定义?Definitions
01 / 当一直线形的各角分别位于另一直线形的各边上时，则称这一直线形内接于后一直线形。
A rectilineal figure is said to be?inscribed in a rectilineal figure?when the respective angles of the inscribed figure lie on the respective sides of that in which it is inscribed.
02 / 类似地，当一个图形的各边经过另一图形的各角时，则称前一图形外接于后一图形。
Similarly a figure is said to be?circumscribed about a figure?when the respective sides of the circumscribed figure pass through the respective angles of that about which it is circumscribed.
03 / 当一直线形的每个角都位于一个圆的圆周上时，则称这一直线形内接于圆。
A rectilineal figure is said to be?inscribed in a circle?when each angle of the inscribed figure lies on the circumference of the circle.
04 / 当一直线形的每条边都与一个圆的圆周相切时，则称这一直线形外切于圆。
A rectilineal figure is said to be?circumscribed about a circle, when each side of the circumscribed figure touches the circumference of the circle.
05 / 类似地，当一个圆的圆周与一个图形的每条边相切时，则称这个圆内切于这个图形。
Similarly a circle is said to be?inscribed in a figure?when the circumference of the circle touches each side of the figure in which it is inscribed.
06 / 当一个圆的圆周经过一个图形的每个角时，则称这个圆外接于这个图形。
A circle is said to be?circumscribed about a figure?when the circumference of the circle passes through each angle of the figure about which it is circumscribed.
07 / 当一直线的端点在一个圆的圆周上时，则称这一直线被纳入这个圆。
A straight line is said to be?fitted into a circle?when its extremities are on the circumference of the circle.
命题?Proposition
命题01
将一条等于给定直线的直线纳入一个给定的圆，此给定直线不大于圆的直径。
Into a given circle to fit a straight line equal to a given straight line which is not greater than the diameter of the circle.
?
设ABC是给定的圆，D是不大于该圆直径的给定直线；
于是，要求将一条等于直线D的直线纳入圆ABC。
作圆ABC的直径BC。
于是，如果BC等于D，那么所要求的就已经作出了；因为等于直线D的BC已经被纳入圆ABC。
但如果BC大于D，取CE等于D，
以C为圆心、以CE为距离作圆EAF；
连接CA。
于是，由于点C是圆EAF的圆心，所以
CA等于CE。
但CE等于D；
因此，D也等于CA。
这样便将一条等于给定直线D的直线CA纳入了给定的圆ABC。
这就是所要作的。
命题02
作给定圆的内接三角形与给定的三角形等角。
In a given circle to inscribe a triangle equiangular with a given triangle.
?
设ABC是给定的圆，DEF是给定的三角形；
于是，要求作圆ABC的内接三角形使之与三角形DEF等角。
在点A处作GH与圆ABC相切；
［III. 16 推论］
在直线AH上的点A作角HAC等于角DEF，
在直线AG上的点A作角GAB等于角DFE；
［I. 23］
连接BC。
于是，由于直线AH与圆ABC相切，
且从切点A在圆内作直线AC与圆相截，
因此，角HAC等于另一弓形上的角ABC。
［III. 32］
但角HAC等于角DEF；
因此，角ABC也等于角DEF。
同理，
角ACB也等于角DFE；
因此，余下的角BAC也等于余下的角EDF。
［I. 32］
这样便作出了给定圆的内接三角形与给定的三角形等角。
这就是所要作的。
命题03
作给定圆的外切三角形与给定的三角形等角。
About a given circle to circumscribe a triangle equiangular with a given triangle.
?
设ABC是给定的圆，DEF是给定的三角形，
于是，要求作圆ABC的外切三角形与三角形DEF等角。
沿两个方向将EF延长到点G、H，
取圆ABC的圆心K，
［III. 1］
作任意直线KB与圆相截；
在直线KB上的点K作角BKA等于角DEG，
且角BKC等于角DFH；
［I. 23］
过点A、B、C作LAM、MBN、NCL与圆ABC相切。
现在，由于LM、MN、NL与圆ABC相切于点A、B、C，
而KA、KB、KC是从圆心K到点A、B、C的连线，
因此，点A、B、C处的角是直角。
［III. 18］
又，由于四边形AMBK的四个角之和等于四直角，因为AMBK事实上可以分成两个三角形，
且角KAM、KBM是直角，
因此，余下的角AKB、AMB之和等于两直角。
而角DEG、DEF之和也等于两直角；
［I. 13］
因此，角AKB、AMB之和等于角DEG、DEF之和，
其中角AKB等于角DEG；
因此，余下的角AMB等于余下的角DEF。
类似地，可以证明，角LNB也等于角DFE；
因此，余下的角MLN等于角EDF。
［I. 32］
因此，三角形LMN与三角形DEF等角；
且它外切于圆ABC。
这样便作出了给定圆的外切三角形与给定的三角形等角。
这就是所要作的。
命题04
作给定三角形的内切圆。
In a given triangle to inscribe a circle.
?
设ABC是给定的三角形；
于是，要求作三角形ABC的内切圆。
设角ABC、ACB分别被直线BD、CD二等分，
［I. 9］
且BD、CD相交于点D；
从D作DE、DF、DG垂直于直线AB、BC、CA。
现在，由于角ABD等于角CBD，
且直角BED等于直角BFD，所以
EBD、FBD这两个三角形中有两个角等于两个角，有一边等于一边，即一个等角的对边，就是两三角形公用的边BD；
因此，其余的边也等于其余的边；
［I. 26］
因此，DE等于DF。
同理，
DG也等于DF。
因此，三条直线DE、DF、DG彼此相等；
因此，以D为圆心，以DE、DF、DG之一为距离所作的圆会经过其余的点，并与直线AB、BC、CA相切，这是因为点E、F、G处的角是直角。
事实上，如果圆不与这些直线相交，那么从圆的直径的端点所作的与直径成直角的直线就会落在圆内：
已经证明，这是荒谬的；
［III. 16］
因此，以D为圆心，以直线DE、DF、DG之一为距离所作的圆不会与直线AB、BC、CA相截。
因此，与它们相切的圆，即是三角形ABC的内切圆。
［IV. 定义5］
设内切圆是FGE。
这样便作出了给定三角形ABC的内切圆EFG。
这就是所要作的。
命题05
作给定三角形的外接圆。
About a given triangle to circumscribe a circle.
?
设ABC是给定的三角形；
于是，要求作给定的三角形ABC的外接圆。
设直线AB、AC被二等分于点D、E，
［I. 10］
从点D、E作DF、EF与AB、AC成直角；
它们交于三角形ABC内、直线BC上或BC之外。
首先，设它们交于三角形内的F，连接FB、FC、FA如图一。
于是，由于AD等于DB，
且DF公用，又成直角，
因此，底AF等于底FB。
［I. 4］
类似地，可以证明，CF也等于AF；
因此，FB也等于FC；
因此，三直线FA、FB、FC彼此相等。
因此，以F为圆心，以直线FA、FB、FC之一为距离所作的圆也经过其余的点，这个圆外接于三角形ABC。
设这个外接圆是ABC。
其次，设DF、EF交于直线BC上的F，如图二；连接AF。
于是，类似地可以证明，点F是三角形ABC外接圆的圆心。
最后，设DF、EF交于三角形外部的F，如图三；连接AF、BF、CF。
于是同样，由于AD等于DB，
且DF公用，又成直角；
因此，底AF等于底BF。
［I. 4］
类似地，可以证明，CF也等于AF；
因此，BF也等于FC；
因此，以F为圆心，以直线FA、FB、FC之一为距离所作的圆也经过其余的点，这个圆外接于三角形ABC。
这样便作出了给定三角形的外接圆。
这就是所要作的。
显然，当圆心落在三角形内时，角BAC在一个大于半圆的弓形中，它小于一直角；
当圆心落在直线BC上时，角BAC在一个半圆中，是直角；
当圆心落在三角形外时，角BAC在一个小于半圆的弓形中，它大于一直角。
［III. 31］
命题06
作给定圆的内接正方形。
In a given circle to inscribe a square.
?
设ABCD是给定的圆；
于是，要求作圆ABCD的内接正方形。
作圆ABCD的两条直径AC、BD彼此成直角，连接AB、BC、CD、DA，
于是，由于E是圆心，BE等于ED，EA公用且与它们成直角，所以
底AB等于底AD。
［I. 4］
同理，
直线BC、CD中的每一条等于直线AB、AD中的每一条；
因此，四边形ABCD是等边的。
其次我说，它是直角的。
这是因为，由于直线BD是圆ABCD的直径，
因此，BAD是半圆；
因此，角BAD是直角。
［III. 31］
同理，
角ABC、BCD、CDA中的每一个也是直角；
因此，四边形ABCD是直角的。
但已证明，它是等边的；
因此，它是一个正方形；
［I. 定义22］
且内接于圆ABCD。
这样便作出了给定圆的内接正方形ABCD。
这就是所要作的。
命题07
作给定圆的外切正方形。
About a given circle to circumscribe a square.
?
设ABCD是给定的圆；
于是，要求作圆ABCD的外切正方形。
作圆ABCD的两条直径AC、BD彼此成直角，过点A、B、C、D作FG、GH、HK、KF与圆ABCD相切。
［III. 16 推论］
于是，由于FG与圆ABCD相切，
从圆心E到切点A连接成EA，所以
A处的角是直角。
［III. 18］
同理，
点B、C、D处的角也是直角。
现在，由于角AEB是直角，
且角EBG也是直角，
因此，GH平行于AC。
［I. 28］
同理，
AC也平行于FK，
因此，GH也平行于FK。
［I. 30］
类似地，可以证明，
直线GF、HK中的每一条都平行于BED。
因此，GK、GC、AK、FB、BK是平行四边形；
因此，GF等于HK，GH等于FK。
［I. 34］
又，由于AC等于BD，
且AC也等于直线GH、FK中的每一条，
而BD等于直线GF、HK中的每一条，
［I. 34］
因此，四边形FGHK是等边的。
其次我说，它也是直角的。
这是因为，由于GBEA是平行四边形，
且角AEB是直角，
因此，角AGB也是直角。
［I. 34］
类似地，可以证明，
H、K、F处的角也是直角。
因此，FGHK是直角的。
但已证明，它是等边的；
因此，它是一个正方形；
且外切于圆ABCD。
这样便作出了给定圆的外切正方形。
这就是所要作的。
命题08
作给定正方形的内切圆。
In a given square to inscribe a circle.
设ABCD是给定的正方形；
于是，要求作给定正方形ABCD的内切圆。
设直线AD、AB分别被二等分于点E、F，
［I. 10］
过E作EH平行于AB或CD，过F作FK平行于AD或BC；
［I. 31］
因此，图形AK、KB、AH、HD、AG、GC、BG、GD中的每一个都是平行四边形，它们的对边显然相等。
［I. 34］
现在，由于AD等于AB，
且AE是AD的一半，AF是AB的一半，
因此，AE等于AF，
因此，对边也相等；
因此，FG等于GE。
类似地，可以证明，直线GH、GK中的每一个等于直线FG、GE中的每一个；
因此，四条直线GE、GF、GH、GK彼此相等。
因此，以G为圆心，以直线GE、GF、GH、GK之一为距离所作的圆也经过其余各点。
又，它与直线AB、BC、CD、DA相切，这是因为E、F、H、K处的角是直角。
这是因为，若这个圆与AB、BC、CD、DA相截，则从圆的直径的端点所作的与直径成直角的直线落在圆内：
已经证明这是荒谬的；
［III. 16］
因此，以G为圆心，以直线GE、GF、GH、GK之一为距离所作的圆不会与直线AB、BC、CD、DA相截。
因此，这个圆与它们相切，即内切于正方形ABCD。
这样便作出了给定正方形的内切圆。
这就是所要作的。
命题09
作给定正方形的外接圆。
About a given square to circumscribe a circle.
设ABCD是给定的正方形；
于是，要求作给定正方形ABCD的外接圆。
连接AC、BD，设它们交于E。
于是，由于DA等于AB，且AC公用，
因此，两边DA、AC等于两边BA、AC；
而底DC等于底BC；
因此，角DAC等于角BAC。
［I. 8］
因此，角DAB被AC二等分。
类似地，可以证明，角ABC、BCD、CDA中的每一个被直线AC、DB二等分。
现在，由于角DAB等于角ABC，
且角EAB是角DAB的一半，
角EBA是角ABC的一半，
因此，角EAB也等于角EBA；
因此，边EA也等于边EB。
［I. 6］
类似地，可以证明，直线EA、EB中的每一个等于直线EC、ED中的每一个。
因此，四条直线EA、EB、EC、ED彼此相等。
因此，以E为圆心，以直线EA、EB、EC、ED之一为距离所作的圆也会经过其余各点；
它外接于正方形ABCD。
设外接圆是ABCD。
这样便作出了给定正方形的外接圆。
这就是所要作的。
命题10
作一个等腰三角形，使它的每一个底角都是顶角的二倍。
To construct an isosceles triangle having each of the angles at the base double of the remaining one.
?
任取一条直线AB，设它被点C所截，使得AB、BC所围成的矩形等于CA上的正方形；
［II. 11］
以A为圆心、AB为距离作圆BDE，
将等于直线AC的直线BD纳入圆BDE，使它不大于圆BDE的直径。
［IV. 1］
连接AD、DC，设圆ACD外接于三角形ACD。
［IV. 5］
于是，由于矩形AB、BC等于AC上的正方形，
且AC等于BD，
因此，矩形AB、BC等于BD上的正方形。
又，由于点B取在圆ACD外，
从B作两条直线BA、BD落在圆ACD上，其中一条与圆相截，另一条落在圆上，
而矩形AB、BC等于BD上的正方形，
因此，BD与圆ACD相切。
［III. 37］
于是，由于BD与它相切，DC是从切点D作的与圆相截的直线，
因此，角BDC等于另一弓形上的角DAC。
［III. 32］
于是，由于角BDC等于角DAC，
给它们分别加上角CDA；
因此，整个角BDA等于两角CDA、DAC之和。
但外角BCD等于角CDA、DAC之和；
［I. 32］
因此，角BDA也等于角BCD。
而角BDA等于角CBD，这是因为边AD也等于AB；
［I. 5］
因此，角DBA也等于角BCD。
因此，三个角BDA、DBA、BCD彼此相等。
又，由于角DBC等于角BCD，所以
边BD也等于边DC。
［I. 6］
但根据假设，BD等于CA；
因此，CA也等于CD，
因此，角CDA也等于角DAC；
［I. 5］
因此，角CDA、DAC之和是角DAC的二倍。
但角BCD等于角CDA、DAC之和；
因此，角BCD也是角CAD的二倍。
但角BCD等于角BDA、DBA中的每一个；
因此，角BDA、DBA中的每一个也是角DAB的二倍。
这样我们便作出了等腰三角形ABD，它在底DB处的每一个角都等于顶角的二倍。
这就是所要作的。
命题11
作给定圆的内接等边等角五边形。
In a given circle to inscribe an equilateral and equiangular pentagon.
?
设ABCDE是给定的圆；
于是，要求作圆ABCDE的内接等边等角五边形。
设等腰三角形FGH在G、H处的每一个角都是F处角的二倍；
［IV. 10］
在圆ABCDE中作一个与三角形FGH等角的内接三角形ACD，使得角CAD等于F处的角，且G、H处的角分别等于角ACD、CDA；
［IV. 2］
因此，角ACD、CDA中的每一个也分别是角CAD的二倍。
现在，设角ACD、CDA分别被直线CE、DB二等分，
［I. 9］
连接AB、BC、DE、EA。
于是，由于角ACD、CDA是角CAD的二倍，
且它们被直线CE、DB二等分，
因此，五个角DAC、ACE、ECD、CDB、BDA彼此相等。
但等角对着相等的圆周；
［III. 26］
因此，五段圆周AB、BC、CD、DE、EA彼此相等。
但相等的圆周对着相等的直线；
［III. 29］
因此，五条直线AB、BC、CD、DE、EA彼此相等；
因此，五边形ABCDE是等边的。
其次我说，它也是等角的。
这是因为，由于圆周AB等于圆周DE，给它们分别加上BCD；
因此，整个圆周ABCD等于整个圆周EDCB。
又，角AED是圆周ABCD所对的，角BAE是圆周EDCB所对的；
因此，角BAE也等于角AED。
［III. 27］
同理，
角ABC、BCD、CDE中的每一个也等于角BAE、AED中的每一个；
因此，五边形ABCDE是等角的。
但已证明，它是等边的；
这样便作出了给定圆的内接等边等角五边形。
这就是所要作的。
命题12
作给定圆的外切等边等角五边形。
About a given circle to circumscribe an equilateral and equiangular pentagon.
?
设ABCDE是给定的圆；
于是，要求作圆ABCDE的外切等边等角五边形。
设A、B、C、D、E是内接五边形的顶点，于是圆周AB、BC、CD、DE、EA相等；
［IV. 11］
过A、B、C、D、E作GH、HK、KL、LM、MG与圆相切；
［III. 16，推论］
取圆ABCDE的圆心F，
［III. 1］
连接FB、FK、FC、FL、FD。
于是，由于直线KL与圆ABCDE相切于C，
从圆心F到切点C连成直线FC，
因此，FC垂直于KL；
［III. 18］
因此，C处的每个角都是直角。
同理，
点B、D处的角也是直角。
又，由于角FCK是直角，
因此，FK上的正方形等于FC、CK上的正方形之和。
［I. 47］
同理，
FK上的正方形也等于FB、BK上的正方形之和；
因此，FC、CK上的正方形之和等于FB、BK上的正方形之和，
其中FC上的正方形等于FB上的正方形；
因此，余下的CK上的正方形等于BK上的正方形。
因此，BK等于CK。
又，由于FB等于FC，
且FK公用，
两边BF、FK等于两边CF、FK；且底BK等于底CK；
因此，角BFK等于角KFC，
［I. 8］
且角BKF等于角FKC。
因此，角BFC是角KFC的二倍，
且角BKC是角FKC的二倍。
同理，
角CFD也是角CFL的二倍，
且角DLC也是角FLC的二倍。
现在，由于圆周BC等于CD，所以
角BFC也等于角CFD。
［III. 27］
而角BFC是角KFC的二倍，角DFC是角LFC的二倍；
因此，角KFC也等于角LFC。
又，角FCK也等于角FCL；
因此，三角形FKC的两个角分别等于三角形FLC的两个角，且前者的一边等于后者的一边，即它们公用的边FC；
因此，它们其余的边也等于其余的边，其余的角也等于其余的角。
［I. 26］
因此，直线KC等于CL，
角FKC等于角FLC。
又，由于KC等于CL，
因此，KL是KC的二倍。
同理，可以证明，
HK也是BK的二倍。
而BK等于KC；
因此，HK也等于KL。
类似地，也可以证明，直线HG、GM、ML中的每一条等于直线HK、KL中的每一条；
因此，五边形GHKLM是等边的。
其次我说，它也是等角的。
这是因为，由于角FKC等于角FLC，
且已证明，角HKL是角FKC的二倍，
角KLM是角FLC的二倍，
因此，角HKL也等于角KLM。
类似的，也可证明，角KHG、HGM、GML中的每一个也等于角HKL、KLM中的每一个；
因此，五个角GHK、HKL、KLM、LMG、MGH彼此相等。
因此，五边形GHKLM是等角的。
前已证明它是等边的；这样便作出了圆ABCDE的外切等边等角五边形。
这就是所要作的。
命题13
作给定等边等角五边形的内切圆。
In a given pentagon, which is equilateral and equiangular, to inscribe a circle.
?
设ABCDE是给定的等边等角五边形；
于是，要求作五边形ABCDE的内切圆。
分别用直线CF、DF将角BCD、CDE二等分，且直线CF、DF相交于点F，连接直线FB、FA、FE。
于是，由于BC等于CD，且CF公用，所以
两边BC、CF等于两边DC、CF；
而角BCF等于角DCF；
因此，底BF等于底DF，
三角形BCF等于三角形DCF，
且其余的角等于其余的角，即等边所夹的那些角。
［I. 4］
因此，角CBF等于角CDF。
又，由于角CDE是角CDF的二倍，且角CDE等于角ABC，而角CDF等于角CBF，
因此，角CBA也是角CBF的二倍；
因此，角ABF等于角FBC；
因此，角ABC被直线BF二等分。
类似地可以证明，角BAE、AED也分别被直线FA、FE二等分。
现在，从点F作FG、FH、FK、FL、FM垂直于直线AB、BC、CD、DE、EA。
于是，由于角HCF等于角KCF，直角FHC也等于角FKC，所以FHC、FKC是有两个角等于两个角且一条边等于一条边的两个三角形，即FC是它们的公共边，并且是一个等角所对的边；
因此，它们其余的边也等于其余的边；
［I. 26］
因此，垂线FH等于垂线FK。
类似地可以证明，直线FL、FM、FG中的每一条也等于直线FH、FK中的每一条；
因此，五条直线FG、FH、FK、FL、FM彼此相等。
因此，以F为圆心，以直线FG、FH、FK、FL、FM之一为距离所作的圆也经过其余各点；而且必定与直线AB、BC、CD、DE、EA相切，因为点G、H、K、L、M处的角都是直角。
这是因为，如果不与之相切，而是与之相截，那么会推出，从圆的直径的端点所作的与直径成直角的直线会落在圆内：而我们已经证明，这是荒谬的。
［III. 16］
因此，以F为圆心，以直线FG、FH、FK、FL、FM之一为距离所作的圆不会与直线AB、BC、CD、DE、EA相截；
因此，它与之相切。
设所作的圆是GHKLM。
这样便在给定的等边等角五边形内作出了内切圆。
这就是所要作的。
?
命题14
作给定等边等角五边形的外接圆。
About a given pentagon, which is equilateral and equiangular, to circumscribe a circle.
?
设ABCDE是给定的等边等角五边形；
于是，要求作五边形ABCDE的外接圆。
设角BCD、CDE分别被直线CF、DF二等分，从两直线的交点F作直线FB、FA、FE与点B、A、E相连。
于是，按照与前面类似的方式可以证明，角CBA、BAE、AED也分别被直线FB、FA、FE二等分。
现在，由于角BCD等于角CDE，
而角FCD是角BCD的一半，
角CDF是角CDE的一半，
因此，角FCD也等于角CDF，
因此，边FC也等于边FD。
［I. 6］
类似地，可以证明，直线FB、FA、FE中的每一条也等于直线FC、FD中的每一条；
因此，五条直线FA、FB、FC、FD、FE彼此相等。
因此，以F为圆心，以FA、FB、FC、FD、FE之一为距离所作的圆也会经过其余的点，并且是外接的。
设这个外接圆是ABCDE。
这样便作出了给定等边等角五边形的外接圆。
这就是所要作的。
命题15
作给定圆的等边等角内接六边形。
In a given circle to inscribe an equilateral and equiangular hexagon.
?
设ABCDEF是给定的圆；
于是，要求作圆ABCDEF的等边等角内接六边形。
作圆ABCDEF的直径AD；
取圆的圆心G，以D为圆心、DG为距离作圆EGCH；
连接EG、CG，并延长到点B、F，
连接AB、BC、CD、DE、EF、FA。
我说，六边形ABCDEF是等边等角的。
这是因为，由于点G是圆ABCDEF的圆心，所以
GE等于GD。
又，由于点D是圆GCH的圆心，所以
DE等于DG。
但已证明，GE等于GD；
因此，GE也等于ED；
因此，三角形EGD是等边的；
因此，它的三个角EGD、GDE、DEG彼此相等，这是因为在等腰三角形中，两底角彼此相等。
［I. 5］
而三角形的三个角之和等于两直角；
［I. 32］
因此，角EGD是两直角的三分之一。
类似地，也可证明，角DGC是两直角的三分之一。
又，由于直线CG与EB所成的邻角EGC、CGB之和等于两直角，
因此，其余的角CGB也是两直角的三分之一。
因此，角EGD、DGC、CGB彼此相等；
因此，它们的对顶角BGA、AGF、FGE相等。
［I. 15］
因此，六个角EGD、DGC、CGB、BGA、AGF、FGE彼此相等。
但等角对着相等的圆周；
［III. 26］
因此，六个圆周AB、BC、CD、DE、EF、FA彼此相等。
而相等的圆周对着相等的直线；
［III. 29］
因此，六条直线彼此相等；
因此，六边形ABCDEF是等边的。
其次我说，它也是等角的。
这是因为，由于圆周FA等于圆周ED，
给它们分别加上圆周ABCD；
因此，整个FABCD等于整个EDCBA；
而角FED在圆周FABCD上，
角AFE在圆周EDCBA上；
因此，角AFE等于角DEF。
［III. 27］
类似地，可以证明，六边形ABCDEF其余的角也分别等于角AFE、FED中的每一个；
因此，六边形ABCDEF是等角的。
但已证明，它也是等边的；
且它内接于圆ABCDEF。
这样便作出了给定圆的等边等角内接六边形。
这就是所要作的。
推论由此显然可得，此六边形的边等于圆的半径。
以和五边形的情况类似的方式，如果过圆上的分点作圆的切线，会得到此圆的一个等边等角外切六边形，这与在五边形的情况下所给出的解释是一致的。
此外，按照与在五边形的情况下所给出的解释类似的方式，我们可以作出给定六边形的内切圆和外接圆。
这就是所要作的。
命题16
作给定圆的等边等角内接十五角形。
In a given circle to inscribe a fifteen-angled figure which shall be both equilateral and equiangular.
?
设ABCD是给定的圆；
于是，要求作圆ABCD的等边等角内接十五角形。
设AC是圆ABCD的内接等边三角形的一边，AB是等边五边形的一边；
因此，在圆ABCD内相等的十五条线段中，本身是此圆三分之一的圆周ABC中有五条，本身是此圆五分之一的圆周AB中有三条；
因此，余下的BC中有两条相等的线段。
设圆周BC被二等分于E；
［III. 30］
因此，圆周BE、EC中的每一个都是圆ABCD的十五分之一。
因此，如果连接BE、EC，并将等于它们的临近直线纳入圆ABCD，即可作出内接于它的等边等角十五角形。
这就是所要作的。
推论以和五边形的情况类似的方式，如果过圆上的分点作圆的切线，会得到此圆的一个等边等角外切十五边形。
此外，按照与在五边形的情况下类似的证明，我们可以作出给定十五角形的内切圆与外接圆。
