定义?Definitions
01 / 当较小量量尽较大量时，较小量是较大量的一个部分。
A magnitude is a?part?of a magnitude, the less of the greater, when it measures the greater.
02 / 当较大量被较小量量尽时，较大量是较小量的一个倍量。
The greater is a?multiple?of the less when it is measured by the less.
03 /?比是两个同类量之间的一种大小关系。
A?ratio?is a sort of relation in respect of size between two magnitudes of the same kind.
04 / 若把一个量若干倍以后大于另一个量，则称这两个量彼此之间有一个比。
Magnitudes are said to?have a ratio?to one another which are capable, when multiplied, of exceeding one another.
05 / 若对第一个量与第三个量取任意相同的倍数，又对第二个量与第四个量取任意相同的倍数，而第一倍量依次大于、等于或小于第二倍量时，第三倍量便依次大于、等于或小于第四倍量，则称第一个量比第二个量与第三个量比第四个量有相同的比。
Magnitudes are said to be?in the same ratio, the first to the second and the third to the fourth, when, if any equimultiples whatever be taken of the first and third, and any equimultiples whatever of the second and fourth, the former equimultiples alike exceed, are alike equal to, or alike fall short of, the latter equimultiples respectively taken in corresponding order.
06 / 有相同比的四个量叫做成比例的。
Let magnitudes which have the same ratio be called?proportional.
07 / 第一、第三个量取相同的倍数，第二、第四个量取另一相同的倍数，当第一个量的倍量大于第二个量的倍量，但第三个量的倍量不大于第四个量的倍量时，则称第一个量比第二个量大于第三个量比第四个量。
When, of the equimultiples, the multiple of the first magnitude exceeds the multiple of the second, but the multiple of the third does not exceed the multiple of the fourth, then the first is said to?have a greater ratio?to the second than the third has to the fourth.
08 / 一个比例至少有三项。
A proportion in three terms is the least possible.
09 / 当三个量成比例时，称第一个量比第三个量是第一个量比第二个量的二倍比。
When three magnitudes are proportional, the first is said to have to the third the?duplicate ratio?of that which it has to the second.
10 / 当四个量成［连］[1]比例时，称第一个量比第四个量是第一个量比第二个量的三倍比，依此类推，不论比例如何。
When four magnitudes are ［continuously］ proportional, the first is said to have to the fourth the?triplicate ratio?of that which it has to the second, and so on continually, whatever be the proportion.
11 / 称前项是前项的对应量，后项是后项的对应量。
The term?corresponding magnitudes?is used of antecedents in relation to antecedents, and of consequents in relation to consequents.
12 /?更比例指前项比前项且后项比后项。[2]
Alternate ratiomeans taking the antecedent in relation to the antecedent and the consequent in relation to the consequent.
13 /?反比例指后项作前项比，前项作后项比。[3]
Inverse ratiomeans taking the consequent as antecedent in relation to the antecedent as consequent.
14 /?合比例指前项与后项之和比后项。[4]
Composition of a ratiomeans taking the antecedent together with the consequent as one in relation to the consequent by itself.
15 /?分比例指前项与后项之差比后项。[5]
Separation of a ratiomeans taking the excess by which the antecedent exceeds the consequent in relation to the consequent by itself.
16 /?换比例指前项比前项与后项之差。[6]
Conversion of a ratiomeans taking the antecedent in relation to the excess by which the antecedent exceeds the consequent.
17 / 有若干个量以及另一组个数与之相等的量，当它们两两成相同的比，第一组量中首量比末量等于第二组中首量比末量时，便产生了首末比例；
或者换句话说，它指的是移除中间项，取两端的项。[7]
A?ratio ex aequali?arises when, there being several magnitudes and another set equal to them in multitude which taken two and two are in the same proportion, as the first is to the last among the first magnitudes, so is the first to the last among the second magnitudes;
Or, in other words, it means taking the extreme terms by virtue of the removal of the intermediate terms.
18 / 有三个量以及另一组个数与之相等的量，当第一组量中的前项比中项等于第二组量中的前项比中项，第一组量中的中项比后项等于第二组量中的后项比前项时，便产生了调动比例。[8]
A?perturbed proportion?arises when, there being three magnitudes and another set equal to them in multitude, as antecedent is to consequent among the first magnitudes, so is antecedent to consequent among the second magnitudes, while, as the consequent is to a third among the first magnitudes, so is a third to the antecedent among the second magnitudes.
命题?Proposition
命题01
若有任意多个量，分别是个数与之相等的量的等倍量，则无论这个倍数是多少，前者之和也是后者之和的等倍量。
If there be any number of magnitudes whatever which are, respectively, equimul-tiples of any magnitudes equal in mul-titude, then, whatever multiple one of the magnitudes is of one, that multiple also will all be of all.
?
设任意量AB、CD分别是个数与之相等的任意量E、F的等倍量；
我说，AB是E的多少倍，AB、CD之和也是E、F之和的多少倍。
这是因为，由于AB是E的倍量，CD是F的倍量，其倍数相等，因此，AB中有多少个等于E的量，CD中也有多少个等于F的量。
设AB被分成了等于E的量AG、GB，
且CD被分成了等于F的量CH、HD，
于是，量AG、GB的个数等于量CH、HD的个数。
现在，由于AG等于E，CH等于F，
因此，AG等于E，AG、CH之和等于E、F之和。
同理，
GB等于E，且GB、HD之和等于E、F之和；
因此，AB中有多少个等于E的量，AB、CD之和中就有同样多少个等于E、F之和的量。
因此，无论AB是E的多少倍，AB、CD之和也是E、F之和的多少倍。
这就是所要证明的。
命题02
若第一个量是第二个量的倍量，第三个量是第四个量的倍量，其倍数相等，第五个量是第二个量的倍量，第六个量是第四个量的倍量，其倍数相等，则第一个量与第五个量之和是第二个量的倍量，第三个量与第六个量之和是第四个量的倍量，其倍数相等。
If a first magnitude be the same multiple of a second that a third is of a fourth, and a fifth also be the same multiple of the second that a sixth is of the fourth, the sum of the first and fifth will also be the same multiple of the second that the sum of the third and sixth is of the fourth.
?
设第一个量AB是第二个量C的倍量，第三个量DE是第四个量F的倍量，其倍数相等；第五个量BG是第二个量C的倍量，第六个量EH是第四个量F的倍量，其倍数相等；
我说，第一个量与第五个量之和AG是第二个量C的倍量，第三个量与第六个量之和DH是第四个量F的倍量，其倍数相等。
这是因为，由于AB是C的倍量，DE是F的倍量，其倍数相等，
因此，AB中有多少个等于C的量，DE中就有多少个等于F的量。
同理，
BG中有多少个等于C的量，EH中就有多少个等于F的量；
因此，整个AG中有多少个等于C的量，整个DH中就有多少个等于F的量。
因此，AG是C的多少倍，DH就是F的多少倍。
因此，第一个量与第五个量之和AG是第二个量C的倍量，第三个量与第六个量之和DH是第四个量F的倍量，其倍数相等。
这就是所要证明的。
命题03
若第一个量是第二个量的倍量，第三个量是第四个量的倍量，其倍数相等，并且取第一个量和第三个量的等倍数，则等倍后的这两个量分别是第二个量和第四个量的倍量，其倍数相等。
If a first magnitude be the same multiple of a second that a third is of a fourth, and if equimultiples be taken of the first and third, then also ex aequali the magnitudes taken will be equimultiples respectively, the one of the second, and the other of the fourth.
?
设第一个量A是第二个量B的倍量，第三个量C是第四个量D的倍量，其倍数相等，并取A、C的等倍量EF、GH；
我说，EF是B的倍量，GH是D的倍量，其倍数相等。
这是因为，由于EF是A的倍量，GH是C的倍量，其倍数相等，因此，EF中有多少个等于A的量，GH中就有多少个等于C的量。
设EF被分成了等于A的量EK、KF，
GH被分成了等于C的量GL、LH；
于是，量EK、KF的个数等于量GL、LH的个数。
又，由于A是B的倍量，C是D的倍量，其倍数相等，
而EK等于A，GL等于C，
因此，EK是B的倍量，GL是D的倍量，其倍数相等。
同理，
KF是B的倍量，LH是D的倍量，其倍数相等。
于是，由于第一个量EK是第二个量B的倍量，第三个量GL是第四个量D的倍量，其倍数相等，
又，第五个量KF是第二个量B的倍量，第六个量LH是第四个量D的倍量，其倍数也相等，
因此，第一个量与第五个量之和EF是第二个量B的倍量，第三个量与第六个量之和GH是第四个量D的倍量，其倍数相等。
［V. 2］
这就是所要证明的。
命题04
若第一个量比第二个量与第二个量比第四个量有相同的比，取第一个量与第二个量的任意等倍量，再取第二个量与第四个量的任意等倍量，则按照相应的顺序它们也有相同的比。
If a first magnitude have to a second the same ratio as a third to a fourth, any equimultiples whatever of the first and third will also have the same ratio to any equimultiples whatever of the second and fourth respectively, taken in corresponding order.
?
设第一个量A比第二个量B与第三个量C比第四个量D有相同的比；
取A、C的等倍量E、F，
再取B、D的等倍量G、H；
我说，E比G如同F比H。
这是因为，取E、F的等倍量K、L，
再取G、H的等倍量M、N。
由于E是A的倍量，F的是C的倍量，其倍数相等，
且已取E、F的等倍量K、L，
因此，K是A的倍量，L是C的倍量，其倍数相等。
［V. 3］
同理，M是B的倍量，N是D的倍量，其倍数相等。
又，由于A比B如同C比D，
且已取A、C的等倍量K、L，
以及B、D的等倍量M、N，
因此，如果K大于M，那么L也大于N；如果K等于M，那么L也等于N；
如果K小于M，那么L也小于N。
［V. 定义5］
又，由于K、L是E、F的等倍量，
且M、N是G、H的等倍量；
因此，E比G如同F比H。
［V. 定义5］
这就是所要证明的。
命题05
若一个量是另一个量的倍量，而第一个量减去的部分是第二个量减去的部分的倍量，其倍数相等，则余量是余量的倍量，整个是整个的倍量，其倍数相等。
If a magnitude be the same multiple of a magnitude that a part subtracted is of a part subtracted, the remainder will also be the same multiple of the remainder that the whole is of the whole.
?
设量AB是量CD的倍量，减去的部分AE是减去的部分CF的倍量，其倍数相等；
我说，余量EB是余量FD的倍量，整个AB是整个CD的倍量，其倍数相等。
这是因为，AE是CF的多少倍，设EB也是CG的多少倍。
于是，由于AE是CF的倍量，EB是GC的倍量，其倍数相等，
因此，AE是CF的倍量，AB是GF的倍量，其倍数相等。
［V. 1］
但根据假设，AE是CF的倍量，AB是CD的倍量，其倍数相等。
因此，AB是量GF、CD中每一个的倍量，其倍数相等；
因此，GF等于CD。
从它们中分别减去CF；
因此，余量GC等于余量FD。
又，由于AE是CF的倍量，EB是GC的倍量，其倍数相等，
且GC等于DF，
因此，AE是CF的倍量，EB是FD的倍量，其倍数相等。
但根据假设，
AE是CF的倍量，AB是CD的倍量，其倍数相等；
因此，EB是FD的倍量，AB是CD的倍量，其倍数相等。
也就是说，余量EB是余量FD的倍量，整个AB是整个CD的倍量，其倍数相等。
这就是所要证明的。
命题06
若两个量是另外两个量的等倍量，而且从前两个量中减去后两个量的任何等倍量，则剩余的两个量要么与后两个量相等，要么是它们的等倍量。
If two magnitudes be equimultiples of two magnitudes, and any magnitudes subtracted from them be equimultiples of the same, the remainders also are either equal to the same or equimultiples of them.
?
设两个量AB、CD是两个量E、F的等倍量，
从前两个量中减去两个量E、F的等倍量AG、CH；
我说，余量GB、HD要么等于E、F，要么是它们的等倍量。
首先设GB等于E；
我说，HD也等于F。
这是因为，作CK等于F。
由于AG是E的倍量，CH是F的倍量，其倍数相等，
而GB等于E，KC等于F，
因此，AB是E的倍量，KH是F的倍量，其倍数相等。
［V. 2］
但根据假设，AB是E的倍量，CD是F的倍量，其倍数相等；
因此，KH是F的倍量，CD是F的倍量，其倍数相等。
于是，由于量KH、CD中的每一个都是F的等倍量，
因此，KH等于CD。
从它们中各减去CH；
因此，余量KC等于余量HD。
但F等于KC；
因此，HD也等于F。
因此，如果GB等于E，那么HD也等于F。
类似地，可以证明，即使GB是E的倍量，HD也是F的等倍量。
这就是所要证明的。
命题07
等量比同一个量，其比相同；同一个量比等量，其比相同。
Equal magnitudes have to the same the same ratio, as also has the same to equal magnitudes.
?
设A、B是等量，C是另一个任意的量。
我说，量A、B中的每一个比量C，其比相同；C比量A、B中的每一个，其比相同。
取A、B的等倍量D、E，
以及取另一个量C的倍量F，
于是，由于D是A的倍量，E是B的倍量，其倍数相等，而A等于B，
因此，D等于E。
但F是另一个任意的量。
因此，如果D大于F，那么E也大于F，
如果D等于F，那么E也等于F；
如果D小于F，那么E也小于F。
由于D、E是A、B的等倍量，
而F是C的另一个任意的倍量；
因此，A比C如同B比C。
［V. 定义5］
其次我说，C比量A、B中的每一个，其比相同。
这是因为，同样作图，可以类似地证明，D等于E；
而F是另外某个量。
因此，如果F大于D，那么F也大于E，
如果F等于D，那么F也等于E；
如果F小于D，那么F也小于E。
由于F是C的倍量，
而D、E是A、B的另外的等倍量；
因此，C比A如同C比B。
［V. 定义5］
这就是所要证明的。
推论由此显然可得，如果任意几个量成比例，则它们的反比例也成立。
命题08
两个不等的量比同一个量，较大量比这个量大于较小量比这个量；这个量比较小量大于这个量比较大量。
Of unequal magnitudes, the greater has to the same a greater ratio than the less has; and the same has to the less a greater ratio than it has to the greater.
?
设AB、C是不等的量，且AB较大；
而D是另一个任意的量；
我说，AB比D大于C比D，D比C大于D比AB。
这是因为，由于AB大于C，取BE等于C；
于是，把量AE、EB中较小的量若干倍以后，它大于D。
［V. 定义4］
［情况1］
首先，设AE小于EB；
把AE若干倍，设FG是AE的倍量，且大于D；
于是，FG是AE的多少倍，就取GH是EB的多少倍，取K是C的同样多少倍；
又取L是D的二倍，M是D的三倍，并且逐个加倍，直到所取的D的倍量首次大于K。
设它已经取定为N，并且是D的四倍，这是首次大于K的倍量。
于是，由于K首次小于N，
因此，K不小于M。
又，由于FG是AE的倍量，GH是EB的倍量，其倍数相等，
因此，FG是AE的倍量，FH是AB的倍量，其倍数相等。
［V. 1］
但FG是AE的倍量，K是C的倍量，其倍数相等；
因此，FH是AB的倍量，K是C的倍量，
其倍数相等；
因此，FH、K是AB、C的等倍量。
又，由于GH是EB的倍量，K是C的倍量，其倍数相等，
且EB等于C，
因此，GH等于K。
但K不小于M；
因此，GH也不小于M。
又，FG大于D；
因此，整个FH大于D、M之和。
但D、M之和等于N，
这是因为M是D的三倍，M、D之和是D的四倍，而N也是D的四倍；
因此，M、D之和等于N。
但FH大于M、D之和；
因此，FH大于N，
而K不大于N。
又，FH、K是AB、C的等倍量，而N是D的另一个任意的倍量；
因此，AB比D大于C比D。
［V. 定义7］
其次我说，D比C也大于D比AB。
这是因为，同样作图，可以类似地证明，N大于K，而N不大于FH。
又，N是D的倍量，
而FH、K是AB、C的另外的任意的等倍量；
因此，D比C大于D比AB。
［V. 定义7］
［情况2］
又，设AE大于EB。
于是，把较小的量EB若干倍以后，它大于D。
［V. 定义4］
设加倍后的GH是EB的倍量且大于D；
把EB若干倍，设GH是EB的倍量，且大于D；
GH是EB的多少倍，就取FG是AE的多少倍，取K是C的同样倍数；
于是可以类似地证明，FH、K是AB、C的等倍量；
而且类似地，取N是首次大于FG的D的倍量，
这样，FG不再小于M。
但GH大于D；
因此，整个FH大于D、M之和，即大于N。
现在，K不大于N，因为大于GH即大于K的FG也不大于N。
用相同的方式，根据以上论证，我们可以把证明补全。
这就是所要证明的。
命题09
与同一个量有相同比的几个量彼此相等；同一个量与之有相同比的几个量彼此相等。
Magnitudes which have the same ratio to the same are equal to one another; and magnitudes to which the same has the same ratio are equal.
?
设量A、B中的每一个都与C有相同的比；
我说，A等于B。
因为否则的话，量A、B中的每一个与C没有相同的比；
［V. 8］
但它们与C有相同的比；
因此，A等于B。
又设C与量A、B中的每一个都有相同的比；
我说，A等于B。
因为否则的话，C与量A、B中的每一个没有相同的比；
［V. 8］
但它与量A、B有相同的比；
因此，A等于B。
这就是所要证明的。
命题10
几个量比同一个量，有较大比的量较大；同一个量比几个量，有较大比的量较小。
Of magnitudes which have a ratio to the same, that which has a greater ratio is greater; and that to which the same has a greater ratio is less.
?
设A比C大于B比C；
我说，A大于B。
因为否则的话，要么A等于B，要么A小于B。
现在，A不等于B；
因为在这种情况下，A、B与C有相同的比；
［V. 7］
但它们并没有相同的比；
因此，A不等于B。
又，A也不小于B；
因为在这种情况下，A比C小于B比C；
［V. 8］
实际上A比C并不小于B比C；
因此，A不小于B。
又，已证明，A不等于B；
因此，A大于B。
又，设C比B大于C比A；
我说，B小于A。
否则，要么B等于A，要么B大于A。
现在，B不等于A；
因为在这种情况下，C与量A、B中的每一个有相同的比；
［V. 7］
但C与量A、B中的每一个并没有相同的比；
因此，A不等于B。
又，B也不大于A；
因为在这种情况下，C比B小于C比A；
［V. 8］
但C比B并不小于C比A；
因此，B不大于A。
又，已证明，B也不等于A；
因此，B小于A。
这就是所要证明的。
命题11
与同一个比相同的比也彼此相同。
Ratios which are the same with the same ratio are also the same with one another.
?
设A比B如同C比D，C比D如同E比F；
我说，A比B如同E比F。
这是因为，取A、C、E的等倍量为G、H、K，并取B、D、F的任意等倍量为L、M、N。
于是，由于A比B如同C比D，
并且已取A、C的等倍量G、H，
以及B、D的等倍量L、M，
因此，如果G大于L，那么H也大于M，
如果G等于L，那么H也等于M，
如果G小于L，那么H也小于M。
又，由于C比D如同E比F，
并且已取C、E的等倍量H、K，
以及D、F的等倍量M、N，
因此，如果H大于M，那么K也大于N，
如果H等于M，那么K也等于N，
如果H小于M，那么K也小于N。
但我们看到，如果H大于M，那么G也大于L；
如果H等于M，那么G也等于L；如果H小于M，那么G也小于L；
因此，
如果G大于L，那么K也大于N，
如果G等于L，那么K也等于N，
如果G小于L，那么K也小于N。
又，G、K是A、E的等倍量，
而L、N是B、F的其他任意等倍量；
因此，A比B如同E比F。
这就是所要证明的。
命题12
若任意多个量成比例，则前项之一比后项之一如同所有前项之和比所有后项之和。
If any number of magnitudes be propor-tional, as one of the antecedents is to one of the consequents, so will all the antecedents be to all the consequents.
?
设任意多个量A、B、C、D、E、F成比例，因此A比B如同C比D，又如同E比F；
我说，A比B如同A、C、E之和比B、D、F之和。
这是因为，取A、C、E的等倍量G、H、K，
以及B、D、F的其他任意等倍量L、M、N。
于是，由于A比B如同C比D，又如同E比F，
且已取A、C、E的等倍量G、H、K，
以及B、D、F的其他任意等倍量L、M、N，
因此，如果G大于L，那么H也大于M，K也大于N，
如果G等于L，那么H也等于M，K也等于N，
如果G小于L，那么H也小于M，K也小于N；
因此，
如果G大于L，那么G、H、K之和大于L、M、N之和，
如果G等于L，那么G、H、K之和等于L、M、N之和，
如果G小于L，那么G、H、K之和小于L、M、N之和。
现在，G与G、H、K之和是A与A、C、E之和的等倍量，这是因为，如果任意多个量分别是同样多个量的等倍量，那么其中一个量是其中一个量的多少倍，前者之和也是后者之和的多少倍。
［V. 1］
同理，
L与L、M、N之和也是B与B、D、F之和的等倍量；
因此，A比B如同A、C、E之和比B、D、F之和。
［V. 定义5］
这就是所要证明的。
命题13
若第一个量比第二个量与第三个量比第四个量有相同的比，第三个量比第四个量大于第五个量比第六个量，则第一个量比第二个量也大于第五个量比第六个量。
If a first magnitude have to a second the same ratio as a third to a fourth, and the third have to the fourth a greater ratio than a fifth has to a sixth, the first will also have to the second a greater ratio than the fifth to the sixth.
?
设第一个量A比第二个量B与第三个量C比第四个量D有相同的比，
又设第三个量C比第四个量D大于第五个量E比第六个量F；
我说，第一个量A比第二个量B也大于第五个量E比第六个量F。
这是因为，由于C、E有某些等倍量，
且D、F有其他任意等倍量，使得C的倍量大于D的倍量，
而E的倍量不大于F的倍量，
［V. 定义7］
设它们已被取定，
并设G、H是C、E的等倍量，
以及K、L是D、F的其他任意等倍量，使得G大于K，但H不大于L；
且G是C的多少倍，设M也是A的多少倍，
且K是D的多少倍，设N也是B的多少倍。
现在，由于A比B如同C比D，
且已取定A、C的等倍量M、G，
以及B、D的其他任意等倍量N、K，
因此，如果M大于N，那么G也大于K，
如果M等于N，那么G也等于K，
如果M小于N，那么G也小于K。
［V. 定义5］
但G大于K；
因此，M也大于N。
但H不大于L；
且M、H是A、E的等倍量，
且N、L是B、F的其他任意等倍量；
因此，A比B大于E比F。
［V. 定义7］
这就是所要证明的。
命题14
若第一个量比第二个量与第三个量比第四个量有相同的比，且第一个量大于第三个量，则第二个量也大于第四个量；若第一个量等于第三个量，则第二个量也等于第四个量；若第一个量小于第三个量，则第二个量也小于第四个量。
If a first magnitude have to a second the same ratio as a third has to a fourth, and the first be greater than the third, the second will also be greater than the fourth; if equal, equal; and if less, less.
?
设第一个量A比第二个量B与第三个量C比第四个量D有相同的比；又设A大于C；
我说，B也大于D。
这是因为，由于A大于C，且B是其他任意的量，
因此，A比B大于C比B。
［V. 8］
但A比B如同C比D；
因此，C比D大于C比B。
［V. 13］
但同一个量比几个量，有较大比的量较小，
［V. 10］
因此，D小于B；
因此，B大于D。
类似地，可以证明，如果A等于C，那么B也等于D；
如果A小于C，那么B也小于D。
这就是所要证明的。
命题15
部分与部分之比以相应的次序如同其等倍量之比。
Parts have the same ratio as the same mul-tiples of them taken in corresponding order.
?
设AB是C的倍量，DE是F的倍量，其倍数相等；
我说，C比F如同AB比DE。
这是因为，由于AB是C的倍量，DE是F的倍量，其倍数相等，因此，AB中有多少个等于C的量，DE中就有多少个等于F的量。
设AB被分成等于C的量AG、GH、HB，
DE被分成等于F的量DK、KL、LE；
于是，量AG、GH、HB的个数等于量DK、KL、LE的个数。
又，由于AG、GH、HB彼此相等，
DK、KL、LE也彼此相等，
因此，AG比DK如同GH比KL，也如同HB比LE。
［V. 7］
因此，前项之一比后项之一如同所有前项之和比所有后项之和；
［V. 12］
因此，AG比DK如同AB比DE。
但AG等于C，DK等于F；
因此，C比F如同AB比DE。
这就是所要证明的。
命题16
若四个量成比例，则它们的更比例也成立。
If four magnitudes be proportional, they will also be proportional alternately.
?
设A、B、C、D是四个成比例的量，因此A比B如同C比D；
我说，它们的更比例也成立［V. 定义12］，即A比C如同B比D。
这是因为，取A、B的等倍量E、F，
以及C、D的其他任意等倍量G、H。
于是，由于E是A的倍量，F是B的倍量，其倍数相等，
且部分与部分之比如同其等倍量之比，
［V. 15］
因此，A比B如同E比F。
但A比B如同C比D；
因此也有，C比D如同E比F。
［V. 11］
又，由于G、H是C、D的等倍量，
因此，C比D如同G比H。
［V. 15］
但C比D如同E比F；
因此也有，E比F如同G比H。
［V. 11］
但如果四个量成比例，且第一个量大于第三个量，那么第二个量也大于第四个量；
如果第一个量等于第三个量，那么第二个量也等于第四个量；
如果第一个量小于第三个量，那么第二个量也小于第四个量。
［V. 14］
因此，如果E大于G，那么F也大于H，如果E等于G，那么F也等于H；
如果E小于G，那么F也小于H。
现在，E、F是A、B的等倍量，
且G、H是C、D的其他任意等倍量；
因此，A比C如同B比D。
［V. 定义5］
这就是所要证明的。
命题17
若几个量成合比例，则它们的分比例也成立。
If magnitudes be proportional componendo, they will also be proportional separando.
?
设AB、BE、CD、DF是成合比例的量［V. 定义14］，因此AB比BE如同CD比DF；
我说，它们的分比例也成立［V. 定义15］，即AE比EB如同CF比FD。
这是因为，取AE、EB、CF、FD的等倍量GH、HK、LM、MN，
以及EB、FD的其他任意等倍量KO、NP。
于是，由于GH是AE的倍量，HK是EB的倍量，其倍数相等，
因此，GH是AE的倍量，GK是AB的倍量，其倍数相等。
［V. 1］
但GH是AE的倍量，LM是CF的倍量，其倍数相等；
因此，GK是AB的倍量，LM是CF的倍量，其倍数相等。
又，由于LM是CF的倍量，MN是FD的倍量，其倍数相等，
因此，LM是CF的倍量，LN是CD的倍量，其倍数相等。
［V. 1］
但LM是CF的倍量，GK是AB的倍量，其倍数相等；
因此，GK是AB的倍量，LN是CD的倍量，其倍数相等。
因此，GK、LN是AB、CD的等倍量。
又，由于HK是EB的倍量，MN是FD的倍量，其倍数相等，
且KO也是EB的倍量，NP是FD的倍量，其倍数相等，
因此，和HO也是EB的倍量，MP是FD的倍量，其倍数相等。
［V. 2］
又，由于AB比BE如同CD比FD，
且已取AB、CD的等倍量GK、LN，
以及EB、FD的等倍量HO、MP，
因此，如果GK大于HO，那么LN也大于MP，
如果GK等于HO，那么LN也等于MP，
如果GK小于HO，那么LN也小于MP。
设GK大于HO；
于是，如果从它们中各减去HK，那么
GH也大于KO。
但我们看到，如果GK大于HO，那么LN也大于MP；
因此，LN也大于MP，
又，如果从它们中各减去MN，那么
LM也大于NP；
因此，如果GH大于KO，那么LM也大于NP。
类似地，可以证明，
如果GH等于KO，那么LM也等于NP，
如果GH小于KO，那么LM也小于NP。
又，GH、LM是AE、CF的等倍量，
而KO、NP是EB、FD的其他任意等倍量；
因此，AE比EB如同CF比FD。
这就是所要证明的。
命题18
若几个量成分比例，则它们的合比例也成立。
If magnitudes be proportional separando, they will also be proportional componendo.
?
设AE、EB、CF、FD是成分比例的量［V. 定义15］，因此AE比EB如同CF比FD；
我说，它们的合比例也成立［V. 定义14］，即AB比BE如同CD比DF。
这是因为，如果CD比DF不如同AB比BE，
那么，AB比BE如同CD比某个小于DF或大于DF的量。
首先，设在那个比中，它是一个小于DF的量DG。
于是，由于AB比BE如同CD比DG，所以
它们是成合比例的量；
因此，它们的分比例也成立。
［V. 17］
因此，AE比EB如同CG比GD。
但根据假设也有，
AE比EB如同CF比FD。
因此也有，CG比GD如同CF比FD。
［V. 11］
但第一个量CG大于第三个量CF；
因此，第二个量GD也大于第四个量FD。
［V. 14］
但GD也小于FD：这是不可能的。
因此，AB比BE不如同CD比一个小于DF的量。
类似地，可以证明，在那个比中，它也不是一个大于FD的量；
因此，在那个比例中，它是FD自身。
这就是所要证明的。
命题19
若整个比整个如同减去的部分比减去的部分，则剩余比剩余也如同整个比整个。
If, as a whole is to a whole, so is a part subtracted to a part subtracted, the remainder will also be to the remainder as whole to whole.
?
设整个AB比整个CD如同减去的部分AE比减去的部分CF；
我说，剩余的EB比剩余的FD也如同整个AB比整个CD。
这是因为，由于AB比CD如同AE比CF，所以
它们的更比例也成立，BA比AE如同DC比CF。
［V. 16］
又，由于这些量成合比例，所以它们的分比例也成立，
［V. 17］
即BE比EA如同DF比FC，
又，取更比例，
BE比DF如同EA比FC。
［V. 16］
但根据假设，AE比CF如同整个AB比整个CD。
因此也有，剩余的EB比剩余的FD如同整个AB比整个CD。
［V. 11］
这就是所要证明的。
＜推论?由此显然可得，若这些量成合比例［V. 定义14］，则它们的换比例也成立［V. 定义16］。＞
命题20
如果有三个量，又有个数与之相等的另外三个量，它们两两成相同的比，若按照首末比例第一个量大于第三个量，则第四个量也大于第六个量；若第一个量等于第三个量，则第四个量也等于第六个量；若第一个量小于第三个量，则第四个量也小于第六个量。
If there be three magnitudes, and others equal to them in multitude, which taken two and two are in the same ratio, and if ex aequali the first be greater than the third, the fourth will also be greater than the sixth; if equal, equal; and, if less, less.
?
设有三个量A、B、C，又有个数与之相等的另外三个量D、E、F，它们两两成相同的比，因此，
A比B如同D比E，
且
B比C如同E比F；
又设按照首末比例A大于C；
我说，D也大于F；
如果A等于C，那么D也等于F；如果A小于C，那么D也小于F。
这是因为，由于A大于C，
且B是另外的某个量，
且两个不等的量比同一个量，较大量比这个量大于较小量比这个量，
［V. 8］
因此，A比B大于C比B。
但A比B如同D比E，
且根据逆比例，C比B如同F比E；
因此，D比E也大于F比E。
［V. 13］
但几个量比同一个量，有较大比的量较大；
［V. 10］
因此，D大于F。
类似地，可以证明，如果A等于C，那么D也等于F；如果A小于C，那么D也小于F。
这就是所要证明的。
命题21
如果有三个量，又有个数与之相等的另外三个量，它们两两成相同的比，而且它们成调动比例，那么若按照首末比例第一个量大于第三个量，则第四个量也大于第六个量；若第一个量等于第三个量，则第四个量也等于第六个量；若第一个量小于第三个量，则第四个量也小于第六个量。
If there be three magnitudes, and others equal to them in multitude, which taken two and two together are in the same ratio, and the proportion of them be perturbed, then, if ex aequali the first magnitude is greater than the third, the fourth will also be greater than the sixth; if equal, equal; and if less, less.
?
设有三个量A、B、C，又有个数与之相等的另外三个量D、E、F，它们两两成相同的比，并设它们成调动比例［V. 定义18］，因此，
A比B如同E比F，
且
B比C如同D比E，
又设按照首末比例A大于C；
我说，D也大于F；
如果A等于C，那么D也等于F；如果A小于C，那么D也小于F。
这是因为，由于A大于C，且B是另外的某个量，
因此，A比B大于C比B。
［V. 8］
但A比B如同E比F，
且根据逆比例，C比B如同E比D。
因此，E比F也大于E比D。
［V. 13］
但同一个量比几个量，有较大比的量较小；
［V. 10］
因此，F小于D；
因此，D大于F。
类似地，可以证明，如果A等于C，那么D也等于F；如果A小于C，那么D也小于F。
这就是所要证明的。
命题22
若有任意多个量，又有个数与之相等的另外几个量，它们两两成相同的比，则它们的首末比例也成立。
If there be any number of magnitudes whatever, and others equal to them in multitude, which taken two and two together are in the same ratio, they will also be in the same ratio ex aequali.
?
设有任意多个量A、B、C；又有个数与之相等的另外三个量D、E、F，它们两两成相同的比，因此，
A比B如同D比E，
且
B比C如同E比F；
我说，它们的首末比例也成立［V. 定义17］，
［即A比C如同D比F］。
这是因为，取A、D的等倍量G、H，
以及B、E的其他任意等倍量K、L；
以及C、F的其他任意等倍量M、N。
于是，由于A比B如同D比E，
且已取A、D的等倍量G、H，
以及B、E的其他任意等倍量K、L，
因此，G比K如同H比L。
［V. 4］
同理也有，
K比M如同L比N。
于是，由于有三个量G、K、M，又有个数与之相等的另外三个量H、L、N，它们两两成相同的比，
因此，按照首末比例，如果G大于M，那么H也大于N；
如果G等于M，那么H也等于N。
如果G小于M，那么H也小于N。
［V. 20］
又，G、H是A、D的等倍量，
且M、N是C、F的其他任意等倍量。
因此，A比C如同D比F。
［V. 定义5］
这就是所要证明的。
命题23
若有三个量，又有个数与之相等的另外三个量，它们两两成相同的比，且成调动比例，则它们的首末比例也成立。
If there be three magnitudes, and others equal to them in multitude, which taken two and two together are in the same ratio, and the proportion of them be perturbed, they will also be in the same ratio ex aequali.
?
设有三个量A、B、C，又有个数与之相等的另外三个量D、E、F，它们两两成相同的比；并设它们成调动比例［V. 定义18］，因此，
A比B如同E比F，
且
B比C如同D比E；
我说，A比C如同D比F。
取A、B、D的等倍量G、H、K，
以及C、E、F的其他任意等倍量L、M、N。
于是，由于G、H是A、B的等倍量，
且部分与部分之比如同其等倍量之比，
［V. 15］
因此，A比B如同G比H。
同理也有，
E比F如同M比N。
且A比B如同E比F；
因此也有，G比H如同M比N。
［V. 11］
其次，由于B比C如同D比E，
其更比例为，B比D如同C比E。
［V. 16］
又，由于H、K是B、D的等倍量，
且部分与部分之比如同其等倍量之比，
因此，B比D如同H比K。
［V. 15］
但B比D如同C比E；
因此也有，H比K如同C比E。
［V. 11］
又，由于L、M是C、E的等倍量，
因此，C比E如同L比M。
［V. 15］
但C比E如同H比K；
因此也有，H比K如同L比M，
［V. 11］
其更比例为，H比L如同K比M。
［V. 16］
但已证明，
G比H如同M比N。
于是，由于有三个量G、H、L，又有个数与之相等的另外三个量K、M、N，它们两两成相同的比，且它们成调动比例，
因此，按照首末比例，如果G大于L，那么K也大于N；
如果G等于L，那么K也等于N；
如果G小于L，那么K也小于N。
［V. 21］
又，G、K是A、D的等倍量，
且L、N是C、F的等倍量。
因此，A比C如同D比F。
这就是所要证明的。
命题24
若第一个量比第二个量与第三个量比第四个量有相同的比，且第五个量比第二个量与第六个量比第四个量有相同的比，则第一个量与第五个量之和比第二个量，第三个量与第六个量之和比第四个量有相同的比。
If a first magnitude have to a second the same ratio as a third has to a fourth, and also a fifth have to the second the same ratio as a sixth to the fourth, the first and fifth added together will have to the second the same ratio as the third and sixth have to the fourth.
?
设第一个量AB比第二个量C与第三个量DE比第四个量F有相同的比；
且设第五个量BG比第二个量C与第六个量EH比第四个量F有相同的比；
我说，第一个量与第五个量之和AG比第二个量C，第三个量与第六个量之和DH比第四个量F有相同的比。
这是因为，由于BG比C如同EH比F，所以
其反比例为，C比BG如同F比EH。
于是，由于AB比C如同DE比F，
且C比BG如同F比EH，
因此，按照首末比例，AB比BG如同DE比EH。
［V. 22］
又，由于这些量成分比例，所以它们的合比例也成立；
［V. 18］
因此，AG比GB如同DH比HE。
但也有，BG比C如同EH比F；
因此，按照首末比例，AG比C如同DH比F。
［V. 22］
这就是所要证明的。
命题25
若四个量成比例，则最大量与最小量之和大于其余两个量之和。
If four magnitudes be proportional, the greatest and the least are greater than the remaining two.
?
设四个量AB、CD、E、F成比例，因此AB比CD如同E比F，且设AB是它们之中最大的，F是最小的；
我说，AB与F之和大于CD与E之和。
这是因为，取AG等于E，且CH等于F。
由于AB比CD如同E比F，
且E等于AG，F等于CH，
因此，AB比CD如同AG比CH。
又，由于整个AB比整个CD如同减去的部分AG比减去的部分CH，所以
剩余的GB比剩余的HD也如同整个AB比整个CD。
［V. 19］
但AB大于CD；
因此，GB也大于HD。
又，由于AG等于E，且CH等于F，
因此，AG与F之和等于CH与E之和。
既然GB、HD不等，且GB较大，
若把AG、F加在GB上，
并把CH、E加在HD上，
那么可得，AB与F之和大于CD与E之和。
这就是所要证明的。
?
[1]?“连”为希思所加，它在希腊文本中没有对应。当a:b=b:c=c:d时，称a、b、c成“连”比例。（译者注）
[2]?若a:b=c:d，则可“更换地”（alternando）得到a:c=b:d，如命题V. 16所证明的。（译者注）
[3]?若a:b=c:d，则可“相反地”（invertendo）得到b:a=d:c，如命题V. 7推论所证明的。（译者注）
[4]?若a:b=c:d，则可通过复合（componendo）而得到(a+b):b=(c+d):d。见命题V. 17和V. 18。（译者注）
[5]?若a:b=c:d，则可通过分离（separando）而得到(a-b):b=(c-d):d。见命题V. 17和V. 18。（译者注）
[6]?若a:b=c:d，则可通过转换（convertendo）而得到a:(a-b) =c:(c-d)。见命题V. 19。（译者注）
[7]?若a:b=d:e，且b:c=e:f，则可通过等距［ex aequali （distantia）］而得到比例a:c=d:f。按照字面含义，“首末比例”或可译为“等距比例”。（译者注）
[8]?若a:b=e:f，且b:c=d:e，则称此时的比例a:c=d:f为调动的。这里，比例a:c=d:f也是通过首末比例而得到的，如命题V. 23所证明的。（译者注）
