F量尽E，较大的量尽较小的：
这是不可能的。
因此，没有大于E的数量尽A、B、C；
因此，E是A、B、C的最大公度数。
这就是所要证明的。
命题04
较小数是较大数的一部分或几部分。
Any number is either a part or parts of any number, the less of the greater.
?
设A、BC是两个数，BC是较小者。
我说，BC是A的一部分或几部分。
这是因为，A、BC要么互素，要么不互素。
首先，设A、BC互素。
于是，如果BC被分成若干单元，那么BC中的每一个单元都是A的某一部分；
因此，BC是A的几部分。
其次，设A、BC不互素；
于是，BC要么量尽，要么量不尽A。
现在，如果BC量尽A，那么BC是A的一部分。
但如果BC量不尽A，取A、BC的最大公度数D；
［VII. 2］
并将BC分成若干等于D的数，即BE、EF、FC。
现在，由于D量尽A，所以
D是A的一部分。
但D等于数BE、EF、FC中的每一个；
因此，BE、EF、FC中的每一个也是A的一部分；
因此，BC是A的几部分。
这就是所要证明的。
命题05
若一数是一数的一部分，另一数是另一数的同样一部分，则两数之和也是另外两数之和的一部分，且与一数是一数的一部分相同。
If a number be a part of a number, and another be the same part of another, the sum will also be the same part of the sum that the one is of the one.
?
设数A是BC的一部分，
另一数D是另一数EF的一部分，且与A是BC的部分相同；
我说，A、D之和也是BC、EF之和的一部分，且与A是BC的部分相同。
这是因为，由于A是BC的怎样一部分，D也是EF的同样一部分，
因此，BC中有多少个等于A的数，FE中就有同样多少个等于D的数。
将BC分成若干个等于A的数，即BG、GC，
又将EF分成若干个等于D的数，即EH、HF；
于是，BG、GC的个数等于EH、HF的个数。
又，由于BG等于A，且EH等于D，
因此，BG、EH之和也等于A、D之和。
同理，
GC、HF之和也等于A、D之和。
因此，BC中有多少个等于A的数，BC、EF之和中就有同样多少个等于A、D之和的数。
因此，BC是A的多少倍，BC、EF之和也是A、D之和的同样多少倍。
因此，A是BC的怎样一部分，A、D之和也是BC、EF之和的同样的一部分。
这就是所要证明的。
命题06
若一数是一数的几部分，另一数是另一数的同样几部分，则两数之和也是另外两数之和的几部分，且与一数是一数的几部分相同。
If a number be parts of a number, and another be the same parts of another, the sum will also be the same parts of the sum that the one is of the one.
?
设数AB是数C的几部分，另一数DE是另一数F的几部分，且与AB是C的几部分相同；
我说，AB、DE之和也是C、F之和的几部分，且与AB是C的几部分相同。
这是因为，由于AB是C的怎样几部分，DE也是F的同样几部分，
因此，AB中有多少个C的一部分，DE中也有同样多个F的一部分。
将AB分成若干个C的一部分，即AG、GB，
又将DE分成若干个F的一部分，即DH、HE；
于是，AG、GB的个数等于DH、HE的个数。
又，由于AG是C的怎样一部分，DH也是F的同样一部分，
因此，AG是C的怎样一部分，AG、DH之和也是C、F之和的同样一部分。
［VII. 5］
同理，
GB是C的怎样一部分，GB、HE之和也是C、F之和的同样一部分。
因此，AB是C的怎样几部分，AB、DE之和也是C、F之和的同样几部分。
这就是所要证明的。
命题07
若一数是一数的一部分，一减数是一减数的同样一部分，则余数也是余数的一部分，且与整个数是整个数的一部分相同。
If a number be that part of a number, which a number subtracted is of a number subtracted, the remainder will also be the same part of the remainder that the whole is of the whole.
?
设数AB是数CD的一部分，减数AE是减数CF的同样一部分；
我说，余数EB也是余数FD的一部分，且与整个数AB是整个数CD的一部分相同。
这是因为，AE是CF的怎样一部分，设EB也是CG的同样一部分。
现在，由于AE是CF的怎样一部分，EB也是CG的同样一部分，
因此，AE是CF的怎样一部分，AB也是GF的同样一部分。
［VII. 5］
但根据假设，AE是CF的怎样一部分，AB也是CD的同样一部分；
因此，AB是GF的怎样一部分，AB也是CD的同样一部分；
因此，GF等于CD。
从它们中分别减去CF；
因此，余数GC等于余数FD。
现在，由于AE是CF的怎样一部分，EB也是GC的同样一部分，
而GC等于FD，
因此，AE是CF的怎样一部分，EB也是FD的同样一部分。
但AE是CF的怎样一部分，AB也是CD的同样一部分；
因此，余数EB也是余数FD的一部分，且与整个数AB是整个数CD的一部分相同。
这就是所要证明的。
命题08
若一数是一数的几部分，一减数是一减数的同样几部分，则余数也是余数的几部分，且与整个数是整个数的几部分相同。
If a number be the same parts of a number that a number subtracted is of a number subtracted, the remainder will also be the same parts of the remainder that the whole is of the whole.
?
设数AB是数CD的几部分，减数AE是减数CF的同样几部分；
我说，余数EB也是余数FD的几部分，且与整个数AB是整个数CD的几部分相同。
这是因为，取GH等于AB。
因此，GH是CD的怎样几部分，AE也是CF的同样几部分。
将GH分成若干个CD的一部分，即GK、KH，
又将AE分成若干个CF的一部分，即AL、LE；
于是，GK、KH的个数等于AL、LE的个数。
现在，由于GK是CD的怎样一部分，AL也是CF的同样一部分，
而CD大于CF，
因此，GK也大于AL。
取GM等于AL。
因此，GK是CD的怎样一部分，GM也是CF的同样一部分；
因此，余数MK也是余数FD的一部分，且与整个数GK是整个数CD的一部分相同。
［VII. 7］
又，由于KH是CD的怎样一部分，EL也是CF的同样一部分，
而CD大于CF；
因此，HK也大于EL。
取KN等于EL。
因此，KH是CD的怎样一部分，KN也是CF的同样一部分；
因此，余数NH是余数FD的一部分，且与整个KH是整个CD的一部分相同。
［VII. 7］
但已证明，余数MK是余数FD的一部分，且与整个GK是整个CD的一部分相同；
因此，MK、NH之和是DF的几部分，且与整个HG是整个CD的几部分相同。
但MK、NH之和等于EB，
又HG等于BA；
因此，余数EB是余数FD的几部分，且与整个AB是整个CD的几部分相同。
这就是所要证明的。
命题09
若一数是一数的一部分，另一数是另一数的同样一部分，则取更比例后，第一数是第三数的怎样一部分或几部分，第二数也是第四数的同样一部分或几部分。
If a number be a part of a number, and another be the same part of another, alternately also, whatever part or parts the first is of the third, the same part, or the same parts, will the second also be of the fourth.
?
设数A是数BC的一部分，另一数D是另一数EF的一部分，且与A是BC的一部分相同；
我说，取更比例后，A是D的怎样一部分或几部分，BC也是EF的同样一部分或几部分。
这是因为，由于A是BC的怎样一部分，D也是EF的相同一部分，
因此，BC中有多少个等于A的数，EF中也有多少个等于D的数。
将BC分成若干个等于A的数，即BG、GC，
又将EF分成若干个等于D的数，即EH、HF；
于是，BG、GC的个数等于EH、HF的个数。
现在，由于数BG、GC彼此相等，
且数EH、HF也彼此相等，
而BG、GC的个数等于EH、HF的个数，
因此，BG是EH的怎样一部分或几部分，GC也是HF的同样一部分或几部分；
因此还有，BG是EH的怎样一部分或几部分，BC也是EF的同样一部分或几部分。
［VII. 5，6］
但BG等于A，且EH等于D；
因此，A是D的怎样一部分或几部分，BC也是EF的同样一部分或几部分。
这就是所要证明的。
命题10
若一数是一数的几部分，另一数是另一数的同样几部分，则取更比例后，第一数是第三数的怎样几部分或一部分，第二数也是第四数的同样几部分或一部分。
If a number be parts of a number, and another be the same parts of another, alternately also, whatever parts or part the first is of the third, the same parts or the same part will the second also be of the fourth.
?
设数AB是数C的几部分，另一数DE是另一数F的同样几部分；
我说，取更比例后，AB是DE的怎样几部分或一部分，C也是F的同样几部分或一部分。
这是因为，由于AB是C的怎样几部分，DE也是F的同样几部分，
因此，AB中有多少个C的一部分，DE中也有多少个F的一部分。
将AB分成若干个C的一部分，即AG、GB，
又将DE分成若干个F的一部分，即DH、HE；
于是，AG、GB的个数等于DH、HE的个数。
现在，由于AG是C的怎样一部分，DH也是F的同样一部分，所以
取更比例后也有，AG是DH的怎样一部分或几部分，C也是F的同样一部分或几部分。
［VII. 9］
同理也有，
GB是HE的怎样一部分或几部分，
C也是F的同样一部分或几部分；
因此还有，AB是DE的怎样几部分或一部分，C也是F的同样几部分或一部分。
［VII. 5，6］
这就是所要证明的。
命题11
若整个数比整个数如同减数比减数，则余数比余数也如同整个数比整个数。
If, as whole is to whole, so is a number subtracted to a number subtracted, the remainder will also be to the remainder as whole to whole.
?
设整个数AB比整个数CD如同减数AE比减数CF；
我说，余数EB比余数FD也如同整个数AB比整个数CD。
由于AB比CD如同AE比CF，所以
AB是CD的怎样一部分或几部分，AE也是CF的同样一部分或几部分；
［VII. 定义20］
因此也有，余数EB是余数FD的一部分或几部分，且与AB是CD的一部分或几部分相同。
［VII. 7，8］
因此，EB比FD如同AB比CD。
［VII. 定义20］
这就是所要证明的。
命题12
若有成比例的任意多个数，则前项之一比后项之一如同所有前项之和比所有后项之和。
If there be as many numbers as we please in proportion, then, as one of the antecedents is to one of the consequents, so are all the antecedents to all the consequents.
?
设A、B、C、D是成比例的任意多个数，因此A比B如同C比D；
我说，A比B如同A、C之和比B、D之和。
这是因为，由于A比B如同C比D，
因此，A是B的怎样一部分或几部分，C也是D的同样一部分或几部分。
［VII. 定义20］
因此也有，A、C之和是B、D之和的一部分或几部分，且与A是B的一部分或几部分相同。
［VII. 5，6］
因此，A比B如同A、C之和比B、D之和。
［VII. 定义20］
这就是所要证明的。
命题13
若四个数成比例，则它们的更比例也成立。
If four numbers be proportional, they will also be proportional alternately.
?
设四个数A、B、C、D成比例，因此A比B如同C比D；
我说，它们的更比例也成立，即A比C如同B比D。
这是因为，由于A比B如同C比D，
因此，A是B的怎样一部分或几部分，C也是D的同样一部分或几部分。
［VII. 定义20］
因此，取更比例后，A是C的怎样一部分或几部分，B也是D的同样一部分或几部分。
［VII. 10］
因此，A比C如同B比D。
［VII. 定义20］
这就是所要证明的。
命题14
若有任意多个数，以及与它们个数相等的另一些数，它们两两成相同的比，则它们的首末比例也成立。
If there be as many numbers as we please, and others equal to them in multitude, which taken two and two are in the same ratio, they will also be in the same ratio ex aequali.
?
设有任意多个数A、B、C，以及与它们个数相等的另一些数D、E、F，它们两两成相同的比，因此
A比B如同D比E，
且B比C如同E比F；
我说，按照首末比例，
A比C如同D比F。
这是因为，由于A比B如同D比E，
因此，取更比例，
A比D如同B比E。
［VII. 13］
又，由于B比C如同E如F，
因此，取更比例，
B比E如同C比F。
［VII. 13］
但B比E如同A比D；
因此也有，A比D如同C比F。
因此，取更比例，
A比C如同D比F。
［VII. 13］
这就是所要证明的。
命题15
若一个单元量尽任一数与另一数量尽任一其他数有相同的次数，则取更比例后，单元量尽第三数与第二数量尽第四数有相同的次数。
If an unit measure any number, and another number measure any other number the same number of times, alternately also, the unit will measure the third number the same number of times that the second measures the fourth.
?
设单元A量尽任一数BC与另一数D量尽任一其他数EF有相同的次数；
我说，取更比例后，单元A量尽数D与BC量尽EF有相同的次数。
这是因为，由于单元A量尽数BC与D量尽EF有相同的次数，
因此，BC中有多少单元A，EF中也有同样数量等于D的数。
将BC分成单元BG、GH、HC，
又将EF分成等于D的数EK、KL、LF。
于是，BG、GH、HC的个数等于EK、KL、LF的个数。
又，由于单元BG、GH、HC彼此相等，
且数EK、KL、LF也彼此相等，
而单元BG、GH、HC的个数等于数EK、KL、LF的个数，
因此，单元BG比数EK如同单元GH比数KL，又如同单元HC比数LF。
因此也有，前项之一比后项之一等于所有前项之和比所有后项之和；
［VII. 12］
因此，单元BG比数EK如同BC比EF。
但单元BG等于单元A，
且数EK等于数D。
因此，单元A比数D如同BC比EF。
因此，单元A量尽D与BC量尽EF有相同的次数。
这就是所要证明的。
命题16
若两数彼此相乘得两数，则所得两数彼此相等。
If two numbers by multiplying one another make certain numbers, the numbers so produced will be equal to one another.
?
设A、B是两数，又设A乘B得C，且B乘A得D；
我说，C等于D。
这是因为，由于A乘B得C，
因此，B按照A中的单元数量尽C。
但单元E也按照A中的单元数量尽数A；
因此，单元E量尽A与B量尽C有相同的次数。
因此，取更比例，单元E量尽B与A量尽C有相同的次数。
［VII. 15］
又，由于B乘A得D，
因此，A按照B中的单元数量尽D。
但单元E也按照B中的单元数量尽B；
因此，单元E量尽数B与A量尽D有相同的次数。
但单元E量尽数B与A量尽C有相同的次数；
因此，A量尽数C、D中的每一个有相同的次数。
因此，C等于D。
这就是所要证明的。
命题17
若一数乘两数得某两数，则所得两数之比与被乘的两数之比相同。
If a number by multiplying two numbers make certain numbers, the numbers so produced will have the same ratio as the numbers multiplied.
?
设数A乘两数B、C得D、E；
我说，B比C如同D比E。
这是因为，由于A乘B得D，
因此，B按照A中的单元数量尽D。
但单元F也按照A中的单元数量尽数A；
因此，单元F量尽数A与B量尽D有相同的次数。
因此，单元F比数A如同B比D。
［VII. 定义20］
同理，
单元F比数A也如同C比E；
因此也有，B比D如同C比E。
因此，取更比例，B比C如同D比E。
［VII. 13］
这就是所要证明的。
命题18
若两数各乘任一数得某两数，则所得两数之比与两乘数之比相同。
If two numbers by multiplying any number make certain numbers, the numbers so produced will have the same ratio as the multipliers.
?
设两数A、B乘任一数C得D、E；
我说，A比B如同D比E。
这是因为，由于A乘C得D，
因此，C乘A也得D。
［VII. 16］
同理也有，
C乘B得E。
因此，数C乘两数A、B得D、E。
因此，A比B如同D比E。
［VII. 17］
这就是所要证明的。
命题19
若四个数成比例，则第一数与第四数乘得的数等于第二数与第三数乘得的数；又，若第一数与第四数乘得的数等于第二数与第三数乘得的数，则这四个数成比例。
If four numbers be proportional, the number produced from the first and fourth will be equal to the number produced from the second and third; and, if the number produced from the first and fourth be equal to that produced from the second and third, the four numbers will be proportional.
?
设A、B、C、D是四个成比例的数，因此A比B如同C比D；
又设A乘D得E，
且B乘C得F；
我说，E等于F。
这是因为，设A乘C得G。
于是，由于A乘C得G，且A乘D得E，所以
数A乘两数C、D得G、E。
因此，C比D如同G比E。
［VII. 17］
但C比D如同A比B；
因此也有，A比B如同G比E。
又，由于A乘C得G，
但还有B乘C得F，
因此，两数A、B乘某一确定的数C得G、F。
因此，A比B如同G比F。
［VII. 18］
但还有，A比B如同G比E；
因此也有，G比E如同G比F。
因此，G与两数E、F中的每一个有相同的比；
因此，E等于F。
［参见V. 9］
又，设E等于F；
我说，A比B如同C比D。
这是因为，同样作图，由于E等于F，
因此，G比E如同G比F。
［参见V. 7］
但G比E如同C比D，
［VII. 17］
且G比F如同A比B。
［VII. 18］
因此也有，A比B如同C比D。
这就是所要证明的。
命题20
用有相同比的数对中最小的数对量那些有相同比的数对，较大数量尽较大数与较小数量尽较小数有相同的次数。
The least numbers of those which have the same ratio with them measure those which have the same ratio the same number of times, the greater the greater and the less the less.
?
设CD、EF是与A、B有相同比的数对中最小的数对；
我说，CD量尽A与EF量尽B有相同的次数。
现在，CD不是A的几部分。
这是因为，如果是，设它是这样；
因此，EF是B的几部分与CD是A的几部分相同。
［VII. 13和定义20］
因此，CD中有A的多少个一部分，EF中也有B的同样多少个一部分。
将CD分成若干个A的一部分，即CG、GD，
并将EF分成若干个B的一部分，即EH、HF；
于是，CG、GD的个数等于EH、HF的个数。
现在，由于数CG、GD彼此相等，且数EH、HF也彼此相等，而CG、GD的个数等于EH、HF的个数，
因此，CG比EH如同GD比HF。
因此也有，前项之一比后项之一如同所有前项之和比所有后项之和。
［VII. 12］
因此，CG比EH如同CD比EF。
因此，CG、EH与小于它们的CD、EF有相同的比：
这是不可能的，因为根据假设，CD、EF是和它们有相同比的数对中最小的数对。
因此，CD不是A的几部分；
因此，CD是A的一部分。
［VII. 4］
且EF是B的一部分与CD是A的一部分相同；
［VII. 13和定义20］
因此，CD量尽A与EF量尽B有相同的次数。
这就是所要证明的。
命题21
互素的数是与它们有相同比的数对中最小的。
Numbers prime to one another are the least of those which have the same ratio with them.
?
设A、B是互素的数；
我说，A、B是与它们有相同比的数对中最小的。
这是因为，如果不是这样，则有小于A、B的数对与A、B有相同的比。
设它们是C、D。
于是，由于用有相同比的最小数对量那些有相同比的数对，较大数量尽较大数与较小数量尽较小数有相同的次数，即前项量尽前项与后项量尽后项有相同的次数；
［VII. 20］
因此，C量尽A与D量尽B有相同的次数。
现在，C量尽A有多少次，就设E中有多少单元。
因此，按照E中的单元数，D也量尽B。
又，由于按照E中的单元数，C量尽A，
因此，按照C中的单元数，E也量尽A。
［VII. 16］
同理，
按照D中的单元数，E也量尽B。
［VII. 16］
因此，E量尽互素的A、B：
这是不可能的。
［VII. 定义12］
因此，没有小于A、B的数对与A、B有相同的比。
因此，A、B是与它们有相同比的数对中最小的。
这就是所要证明的。
命题22
有相同比的数对中最小的数对互素。
The least numbers of those which have the same ratio with them are prime to one another.
?
设A、B是与它们有相同比的数对中最小的数对；
我说，A、B互素。
这是因为，如果它们不互素，那么就有某个数量尽它们。
设量尽它们的数是C。
又，C量尽A有多少次，就设D中有多少单元，
且C量尽B有多少次，就设E中有多少单元。
由于按照D中的单元数，C量尽A，
因此，C乘D得A。
［VII. 定义15］
同理也有，
C乘E得B。
于是，数C乘两数D、E得A、B；
因此，D比E如同A比B；
［VII. 17］
因此，D、E与A、B有相同的比，且小于它们：
这是不可能的。
因此，没有数量尽数A、B。
因此，A、B互素。
这就是所要证明的。
命题23
若两数互素，则量尽其一的数与另一数互素。
If two numbers be prime to one another, the number which measures the one of them will be prime to the remaining number.
?
设A、B是两个互素的数，设数C量尽A；
我说，C、B也互素。
这是因为，如果C、B不互素，那么
有某个数量尽C、B。
设量尽它们的数是D。
由于D量尽C且C量尽A，
因此，D也量尽A。
但D也量尽B；
因此，D量尽互素的A、B：
这是不可能的。
［VII. 定义12］
因此，没有数量尽数C、B。
因此，C、B互素。
这就是所要证明的。
命题24
若两数与某数互素，则它们的乘积与该数也互素。
If two numbers be prime to any number, their product also will be prime to the same.
?
设两数A、B与某个数C互素，又设A乘B得D；
我说，C、D互素。
这是因为，如果C、D不互素，则有某个数量尽C、D。
设量尽它们的数是E。
现在，由于C、A互素，
且某个数E量尽C，
因此，A、E互素。
［VII. 23］
于是，E量尽D有多少次，就设F中有多少单元；
因此，按照E中的单元数，F也量尽D。
［VII. 16］
因此，E乘F得D。
［VII. 定义15］
但还有，A乘B也得D。
因此，E、F的乘积等于A、B的乘积。
但如果两外项之积等于两内项之积，则这四个数成比例；
［VII. 19］
因此，E比A如同B比F。
但A、E互素，
而互素的数是与它们有相同比的数对中最小的，
［VII. 21］
且用有相同比的数对中最小的数对量那些有相同比的数对，较大数量尽较大数与较小数量尽较小数有相同的次数，也就是说，前项量尽前项与后项量尽后项有相同的次数；
［VII. 20］
因此，E量尽B。
但E也量尽C；
因此，E量尽互素的B、C：
这是不可能的。
［VII. 定义12］
因此，没有数量尽数C、D。
因此，C、D互素。
这就是所要证明的。
命题25
若两数互素，则其中一数的自乘积与另一数互素。
If two numbers be prime to one another, the product of one of them into itself will be prime to the remaining one.
?
设A、B两数互素，
又设A自乘得C；
我说，B、C互素。
这是因为，取D等于A。
由于A、B互素，且A等于D，
因此，D、B也互素，
因此，两数D、A中的每一个都与B互素；
因此，D、A的乘积也与B互素。
［VII. 24］
但D、A的乘积是C。
因此，C、B互素。
这就是所要证明的。
命题26
若两数与另外两数中的每一个都互素，则两数的乘积与另外两数的乘积也互素。
If two numbers be prime to two numbers, both to each, their products also will be prime to one another.
?
设两数A、B与两数C、D中的每一个都互素，又设A乘B得E，C乘D得F；
我说，E、F互素。
这是因为，由于数A、B中的每一个与C互素，
因此，A、B的乘积也与C互素。
［VII. 24］
但A、B的乘积是E；
因此，E、C互素。
同理，
E、D也互素。
因此，数C、D中的每一个与E互素。
因此，C、D的乘积也与E互素。
［VII. 24］
但C、D的乘积是F。
因此，E、F互素。
这就是所要证明的。
命题27
若两数互素，且每个数自乘得某个数，则这些乘积互素；又，若原数乘以乘积得某数，则后者也互素＜外项也是如此＞。
If two numbers be prime to one another, and each by multiplying itself make a certain number, the products will be prime to one another; and, if the original numbers by multiplying the products make certain numbers, the latter will also be prime to one another ＜and this is always the case with the extremes＞.
?
设A、B两数互素，
又设A自乘得C，A乘C得D，
且设B自乘得E，B乘E得F；
我说，C、E互素，D、F互素。
这是因为，由于A、B互素，且A自乘得C，
因此，C、B互素。
［VII. 25］
于是，由于C、B互素，
且B自乘得E，
因此，C、E互素。
［VII. 25］
又，由于A、B互素，
且B自乘得E，
因此，A、E互素。
［VII. 25］
于是，由于两数A、C与两数B、E中的每一个互素，
因此，A、C的乘积与B、E的乘积也互素。
［VII. 26］
而A、C的乘积是D；B、E的乘积是F。
因此，D、F互素。
这就是所要证明的。
命题28
若两数互素，则其和与它们中的每一个也互素；又，若两数之和与它们中的每一个互素，则原来的两数也互素。
If two numbers be prime to one another, the sum will also be prime to each of them; and, if the sum of two numbers be prime to any one of them, the original numbers will also be prime to one another.
?
设互素的两数AB、BC相加；
我说，其和AC与数AB、BC中的每一个也互素。
这是因为，如果CA、AB不互素，则有某数量尽CA、AB。
设量尽它们的数是D。
于是，由于D量尽CA、AB，
因此，D也量尽余数BC。
但D也量尽BA；
因此，D量尽互素的AB、BC：
这是不可能的。
［VII. 定义12］
因此，没有数量尽CA、AB；
因此，CA、AB互素。
同理，
AC、BC也互素。
因此，CA与数AB、BC中的每一个互素。
又，设CA、AB互素；
我说，AB、BC也互素。
这是因为，如果AB、BC不互素，
则有某数量尽AB、BC。
设量尽它们的数是D。
于是，由于D量尽数AB、BC中的每一个，所以D也量尽整个CA。
但D也量尽AB；
因此，D量尽互素的CA、AB：
这是不可能的。
［VII. 定义12］
因此，没有数量尽AB、BC。
因此，AB、BC互素。
这就是所要证明的。
命题29
任一素数与它量不尽的任一数互素。
Any prime number is prime to any number which it does not measure.
?
设A是一个素数，且它量不尽B；
我说，B、A互素。
这是因为，如果B、A不互素，则有某数量尽它们。
设C量尽它们。
由于C量尽B，且A量不尽B，
因此，C与A不同。
现在，由于C量尽B、A，
因此，C也量尽与C不同的素数A：
这是不可能的。
因此，没有数量尽B、A。
于是A、B互素。
这就是所要证明的。
命题30
若两数相乘得某数，且某素数量尽该乘积，则它也量尽原来两数之一。
If two numbers by multiplying one anther make some number, and any prime number measure the product, it will also measure one of the original numbers.
?
设两数A、B相乘得C，又设某素数D量尽C；
我说，D量尽A、B之一。
这是因为，设D量不尽A。
现在D是素数；
因此，A、D互素。
［VII. 29］
又，D量C有多少次，就设E中有多少单元。
于是，由于按照E中的单元数，D量尽C，
因此，D乘E得C。
［VII. 定义15］
此外，A乘B也得C；
因此，D、E的乘积等于A、B的乘积。
因此，D比A如同B比E。
［VII. 19］
但D、A互素，
互素的数是与它们有相同比的数对中最小的，
［VII. 21］
且用有相同比的数对中最小的数对量那些有相同比的数对，较大数量尽较大数与较小数量尽较小数有相同的次数；
［VII. 20］
因此，D量尽B。
类似地，可以证明，如果D量不尽B，则它量尽A。
因此，D量尽A、B之一。
这就是所要证明的。
命题31
任一合数可被某素数量尽。
Any composite number is measured by some prime number.
?
设A是一个合数；
我说，A可被某素数量尽。
这是因为，由于A是合数，所以
有某数量尽它。
设量尽它的数是B。
现在，如果B是素数，则已经完成证明。
但如果B是合数，则有某数量尽它。
设量尽它的数是C。
于是，由于C量尽B，
且B量尽A，
因此，C也量尽A。
又，如果C是素数，则已经完成证明。
但如果C是合数，则有某数量尽它。
于是，如果继续以这种方式推理下去，就会找到某素数量尽它前面那个数，它也就量尽A。
这是因为，如果找不到该素数，就会有一个无穷数列量尽数A，其中每一个都小于它前面的数：
这在数里是不可能的。
因此，可找到某素数量尽它前面那个数，它也就量尽A。
因此，任一合数可被某素数量尽。
这就是所要证明的。
命题32
任一数要么是素数，要么可被某素数量尽。
Any number either is prime or is measured by some prime number.
?
设A是一个数；
我说，A要么是素数，要么可被某素数量尽。
现在，如果A是素数，则已经完成证明。
但如果A是合数，则有某素数量尽它。
［VII. 31］
因此，任一数要么是素数，要么可被某素数量尽。
这就是所要证明的。
命题33
给定任意多个数，求与它们有相同比的数组中最小的数组。
Given as many numbers as we please, to find the least of those which have the same ratio with them.
?
设A、B、C是给定的任意多个数；
于是，要求找到与A、B、C有相同比的数组中最小的数组。
A、B、C要么互素，要么不互素。
现在，如果A、B、C互素，则它们是与它们有相同比的数组中最小的数组。
［VII. 21］
但如果A、B、C不互素，取D是A、B、C的最大公度数，
［VII. 3］
且D分别量尽A、B、C有多少次，就分别设数E、F、G中有多少单元。
因此，按照D中的单元数，E、F、G分别量尽A、B、C。
［VII. 16］
因此，E、F、G量尽A、B、C有相同的次数。
因此，E、F、G与A、B、C有相同的比。
［VII. 定义20］
其次我说，它们是有这个比的数组中最小的。
这是因为，如果E、F、G不是与A、B、C有相同比的数组中最小的数组，则有小于E、F、G的数组与A、B、C有相同的比。
设它们是H、K、L；
因此，H量尽A与K、L分别量尽数B、C有相同的次数。
现在，H量尽A有多少次，就设M中有多少单元；
因此，按照M中的单元数，K、L也分别量尽B、C。
又，由于按照M中的单元数，H量尽A，
因此，按照H中的单元数，M也量尽A。
［VII. 16］
同理，
分别按照在数K、L中的单元数，M也量尽数B、C；
因此，M量尽A、B、C。
现在，由于按照M中的单元数，H量尽A，
因此，H乘M得A。
［VII. 定义15］
同理也有，
E乘D得A。
因此，E、D的乘积等于H、M的乘积。
因此，E比H如同M比D。
［VII. 19］
但E大于H；
因此，M也大于D。
又，它量尽A、B、C：这是不可能的，
因为根据假设，D是A、B、C的最大公度数。
因此，不可能有任何小于E、F、G的数组与A、B、C有相同的比。
因此，E、F、G是与A、B、C有相同比的数组中最小的数组。
这就是所要证明的。
命题34
给定两数，求它们量尽的数中最小的数。
Given two numbers, to find the least number which they measure.
?
设A、B是两个给定的数；
于是，要求找到它们量尽的数中最小的数。
现在，A、B要么互素，要么不互素。
首先设A、B互素，
且设A乘B得C；
因此，B乘A也得C。
因此，A、B量尽C。
其次我说，它也是A、B量尽的最小的数。
这是因为，如果不是这样，那么A、B量尽某个比C小的数。
设它们量尽D。
于是，A量尽D有多少次，就设E中有多少单元，
且B量尽D有多少次，就设F中有多少单元；
因此，A乘E得D，
且B乘F得D；
［VII. 定义15］
因此，A、E的乘积等于B、F的乘积。
因此，A比B如同F比E。
［VII. 19］
但A、B互素，
互素的数是与它们有相同比的数对中最小的，
［VII. 21］
且用有相同比的数对中最小的数对量那些有相同比的数对，较大数量尽较大数与较小数量尽较小数有相同的次数；
［VII. 20］
因此，后项B量尽后项E。
又，由于A乘B、E得C、D，
因此，B比E如同C比D。
［VII. 17］
但B量尽E；
因此，C也量尽D，较大的量尽较小的：
这是不可能的。
因此，A、B量不尽任何小于C的数；
因此，C是被A、B量尽的最小的数。
其次，设A、B不互素，
且设F、E为与A、B有相同比的数对中最小的数对；
［VII. 33］
因此，A、E的乘积等于B、F的乘积。
［VII. 19］
?
又，设A乘E得C；
因此也有，B乘F得C；
因此，A、B量尽C。
其次我说，它也是A、B量尽的数中最小的数。
这是因为，如果不是这样，A、B量尽某个小于C的数。
设它们量尽D。
又，A量尽D有多少次，就设G中有多少单元，
且B量尽D有多少次，就设H中有同样单元。
因此，A乘G得D，
且B乘H得D。
因此，A、G的乘积等于B、H的乘积；
因此，A比B如同H比G。
［VII. 19］
但A比B如同F比E。
因此也有，F比E如同H比G。
但F、E是最小的，
且用有相同比的数对中最小的数对量那些有相同比的数对，较大数量尽较大数与较小数量尽较小数有相同的次数；
［VII. 20］
因此，E量尽G。
又，由于A乘E、G得C、D，
因此，E比G如同C比D。
［VII. 17］
但E量尽G；
因此，C也量尽D，较大的量尽较小的：
这是不可能的。
因此，A、B量不尽任何小于C的数。
因此，C是A、B量尽的数中最小的数。
这就是所要证明的。
命题35
若两数量尽某数，则它们量尽的最小数也量尽这个数。
If two numbers measure any number, the least number measured by them will also measure the same.
?
设两数A、B量尽某数CD，
又设E是它们量尽的最小数；
我说，E也量尽CD。
这是因为，如果E量不尽CD，设E量出DF，其余数CF小于E。
现在，由于A、B量尽E，
且E量尽DF，
因此，A、B也量尽DF。
但它们也量尽整个CD；
因此，它们也量尽小于E的余数CF：
这是不可能的。
因此，E不可能量不尽CD；
因此，E量尽CD。
这就是所要证明的。
命题36
给定三个数，求它们量尽的最小数。
Given three numbers, to find the least number which they measure.
?
设A、B、C是三个给定的数；
于是，要求找到它们量尽的最小数。
设D是两数A、B量尽的最小数。
［VII. 34］
于是，C要么量尽D，要么量不尽D。
首先，设C量尽D。
但A、B也量尽D；
因此，A、B、C量尽D。
其次我说，D也是它们量尽的最小数。
这是因为，如果不是这样，则A、B、C量尽某个小于D的数。
设它们量尽E。
由于A、B、C量尽E，
因此也有，A、B量尽E。
因此，A、B量尽的最小数也量尽E。
［VII. 35］
但D是A、B量尽的最小数；
因此，D量尽E，较大的量尽较小的：
这是不可能的。
因此，A、B、C量不尽任何小于D的数；
因此，D是A、B、C量尽的最小数。
又，设C量不尽D，
且设E是C、D量尽的最小数。
［VII. 34］
由于A、B量尽D，
且D量尽E，
因此也有，A、B量尽E。
但C也量尽E；
因此也有，A、B、C量尽E。
?
其次我说，E也是它们量尽的最小数。
这是因为，如果不是这样，则A、B、C量尽某个小于E的数。
设它们量尽F。
由于A、B、C量尽F，
因此也有，A、B量尽F；
因此，A、B量尽的最小数也量尽F。
［VII. 35］
但D是A、B量尽的最小数；
因此，D量尽F。
但C也量尽F；
因此，D、C量尽F，
因此，D、C量尽的最小数也量尽F。
但E是C、D量尽的最小数；
因此，E量尽F，较大的量尽较小的：
这是不可能的。
因此，A、B、C量不尽任何小于E的数。
因此，E是A、B、C量尽的最小数。
这就是所要证明的。
命题37
若一个数被某个数量尽，则被量数有与量数的一部分同名的一部分。
If a number be measured by any number, the number which is measured will have a part called by the same name as the measuring number.
?
设数A被某数B量尽；
我说，A有与B的一部分同名的一部分。
这是因为，B量尽A有多少次，就设C中有多少单元。
由于按照C中的单元数，B量尽A，
且按照C中的单元数，单元D也量尽数C，
因此，单元D量尽数C与B量尽A有相同的次数。
因此，取更比例，单元D量尽数B与C量尽A有相同的次数。
［VII. 15］
因此，单元D是B的怎样一部分，C也是A的同样一部分。
但单元D是数B的与B的一部分同名的一部分；
因此，C也是A的与B的一部分同名的一部分，
因此，A有与B的一部分同名的一部分C。
这就是所要证明的。
命题38
若一个数有任一部分，则它被与该部分同名的一个数量尽。
If a number have any part whatever, it will be measured by a number called by the same name as the part.
?
设数A有任一部分B，
且设C是与一部分B同名的一个数。
我说，C量尽A。
这是因为，由于B是A的与C的一部分同名的一部分，
且单元D也是C的与C的一部分同名的一部分，
因此，单元D是数C的怎样一部分，B也是A同样的一部分；
因此，单元D量尽数C与B量尽A有相同的次数。
因此，取更比例，单元D量尽B与C量尽A有相同的次数。
［VII. 15］
因此，C量尽A。
这就是所要证明的。
命题39
求有给定的几个一部分的数中最小的数。
To find the number which is the least that will have given parts.
?
设A、B、C是给定的几个一部分；
于是，要求找到有这几个一部分A、B、C的数中最小的数。
设D、E、F是与这几个一部分A、B、C同名的数，
且设G是D、E、F量尽的最小数。
［VII. 36］
因此，G有与D、E、F同名的几个一部分。
［VII. 37］
但A、B、C是与D、E、F同名的几个一部分；
因此，G有几个一部分A、B、C。
其次我说，G也是有这几个一部分A、B、C的数中最小的数。
这是因为，如果不是这样，则有某个小于G的数有这几个一部分A、B、C。
设它为H。
由于H有几个一部分A、B、C，
因此，H将被与这几个一部分A、B、C同名的数量尽。
［VII. 38］
但D、E、F是与这几个一部分A、B、C同名的数；
因此，H被D、E、F量尽。
且H小于G：这是不可能的。
因此，没有小于G的数有这几个一部分A、B、C。
这就是所要证明的。
