第三卷
定义?Definitions
01 /?等圆就是直径或半径相等的圆。
Equal circlesare those the diameters of which are equal, or the radii of which are equal.
02 / 一条直线与一圆相遇且延长后不与该圆相交，则称该直线与圆相切。
A straight line is said to?touch a circle?which, meeting the circle and being produced, does not cut the circle.
03 / 两圆相遇且不相交，则称两圆相切。
Circlesare said to?touch one anotherwhich, meeting one another, do not cut one another.
04 / 当圆心到圆内直线所作的垂线相等时，则称这些直线与圆心等距。
In a circle straight lines are said to be?equally distant from the centre?when the perpendiculars drawn to them from the centre are equal.
05 / 且当垂线较长时，则称这条直线与圆心有较大的距离。
And that straight line is said to be?at a greater distance?on which the greater perpendicular falls.
06 /?弓形是由一条直线和一段圆周所围成的图形。
A?segment?of a circle is the figure contained by a straight line and a circumference of a circle.
07 /?弓形的角是由一条直线和一段圆周所夹的角。
An?angle of a segment?is that contained by a straight line and a circumference of a circle.
08 / 在弓形的圆周上取一点，连接该点和弓形的底的两个端点的两条直线所夹的角叫作弓形上的角。
An?angle in a segment?is the angle which, when a point is taken on the circumference of the segment and straight lines are joined from it to the extremities of the straight line which is the?base of the segment, is contained by the straight lines so joined.
09 / 且当夹这个角的直线与一段圆周相截时，称这个角张在那段圆周上。
And, when the straight lines containing the angle cut off a circumference, the angle is said to?stand upon?that circumference.
10 / 以圆心为顶点作一角，由夹这个角的两条直线与它们所截的圆周所围成的图形叫作扇形。
A?sector of a circle?is the figure which, when an angle is constructed at the centre of the circle, is contained by the straight lines containing the angle and the circumference cut off by them.
11 / 含等角或张在其上的角彼此相等的弓形是相似弓形。
Similar segments of circlesare those which admit equal angles, or in which the angles are equal to one another.
命题?Proposition
命题01
找到给定圆的圆心。
To find the centre of a given circle.
?
设ABC是给定的圆；
于是，要求找到圆ABC的圆心。
任意作直线AB穿过它，设AB被二等分于点D；
从D作DC与AB成直角，且DC过点E；设CE被二等分于F；
我说，F是圆ABC的圆心。
这是因为，假定不是这样，设G是圆心，
连接GA、GD、GB。
于是，由于AD等于DB，且DG公用，所以
两边AD、DG分别等于两边BD、DG；
而底GA等于底GB，因为它们都是半径；
因此，角ADG等于角GDB。
［I. 8］
但是，当一条直线与另一条直线交成的邻角彼此相等时，这些等角中的每一个都是直角；
［I. 定义10］
因此，角GDB是直角。
但角FDB也是直角；
因此，角FDB等于角GDB，
大的等于小的：这是不可能的。
因此，G不是圆ABC的圆心。
类似地，可以证明，除F以外，任何其他点也不可能是圆心。
因此，点F是圆ABC的圆心。
这就是所要作的。
推论由此显然可得，如果圆内一直线把另一直线截成相等的两部分且相交成直角，则这个圆的圆心在该直线上。
命题02
在一个圆的圆周上任取两点，则连接这两点的直线落在圆内。
If on the circumference of a circle two points be taken at random, the straight line joining the points will fall within the circle.
?
设ABC是一个圆，且A、B是在它的圆周上任取的两点；
我说，从A到B连成的直线落在圆内。
这是因为，假定它不落在圆内，如果可能，假定它落在圆外，即AEB；
取圆ABC的圆心［III. 1］，设它是D；
连接DA、DB，作DFE。
于是，由于DA等于DB，所以
角DAE也等于角DBE。
［I. 5］
又，延长三角形DAE的一边AEB，所以
角DEB大于角DAE。
［I. 16］
但角DAE等于角DBE；
因此，角DEB大于角DBE。
而大角对大边；
［I. 19］
因此，DB大于DE。
但DB等于DF；
因此，DF大于DE，
小的大于大的：这是不可能的。
因此，从A到B的直线不会落在圆外。
类似地，可以证明，它也不会落在圆周上；
因此，它落在圆内。
这就是所要证明的。
命题03
在圆内，若一条过圆心的直线将一条不过圆心的直线二等分，则它们相交成直角；又，若它们相交成直角，则前者将后者二等分。
If in a circle a straight line through the centre bisect a straight line not through the centre, it also cuts it at right angles; and if it cut it at right angles, it also bisects it.
?
设ABC是一个圆，圆内的直线CD过圆心且将不过圆心的直线AB二等分于点F；
我说，它们交成直角。
这是因为，取圆ABC的圆心，设它是E；连接EA、EB。
于是，由于AF等于FB，且FE公用，所以
两边等于两边；
而底EA等于底EB；
因此，角AFE等于角BFE。
［I. 8］
但是，当一条直线与另一条直线交成的邻角彼此相等时，这些等角中的每一个都是直角。
［I. 定义10］
因此，角AFE、BFE都是直角。
因此，过圆心的CD将不过圆心的AB二等分，并与之交成直角。
又，设CD与AB交成直角；
我说，CD也将AB二等分，即AF等于FB。
这是因为，作同一个图，
由于EA等于EB，所以
角EAF也等于角EBF。
［I. 5］
但直角AFE等于直角BFE，
因此，EAF、EBF是两个角相等且有一条边相等的两个三角形，即EF公用，它对着相等的角。
因此，其余的边也等于其余的边；
［I. 26］
因此，AF等于FB。
这就是所要证明的。
命题04
若圆内有两条不过圆心的直线相交，则它们彼此不能二等分。
If in a circle two straight lines cut one another which are not through the centre, they do not bisect one another.
?
设ABCD是一个圆，AC、BD是圆内两条不过圆心的直线，它们相交于E；
我说，它们不彼此二等分。
这是因为，如果可能，设它们彼此二等分，因此AE等于EC，BE等于ED；
取圆ABCD的圆心［III. 1］，设它为F；连接FE。
于是，由于过圆心的直线FE将不过圆心的直线AC二等分，所以
它们也交成直角；
［III. 3］
因此，角FEA是直角。
又，由于直线FE将直线BD二等分，所以
它们也交成直角，
［III. 3］
因此，角FEB是直角。
但已证明，角FEA是直角；
因此，角FEA等于角FEB，
小的等于大的：这是不可能的。
因此，AC、BD彼此不能二等分。
这就是所要证明的。
命题05
若两圆相交，则它们不同心。
If two circles cut one another, they will not have the same centre.
?
设圆ABC、CDG相交于点B、C；
我说，它们不同心。
这是因为，如果可能，设圆心为E；连接EC，任作直线EFG。
于是，由于点E是圆ABC的圆心，所以EC等于EF。
［I. 定义15］
又，由于点E是圆CDG的圆心，所以
EC等于EG。
但已证明，EC也等于EF；
因此，EF也等于EG，
小的等于大的：这是不可能的。
因此，点E不是圆ABC、CDG的圆心。
这就是所要证明的。
命题06
若两圆相切，则它们不同心。
If two circles touch one another, they will not have the same centre.
?
设两圆ABC、CDE相切于点C；
我说，它们不同心。
这是因为，如果可能，设圆心为F；
连接FC，并作FEB。
于是，由于点F是圆ABC的圆心，所以
FC等于FB。
又，由于点F是圆CDE的圆心，所以
FC等于FE。
但已证明，FC等于FB；
因此，FE也等于FB，
小的等于大的：这是不可能的。
因此，F不是圆ABC、CDE的圆心。
这就是所要证明的。
命题07
若在圆的直径上取一个不是圆心的点，则在从该点到圆上所作的直线中，圆心所在的直线最大，同一直径的其余部分最小；在其余直线中，靠近过圆心直线的总是大于远离过圆心直线的；从该点到圆只能作两条相等的直线，它们分别在最小直线的两侧。
If on the diameter of a circle a point be taken which is not the centre of the circle, and from the point straight lines fall upon the circle, that will be greatest on which the centre is, the remainder of the same diameter will be least, and of the rest the nearer to the straight line through the centre is always greater than the more remote, and only two equal straight lines will fall from the point on the circle, one on each side of the least straight line.
?
设ABCD是一个圆，AD是它的一条直径；在AD上取一个不是圆心的点F，设E是圆心，从F到圆ABCD上作直线FB、FC、FG；
我说，FA最大，FD最小，对于其余的直线，FB大于FC，FC大于FG。
连接BE、CE、GE。
于是，由于任何三角形中，两边之和大于其余一边［I. 20］，所以
EB、EF之和大于BF。
但AE等于BE；
因此，AF大于BF。
又，由于BE等于CE，且FE公用，所以
两边BE、EF等于两边CE、EF。
但角BEF也大于角CEF；
因此，底BF大于底CF。
［I. 24］
同理，
CF也大于FG。
又，由于GF、FE之和大于EG，
且EG等于ED，所以
GF、EF之和大于ED。
从它们中分别减去EF；
因此，余下的GF大于余下的FD。
因此，FA最大，FD最小，且FB大于FC，FC大于FG。
其次我说，从点F到圆ABCD上只能作两条相等的直线，它们分别在最小直线FD的两侧。
这是因为，在直线EF上并且在其上的点E作角FEH等于角GEF［I. 23］，连接FH。
于是，由于GE等于EH，
且EF公用，所以
两边GE、EF等于两边HE、EF；
而角GEF等于角HEF；
因此，底FG等于底FH。
［I. 4］
其次我说，从点F到圆没有另一条直线等于FG。
这是因为，如果有，设它为FK。
于是，由于FK等于FG，且FH等于FG，所以
FK也等于FH，
因此，靠近过圆心直线的直线等于远离过圆心直线的直线：这是不可能的。
因此，从点F到圆作不出另一条直线等于FG；
因此，这样的直线只有一条。
这就是所要证明的。
命题08
若在圆外取一点，从该点作到圆的直线，其中一条直线过圆心而其他直线任意作出，则在落在凹圆周上的直线中，过圆心的最大，而在其余直线中，靠近过圆心直线的总是大于远离过圆心直线的；然而在落在凸圆周上的直线中，该点与直径之间的那条最小，而在其余直线中，靠近最小直线的总是小于远离最小直线的；从该点到圆只能作两条相等的直线，它们分别在最小直线的两侧。
If a point be taken outside a circle and from the point straight lines be drawn through to the circle, one of which is through the centre and the others are drawn at random, then, of the straight lines which fall on the concave circumference, that through the centre is greatest, while of the rest the nearer to that through the centre is always greater than the more remote, but, of the straight lines falling on the convex circumference, that between the point and the diameter is least, while of the rest the nearer to the least is always less than the more remote, and only two equal straight lines will fall on the circle from the point, one on each side of the least.
?
设ABC是一个圆，D是在ABC外所取的一点；
从它作直线DA、DE、DF、DC，且DA过圆心；
我说，在落在凹圆周AEFC上的直线中，过圆心的直线DA最长，
且DE大于DF，DF大于DC；
然而在落在凸圆周HLKG上的直线中，该点与直径AG之间的直线DG最短；且靠近最短直线DG的直线总是小于远离直线DG的直线，即DK小于DL，DL小于DH。
这是因为，取圆ABC的圆心，
［III. 1］
设它为M；连接ME、MF、MC、MK、ML、MH。
于是，由于AM等于EM，给它们分别加上MD；
因此，AD等于EM、MD之和。
但EM、MD之和大于ED；
因此，AD也大于ED。
又，由于ME等于MF，
且MD公用，
因此，EM、MD之和等于FM、MD之和；
而角EMD大于角FMD；
因此，底ED大于底FD。
［I. 24］
类似地，可以证明，FD大于CD；因此，DA最大，而DE大于DF，DF大于DC。
接着，由于MK、KD之和大于MD，
［I. 20］
而MG等于MK，
因此，余下的KD大于余下的GD，
因此，GD小于KD。
又，由于在三角形MLD的一边MD上作了两条直线MK、KD交于此三角形内，
因此，MK、KD之和小于ML、LD之和；
［I. 21］
而MK等于ML；
因此，余下的DK小于余下的DL。
类似地，可以证明，DL也小于DH；
因此，DG最小，而DK小于DL，DL小于DH。
其次我说，从点D到圆只能作两条相等的直线，它们分别在最小直线DG的两侧。
在直线MD上并且在其上的点M作角DMB等于角KMD，连接DB。
于是，由于MK等于MB，
且MD公用，所以
两边KM、MD分别等于两边BM、MD；
而角KMD等于角BMD；
因此，底DK等于底DB。
［I. 4］
我说，从点D到圆没有另一条直线等于DK。
这是因为，如果有，设它为DN。
于是，由于DK等于DN，
且DK等于DB，所以
DB也等于DN，
因此，靠近最短直线DG的直线等于远离最短直线DG的直线：这已经证明是不可能的。
因此，从点D到圆ABC只能作两条相等的直线，它们分别在最短直线DG的两侧。
这就是所要证明的。
命题09
若在圆内取一点，且从该点到圆所作相等的直线多于两条，则该点是该圆的圆心。
If a point be taken within a circle, and more than two equal straight lines fall from the point on the circle, the point taken is the centre of the circle.
?
设ABC是一个圆，D是在圆内取的点，且从D到圆ABC可作多于两条相等的直线，即DA、DB、DC；
我说，点D是圆ABC的圆心。
这是因为，连接AB、BC，且它们被二等分于点E、F，连接ED、FD，并让它们通过点G、K、H、L。
于是，由于AE等于EB，且ED公用，所以
两边AE、ED等于两边BE、ED；
而底DA等于底DB，
因此，角AED等于角BED。
［I. 8］
因此，角AED、BED中的每一个都是直角。
［I. 定义10］
因此，GK把 AB分成相等的两部分，且交成直角。
又，如果圆内一直线把另一直线截成相等的两部分且相交成直角，则这个圆的圆心在该直线上，
［III. 1，推论］
因此，圆心在GK上。
同理，
圆ABC的圆心也在HL上。
而除点D以外，直线GK、HL没有其他公共点；
因此，点D是圆ABC的圆心。
这就是所要证明的。
命题10
一圆截一圆，其交点不多于两个。
A circle does not cut a circle at more points than two.
?
这是因为，设圆ABC截圆DEF的交点多于两个，即B、G、F、H；
连接BH、BG，设它们被二等分于点K、L，从K、L作KC、LM与BH、BG成直角，并让它们通过点A、E。
于是，由于圆ABC内一直线AC把另一直线BH截成相等的两部分且相交成直角，所以
圆ABC的圆心在AC上。
［III. 1，推论］
又，由于同一圆ABC内一直线NO把另一直线BG截成相等的两部分且相交成直角，所以
圆ABC的圆心在NO上。
但已证明它在AC上，而且除点P外，直线AC、NO没有交点；
因此，点P是圆ABC的圆心。
类似地，可以证明，P也是圆DEF的圆心；
因此，彼此相截的两圆ABC、DEF有共同的圆心P：
这是不可能的。
［III. 5］
这就是所要证明的。
命题11
若两圆内切，且取它们的圆心，则连接其圆心的直线延长后过两圆的切点。
If two circles touch one another internally, and their centres be taken, the straight line joining their centres, if it be also produced, will fall on the point of contact of the circles.
?
设两圆ABC、ADE内切于点A，且取圆ABC的圆心F以及ADE的圆心G；
我说，连接G、F的直线过点A。
这是因为，假定不是这样，如果可能，设该直线是FGH，连接AF、AG。
于是，由于AG、GF之和大于FA，即大于FH，
从它们中分别减去FG；
因此，余下的AG大于余下的GH。
而AG等于GD；
因此，GD也大于GH，
小的大于大的：这是不可能的。
因此，连接F与G的直线不会落在FA外面；
因此，它过切点A。
这就是所要证明的。
命题12
若两圆外切，则连接其圆心的直线过切点。
If two circles touch one another externally, the straight line joining their centres will pass through the point of contact.
?
设两圆ABC、ADE外切于点A，取ABC的圆心F和ADE的圆心G；
我说，连接F与G的直线过切点A。
这是因为，假定不是这样，如果可能，设该直线为FCDG，连接AF、AG。
于是，由于点F是圆ABC的圆心，所以
FA等于FC。
又，由于点G是圆ADE的圆心，所以
GA等于GD。
但已证明，FA也等于FC；
因此，FA、AG之和等于FC、GD之和，
因此，整个FG大于FA、AG之和；
但它也小于它们之和［I. 20］：这是不可能的。
因此，连接F与G的直线不会不过切点A；
因此，它过切点A。
这就是所要证明的。
命题13
一圆与另一圆无论内切还是外切，切点不多于一个。
A circle does not touch a circle at more points than one, whether it touch it internally or externally.
?
这是因为，如果可能，先设圆ABDC与圆EBFD内切，其切点多于一个，即D、B。
取圆ABDC的圆心G和EBFD的圆心H。
因此，连接G到H的直线会过B、D。
［III. 11］
设它为BGHD。
于是，由于点G是圆ABDC的圆心，所以
BG等于GD；
因此，BG大于HD；
因此，BH比HD更大。
又，由于点H是圆EBFD的圆心，所以
BH等于HD；
但已证明，BH比HD更大：这是不可能的。
因此，一圆与另一圆内切，其切点不多于一个。
其次我说，外切时切点也不多于一个。
这是因为，如果可能，设圆ACK与圆ABDC的切点多于一个，即A、C，
连接AC。
于是，由于在圆ABDC、ACK中每一个的圆周上已经任取了两点A、C，所以连接它们的直线落在每一个圆的内部；
［III. 2］
但它落在了圆ABDC内和圆ACK外［III. 定义3］：这是荒谬的。
因此，一圆与另一圆外切，切点不多于一个。
而已经证明，内切时切点也不多于一个。
因此，一圆与另一圆无论内切还是外切，切点不多于一个。
这就是所要证明的。
命题14
圆内相等的直线与圆心等距，与圆心等距的直线彼此相等。
In a circle equal straight lines are equally distant from the centre, and those which are equally distant from the centre are equal to one another.
?
设ABDC是一个圆，AB、CD是圆内相等的直线。
我说，AB、CD与圆心等距。
这是因为，取圆ABDC的圆心［III. 1］，设它是E；从E作EF、EG垂直于AB、CD；连接AE、EC。
于是，由于过圆心的直线EF与不过圆心的直线AB相交成直角，所以它也将AB二等分。
［III. 3］
因此，AF等于FB；
因此，AB是AF的二倍。
同理，
CD也是CG的二倍；
而AB等于CD；
因此，AF也等于CG。
又，由于AE等于EC，所以
AE上的正方形也等于EC上的正方形。
但AF、EF上的正方形之和等于AE上的正方形，这是因为F处的是直角；
而EG、GC上的正方形之和等于EC上的正方形，这是因为G处的是直角；
［I. 47］
因此，AF、FE上的正方形之和等于CG、GE上的正方形之和，
其中AF上的正方形等于CG上的正方形，这是因为AF等于CG；
因此，余下的FE上的正方形等于EG上的正方形，
因此，EF等于EG。
但是当圆心到圆内直线所作的垂线相等时，则称这些直线与圆心等距；
［III. 定义4］
因此，AB、CD与圆心等距。
接着，设直线AB、CD与圆心等距；即设EF等于EG。
我说，AB也等于CD。
这是因为，用同样的作图，类似地可以证明，AB是AF的二倍，CD是CG的二倍。
又，由于AE等于CE，所以
AE上的正方形等于CE上的正方形。
但EF、FA上的正方形之和等于AE上的正方形，EG、GC上的正方形之和等于CE上的正方形。
［I. 47］
因此，EF、FA上的正方形之和等于EG、GC上的正方形之和，
其中EF上的正方形等于EG上的正方形，这是因为EF等于EG；
因此，余下的AF上的正方形等于CG上的正方形；
因此，AF等于CG。
但AB是AF的二倍，CD是CG的二倍；
因此，AB等于CD。
这就是所要证明的。
命题15
圆内的直线中直径最大，而在其余的直线中，靠近圆心的总是大于远离圆心的。
Of straight lines in a circle the diameter is greatest,and of the rest the nearer to the centre is always greater than the more remote.
?
设ABCD是一个圆，AD是它的直径，E是圆心；设BC较为靠近直径AD，且FG较远。
我说，AD最大且BC大于FG。
这是因为，从圆心E作EH、EK垂直于BC、FG。
于是，由于BC靠近圆心，而FG较远，所以EK大于EH。
［III. 定义5］
取EL等于EH，过L作LM与EK成直角并把它延长到N，连接ME、EN、FE、EG。
于是，由于EH等于EL，所以
BC也等于MN。
［III. 14］
又，由于AE等于EM，且ED等于EN，所以
AD等于ME、EN之和。
而ME、EN之和大于MN，
［I. 20］
而MN等于BC；
因此，AD大于BC。
又，由于两边ME、EN之和等于两边FE、EG之和，
且角MEN大于角FEG，
因此，底MN大于底FG。
［I. 24］
但已证明，MN等于BC。
因此，直径AD最大，BC大于FG。
这就是所要证明的。
命题16
从圆的直径的端点所作的与直径成直角的直线落在圆外，且不能在该直线与圆周之间的空间中插入另一条直线；此外，半圆的角大于任何锐直线角，余下的角小于任何锐直线角。
The straight line drawn at right angles to the diameter of a circle from its extremity will fall outside the circle, and into the space between the straight line and the circumference another straight line cannot be interposed; further the angle of the semicircle is greater, and the remaining angle less, than any acute rectilineal angle.
?
设ABC是以D为圆心的圆，AB是直径；
我说，从AB的端点A所作的与AB成直角的直线落在圆外。
这是因为，假定不是这样，如果可能，设它是CA且落在圆内，连接DC。
由于DA等于DC，所以
角DAC也等于角ACD。
［I. 5］
但角DAC是直角；
因此，角ACD也是直角：
于是，在三角形ACD中，两角DAC、ACD之和等于两直角：这是不可能的。
［I. 17］
因此，从点A所作的与BA成直角的直线不会落在圆内。
类似地，可以证明，它不会落在圆周上；
因此，它落在圆外。
设它落在AE；
接着，我说，不能在直线AE与圆周CHA之间的空间中插入另一条直线。
这是因为，如果可能，设插入的另一条直线是FA，并从点D作DG垂直于FA。
于是，由于角AGD是直角，
而角DAG小于直角，所以
AD大于DG。
［I. 19］
但DA等于DH；
因此，DH大于DG，
小的大于大的：这是不可能的。
因此，不能在该直线与圆周之间的空间中插入另一条直线。
其次我说，直线BA与圆周CHA所夹的半圆的角大于任何锐角，
且圆周CHA与直线AE所夹的余下的角小于任何锐角。
这是因为，如果有某直线角大于直线BA与圆周CHA所夹的角，且某直线角小于圆周CHA与直线AE所夹的角，那么在圆周与直线AE之间的空间中可以插入这样一条直线，它将构成一个由直线所夹的角，此角大于直线BA与圆周CHA所夹的角，并且构成另一个由直线所夹的角，此角小于圆周CHA与直线AE所夹的角。
但不能插入这样一条直线；
因此，没有任何由直线所夹的锐角大于直线BA与圆周CHA所夹的角，也没有任何由直线所夹的锐角小于圆周CHA与直线AE所夹的角。
这就是所要证明的。
推论由此显然可得，从圆的直径的端点所作的与直径成直角的直线与圆相切。
命题17
从给定一点作一直线与给定的圆相切。
From a given point to draw a straight line touching a given circle.
?
设A是给定的点，BCD是给定的圆；
于是，要求从点A作一直线与圆BCD相切。
取圆的圆心E；
［III. 1］
连接AE，以E为圆心、EA为距离作圆AFG；
从D作DF与EA成直角，
连接EF、AB；
我说，从点A所作的AB与圆BCD相切。
这是因为，由于E是圆BCD、AFG的圆心，
EA等于EF，且ED等于EB；
因此，两边AE、EB等于两边FE、ED；
而它们夹着E处的公共角；
因此，底DF等于底AB，
三角形DEF等于三角形BEA，
其余的角等于其余的角；
［I. 4］
因此，角EDF等于角EBA。
但角EDF是直角；
因此，角EBA也是直角。
现在，EB是半径；
而从圆的直径的端点所作的与直径成直角的直线与圆相切；
［III. 16 推论］
因此，AB与圆BCD相切。
这样便从给定的点A作出了直线AB与圆BCD相切。
这就是所要作的。
命题18
若一直线与一圆相切，则连接圆心与切点的直线垂直于切线。
If a straight line touch a circle, and a straight line be joined from the centre to the point of contact, the straight line so joined will be perpendicular to the tangent.
?
设直线DE与圆ABC相切于点C，取圆ABC的圆心F，从F到C连成直线FC；
我说，FC垂直于DE。
因为否则的话，从F作FG垂直于DE。
于是，由于角FGC是直角，所以
角FCG是锐角；
［I. 17］
而大角对大边；
［I. 19］
因此，FC大于FG。
而FC等于FB；
因此，FB也大于FG，
小的大于大的：这是不可能的。
因此，FG不垂直于DE。
类似地，可以证明，除FC外，没有任何其他直线垂直于DE；
因此，FC垂直于DE。
这就是所要证明的。
命题19
若一直线与一圆相切，从切点作一直线与切线成直角，则圆心在这条直线上。
If a straight line touch a circle, and from the point of contact a straight line be drawn at right angles to the tangent, the centre of the circle will be on the straight line so drawn.
?
设直线DE与圆ABC相切于点C，从C作CA与DE成直角；
我说，圆心在AC上。
这是因为，假定不是这样，如果可能，设F是圆心，连接CF，
由于直线DE与圆ABC相切，
且FC是从圆心到切点的连线，所以
FC垂直于DE；
［III. 18］
因此，角FCE是直角。
但角ACE也是直角；
因此，角FCE等于角ACE，
小的等于大的：这是不可能的。
因此，F不是圆ABC的圆心。
类似地，可以证明，除了在AC上以外，圆心不会是其他点。
这就是所要证明的。
命题20
圆内以相同圆周为底的圆心角是圆周角的二倍。
In a circle the angle at the centre is double of the angle at the circumference, when the angles have the same circumference as base.
?
设ABC是一个圆，角BEC是圆心角，角BAC是圆周角，设它们以相同的圆周BC为底。
我说，角BEC是角BAC的二倍。
这是因为，连接AE并延长到F，
于是，由于EA等于EB，所以
角EAB也等于EBA；
［I. 5］
因此，角EAB、EBA之和是角EAB的二倍。
但角BEF等于角EAB、EBA之和；
［I. 32］
因此，角BEF也是角EAB的二倍。
同理，
角FEC也是角EAC的二倍。
因此，整个角BEC是整个角BAC的二倍。
又，变成另一条直线，设有另一个角BDC；连接DE并延长到G。
于是类似地，可以证明，角GEC是角EDC的二倍，
其中角GEB是角EDB的二倍；
因此，余下的角BEC是角BDC的二倍。
这就是所要证明的。
命题21
圆内同一弓形上的角彼此相等。
In a circle the angles in the same segment are equal to one another.
?
设ABCD是一个圆，角BAD、BED是同一弓形BAED上的角。
我说，角BAD、BED彼此相等。
这是因为，取圆ABCD的圆心，设它为F；连接BF、FD。
现在，由于角BFD是圆心角，
角BAD是圆周角，
且它们以相同的圆周BCD为底，
因此，角BFD是角BAD的二倍。
［III. 20］
同理，
角BFD也是角BED的二倍；
因此，角BAD等于角BED。
这就是所要证明的。
命题22
圆内接四边形的对角之和等于两直角。
The opposite angles of quadrilaterals in circles are equal to two right angles.
?
设ABCD是一个圆，ABCD是其内接四边形；
我说，对角之和等于两直角。
连接AC、BD。
于是，由于在任何三角形中，三个角之和等于两直角［I. 32］，所以
三角形ABC的三个角CAB、ABC、BCA之和等于两直角。
但角CAB等于角BDC，这是因为它们在同一弓形BADC中；
［III. 21］
角ACB等于角ADB，这是因为它们在同一弓形ADCB中；
因此，整个角ADC等于角BAC、ACB之和。
给它们分别加上角ABC；
因此，角ABC、BAC、ACB之和等于角ABC、ADC之和。
但角ABC、BAC、ACB之和等于两直角；
因此，角ABC、ADC之和也等于两直角。
类似地，可以证明，角BAD、DCB之和也等于两直角。
这就是所要证明的。
命题23
在同一直线上且在同一侧作不出两个相似且不相等的弓形。
On the same straight line there cannot be constructed two similar and unequal segments of circles on the same side.
?
这是因为，如果可能，设在同一直线AB上且在同一侧可以作出两个相似且不相等的弓形ACB、ADB；
作ACD，连接CB、DB。
于是，由于弓形ACB与弓形ADB相似，
且相似的弓形含等角［III. 定义11］，所以
角ACB等于角ADB，
即外角等于内角：这是不可能的。
［I. 16］
这就是所要证明的。
命题24
相等直线上的相似弓形彼此相等。
Similar segments of circles on equal straight lines are equal to one another.
?
设AEB、CFD是相等直线AB、CD上的相似弓形；
我说，弓形AEB等于弓形CFD。
这是因为，如果将弓形AEB叠合到CFD上，若点A被置于C上，直线AB被置于CD上，则
点B也与点D重合，这是因为AB等于CD；
而AB与CD重合，
弓形AEB也与弓形CFD重合。
这是因为，如果直线AB与CD重合，但弓形AEB不与弓形CFD重合，那么
它要么落在里面，要么落在外面；
或者歪斜地落在CGD上，于是一圆截另一圆，其交点多于两个：这是不可能的。
［III. 10］
因此，若把直线AB叠合到CD上，则弓形AEB必定也与CFD重合；
因此，两弓形重合且彼此相等。
这就是所要证明的。
命题25
给定一个弓形，作一个整圆，使此弓形为它的一部分。
Given a segment of a circle, to describe the complete circle of which it is a segment.
设ABC是给定的弓形；
?
于是，要求作属于弓形ABC的整圆，也就是说，弓形ABC是这个圆的一部分。
设AC被二等分于D，从点D作DB与AC成直角，连接AB；
于是，角ABD大于、等于或小于角BAD。
首先，设角ABD大于角BAD；
在直线BA上的点A作角BAE等于角ABD；延长DB到E，连接EC。
于是，由于角ABE等于角BAE，所以
直线EB也等于EA。
［I. 6］
又，由于AD等于DC，且DE公用，所以
两边AD、DE分别等于两边CD、DE；
而角ADE等于角CDE，因为每一个都是直角；
因此，底AE等于底CE。
但已证明，AE等于BE；
因此，BE也等于CE；
因此，三条直线AE、EB、EC彼此相等。
因此，以E为圆心，以直线AE、EB、EC之一为距离所作的圆也经过其余的点，并且是整圆。
［III. 9］
这样，给定一个弓形，便作出了整圆。
又，弓形ABC显然小于一个半圆，因为圆心E碰巧在它的外面。
?
类似地，如果角ABD等于角BAD，
AD等于BD、DC中的每一个，
三条直线DA、DB、DC彼此相等，
D是整圆的圆心，
ABC显然是一个半圆。
?
但如果角ABD小于角BAD，且若我们在直线BA上的A点作一个角等于角ABD，则圆心落在弓形ABC中的DB上，弓形ABC显然大于半圆。
这样，给定一个弓形，便作出了整圆。
这就是所要作的。
命题26
等圆内相等的圆心角或圆周角对着相等的圆周。
In equal circles equal angles stand on equal circumferences, whether they stand at the centres or at the circumferences.
?
设ABC、DEF是等圆，它们之内有相等的角，即圆心角BGC、EHF和圆周角BAC、EDF；
我说，圆周BKC等于圆周ELF。
连接BC、EF。
现在，由于圆ABC、DEF相等，所以
它们的半径相等。
于是，两直线BG、GC等于两直线EH、HF；
而G处的角等于H处的角；
因此，底BC等于底EF。
［I. 4］
又，由于A处的角等于D处的角，所以
弓形BAC与弓形EDF相似；
［III. 定义11］
且它们在相等的直线上。
而相等直线上的相似弓形彼此相等；
［III. 24］
因此，弓形BAC等于弓形EDF。
但整个圆ABC也等于整个圆DEF；
因此，余下的圆周BKC等于余下的圆周ELF。
这就是所要证明的。
命题27
等圆内相等圆周上的圆心角或圆周角彼此相等。
In equal circles angles standing on equal circumferences are equal to one another, whether they stand at the centres or at the circumferences.
?
设在等圆ABC、DEF内，在相等的圆周BC、EF上，角BGC、EHF在圆心G、H处，角BAC、EDF在圆周上；
我说，角BGC等于角EHF，
且角BAC等于角EDF。
这是因为，若角BGC不等于角EHF，则它们中有一个较大。
设角BGC较大：在直线BG上的点G作角BGK等于角EHF。
［I. 23］
现在，相等的圆心角所对的圆周也相等；
［III. 26］
因此，圆周BK等于圆周EF。
但EF等于BC；
因此，BK也等于BC，
小的等于大的：这是不可能的。
因此，角BGC并非不等于角EHF；
因此，角BGC等于角EHF。
又，点A处的角是角BGC的一半，
而点D处的角是角EHF的一半；
［III. 20］
因此，点A处的角也等于点D处的角。
这就是所要证明的。
命题28
等圆内相等的直线截出相等的圆周，较大的圆周等于较大的圆周，较小的圆周等于较小的圆周。
In equal circles equal straight lines cut off equal circumferences, the greater equal to the greater and the less to the less.
?
设ABC、DEF是等圆，AB、DE是这些圆内相等的直线，它们截出较大的圆周ACB、DFE和较小的圆周AGB、DHE；
我说，较大的圆周ACB等于较大的圆周DFE，较小的圆周AGB等于较小的圆周DHE。
这是因为，取圆心K、L，连接AK、KB、DL、LE。
现在，由于圆相等，所以
半径也相等；
因此，两边AK、KB等于两边DL、LE；
且底AB等于底DE；
因此，角AKB等于角DLE。
［I. 8］
但相等的圆心角所对的圆周也相等；
［III. 26］
因此，圆周AGB等于DHE。
又，整个圆ABC等于整个圆DEF；
因此，余下的圆周ACB也等于余下的圆周DFE。
这就是所要证明的。
命题29
等圆内相等的圆周对着相等的直线。
In equal circles equal circumferences are subtended by equal straight lines.
?
设ABC、DEF是等圆，在它们之内截出相等的圆周BGC、EHF；连接直线BC、EF。
我说，BC等于EF。
这是因为，取圆心K、L；连接BK、KC、EL、LF。
现在，由于圆周BGC等于圆周EHF，所以
角BKC也等于角ELF。
［III. 27］
又，由于圆ABC、DEF相等，所以
半径也相等；
因此，两边BK、KC等于两边EL、LF；
而它们夹的角也相等；
因此，底BC等于底EF。
［I. 4］
这就是所要证明的。
命题30
将给定的圆周二等分。
To bisect a given circumference.
?
设ADB是给定的圆周；
于是，要求将圆周ADB二等分。
连接AB，它被二等分于C；从点C作CD与直线AB成直角，连接AD、DB。
于是，由于AC等于CB，且CD公用，所以
两边AC、CD等于两边BC、CD；
而角ACD等于角BCD，这是因为它们都是直角；
因此，底AD等于底DB。
［I. 4］
但相等的直线截出相等的圆周，较大的圆周等于较大的圆周，较小的圆周等于较小的圆周；
［III. 28］
圆周AD、DB都小于半圆；
因此，圆周AD等于圆周DB。
因此，给定的圆周被二等分于点D。
这就是所要作的。
命题31
圆内半圆上的角是直角，较大弓形上的角小于一直角，较小弓形上的角大于一直角；此外，较大弓形的角大于一直角，较小弓形的角小于一直角。
In a circle the angle in the semicircle is right, that in a greater segment less than a right angle, and that in a less segment greater than a right angle; and further the angle of the greater segment is greater than a right angle, and the angle of the less segment less than a right angle.
?
设ABCD是一个圆，BC是其直径，E是圆心，连接BA、AC、AD、DC；
我说，半圆BAC上的角BAC是直角，
大于半圆的弓形ABC上的角ABC小于一直角，
小于半圆的弓形ADC上的角ADC大于一直角。
连接AE，并把BA延长到F。
于是，由于BE等于EA，所以
角ABE也等于角BAE。
［I. 5］
又，由于CE等于EA，所以
角ACE也等于角CAE。
［I. 5］
因此，整个角BAC等于两角ABC、ACB之和。
但三角形ABC的外角FAC也等于两角ABC、ACB之和；
［I. 32］
因此，角BAC也等于角FAC；
因此，每一个角都是直角；
［I. 定义10］
因此，半圆BAC上的角BAC是直角。
接着，由于在三角形ABC中，两角ABC、BAC之和小于两直角，
［I. 17］
而角BAC是直角，所以
角ABC小于直角；
且它是在大于半圆的弓形ABC上的角。
接着，由于ABCD是圆内接四边形，
且圆内接四边形的对角之和等于两直角，
［III. 22］
而角ABC小于一直角，
因此，余下的角ADC大于一直角；
且它是在小于半圆的弓形ADC上的角。
其次我说，较大弓形的角，即圆周ABC与直线AC所夹的角大于一直角；
较小弓形的角，即圆周ADC与直线AC所夹的角小于一直角。
这是显然的。
这是因为，由于直线BA、AC所夹的角是直角，所以
圆周ABC与直线AC所夹的角大于一直角。
又，由于直线AC、AF所夹的角是直角，所以
直线CA与圆周ADC所夹的角小于一直角。
这就是所要证明的。
命题32
若一直线与一圆相切，从切点在圆内作一直线与圆相截，则该直线与切线所成的角等于另一弓形上的角。
If a straight line touch a circle, and from the point of contact there be drawn across, in the circle, a straight line cutting the circle, the angles which it makes with the tangent will be equal to the angles in the alternate segments of the circle.
?
设直线EF与圆ABCD相切于点B，从点B在圆ABCD内作直线BD与圆相截；
我说，BD与切线EF成的角等于另一弓形上的角，即角FBD等于在弓形BAD内所作的角，角EBD等于在弓形DCB内所作的角。
这是因为，从B作BA与EF成直角，
在圆周BD上任取一点C，
连接AD、DC、CB。
于是，由于直线EF与圆ABCD相切于B，
从切点作BA与切线成直角，所以
圆ABCD的圆心在BA上。
［III. 19］
因此，BA是圆ABCD的直径；
因此，角ADB是半圆上的角，是直角。
［III. 31］
因此，其余的角BAD、ABD之和等于一直角。
［I. 32］
但角ABF也是直角；
因此，角ABF等于角BAD、ABD之和。
从它们中分别减去角ABD；
因此，余下的角DBF等于另一弓形上的角BAD。
接着，由于ABCD是圆内接四边形，所以
它的对角之和等于两直角。
［III. 22］
但角DBF、DBE之和也等于两直角；
因此，角DBF、DBE之和等于角BAD、BCD之和，
已经证明，其中角BAD等于角DBF；
因此，余下的角DBE等于另一弓形DCB上的角DCB。
这就是所要证明的。
命题33
在给定的直线上作一弓形，使它所含的角等于给定的直线角。
On a given straight line to describe a segment of a circle admitting an angle equal to a given rectilineal angle.
?
设AB为给定的直线，C处的角为给定的直线角；
于是，要求在给定的直线AB上作一个弓形，使它所含的角等于C处的角。
C处的角可以是锐角、直角或钝角。
首先，设它是锐角，且如图一，在直线AB上的点A处作角BAD等于C处的角；
因此，角BAD也是锐角。
作AE与DA成直角，设AB被二等分于F，从点F作FG与AB成直角，连接GB。
于是，由于AF等于FB，
且FG公用，所以
两边AF、FG等于两边BF、FG；
而角AFG等于角BFG；
因此，底AG等于底BG。
［I. 4］
因此，以G为圆心、GA为距离所作的圆也会经过B。
作这个圆，设它是ABE；
连接EB。
现在，由于从直径AE的端点A作的AD与AE成直角，
因此，AD与圆ABE相切。
［III. 16 推论］
于是，由于直线AD与圆ABE相切，
且从切点A在圆ABE内作一直线AB与圆相截，所以
角DAB等于另一弓形上的角AEB。
［III. 32］
但角DAB等于C处的角；
因此，C处的角也等于角AEB。
这样便在给定的直线AB上作出了弓形AEB，它所含的角AEB等于给定的角即C处的角。
?
接着，设C处的角是直角；
又要求在AB上作一弓形，使它所含的角等于C处的直角。
如图二，作角BAD等于C处的直角；
设AB被二等分于F，以F为圆心、FA或FB为距离作圆AEB。
因此，直线AD与圆ABE相切，这是因为A处的角是直角。
［III. 16 推论］
而角BAD等于弓形AEB上的角，因为后者本身也是一直角，是半圆上的角。
［III. 31］
但角BAD也等于C处的角。
因此，角AEB也等于C处的角。
这样便在AB上作出了弓形AEB，它所含的角等于C处的角。
?
接着，设C处的角是钝角；
在直线AB上的点A作角BAD等于C处的角，如图三。
作AE与AD成直角，AB再次被二等分于F，作FG与AB成直角，连接GB。
于是，由于AF等于FB，
且FG公用，所以
两边AF、FG等于两边BF、FG；
而角AFG等于角BFG；
因此，底AG等于底BG。
［I. 4］
因此，以G为圆心、GA为距离所作的圆也经过B；设这个圆为AEB。
现在，由于从直径AE的端点所作的AD与直径AE成直角，所以
AD与圆AEB相切。
［III. 16 推论］
而AB是从切点A所作的直线且与圆相截；
因此，角BAD等于在另一弓形AHB中所作的角。
［III. 32］
但角BAD等于C处的角。
因此，弓形AHB上的角也等于C处的角。
这样便在给定的直线AB上作出了弓形AHB，它所含的角等于C处的角。
这就是所要作的。
命题34
从给定的圆中截出一弓形，使它所含的角等于给定的直线角。
From a given circle to cut off a segment admitting an angle equal to a given rectilineal angle.
?
设ABC是给定的圆，D处的角是给定的直线角；
于是，要求从圆ABC中截出一弓形，使它所含的角等于给定的直线角，即D处的角。
在点B作EF与圆ABC相切，且在直线FB上的点B作角FBC等于D处的角。
［I. 23］
于是，由于直线EF与圆ABC相切，
且从切点B作直线BC与圆相截，所以
角FBC等于在另一弓形BAC中所作的角。
［III. 32］
但角FBC等于D处的角；
因此，弓形BAC上的角等于D处的角。
这样便从给定的圆ABC中截出了弓形BAC，它所含的角等于给定的直线角，即D处的角。
这就是所要作的。
命题35
若圆内有两条直线彼此相交，则其中一条被分成的两线段所围成的矩形等于另一条被分成的两线段所围成的矩形。
If in a circle two straight lines cut one another, the rectangle contained by the segments of the one is equal to the rectangle contained by the segments of the other.
设圆ABCD内有两条直线AC、BD彼此相交于点E；
?
我说，AE、EC所围成的矩形等于DE、EB所围成的矩形。
现在，如果AC、BD过圆心，设E是圆ABCD的圆心，
那么显然，AE、EC、DE、EB相等，
AE、EC所围成的矩形也等于DE、EB所围成的矩形。
?
接着，设AC、DB不过圆心；
取ABCD的圆心，设它为F；
从F作FG、FH分别垂直于直线AC、DB，
连接FB、FC、FE。
于是，由于过圆心的直线GF与不过圆心的直线AC交成直角，所以
GF将AC二等分；
［III. 3］
因此，AG等于GC。
于是，由于直线AC在G被分成了相等的部分，在E被分成了不等的部分，所以
AE、EC所围成的矩形与EG上的正方形之和等于GC上的正方形；
［II. 5］
给它们分别加上GF上的正方形；
因此，矩形AE、EC与GE、GF上的正方形之和等于CG、GF上的正方形之和。
但FE上的正方形等于EG、GF上的正方形之和，FC上的正方形等于CG、GF上的正方形之和；
［I. 47］
因此，矩形AE、EC与FE上的正方形之和等于FC上的正方形。
而FC等于FB；
因此，矩形AE、EC与EF上的正方形之和等于FB上的正方形。
同理也有，
矩形DE、EB与FE上的正方形之和等于FB上的正方形。
但已证明，矩形AE、EC与FE上的正方形之和等于FB上的正方形；
因此，矩形AE、EC与FE上的正方形之和等于矩形DE、EB与FE上的正方形之和。
从它们中分别减去FE上的正方形；
因此，余下的AE、EC所围成的矩形等于DE、EB所围成的矩形。
这就是所要证明的。
命题36
若在圆外取一点，从它作两条直线落在圆上，其中一条与圆相截，另一条与圆相切，则与圆相截的整条直线与该点和凸圆周之间的圆外直线所围成的矩形，等于切线上的正方形。
If a point be taken outside a circle and from it there fall on the circle two straight lines, and if one of them cut the circle and the other touch it, the rectangle contained by the whole of the straight line which cuts the circle and the straight line intercepted on it outside between the point and the convex circumference will be equal to the square on the tangent.
?
在圆ABC外取一点D，从D作两条直线DCA、DB落在圆ABC上；DCA与圆ABC相截，而BD与圆相切；
我说，AD、DC所围成的矩形等于DB上的正方形。
于是，DCA要么过圆心，要么不过圆心。
首先设它过圆心，并设F是圆ABC的圆心；连接FB；
因此，角FBD是直角。
［III. 18］
又，由于AC被二等分于F，CD被加在它之上，所以
矩形AD、DC与FC上的正方形之和等于FD上的正方形。
［II. 6］
但FC等于FB；
因此，矩形AD、DC与FB上的正方形之和等于FD上的正方形。
又，FB、BD上的正方形之和等于FD上的正方形；
［I. 47］
因此，矩形AD、DC与FB上的正方形之和等于FB、BD上的正方形之和。
从它们中分别减去FB上的正方形；
因此，余下的矩形AD、DC等于切线DB上的正方形。
又，设DCA不过圆ABC的圆心；
取圆心E，从E作EF垂直于AC；
连接EB、EC、ED。
?
于是，角EBD是直角。
［III. 18］
又，由于过圆心的直线EF与不过圆心的直线AC交成直角，所以
EF也将AC二等分；
［III. 3］
因此，AF等于FC。
现在，由于直线AC被二等分于点F，CD被加在它之上，所以
AD、DC所围成的矩形与FC上的正方形之和等于FD上的正方形。
［II. 6］
给它们分别加上FE上的正方形；
因此，矩形AD、DC与CF、FE上的正方形之和等于FD、FE上的正方形之和。
但EC上的正方形等于CF、FE上的正方形之和，这是因为角EFC是直角；
［I. 47］
而ED上的正方形等于DF、FE上的正方形之和；
因此，矩形AD、DC与EC上的正方形之和等于ED上的正方形。
而EC等于EB；
因此，矩形AD、DC与EB上的正方形之和等于ED上的正方形。
但EB、BD上的正方形之和等于ED上的正方形，这是因为角EBD是直角；
［I. 47］
因此，矩形AD、DC与EB上的正方形之和等于EB、BD上的正方形之和。
从它们中分别减去EB上的正方形；
因此，余下的矩形AD、DC等于DB上的正方形。
这就是所要证明的。
命题37
若在圆外取一点，从它作两条直线落在圆上，其中一条与圆相截，另一条落在圆上，若与圆相截的整条直线与该点和凸圆周之间的圆外直线所围成的矩形等于落在圆上的直线上的正方形，则落在圆上的直线与圆相切。
If a point be taken outside a circle and from the point there fall on the circle two straight lines, if one of them cut the circle, and the other fall on it, and if further the rectangle contained by the whole of the straight line which cuts the circle and the straight line intercepted on it outside between the point and the convex circumference be equal to the square on the straight line which falls on the circle, the straight line which falls on it will touch the circle.
?
设在圆ABC外取一点D；从D作两条直线DCA、DB落在圆ACB上；
设DCA与圆相截，DB落在圆上；又设矩形AD、DC等于DB上的正方形。
我说，DB与圆ABC相切。
这是因为，作DE与圆ABC相切；
取圆ABC的圆心，设它为F；
连接FE、FB、FD。
于是，角FED是直角。
［III. 18］
现在，由于DE与圆ABC相切，DCA与圆相截，所以矩形AD、DC等于DE上的正方形。
［III. 36］
但矩形AD、DC也等于DB上的正方形；
因此，DE上的正方形等于DB上的正方形；
因此，DE等于DB。
而FE等于FB；
因此，两边DE、EF等于两边DB、BF；
而FD是三角形的公共底；
因此，角DEF等于角DBF。
［I. 8］
但角DEF是直角；
因此，角DBF也是直角。
将BF延长为一直径；
而从圆的直径的端点所作的与直径成直角的直线与圆相切；
［III. 16，推论］
因此，DB与圆相切。
类似地，可以证明，即使圆心在AC上，情况也是如此。
这就是所要证明的。
