定义?Definitions
01 /?相似直线形是指这样一些直线形，它们的角分别相等且夹等角的边成比例。
Similar rectilineal figuresare such as have their angles severally equal and the sides about the equal angles proportional.
02 / ＜互反相关图形＞[1]
＜Reciprocally related figures＞
03 / 将一直线分成两段，当整个直线比大段如同大段比小段时，则称此直线被分成中外比。
A straight line is said to have been?cut in extreme and mean ratio?when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the less.
04 / 任一图形的高是从顶点到底所作的垂线。
The?height?of any figure is the perpendicular drawn from the vertex to the base.
命题?Proposition
命题01
等高的三角形或平行四边形，它们彼此之比如同其底之比。
Triangles and parallelograms which are under the same height are to one another as their bases.
?
设ABC、ACD是等高的三角形，EC、CF是等高的平行四边形；
我说，底BC比底CD如同三角形ABC比三角形ACD，也如同平行四边形EC比平行四边形CF。
这是因为，沿两个方向延长BD至点H、L，并取任意条直线BG、GH等于底BC，以及任意条直线DK、KL等于底CD；
连接AG、AH、AK、AL。
于是，由于CB、BG、GH彼此相等，所以
三角形ABC、AGB、AHG也彼此相等。
［I. 38］
因此，底HC是底BC的多少倍，三角形AHC也是三角形ABC的多少倍。
同理，
底LC是底CD的多少倍，三角形ALC也是三角形ACD的多少倍；
而且，如果底HC等于底CL，那么三角形AHC也等于三角形ACL，
［I. 38］
如果底HC大于底CL，那么三角形AHC也大于三角形ACL，
如果底HC小于底CL，那么三角形AHC也小于三角形ACL。
于是，有四个量，两个底BC、CD和两个三角形ABC、ACD，
已取底BC和三角形ABC的等倍量，即底HC和三角形AHC，
以及底CD和三角形ADC的其他任意等倍量，即底LC和三角形ALC；
且已经证明，
如果底HC大于底CL，那么三角形AHC也大于三角形ALC；
如果底HC等于底CL，那么三角形AHC也等于三角形ALC；
如果底HC小于底CL，那么三角形AHC也小于三角形ALC。
因此，底BC比底CD如同三角形ABC比三角形ACD。
［V. 定义5］
其次，由于平行四边形EC是三角形ABC的二倍，
［I. 41］
且平行四边形FC是三角形ACD的二倍，
而部分比部分如同其等倍量比等倍量，
［V. 15］
因此，三角形ABC比三角形ACD如同平行四边形EC比平行四边形FC。
于是，由于已经证明，底BC比CD如同三角形ABC比三角形ACD，
且三角形ABC比三角形ACD如同平行四边形EC比平行四边形CF，
因此也有，底BC比底CD如同平行四边形EC比平行四边形FC。
［V. 11］
这就是所要证明的。
命题02
若作一直线平行于三角形的一边，则它成比例地截三角形的两边；又，若三角形的两边被成比例地截，则截点的连线平行于三角形的其余一边。
If a straight line be drawn parallel to one of the sides of a triangle, it will cut the sides of the triangle proportionally; and, if the sides of the triangle be cut proportionally, the line joining the points of section will be parallel to the remaining side of the triangle.
?
作DE平行于三角形ABC的一边BC；
我说，BD比DA如同CE比EA。
连接BE、CD。
因此，三角形BDE等于三角形CDE；因为它们等底DE且在平行线DE、BC之间。
［I. 38］
又，三角形ADE是另一个面。
但等量比同一个量，其比相同；
［V. 7］
因此，三角形BDE比三角形ADE如同三角形CDE比三角形ADE。
但三角形BDE比ADE如同BD比DA；
这是因为它们有等高，即从E到AB所作垂线，它们彼此之比如同其底之比。
［VI. 1］
同理也有，
三角形CDE比ADE如同CE比EA。
因此也有，BD比DA如同CE比EA。
［V. 11］
其次，设三角形ABC的边AB、AC被成比例地截，因此BD比DA如同CE比EA；
并连接DE。
我说，DE平行于BC。
这是因为，根据同样的作图，
由于BD比DA如同CE比EA，
但BD比DA如同三角形BDE比三角形ADE，
且CE比EA如同三角形CDE比三角形ADE，
［VI. 1］
因此也有，
三角形BDE比三角形ADE如同三角形CDE比三角形ADE。
［V. 11］
因此，三角形BDE、CDE中的每一个比ADE有相同的比。
因此，三角形BDE等于三角形CDE；
［V. 9］
且它们在同底DE上。
但同底的相等三角形也在相同的平行线之间。
［I. 39］
因此，DE平行于BC。
这就是所要证明的。
命题03
若将三角形的一个角二等分，分角线也把底截成两段，则底的两段之比如同三角形其余两边之比；又，若底的两段之比如同三角形其余两边之比，则从顶点到截点的直线将三角形的顶角二等分。
If an angle of a triangle be bisected and the straight line cutting the angle cut the base also, the segments of the base will have the same ratio as the remaining sides of the triangle; and, if the segments of the base have the same ratio as the remaining sides of the triangle, the straight line joined from the vertex to the point of section will bisect the angle of the triangle.
?
设ABC是一个三角形，直线AD将角BAC二等分；
我说，BD比CD如同BA比AC。
这是因为，过C作CE平行于DA，延长BA与之交于E。
于是，由于直线AC和平行线AD、EC相交，所以
角ACE等于角CAD。
［I. 29］
但根据假设，角CAD等于角BAD；
因此，角BAD也等于角ACE。
又，由于直线BAE和平行线AD、EC相交，所以
外角BAD等于内角AEC。
［I. 29］
但已证明，角ACE等于角BAD；
因此，角ACE也等于角AEC，
因此，边AE也等于边AC。
［I. 6］
又，由于已作AD平行于三角形BCE的一边EC，
因此按照比例，BD比DC如同BA比AE。
［VI. 2］
但AE等于AC；
因此，BD比DC如同BA比AC。
又，设BA比AC如同BD比DC，且连接AD；
我说，直线AD将角BAC二等分。
这是因为，用同样的作图，
由于BD比DC如同BA比AC，
又有，BD比DC如同BA比AE：这是因为已作AD平行于三角形BCE的一边EC：
［VI. 2］
因此也有，BA比AC如同BA比AE。
［V. 11］
因此，AC等于AE，
［V. 9］
因此，角AEC也等于角ACE。
［I. 5］
但同位角AEC等于角BAD，
［I. 29］
且内错角ACE等于角CAD；
［I. 29］
因此，角BAD也等于角CAD。
因此，直线AD将角BAC二等分。
这就是所要证明的。
命题04
在若干个等角三角形中，夹等角的边成比例，等角所对的边是对应边。
In equiangular triangles the sides about the equal angles are proportional, and those are corresponding sides which subtend the equal angles.
?
设ABC、DCE是等角三角形，角ABC等于角DCE，角BAC等于角CDE，且角ACB等于角CED；
我说，在三角形ABC、DCE中，夹等角的边成比例，等角所对的边是对应边。
这是因为，将BC和CE置于同一直线上。
于是，由于角ABC、ACB之和小于两直角，
［I. 17］
且角ACB等于角DEC，
因此，角ABC、DEC之和小于两直角；
因此，BA、ED延长后会相交。
［I. 公设5］
设它们交于F。
现在，由于角DCE等于角ABC，所以
BF平行于CD。
［I. 28］
又，由于角ACB等于角DEC，所以
AC平行于FE。
［I. 28］
因此，FACD是一个平行四边形；
因此，FA等于DC，且AC等于FD。
［I. 34］
又，由于AC平行于三角形FBE的边FE，
因此，BA比AF如同BC比CE。
［VI. 2］
但AF等于CD；
因此，BA比CD如同BC比CE，
其更比例为，AB比BC如同DC比CE。
［V. 16］
又，由于CD平行于BF，
因此，BC比CE如同FD比DE。
［VI. 2］
但FD等于AC；
因此，BC比CE如同AC比DE，
其更比例为，BC比CA如同CE比ED。
［V. 16］
于是，由于已经证明，
AB比BC如同DC比CE，
且BC比CA如同CE比ED；
因此，取首末比例，BA比AC如同CD比DE。
［V. 22］
这就是所要证明的。
命题05
若两个三角形的各边成比例，则它们是等角的，且对应边所对的角相等。
If two triangles have their sides proportional, the triangles will be equiangular and will have those angles equal which the corresponding sides subtend.
?
设ABC、DEF是各边成比例的两个三角形，即
AB比BC如同DE比EF，
BC比CA如同EF比FD，
且BA比AC如同ED比DF；
我说，三角形ABC与三角形DEF是等角的，对应边所对的角相等，即角ABC等于角DEF，角BCA等于角EFD，以及角BAC等于角EDF。
这是因为，在直线EF上的点E、F处作角FEG等于角ABC，且角EFG等于角ACB；
［I. 23］
因此，A处其余的角等于G处其余的角。
［I. 32］
因此，三角形ABC与三角形GEF是等角的。
因此，在三角形ABC、GEF中，夹等角的边成比例，等角所对的边是对应边；
［VI. 4］
因此，AB比BC如同GE比EF。
但根据假设，AB比BC如同DE比EF；
因此，DE比EF如同GE比EF。
［V. 11］
因此，直线DE、GE中的每一条与EF相比都有相同的比；
因此，DE等于GE。
［V. 9］
同理，
DF也等于GF。
于是，由于DE等于EG，
且EF公用，所以
两边DE、EF等于两边GE、EF；
且底DF等于底FG；
因此，角DEF等于角GEF，
［I. 8］
且三角形DEF等于三角形GEF，
又，其余的角等于其余的角，即等边所对的那些角。
［I. 4］
因此，角DFE也等于角GFE，
且角EDF等于角EGF。
又，由于角FED等于角GEF，
而角GEF等于角ABC，
因此，角ABC也等于角DEF。
同理，
角ACB也等于角DFE，
以及A处的角等于D处的角；
因此，三角形ABC与三角形DEF是等角的。
这就是所要证明的。
命题06
若两个三角形有一个对应的角相等，且夹等角的边成比例，则这两个三角形是等角的，且对应边所对的角相等。
If two triangles have one angle equal to one angle and the sides about the equal angles proportional, the triangles will be equiangular and will have those angles equal which the corresponding sides subtend.
?
设两个三角形ABC、DEF中，角BAC等于角EDF，且夹等角的边成比例，即
BA比AC如同ED比DF；
我说，三角形ABC与三角形DEF是等角的，即角ABC等于角DEF，角ACB等于角DFE。
这是因为，在直线DF上的点D、F处作角FDG等于角BAC或角EDF，且角DFG等于角ACB；
［I. 23］
因此，其余的B处的角等于其余的G处的角。
［I. 32］
因此，三角形ABC与三角形DGF是等角的。
因此成比例，BA比AC如同GD比DF。
［VI. 4］
但根据假设，BA比AC如同ED比DF；
因此也有，ED比DF如同GD比DF。
［V. 11］
因此，ED等于DG；
［V. 9］
而DF公用；
因此，两边ED、DF等于两边GD、DF；
而角EDF等于角GDF；
因此，底EF等于底GF，
三角形DEF等于三角形DGF，
其余的角等于其余的角，即等边所对的那些角。
［I. 4］
因此，角DFG等于角DFE，
角DGF等于角DEF。
但角DFG等于角ACB；
因此，角ACB也等于角DFE。
又根据假设，角BAC也等于角EDF；
因此，其余的B处的角也等于其余的E处的角；
［I. 32］
因此，三角形ABC与三角形DEF是等角的。
这就是所要证明的。
命题07
若两个三角形有一个角彼此相等，夹另外的角的边成比例，其余的角要么都小于要么都不小于一直角，则这两个三角形是等角的，成比例的边所夹的角相等。
If two triangles have one angle equal to one angle, the sides about other angles proportional, and the remaining angles either both less or both not less than a right angle, the triangles will be equiangular and will have those angles equal, the sides about which are proportional.
?
设ABC、DEF是两个三角形，有一个角彼此相等，即角BAC等于角EDF，夹另外的角ABC、DEF的边成比例，因此
AB比BC如同DE比EF，
且首先假设其余的C、F处的每一个角都小于一直角；
我说，三角形ABC与三角形DEF是等角的，角ABC等于角DEF，其余的C处的角等于其余的F处的角。
这是因为，如果角ABC不等于角DEF，则它们中有一个较大。
设角ABC较大；
且在直线AB上的点B处作角ABG等于角DEF。
［I. 23］
于是，由于角A等于角D，
且角ABG等于角DEF，
因此，其余的角AGB等于其余的角DFE。
［I. 32］
因此，三角形ABG与三角形DEF是等角的。
因此，AB比BG如同DE比EF。
［VI. 4］
但根据假设，DE比EF如同AB比BC；
因此，AB比直线BC、BG中的每一个有相同的比；
［V. 11］
因此，BC等于BG，
［V. 9］
因此，C处的角也等于角BGC。
［I. 5］
但根据假设，C处的角小于一直角；
因此，角BGC也小于一直角；
因此，它的邻角AGB大于一直角。
［I. 13］
而已经证明它等于F处的角；
因此，F处的角也大于一直角。
但根据假设，它小于一直角：这是荒谬的。
因此，角ABC并非不等于角DEF；
因此，角ABC等于角DEF。
但A处的角也等于D处的角；
因此，其余的C处的角等于其余的F处的角。
［I. 32］
因此，三角形ABC与三角形DEF是等角的。
但又设C、F处的角每一个都不小于一直角；
我说，在这种情况下，三角形ABC与三角形DEF也是等角的。
这是因为，同样作图，类似地可以证明，
BC等于BG；
?
因此，C处的角也等于角BGC。
［I. 5］
但C处的角不小于一直角；
因此，角BGC也不小于一直角。
于是，在三角形BGC中，两个角之和不小于两直角：这是不可能的。
［I. 17］
因此，同样，角ABC并非不等于角DEF；
因此，角ABC等于角DEF。
但A处的角也等于D处的角；
因此，其余的C处的角等于其余的F处的角。
［I. 32］
因此，三角形ABC与三角形DEF是等角的。
这就是所要证明的。
命题08
若在一直角三角形中，从直角向底作垂线，则与垂线相邻的两个三角形既与整个三角形相似又彼此相似。
If in a right-angled triangle a perpendicular be drawn from the right angle to the base, the triangles adjoining the perpendicular are similar both to the whole and to one another.
?
设ABC是一个直角三角形，角BAC为直角，从A向BC作垂线AD；
我说，三角形ABD、ADC中的每一个都与整个三角形ABC相似，且它们彼此相似。
由于角BAC等于角ADB，这是因为它们都是直角，
且B处的角为两三角形ABC和ABD所公用，
因此，其余的角ACB等于其余的角BAD；
［I. 32］
因此，三角形ABC与三角形ABD是等角的。
因此，三角形ABC中直角所对的边BC比三角形ABD中直角所对的边BA，如同三角形ABC中C处的角所对的边AB比三角形ABD中等角BAD所对的边BD，也如同两三角形公用的B处的角所对的边AC比AD。
［VI. 4］
因此，三角形ABC与三角形ABD是等角的，且夹等角的边成比例。
因此，三角形ABC与三角形ABD相似。
［VI. 定义1］
类似地，可以证明，
三角形ABC也相似于三角形ADC；
因此，三角形ABD、ADC中的每一个都相似于整个三角形ABC。
其次我说，三角形ABD、ADC也彼此相似。
这是因为，直角BDA等于直角ADC，
而且也已经证明，角BAD等于C处的角，
因此，其余的B处的角也等于其余的角DAC；
［I. 32］
因此，三角形ABD与三角形ADC是等角的。
因此，三角形ABD中角BAD所对的边BD比三角形ADC中C处的角所对的边DA，如同三角形ABD中B处的角所对的边AD比三角形ADC中等于B处的角的角DAC所对的边DC，
也如同直角所对的边BA比AC；
［VI. 4］
因此，三角形ABD相似于三角形ADC。
［VI. 定义1］
这就是所要证明的。
推论由此显然可得，若在一个直角三角形中从直角向底作一垂线，则该直线是底上两段的比例中项。
命题09
从一给定直线上截取一个指定的部分。
From a given straight line to cut off a prescribed part.
?
设AB是给定的直线；
于是，要求从AB上截取一个指定的部分。
设那个指定的部分是三分之一部分。
从A作直线AC与AB成任意角；
在AC上任取一点D，使DE、EC等于AD。
［I. 3］
连接BC，过D作DF平行于它。
［I. 31］
于是，由于FD平行于三角形ABC的一边BC，
因此，按照比例，CD比DA如同BF比FA。
［VI. 2］
但CD是DA的二倍；
因此，BF也是FA的二倍；
因此，BA是AF的三倍。
这样便在给定的直线AB上截取了指定的三分之一部分AF。
这就是所要作的。
命题10
分一给定的未分直线，使它相似于一条给定的已分直线。
To cut a given uncut straight line similarly to a given cut straight line.
?
设AB是给定的未分直线，且直线AC被截于点D、E；并设它们交成任意角；
连接CB，过D、E作DF、EG平行于BC，过D作DHK平行于AB。
［I. 31］
因此，图形FH、HB中的每一个都是平行四边形；
因此，DH等于FG，且HK等于GB。
［I. 34］
现在，由于已作直线HE平行于三角形DKC的一边KC，
因此，按照比例，CE比ED如同KH比HD。
［VI. 2］
但KH等于BG，且HD等于GF；
因此，CE比ED如同BG比GF。
又，由于已作FD平行于三角形AGE的一边GE，
因此，按照比例，ED比DA如同GF比FA。
［VI. 2］
但已证明，CE比ED如同BG比GF；
因此，CE比ED如同BG比GF，
ED比DA如同GF比FA。
这样便把给定的未分直线AB分成了与给定的已分直线AC相似的直线。
这就是所要作的。
命题11
求作两条给定直线的第三比例项。
To two given straight lines to find a third proportional.
?
设BA、AC是两条给定的直线，并设它们交成任意角；
于是，要求作BA、AC的第三比例项。
延长它们到点D、E，
并且取BD等于AC；
［I. 3］
连接BC，
过D作DE平行于BC。
［I. 31］
于是，由于已作BC平行于三角形ADE的一边DE，
按照比例，AB比BD如同AC比CE。
［VI. 2］
但BD等于AC；
因此，AB比AC如同AC比CE。
这样便对两条给定的直线AB、AC作出了它们的第三比例项CE。
这就是所要作的。
命题12
求作三条给定直线的第四比例项。
To three given straight lines to find a fourth proportional.
?
设A、B、C是三条给定的直线；
于是，要求作A、B、C的第四比例项。
设两条直线DE、DF交成任意角EDF；
取DG等于A，GE等于B，且DH等于C；
连接GH，过E作EF平行于它。
［I. 31］
于是，由于已作GH平行于三角形DEF的一边EF，
因此，DG比GE如同DH比HF。
［VI. 2］
但DG等于A，GE等于B，且DH等于C；
因此，A比B如同C比HF。
这样便对三条给定的直线A、B、C作出了第四比例项HF。
这就是所要作的。
命题13
求作两条给定直线的比例中项。
To two given straight lines to find a mean proportional.
?
设AB、BC是两条给定的直线；
于是，要求作AB、BC的比例中项。
设它们在同一直线上，并且在AC上作半圆ADC；
在点B处作BD与直线AC成直角，
并且连接AD、DC。
由于角ADC是半圆上的角，所以它是直角。
［III. 31］
又，由于在直角三角形ADC中，已作DB垂直于底，
因此，DB是底段AB、BC的比例中项。
［VI. 8，推论］
这样便对两条给定的直线AB、BC作出了比例中项DB。
这就是所要作的。
命题14
在相等且等角的平行四边形中，夹等角的边成互反比例；在等角的平行四边形中，若夹等角的边成互反比例，则它们相等。
In equal and equiangular parallelograms the sides about the equal angles are reciprocally proportional; and equiangular parallelograms in which the sides about the equal angles are reciprocally proportional are equal.
?
设AB、BC是相等且等角的平行四边形，且B处的角相等，
又设DB、BE在同一直线上；
因此，FB、BG也在同一直线上。
［I. 14］
我说，在AB、BC中，夹等角的边成互反比例，也就是说，DB比BE如同GB比BF。这是因为，将平行四边形FE补充完整。
于是，由于平行四边形AB等于平行四边形BC，
且FE是另一个面，
因此，AB比FE如同BC比FE。
［V. 7］
但AB比FE如同DB比BE，
［VI. 1］
且BC比FE如同GB比BF，
［VI. 1］
因此也有，DB比BE如同GB比BF。
［V. 11］
因此，在平行四边形AB、BC中，夹等角的边成互反比例。
其次，设BG比BF如同DB比BE；
我说，平行四边形AB等于平行四边形BC。
这是因为，由于DB比BE如同GB比BF，
而DB比BE如同平行四边形AB比平行四边形FE，
［VI. 1］
且BG比BF如同平行四边形BC比平行四边形FE，
［VI. 1］
因此也有，AB比FE如同BC比FE；
［V. 11］
因此，平行四边形AB等于平行四边形BC。
［V. 9］
这就是所要证明的。
命题15
在有一个角彼此相等的相等的三角形中，夹等角的边成互反比例；又，有一个角彼此相等且夹等角的边成互反比例的三角形是相等的。
In equal triangles which have one angle equal to one angle the sides about the equal angles are reciprocally proportional; and those triangles which have one angle equal to one angle, and in which the sides about the equal angles are reciprocally proportional, are equal.
?
设ABC、ADE是相等的三角形，且有一个角彼此相等，即角BAC等于角DAE；
我说，在三角形ABC、ADE中，夹等角的边成互反比例，
也就是说，CA比AD如同EA比AB。
这是因为，设CA和AD在同一直线上；
因此，EA和AB也在同一直线上。
［I. 14］
连接BD。
于是，由于三角形ABC等于三角形ADE，且BAD是另一个面，
因此，三角形CAB比三角形BAD如同三角形EAD比三角形BAD。
［V. 7］
但CAB比BAD如同CA比AD，
［VI. 1］
且EAD比BAD如同EA比AB。
［VI. 1］
因此也有，CA比AD如同EA比AB。
［V. 11］
于是，在三角形ABC、ADE中，夹等角的边成互反比例。
其次，设三角形ABC、ADE的边成互反比例，也就是说，设EA比AB如同CA比AD；
我说，三角形ABC等于三角形ADE。
这是因为，如果再连接BD，
由于CA比AD如同EA比AB，
而CA比AD如同三角形ABC比三角形BAD，
且EA比AB如同三角形EAD比三角形BAD，
［VI. 1］
因此，三角形ABC比三角形BAD如同三角形EAD比三角形BAD。
［V. 11］
因此，三角形ABC、EAD中的每一个都与BAD有相同的比。
因此，三角形ABC等于三角形EAD。
［V. 9］
这就是所要证明的。
命题16
若四条直线成比例，则两外项所围成的矩形等于两内项所围成的矩形；又，若两外项所围成的矩形等于两内项所围成的矩形，则四条直线成比例。
If four straight lines be proportional, the rectangle contained by the extremes is equal to the rectangle contained by the means; and, if the rectangle contained by the extremes be equal to the rectangle contained by the means, the four straight lines will be proportional.
?
设四条直线AB、CD、E、F成比例，因此AB比CD如同E比F；
我说，AB、F所围成的矩形等于CD、E所围成的矩形。
从点A、C作AG、CH与直线AB、CD成直角，且取AG等于F，CH等于E。
将平行四边形BG、DH补充完整。
于是，由于AB比CD如同E比F，
而E等于CH，且F等于AG，
因此，AB比CD如同CH比AG。
因此，在平行四边形BG、DH中，夹等角的边成互反比例。
但在这两个等角的平行四边形中，若夹等角的边成互反比例，则它们是相等的；
［VI. 14］
因此，平行四边形BG等于平行四边形DH。
又，BG是矩形AB、F，这是因为AG等于F；
且DH是矩形CD、E，这是因为E等于CH；
因此，AB、F所围成的矩形等于CD、E所围成的矩形；
其次，设AB、F所围成的矩形等于CD、E所围成的矩形；
我说，这四条直线成比例，因此AB比CD如同E比F。
这是因为，同样作图，
由于矩形AB、F等于矩形CD、E，
且矩形AB、F是BG，这是因为AG等于F，
且矩形CD、E是DH，这是因为CH等于E，
因此，BG等于DH。
且它们是等角的。
但在相等且等角的平行四边形中，夹等角的边成互反比例。
［VI. 14］
因此，AB比CD如同CH比AG。
但CH等于E且AG等于F；
因此，AB比CD如同E比F。
这就是所要证明的。
命题17
若三条直线成比例，则两外项所围成的矩形等于中项上的正方形；又，若两外项所围成的矩形等于中项上的正方形，则这三条直线成比例。
If three straight lines be proportional, the rectangle contained by the extremes is equal to the square on the mean; and, if the rectangle contained by the extremes be equal to the square on the mean, the three straight lines will be proportional.
?
设三条直线A、B、C成比例，因此A比B如同B比C；
我说，A、C所围成的矩形等于B上的正方形。
取D等于B。
于是，由于A比B如同B比C，
且B等于D，
因此，A比B如同D比C。
但若四条直线成比例，则两外项所围成的矩形等于两内项所围成的矩形。
［VI. 16］
因此，矩形A、C等于矩形B、D。
但矩形B、D是B上的正方形，这是因为B等于D；
因此，A、C所围成的矩形等于B上的正方形。
其次，设矩形A、C等于B上的正方形；
我说，A比B如同B比C。
这是因为，用同样的作图，
由于矩形A、C等于B上的正方形，
而B上的正方形是矩形B、D，这是因为B等于D，
因此，矩形A、C等于矩形B、D。
但若两外项所围成的矩形等于两内项所围成的矩形，则这四条直线成比例；
［VI. 16］
因此，A比B如同D比C。
但B等于D；
因此，A比B如同B比C。
这就是所要证明的。
命题18
在给定直线上作一直线形，使之与给定的直线形相似且有相似位置。
On a given straight line to describe a rectilineal figure similar and similarly situated to a given rectilineal figure.
?
设AB是给定的直线，CE是给定的直线形；
于是，要求在直线AB上作一个与直线形CE相似且有相似位置的直线形。
连接DF，在直线AB上的点A、B处作角GAB等于C处的角，且角ABG等于角CDF。
［I. 23］
因此，其余的角CFD等于角AGB；
［I. 32］
因此，三角形FCD与三角形GAB是等角的。
因此，按照比例，FD比BG如同FC比GA，又如同CD比AB。
又，在直线BG上的点B、G处作角BGH等于角DFE，以及角GBH等于角FDE。
［I. 23］
因此，其余的E处的角等于H处的角；
［I. 32］
因此，三角形FDE与三角形GBH是等角的；
因此，按照比例，FD比GB如同FE比GH，又如同ED比HB。
［VI. 4］
但已证明，FD比GB如同FC比GA，又如同CD比AB；
因此也有，FC比AG如同CD比AB，又如同FE比GH，又如同ED比HB。
又，由于角CFD等于角AGB，
且角DFE等于角BGH，
因此，整个角CFE等于整个角AGH。
同理，
角CDE也等于角ABH。
而C处的角也等于A处的角，
且E处的角等于H处的角。
因此，AH与CE是等角的；
而它们夹等角的边成比例；
因此，直线形AH相似于直线形CE。
［VI. 定义1］
这样便在给定的直线AB上作出了直线形AH，它与给定的直线形CE相似且有相似位置。
这就是所要作的。
命题19
相似三角形彼此之比是对应边之比的二倍比。
Similar triangles are to one another in the duplicate ratio of the corresponding sides.
?
设ABC、DEF是相似三角形，B处的角等于E处的角，因此AB比BC如同DE比EF，因此BC对应EF；
［V. 定义11］
我说，三角形ABC比三角形DEF是BC比EF的二倍比。
这是因为，取BC、EF的第三比例项为BG，因此BC比EF如同EF比BG；
［VI. 11］
连接AG。
于是，由于AB比BC如同DE比EF，
因此，取更比例，AB比DE如同BC比EF。
［V. 16］
但BC比EF如同EF比BG；
因此也有，AB比DE如同EF比BG。
［V. 11］
因此，在三角形ABG、DEF中，夹等角的边成互反比例。
但有一个角彼此相等且夹等角的边成互反比例的三角形是相等的；
［VI. 15］
因此，三角形ABG等于三角形DEF。
现在，由于BC比EF如同EF比BG，
且若三条直线成比例，则第一条比第三条是第一条比第二条的二倍比。
［V. 定义9］
因此，BC比BG是CB比EF的二倍比。
但CB比BG如同三角形ABC比三角形ABG；
［VI. 1］
因此，三角形ABC比三角形ABG是BC比EF的二倍比。
但三角形ABG等于三角形DEF；
因此，三角形ABC比三角形DEF也是BC比EF的二倍比。
这就是所要证明的。
推论由此显然可得，若三条直线成比例，则第一条直线比第三条直线如同在第一条直线上所作的图形比在第二条直线上所作的与之相似且有相似位置的图形。
命题20
相似多边形被分成同样多个相似三角形，则对应三角形之比如同整个多边形之比，多边形与多边形之比是对应边与对应边之比的二倍比。
Similar polygons are divided into similar triangles, and into triangles equal in multitude and in the same ratio as the wholes, and the polygon has to the polygon a ratio duplicate of that which the corresponding side has to the corresponding side.
?
设ABCDE、FGHKL是相似多边形，且设AB对应于FG；
我说，多边形ABCDE、FGHKL被分成同样多个相似三角形，相似三角形之比如同整个多边形之比，多边形ABCDE比多边形FGHKL是AB比FG的二倍比。
连接BE、EC、GL、LH。
现在，由于多边形ABCDE相似于多边形FGHKL，所以
角BAE等于角GFL；
且BA比AE如同GF比FL。
［VI. 定义1］
于是，由于ABE、FGL这两个三角形有一个对应的角相等，且夹等角的边成比例，
因此，三角形ABE与三角形FGL是等角的；
［VI. 6］
因此也是相似的；
［VI. 4和定义1］
因此，角ABE等于角FGL。
而整个角ABC也等于整个角FGH，这是因为多边形是相似的；
因此，其余的角EBC等于角LGH。
又，由于三角形ABE、FGL是相似的，所以
EB比BA如同LG比FG，
以及由于多边形是相似的，所以
AB比BC如同FG比GH，
因此，取首末比例，EB比BC如同LG比GH；
［V. 22］
也就是说，夹等角EBC、LGH的边成比例；
因此，三角形EBC与三角形LGH是等角的，
［VI. 6］
因此，三角形EBC也相似于三角形LGH。
［VI. 4和定义1］
同理，
三角形ECD也相似于三角形LHK。
因此，相似多边形ABCDE、FGHKL被分成同样多个相似三角形。
我说，它们之比如同整个多边形之比，即各个三角形成比例，ABE、EBC、ECD是前项，而FGL、LGH、LHK是其后项，多边形ABCDE比多边形FGHKL是对应边比对应边的二倍比，即AB比FG的二倍比。
连接AC、FH。
于是，由于多边形是相似的，
角ABC等于角FGH，
AB比BC如同FG比GH，所以
三角形ABC与三角形FGH是等角的；
［VI. 6］
因此，角BAC等于角GFH，
角BCA等于角GHF。
又，由于角BAM等于角GFN，
角ABM也等于角FGN，
因此，其余的角AMB也等于其余的角FNG；
［I. 32］
因此，三角形ABM与三角形FGN是等角的。
类似地，可以证明，
三角形BMC与三角形GNH也是等角的。
因此，按照比例，
AM比MB如同FN比NG，
BM比MC如同GN比NH；
因此，按照首末比例，
AM比MC如同FN比NH。
但AM比MC如同三角形ABM比MBC，又如同AME比EMC；这是因为它们彼此之比如同其底之比。
［VI. 1］
因此也有，前项之一比后项之一如同所有前项之和比所有后项之和；
［V. 12］
因此，三角形AMB比BMC如同ABE比CBE。
但AMB比BMC如同AM比MC；
因此也有，AM比MC如同三角形ABE比三角形EBC。
同理也有，
FN比NH如同三角形FGL比三角形GLH。
又，AM比MC如同FN比NH；
因此也有，三角形ABE比三角形BEC如同三角形FGL比三角形GLH；
取更比例，三角形ABE比三角形FGL如同三角形BEC比三角形GLH。
类似地，可以证明，如果连接BD、GK，那么三角形BEC比三角形LGH也如同三角形ECD比三角形LHK。
又，由于三角形ABE比三角形FGL如同EBC比LGH，又如同ECD比LHK，
因此也有，前项之一比后项之一如同所有前项之和比所有后项之和；
［V. 12］
因此，三角形ABE比三角形FGL如同多边形ABCDE比多边形FGHKL。
但三角形ABE比三角形FGL是对应边AB比对应边FG的二倍比；这是因为相似三角形之比是对应边之比的二倍比。
［VI. 19］
因此，多边形ABCDE比多边形FGHKL也是对应边AB比对应边FG的二倍比。
这就是所要证明的。
推论类似地，可以证明，四边形与四边形之比是对应边之比的二倍比。前已证明三角形的情况；因此一般地也有，相似直线形彼此之比是对应边之比的二倍比。
命题21
与同一直线形相似的图形也彼此相似。
Figures which are similar to the same rectilineal figure are also similar to one another.
?
设直线形A、B中的每一个都与C相似；
我说，A与B也相似。
这是因为，由于A与C相似，所以
它们是等角的且夹等角的边成比例；
［VI. 定义1］
又，由于B与C相似，所以
它们是等角的且夹等角的边成比例。
因此，图形A、B中的每一个都与C是等角的且夹等角的边成比例；
因此，A与B相似。
这就是所要证明的。
命题22
若四条直线成比例，则在它们上面所作的相似且有相似位置的直线形也成比例；又，若在各直线上所作的相似且有相似位置的直线形成比例，则这些直线本身也成比例。
If four straight lines be proportional, the rectilineal figures similar and similarly described upon them will also be proportional; and, if the rectilineal figures similar and similarly described upon them be proportional, the straight lines will themselves also be proportional.
?
设四条直线AB、CD、EF、GH成比例，因此
AB比CD如同EF比GH，
在AB、CD上作相似且有相似位置的直线形KAB、LCD，
又在EF、GH上作相似且有相似位置的直线形MF、NH；
我说，KAB比LCD如同MF比NH。
这是因为，取AB、CD的第三比例项O，
以及取EF、GH的第三比例项P，
［VI. 11］
于是，由于AB比CD如同EF比GH，
且CD比O如同GH比P，
因此，取首末比例，AB比O如同EF比P。
［V. 22］
但AB比O如同KAB比LCD，
［VI. 19，推论］
且EF比P如同MF比NH；
因此也有，KAB比LCD如同MF比NH。
［V. 11］
其次，设MF比NH如同KAB比LCD；
我也说，AB比CD如同EF比GH。
这是因为，如果EF比GH不如同AB比CD，
设EF比QR如同AB比CD，
［VI. 12］
且在QR上作直线形SR与MF、NH中的任何一个相似且有相似位置。
［VI. 18］
于是，由于AB比CD如同EF比QR，
且已在AB、CD上作相似且有相似位置的图形KAB、LCD，
以及在EF、QR上作相似且有相似位置的图形MF、SR，
因此，KAB比LCD如同MF比SR。
但根据假设也有，
KAB比LCD如同MF比NH；
因此也有，MF比SR如同MF比NH。
［V. 11］
因此，MF比图形NH、SR中的每一个有相同的比；
因此，NH等于SR。
［V. 9］
但它们也相似且有相似位置；
因此，GH等于QR。
又，由于AB比CD如同EF比QR，
而QR等于GH，
因此，AB比CD如同EF比GH。
这就是所要证明的。
命题23
等角的平行四边形彼此之比是其边之比的复比。
Equiangular parallelograms have to one another the ratio compounded of the ratios of their sides.
?
设AC、CF是等角的平行四边形，角BCD等于角ECG；
我说，平行四边形AC比平行四边形CF是其边之比的复比。
这是因为，设BC与CG在同一直线上；
因此，DC与CE也在同一直线上。
将平行四边形DG补充完整；
设计一条直线K，使得
BC比CG如同K比L，
且DC比CE如同L比M。
［VI. 12］
于是，K比L与L比M如同边与边之比，即BC比CG与DC比CE。
但K比M是K比L与L比M的复比；
因此，K比M是边与边之比的复比。
现在，由于BC比CG如同平行四边形AC比平行四边形CH，
［VI. 1］
而BC比CG如同K比L，
因此也有，K比L如同AC比CH。
［V. 11］
又，由于DC比CE如同平行四边形CH比CF，
［VI. 1］
而DC比CE如同L比M，
因此也有，L比M如同平行四边形CH比平行四边形CF。
［V. 11］
于是，由于已经证明，K比L如同平行四边形AC比平行四边形CH，
且L比M如同平行四边形CH比平行四边形CF，
因此，取首末比例，K比M如同平行四边形AC比平行四边形CF。
但K比M是边与边之比的复比；
因此，AC比CF也是边与边之比的复比。
这就是所要证明的。
命题24
在任何平行四边形中，对角线周围的平行四边形既与整个平行四边形相似，又彼此相似。
In any parallelogram the parallelograms about the diameter are similar both to the whole and to one another.
?
设ABCD是平行四边形，AC是其对角线，又设EG、HK是AC周围的平行四边形；
我说，平行四边形EG、HK中的每一个都既与整个平行四边形ABCD相似，又彼此相似。
这是因为，由于已作EF平行于三角形ABC的一边BC，所以
按照比例，BE比EA如同CF比FA。
［VI. 2］
又，由于已作FG平行于三角形ACD的一边CD，所以
按照比例，CF比FA如同DG比GA。
［VI. 2］
但已证明，CF比FA如同BE比EA；
因此也有，BE比EA如同DG比GA，
因此取合比例，
BA比AE如同DA比AG，
［V. 18］
根据更比例，
BA比AD如同EA比AG。
［V. 16］
因此，在平行四边形ABCD、EG中，夹公共角BAD的各边成比例。
又，由于GF平行于DC，所以
角AFG等于角DCA；
且角DAC是两个三角形ADC、AGF的公共角；
因此，三角形ADC与三角形AGF是等角的。
同理，
三角形ACB与三角形AFE也是等角的，
且整个平行四边形ABCD与平行四边形EG是等角的。
因此，按照比例，
AD比DC如同AG比GF，
DC比CA如同GF比FA，
AC比CB如同AF比FE，
以及，CB比BA如同FE比EA。
又，由于已经证明，DC比CA如同GF比FA，
且AC比CB如同AF比FE，
因此，按照首末比例，DC比CB如同GF比FE。
［V. 22］
因此，在平行四边形ABCD、EG中，夹等角的边成比例；
因此，平行四边形ABCD相似于平行四边形EG。
［VI. 定义1］
同理，
平行四边形ABCD也相似于平行四边形KH；
因此，平行四边形EG、HK中的每一个都相似于ABCD。
但与同一直线形相似的图形也彼此相似；
［VI. 21］
因此，平行四边形EG也相似于平行四边形HK。
这就是所要证明的。
命题25
作一个图形既与一给定的直线形相似，又等于另一给定的直线形。
To construct one and the same figure similar to a given rectilineal figure and equal to another given rectilineal figure.
?
设ABC是给定的直线形，所要作的图形必须既与之相似，又等于另一图形D。
于是，要求作一个图形与ABC相似且等于D。
对BC贴合出平行四边形BE等于三角形ABC，
［I. 44］
又以等于角CBL的角FCE，对CE贴合出平行四边形CM等于D。
［I. 45］
因此，BC与CF在同一直线上，LE与EM在同一直线上。
现在，取GH为BC、CF的比例中项，
［VI. 13］
且在GH上作KGH与ABC相似且有相似位置。
［VI. 18］
于是，由于BC比GH如同GH比CF，
又，若三条直线成比例，则第一条直线比第三条直线如同在第一条直线上所作的图形比在第二条直线上所作的与之相似且有相似位置的图形，
［VI. 19，推论］
因此，BC比CF如同三角形ABC比三角形KGH。
但BC比CF也如同平行四边形BE比平行四边形EF。
［VI. 1］
因此也有，三角形ABC比三角形KGH如同平行四边形BE比平行四边形EF；
因此，按照更比例，三角形ABC比平行四边形BE如同三角形KGH比平行四边形EF。
［V. 16］
但三角形ABC等于平行四边形BE；
因此，三角形KGH也等于平行四边形EF。
但平行四边形EF等于D；
因此，KGH也等于D。
而KGH也相似于ABC。
这样便作出了图形KGH，它既与给定的直线形ABC相似，又等于另一给定的图形D。
这就是所要作的。
命题26
若从一个平行四边形中取掉一个与整个平行四边形相似、有相似位置且有一个公共角的平行四边形，则它与整个平行四边形有相同的对角线。
If from a parallelogram there be taken away a parallelogram similar and similarly situated to the whole and having a common angle with it, it is about the same diameter with the whole.
?
从平行四边形ABCD取掉平行四边形AF，它与ABCD相似、有相似位置且有公共角DAB；
我说，ABCD与AF有相同的对角线。
这是因为，假设不是这样，如果可能，设AHC是［ABCD的］对角线，延长GF到H，过H作HK平行于直线AD、BC中的一条，
［I. 31］
于是，由于ABCD与KG有相同的对角线，
因此，DA比AB如同GA比AK。
［VI. 24］
但因为ABCD与EG相似，所以
DA比AB如同GA比AE；
因此也有，
GA比AK如同GA比AE。
［V. 11］
因此，GA与直线AK、AE中的每一条之比有相同的比。
因此，AE等于AK，
［V. 9］
较小的等于较大的：这是不可能的。
因此，ABCD与AF只可能有相同的对角线；
因此，平行四边形ABCD与平行四边形AF有相同的对角线。
这就是所要证明的。
命题27
在对同一直线贴合出的、亏缺一个与在半条直线上所作的平行四边形相似且有相似位置的平行四边形的所有平行四边形中，以对半条直线贴合出的那个平行四边形为最大，且与亏缺的图形相似。
Of all the parallelograms applied to the same straight line and deficient by parallelogrammic figures similar and similarly situated to that described on the half of the straight line, that parallelogram is greatest which is applied to the half of the straight line and is similar to the defect.
?
设AB是一条直线且被二等分于C；平行四边形AD是对直线AB贴合出的、亏缺在AB的一半即CB上所作的平行四边形DB的平行四边形；
我说，对直线AB贴合出的、亏缺与DB相似且有相似位置的平行四边形的所有平行四边形中，AD最大。
对直线AB贴合出平行四边形AF，它亏缺了与DB相似且有相似位置的平行四边形FB；
我说，AD大于AF。
这是因为，由于平行四边形DB相似于平行四边形FB，所以
它们有相同的对角线。
［VI. 26］
作它们的对角线DB，并且作出图形。
于是，由于CF等于FE，
［I. 43］
且FB公用，
因此，整个CH等于整个KE。
但CH等于CG，这是因为AC也等于CB。
［I. 36］
因此，GC也等于EK。
给它们分别加上CF；
因此，整个AF等于拐尺形LMN；
因此，平行四边形DB即AD大于平行四边形AF。
这就是所要证明的。
命题28
对一给定的直线贴合出一个平行四边形，它等于给定的直线形，且亏缺一个与给定的平行四边形相似的平行四边形：于是，这个给定的直线形必定不大于在一半直线上所作的、与亏缺的平行四边形相似的平行四边形。
To a given straight line to apply a parallelogram equal to a given rectilineal figure and deficient by a parallelogrammic figure similar to a given one: thus the given rectilineal figure must not be greater than the parallelogram described on the half of the straight line and similar to the defect.
?
设AB是给定的直线，C是给定的直线形，需要对AB贴合出一个与C相等的平行四边形，C不大于在一半AB上所作的、与亏缺的平行四边形相似的平行四边形，亏缺的平行四边形需要与平行四边形D相似；
于是，要求对给定的直线AB贴合出一个平行四边形等于给定的直线形C，且亏缺一个与D相似的平行四边形。
设AB在点E被二等分，在EB上作EBFG与D相似且有相似位置；
［VI. 18］
将平行四边形AG补充完整。
于是，如果AG等于C，那么就完成了所要求的作图；
这是因为已经对给定的直线AB贴合出了平行四边形AG，它等于给定的直线形C，且亏缺一个与D相似的平行四边形BG。
但如果不是这样，设HE大于C。
现在，HE等于GB；
因此，GB也大于C。
作KLMN等于GB与C之差，它与D相似且有相似位置。
［VI. 25］
但D相似于GB；
因此，KM也相似于GB。
［VI. 21］
于是，设KL对应于GE，LM对应于GF。
现在，由于GB等于C、KM之和，
因此，GB大于KM；
因此也有，GE大于KL，GF大于LM。
取GO等于KL，且GP等于LM；
并将平行四边形OGPQ补充完整；
因此，它等于且相似于KM。
因此，GQ也相似于GB；
［VI. 21］
因此，GQ与GB有相同的对角线。
［VI. 26］
设GQB是它们的对角线，作出该图形。
于是，由于BG等于C、KM之和，
且其中GQ等于KM，
因此，其余部分，即拐尺形UWV，等于其余部分C。
又，由于PR等于OS，
给它们分别加上QB；
因此，整个PB等于整个OB；
但OB等于TE，这是因为边AE也等于边EB；
［I. 36］
因此，TE也等于PB。
给它们分别加上OS；
因此，整个TS等于整个拐尺形VWU。
但已证明，拐尺形VWU等于C；
因此，TS也等于C。
这样便对给定的直线AB贴合出了平行四边形ST，它等于给定的直线形C，且亏缺了一个与D相似的平行四边形QB。
这就是所要作的。
命题29
对一给定的直线贴合出一个平行四边形等于给定的直线形，并且超出一个与给定的平行四边形相似的平行四边形。
To a given straight line to apply a parallelogram equal to a given rectilineal figure and exceeding by a parallelogrammic figure similar to a given one.
?
设AB是给定的直线，C是给定的直线形，对AB贴合出的平行四边形需要与C相等，D是超出的平行四边形需要与之相似的平行四边形。
于是，要求对直线AB贴合出一个平行四边形，它等于直线形C，并且超出一个与D相似的平行四边形。
设AB被二等分于E；
在EB上作平行四边形BF与D相似且有相似位置；
又作GH等于BF与C之和，并与D相似且有相似位置。
［VI. 25］
设KH对应于FL，且KG对应于FE。
现在，由于GH大于FB，
因此，KH也大于FL，且KG大于FE。
延长FL、FE，
设FLM等于KH，且FEN等于KG，
将平行四边形MN补充完整；
因此，MN等于且相似于GH。
但GH相似于EL；
因此，MN也相似于EL；
［VI. 21］
因此，EL与MN有相同的对角线。
［VI. 26］
作它们的对角线FO，并且作出图形。
由于GH等于EL与C之和，
而GH等于MN，
因此，MN也等于EL与C之和。
从它们中各减去EL；
因此，其余部分即拐尺形XWV等于C。
现在，由于AE等于EB，所以
AN也等于NB，
［I. 36］
即等于LP。
［I. 43］
给它们分别加上EO；
因此，整个AO等于拐尺形VWX。
但拐尺形VWX等于C；
因此，AO也等于C。
这样便对给定的直线AB贴合出平行四边形AO，它等于给定的直线形C，并且超出一个与D相似的平行四边形QP，因为PQ也相似于EL。
［VI. 24］
这就是所要作的。
命题30
将一给定的有限直线分成中外比。
To cut a given finite straight line in extreme and mean ratio.
?
设AB是给定的有限直线；
于是，要求将AB分成中外比。
在AB上作正方形BC；对AC贴合出平行四边形CD等于BC，且超出的图形AD相似于BC。
［VI. 29］
现在，BC是正方形；
因此，AD也是正方形。
又，由于BC等于CD，
从它们中各减去CE；
因此，其余部分BF等于其余部分AD。
但它们也是等角的；
因此，在BF、AD中，夹等角的边成互反比例；
［VI. 14］
因此，FE比ED如同AE比EB。
但FE等于AB，且ED等于AE。
因此，BA比AE如同AE比EB。
而AB大于AE；
因此，AE也大于EB。
这样直线AB便被点E分成了中外比，AE是较大的线段。
这就是所要作的。
?
命题31
在直角三角形中，直角所对边上的图形等于夹直角的边上相似且有相似位置的图形之和。
In right-angled triangles the figure on the side subtending the right angle is equal to the similar and similarly described figures on the sides containing the right angle.
?
设ABC是有直角BAC的直角三角形；
我说，BC上的图形等于BA、AC上相似且有相似位置的图形之和。
作垂线AD。
于是，由于在直角三角形ABC中，已从A处的直角作AD垂直于底BC，所以
垂线两边的三角形ABD、ADC既与整个ABC相似，也彼此相似。
［VI. 8］
又，由于ABC相似于ABD，
因此，CB比BA如同AB比BD。
［VI. 定义1］
又，由于三条直线成比例，所以
第一条直线比第三条直线如同在第一条直线上所作的图形比在第二条直线上所作的与之相似且有相似位置的图形。
［VI. 19，推论］
因此，CB比BD如同CB上的图形比BA上相似且有相似位置的图形。
同理也有，
BC比CD如同BC上的图形比CA上的图形；
因此还有，
BC比BD、DC之和如同BC上的图形比BA、AC上相似且有相似位置的图形之和。
［V. 24］
但BC等于BD、DC之和；
因此，BC上的图形也等于BA、AC上相似且有相似位置的图形之和。
这就是所要证明的。
命题32
若有两边彼此成比例的两个三角形在一个角被放置在一起，使得对应的边也平行，则这两个三角形的其余边在同一直线上。
If two triangles having two sides proportional to two sides be placed together at one angle so that their corresponding sides are also parallel, the remaining sides of the triangles will be in a straight line.
?
设ABC、DCE这两个三角形的两边BA、AC与两边DC、DE成比例，因此AB比AC如同DC比DE，且AB平行于DC，AC平行于DE；
我说，BC与CE在同一直线上。
这是因为，由于AB平行于DC，
且直线AC与它们相交，所以错角BAC、ACD彼此相等。
［I. 29］
同理，
角CDE也等于角ACD；
因此，角BAC等于角CDE。
又，由于ABC、DCE这两个三角形在A处的角等于在D处的角，
且夹等角的边成比例，
因此BA比AC如同CD比DE，
因此，三角形ABC与三角形DCE是等角的；
［VI. 6］
因此，角ABC等于角DCE。
但已证明，角ACD等于角BAC；
因此，整个角ACE等于两个角ABC、BAC之和。
给它们分别加上角ACB；
因此，角ACE、ACB之和等于角BAC、ACB、CBA之和。
但角BAC、ABC、ACB之和等于两直角；
［I. 32］
因此，角ACE、ACB之和也等于两直角。
因此，在直线AC上的点C处，两直线BC、CE不在直线AC的同侧，且和AC所成邻角ACE与ACB之和等于两直角；
因此，BC与CE在同一直线上。
［I. 14］
这就是所要证明的。
命题33
在等圆中，圆心角或圆周角之比如同它们所对圆周之比。
In equal circles angles have the same ratio as the circumferences on which they stand, whether they stand at the centres or at the circumferences.
?
设ABC、DEF是等圆，角BGC、EHF是圆心G、H处的角，角BAC、EDF是圆周角；
我说，圆周BC比圆周EF如同角BGC比角EHF，也如同角BAC比角EDF。
这是因为，取任意多个连续的圆周CK、KL等于圆周BC，
并取任意多个连续的圆周FM、MN等于圆周EF；
连接GK、GL、HM、HN。
于是，由于圆周BC、CK、KL彼此相等，所以
角BGC、CGK、KGL也彼此相等；
［III. 27］
因此，圆周BL是BC的多少倍，角BGL也是角BGC的多少倍。
同理也有，
圆周NE是EF的多少倍，角NHE也是角EHF的多少倍。
于是，如果圆周BL等于圆周EN，那么
角BGL也等于角EHN；
［III. 27］
如果圆周BL大于圆周EN，那么角BGL也大于角EHN；
如果圆周BL小于圆周EN，那么角BGL也小于角EHN。
于是有四个量，两个圆周BC、EF，以及两个角BGC、EHF，
已取圆周BC和角BGC的等倍量，即圆周BL和角BGL，
又，已取圆周EF和角EHF的等倍量，即圆周EN和角EHN。
已经证明，
如果圆周BL大于圆周EN，那么
角BGL也大于角EHN；
如果圆周BL等于圆周EN，那么
角BGL也等于角EHN；
如果圆周BL小于圆周EN，那么
角BGL也小于角EHN。
因此，圆周BC比EF如同角BGC比角EHF。
［V. 定义5］
但角BGC比角EHF如同角BAC比角EDF；这是因为它们分别是二倍。
因此也有，圆周BC比圆周EF如同角BGC比角EHF，又如同角BAC比角EDF。
这就是所要证明的。
?
[1]?定义2被认为是伪造的。欧几里得从未使用过它。根据希思的说法，其希腊文本没有给出可理解的含义，希思没有翻译它。不过在对定义2的注释中，他列出了Simson所尝试给出的定义：“两个量与另外两个量成互反比例，即前两个量中的第一个量比后两个量中的第一个量如同后两个量中的第二个量比前两个量中的第二个量。”（译者注）
