第二卷
定义?Definitions
01 / 任一矩形由夹直角的两直线所围成。
Any rectangular parallelogram is said to be?contained?by the two straight lines containing the right angle.
02 / 在任一平行四边形面中，跨在其对角线两边的平行四边形和两个补形一起叫作拐尺形。[1]
And in any parallelogrammic area let any one whatever of the parallelograms about its diameter with the two complements be called a?gnomon.
?
命题?Proposition
命题01
若有两条直线，其中一条被截成任意几段，则这两条直线所围成的矩形等于未截直线与每一线段所围成的矩形之和。
If there be two straight lines, and one of them be cut into any number of segments whatever, the rectangle contained by the two straight lines is equal to the rectangles contained by the uncut straight line and each of the segments.
?
设A、BC是两条直线，且BC被任截于点D、E；
我说，A、BC所围成的矩形等于由A、BD，A、DE以及A、EC分别围成的矩形之和。
这是因为，从B作BF垂直于BC；
［I. 11］
取BG等于A，
［I. 3］
过G作GH平行于BC，
［I. 31］
且过D、E、C作DK、EL、CH平行于BG。
于是，BH等于BK、DL、EH之和。
现在，BH是矩形A、BC，因为它由GB和BC所围成，且BG等于A；
BK是矩形A、BD，因为它由GB、BD所围成，且BG等于A；
又，DL是矩形A、DE，因为DK即BG［I. 34］等于A。
类似地也有，EH是矩形A、EC。
因此，矩形A、BC等于矩形A、BD与矩形A、DE以及矩形A、EC之和。
这就是所要证明的。
命题02
若任截一直线，则整条直线与截成的两线段分别围成的矩形之和等于在整条直线上所作的正方形。
If a straight line be cut at random, the rectangle contained by the whole and both of the segments is equal to the square on the whole.
?
设直线AB被任截于点C；
我说，AB、BC所围成的矩形与BA、AC所围成的矩形之和等于AB上的正方形。
这是因为，设在AB上所作的正方形为ADEB，
［I. 46］
过点C作CF平行于AD或BE。
［I. 31］
于是，AE等于AF、CE之和。
现在，AE是AB上的正方形；
AF是BA、AC所围成的矩形，因为它由DA、AC所围成，而AD等于AB。
又，CE是AB、BC所围成的矩形，因为BE等于AB。
因此，矩形BA、AC与矩形AB、BC之和等于AB上的正方形。
这就是所要证明的。
命题03
若任截一直线，则整条直线与截成的两线段之一所围成的矩形等于两线段所围成的矩形与前面提到的线段上的正方形之和。
If a straight line be cut at random, the rectangle contained by the whole and one of the segments is equal to the rectangle contained by the segments and the square on the aforesaid segment.
?
设直线AB被任截于点C；
我说，AB、BC所围成的矩形等于AC、CB所围成的矩形与BC上的正方形之和。
这是因为，在CB上作正方形CDEB；
［I. 46］
延长ED到F，过A作AF平行于CD或BE。
［I. 31］
于是，AE等于AD、CE之和。
现在，AE是AB、BC所围成的矩形，这是因为它由AB、BE所围成，而BE等于BC；
AD是矩形AC、CB，这是因为DC等于CB；
而DB是CB上的正方形。
因此，AB、BC所围成的矩形等于AC、CB所围成的矩形与BC上的正方形之和。
这就是所要证明的。
命题04
若任截一直线，则整条直线上的正方形等于各线段上的正方形与两线段所围成矩形的二倍之和。
If a straight line be cut at random, the square on the whole is equal to the squares on the segments and twice the rectangle contained by the segments.
?
设直线AB被任截于点C；
我说，AB上的正方形等于AC、CB上的正方形与AC、CB所围成矩形的二倍之和。
这是因为，在AB上作正方形ADEB，
［I. 46］
连接BD；
过C作CF平行于AD或EB，
过G作HK平行于AB或DE。
［I. 31］
于是，由于CF平行于AD，且BD与它们相交，所以
同位角CGB等于ADB。
［I. 29］
但角ADB等于角ABD，这是因为BA也等于AD；
［I. 5］
因此，角CGB也等于角GBC。
因此，边BC也等于边CG。
［I. 6］
但CB等于GK，且CG等于KB；
［I. 34］
因此，GK也等于KB；
因此，CGKB是等边的。
其次我说，它也是直角的。
这是因为，由于CG平行于BK，所以
角KBC、GCB之和等于二直角。
［I. 29］
但角KBC是直角；
因此，角BCG也是直角，
因此，对角CGK、GKB也是直角。
［I. 34］
因此，CGKB是直角的；
而已经证明，它也是等边的；
因此，它是一个正方形；
而且是在CB上作的。
同理，
HF也是正方形；
它是在HG上作的，也就是在AC上作的。
［I. 34］
因此，正方形HF、KC是在AC、CB上作的正方形。
现在，由于AG等于GE，
且AG是矩形AC、CB，这是因为GC等于CB，
因此，GE也等于矩形AC、CB。
因此，AG、GE之和等于矩形AC、CB的二倍。
但正方形HF、CK之和也是AC、CB上的正方形之和；
因此，四个面HF、CK、AG、GE之和等于AC、CB上的正方形与AC、CB所围成矩形的二倍之和。
但HF、CK、AG、GE之和是整个ADEB，
即AB上的正方形。
因此，AB上的正方形等于AC、CB上的正方形与AC、CB围成矩形的二倍之和。
这就是所要证明的。
命题05
若一直线既被截成相等的线段又被截成不相等的线段，则不相等线段所围成的矩形与两截点之间直线上的正方形之和等于一半直线上的正方形。
If a straight line be cut into equal and unequal segments, the rectangle contained by the unequal segments of the whole together with the square on the straight line between the points of section is equal to the square on the half.
?
设直线AB在点C被截成相等的线段，在点D被截成不相等的线段。
我说，AD、DB所围成的矩形与CD上的正方形之和等于CB上的正方形。
这是因为，在CB上作正方形CEFB，
［I. 46］
连接BE；
过D作DG平行于CE或BF，
再过H作KM平行于AB或EF，
又过A作AK平行于CL或BM。
［I. 31］
于是，由于补形CH等于补形HF，
［I. 43］
给它们分别加上DM；
因此，整个CM等于整个DF。
但CM等于AL，
这是因为AC也等于CB；
［I. 36］
因此，AL也等于DF。
给它们分别加上CH；
因此，整个AH等于拐尺形NOP。
但AH是矩形AD、DB，这是因为DH等于DB，
因此，拐尺形NOP也等于矩形AD、DB。
给它们分别加上LG，后者等于CD上的正方形；
因此，拐尺形NOP与LG之和等于AD、DB所围成的矩形与CD上的正方形之和。
但拐尺形NOP与LG之和是CB上所作的整个正方形CEFB；
因此，AD、DB所围成的矩形与CD上的正方形之和等于CB上的正方形。
这就是所要证明的。
命题06
若将一条直线二等分且沿同一直线给它加一条直线，则整条直线与加上的直线所围成的矩形以及原直线一半上的正方形之和等于原直线一半与加上的直线合成的直线上的正方形。
If a straight line be bisected and a straight line be added to it in a straight line, the rectangle contained by the whole with the added straight line and the added straight line together with the square on the half is equal to the square on the straight line made up of the half and the added straight line.
?
设直线AB被二等分于点C，
且沿同一直线给它加上直线BD；
我说，AD、DB所围成的矩形与CB上的正方形之和等于CD上的正方形。
这是因为，在CD上作正方形CEFD，
［I. 46］
连接DE；
过点B作BG平行于EC或DF，
过点H作KM平行于AB或EF，
再过点A作AK平行于CL或DM。
［I. 31］
于是，由于AC等于CB，所以
AL也等于CH。
［I. 36］
而CH等于HF。
［I. 43］
因此，AL也等于HF。
给它们分别加上CM；
因此，整个AM等于拐尺形NOP。
但AM是AD、DB所围成的矩形，这是因为DM等于DB；
因此，拐尺形NOP也等于矩形AD、DB。
给它们分别加上LG，后者等于BC上的正方形；
因此，AD、DB所围成的矩形与CB上的正方形之和等于拐尺形NOP与LG之和。
但拐尺形NOP与LG之和是在CD上作的整个正方形CEFD；
因此，AD、DB所围成的矩形与CB上的正方形之和等于CD上的正方形。
这就是所要证明的。
命题07
若任截一直线，则整条直线上的正方形与所截线段之一上的正方形之和等于整条直线与该线段所围成矩形的二倍与另一线段上的正方形之和。
If a straight line be cut at random, the square on the whole and that on one of the segments both together are equal to twice the rectangle contained by the whole and the said segment and the square on the remaining segment.
?
设直线AB被任截于点C；
我说，AB、BC上的正方形之和等于AB、BC所围成矩形的二倍与CA上的正方形之和。
这是因为，在AB上作正方形ADEB，
［I. 46］
并把图作出。
于是，由于AG等于GE，
［I. 43］
给它们分别加上CF；
因此，整个AF等于整个CE。
因此，AF、CE之和是AF的二倍。
但AF、CE之和是拐尺形KLM与正方形CF之和；
因此，拐尺形KLM与正方形CF之和是AF的二倍。
但矩形AB、BC的二倍也是AF的二倍；
这是因为BF等于BC；
因此，拐尺形KLM与正方形CF之和等于矩形AB、BC的二倍。
给它们分别加上DG，后者是AC上的正方形；
因此，拐尺形KLM与正方形BG、GD之和等于AB、BC所围成矩形的二倍与AC上的正方形之和。
但拐尺形KLM与正方形BG、GD之和是整个ADEB与CF之和，它们是在AB、BC上作出的正方形；
因此，AB、BC上的正方形之和等于AB、BC所围成矩形的二倍与AC上的正方形之和。
这就是所要证明的。
命题08
若任截一直线，则整条直线与所截线段之一所围成矩形的四倍与另一线段上的正方形之和等于整条直线与前一线段合成的直线上的正方形。
If a straight line be cut at random, four times the rectangle contained by the whole and one of the segments together with the square on the remaining segment is equal to the square described on the whole and the aforesaid segment as on one straight line.
?
设直线AB被任截于点C；
我说，AB、BC所围成矩形的四倍与AC上的正方形之和等于AB与BC合成直线上的正方形。
这是因为，延长直线AB成［直线］BD，使BD等于CB；
在AD上作正方形AEFD，且作两个这样的图。
于是，由于CB等于BD，而CB等于GK，且BD等于KN，
因此，GK也等于KN。
同理，
QR也等于RP。
又，由于BC等于BD，GK等于KN，
因此，CK等于KD，GR等于RN。
［I. 36］
但CK等于RN，因为它们是平行四边形CP的补形；
［I. 43］
因此，KD也等于GR；
因此，四个面DK、CK、GR、RN彼此相等。
因此，这四个面之和是CK的四倍。
又，由于CB等于BD，
而BD等于BK，即CG，
且CB等于GK，即GQ，
因此，CG也等于GQ。
又，由于CG等于GQ，且QR等于RP，
因此，AG等于MQ，且QL等于RF。
［I. 36］
但MQ等于QL，这是因为它们是平行四边形ML的补形；
［I. 43］
因此，AG也等于RF；
因此，四个面AG、MQ、QL、RF彼此相等。
因此，这四个之和是AG的四倍。
但已证明，四个面CK、KD、GR、RN之和是CK的四倍；
因此，构成拐尺形STU的八个面是AK的四倍。
现在，由于AK是矩形AB、BD，这是因为BK等于BD，
因此，矩形AB、BD的四倍是AK的四倍。
但已证明，拐尺形STU是AK的四倍；
因此，矩形AB、BD的四倍等于拐尺形STU。
给它们分别加上OH，后者等于AC上的正方形；
因此，矩形AB、BD的四倍与AC上的正方形之和等于拐尺形STU与OH之和。
但拐尺形STU与OH之和等于在AD上作的整个正方形AEFD；
因此，矩形AB、BD的四倍与AC上的正方形之和等于AD上的正方形。
而BD等于BC；
因此，矩形AB、BC的四倍与AC上的正方形之和等于AD上的正方形，即等于AB与BC合成直线上的正方形。
这就是所要证明的。
命题09
若一直线既被截成相等的线段又被截成不相等的线段，则在不相等线段上的正方形之和等于原直线一半上的正方形与两截点之间直线上的正方形之和的二倍。
If a straight line be cut into equal and unequal segments, the squares on the unequal segments of the whole are double of the square on the half and of the square on the straight line between the points of section.
?
设直线AB在点C被截成相等的线段，在点D被截成不相等的线段；
我说，AD、DB上的正方形之和等于AC、CD上的正方形之和的二倍。
这是因为，从C作CE与AB成直角，并使它等于AC或CB；
连接EA、EB，
过D作DF平行于EC，
过F作FG平行于AB，
连接AF。
于是，由于AC等于CE，所以
角EAC也等于角AEC。
又，由于C处的角是直角，所以
其余的角EAC、AEC之和等于一直角。
［I. 32］
而它们又相等；
因此，角CEA、CAE各是半个直角。
同理，
角CEB、EBC也各是半个直角；
因此，整个角AEB是直角。
又，由于角GEF是半个直角，角EGF是直角，这是因为它等于同位角ECB，［I. 29］所以
其余的角EFG是半个直角；
［I. 32］
因此，角GEF等于角EFG，
因此，边EG等于边GF。
［I. 6］
又，由于B处的角是半个直角，
角FDB是直角，这是因为它等于同位角ECB，［I. 29］所以
其余的角BFD是半个直角；
［I. 32］
因此，B处的角等于角DFB，
因此，边FD等于边DB。
［I. 6］
现在，由于AC等于CE，所以
AC上的正方形也等于CE上的正方形；
因此，AC、CE上的正方形之和是AC上的正方形的二倍。
但EA上的正方形等于AC、CE上的正方形之和，这是因为角ACE是直角；
［I. 47］
因此，EA上的正方形是AC上的正方形的二倍。
又，由于EG等于GF，所以
EG上的正方形也等于GF上的正方形；
因此，EG、GF上的正方形之和是GF上的正方形的二倍。
但EF上的正方形等于EG、GF上的正方形之和；
因此，EF上的正方形是GF上的正方形的二倍。
但GF等于CD；
［I. 34］
因此，EF上的正方形是CD上的正方形的二倍。
但EA上的正方形也是AC上的正方形的二倍；
因此，AE、EF上的正方形之和是AC、CD上的正方形之和的二倍。
而AF上的正方形等于AE、EF上的正方形之和，这是因为角AEF是直角；
［I. 47］
因此，AF上的正方形是AC、CD上的正方形之和的二倍。
但AD、DF上的正方形之和等于AF上的正方形，这是因为D处的角是直角；
［I. 47］
因此，AD、DF上的正方形之和是AC、CD上的正方形之和的二倍。
又，DF等于DB；
因此，AD、DB上的正方形之和是AC、CD上的正方形之和的二倍。
这就是所要证明的。
命题10
若将一直线二等分，且在同一直线上给它添加一条直线，则合成直线上的正方形与添加直线上的正方形之和等于原直线一半上的正方形与一半直线和添加直线所合成直线上的正方形之和的二倍。
If a straight line be bisected, and a straight line be added to it in a straight line, the square on the whole with the added straight line and the square on the added straight line both together are double of the square on the half and of the square described on the straight line made up of the half and the added straight line as on one straight line.
?
设直线AB被二等分于C，并且在同一直线上给它添加直线BD；
我说，AD、DB上的正方形之和等于AC、CD上的正方形之和的二倍。
这是因为，从点C作CE与AB成直角，
［I. 11］
并使它等于AC或CB；
［I. 3］
连接EA、EB；
过E作EF平行于AD，
过D作FD平行于EC。
［I. 31］
于是，由于直线EF与平行线EC、FD都相交，所以
角CEF、EFD之和等于二直角；
［I. 29］
因此，角FEB、EFD之和小于二直角。
但两条直线无定限延长后在两个内角之和小于两直角的一侧相交；
［I. 公设5］
因此，沿B、D方向延长的EB、FD会相交。
设它们交于G，
连接AG。
于是，由于AC等于CE，所以
角EAC也等于角AEC；
［I. 5］
而C处的角是直角；
因此，角EAC、AEC中的每一个都是半个直角。
［I. 32］
同理，
角CEB、EBC中的每一个都是半个直角；
因此，角AEB是直角。
又，由于角EBC是半个直角，所以
角DBG也是半个直角。
但角BDG也是直角，
这是因为它等于角DCE，它们是错角；
［I. 29］
因此，其余的角DGB是半个直角；
［I. 32］
因此，角DGB等于角DBG，
因此，边BD也等于边GD。
［I. 6］
又，由于角EGF是半个直角，
且F处的角是直角，这是因为它等于C处的对角，［I. 34］所以
其余的角FEG是半个直角；
［I. 32］
因此，角EGF等于角FEG，
因此，边GF也等于边EF。
［I. 6］
现在，由于EC上的正方形等于CA上的正方形，所以
EC、CA上的正方形之和是CA上的正方形的二倍。
但EA上的正方形等于EC、CA上的正方形之和；
［I. 47］
因此，EA上的正方形是AC上的正方形的二倍。
［公理1］
又，由于FG等于EF，所以
FG上的正方形也等于FE上的正方形；
因此，GF、FE上的正方形之和是EF上的正方形的二倍。
而EG上的正方形等于GF、FE上的正方形之和，
［I. 47］
因此，EG上的正方形是EF上的正方形的二倍。
而EF等于CD；
［I. 34］
因此，EG上的正方形是CD上的正方形的二倍。
但已证明，EA上的正方形是AC上的正方形的二倍；
因此，AE、EG上的正方形之和是AC、CD上的正方形之和的二倍。
而AG上的正方形等于AE、EG上的正方形之和；
［I. 47］
因此，AG上的正方形是AC、CD上的正方形之和的二倍。
但AD、DG上的正方形之和等于AG上的正方形；
［I. 47］
因此，AD、DG上的正方形之和是AC、CD上的正方形之和的二倍。
而DG等于DB；
因此，AD、DB上的正方形之和是AC、CD上的正方形之和的二倍。
这就是所要证明的。
命题11
截一条给定的直线，使整条直线与截取的线段之一所围成的矩形等于其余线段上的正方形。
To cut a given straight line so that the rectangle contained by the whole and one of the segments is equal to the square on the remaining segment.
?
设AB是给定的直线；
于是，要求截AB，使它与截取的线段之一所围成的矩形等于其余线段上的正方形。
在AB上作正方形ABDC。
［I. 46］
设AC被二等分于点E，连接BE；
延长CA到F，取EF等于BE；
设FH是在AF上作的正方形，延长GH到K。
我说，H就是AB上所要求作的截点，它使AB、BH所围成的矩形等于AH上的正方形。
这是因为，由于直线AC被二等分于点E，且给它加上FA，所以
CF、FA所围成的矩形与AE上的正方形之和等于EF上的正方形。
［II. 6］
而EF等于EB；
因此，矩形CF、FA与AE上的正方形之和等于EB上的正方形。
但BA、AE上的正方形之和等于EB上的正方形，因为A处的角是直角；
［I. 47］
因此，矩形CF、FA与AE上的正方形之和等于BA、AE上的正方形之和。
从它们中各减去AE上的正方形；
因此，余下的矩形CF、FA等于AB上的正方形。
现在，矩形CF、FA等于FK，这是因为AF等于FG；
而AB上的正方形是AD；
因此，FK等于AD。
从它们中各减去AK；
因此，余下的FH等于HD。
又，HD是矩形AB、BH，这是因为AB等于BD；
而FH是AH上的正方形；
因此，AB、BH所围成的矩形等于HA上的正方形。
于是，H就是给定的直线AB上的截点，使AB、BH所围成的矩形等于HA上的正方形。
这就是所要作的。
命题12
在钝角三角形中，钝角所对边上的正方形比夹钝角的两边上的正方形之和大一个矩形的二倍，该矩形为钝角的一边向外延长并作垂线，垂足所在的钝角边与垂足到钝角顶点之间的直线所围成的矩形。
In obtuse-angled triangles the square on the side subtending the obtuse angle is greater than the squares on the sides containing the obtuse angle by twice the rectangle contained by one of the sides about the obtuse angle, namely that on which the perpendicular falls, and the straight line cut off outside by the perpendicular towards the obtuse angle.
?
设ABC是钝角三角形，角BAC为钝角，从点B作BD垂直于CA的延长线；
我说，BC上的正方形比BA、AC上的正方形之和大CA、AD所围成矩形的二倍。
这是因为，由于直线CD被任意截于点A，所以DC上的正方形等于CA、AD上的正方形加上CA、AD所围成矩形的二倍。
［II. 4］
给它们分别加上DB上的正方形；
因此，CD、DB上的正方形之和等于CA、AD、DB上的正方形之和加上矩形CA、AD的二倍。
但CB上的正方形等于CD、DB上的正方形之和，这是因为D处的角是直角；
［I. 47］
且AB上的正方形等于AD、DB上的正方形之和；
［I. 47］
因此，CB上的正方形等于CA、AB上的正方形之和加上CA、AD所围成矩形的二倍；
因此，CB上的正方形比CA、AB上的正方形之和大CA、AD所围成矩形的二倍。
这就是所要证明的。
命题13
在锐角三角形中，锐角对边上的正方形比夹锐角两边上的正方形之和小一个矩形的二倍，该矩形为另一锐角向对边作垂线，垂足所在的锐角边与垂足到原锐角顶点之间的直线所围成的矩形。
In acute-angled triangles the square on the side subtending the acute angle is less than the squares on the sides containing the acute angle by twice the rectangle contained by one of the sides about the acute angle, namely that on which the perpendicular falls, and the straight line cut off within by the perpendicular towards the acute angle.
?
设ABC是一个锐角三角形，B处的角为锐角，从点A作AD垂直于BC；
我说，AC上的正方形比CB、BA上的正方形之和小CB、BD所围成矩形的二倍。
这是因为，由于直线CB被任截于点D，所以CB、BD上的正方形之和等于CB、BD所围成矩形的二倍与DC上的正方形之和。
［II. 7］
给它们分别加上DA上的正方形；
因此，CB、BD、DA上的正方形之和等于CB、BD所围成矩形的二倍加上AD、DC上的正方形之和。
但AB上的正方形等于BD、DA上的正方形之和，这是因为D处的角是直角；
［I. 47］
而AC上的正方形等于AD、DC上的正方形之和；
因此，CB、BA上的正方形之和等于AC上的正方形加上矩形CB、BD的二倍。
于是，AC上的正方形比CB、BA上的正方形之和小CB、BD所围成矩形的二倍。
这就是所要证明的。
命题14
作一个正方形等于给定的直线形。
To construct a square equal to a given rectilineal figure.
?
设A是给定的直线形；
于是，要求作一个正方形等于直线形A。
作矩形BD等于直线形A。
［I. 45］
于是，如果BE等于ED，则作图完毕；因为已经作了正方形BD等于直线形A。
但如果不是这样，则直线BE、ED之一较大。
设BE较大，延长它到F；
设EF等于ED，且BF被二等分于G。
以G为圆心，GB、GF中的一个为距离作半圆BHF；延长DE到H，连接GH。
于是，由于直线BF在G被截成了相等的线段，在E被截成了不相等的线段，所以
BE、EF所围成的矩形与EG上的正方形之和等于GF上的正方形。
［II. 5］
而GF等于GH；
因此，矩形BE、EF与GE上的正方形之和等于GH上的正方形。
但HE、EG上的正方形之和等于GH上的正方形；
［I. 47］
因此，矩形BE、EF与GE上的正方形之和等于HE、EG上的正方形之和。
从它们中分别减去GE上的正方形；
因此，余下的矩形BE、EF等于EH上的正方形。
但矩形BE、EF是BD，这是因为EF等于ED；
因此，平行四边形BD等于HE上的正方形。
又，BD等于直线形A。
因此，直线形A也等于可在EH上作出的正方形。
这样便在EH上作出了等于给定直线形A的正方形。
这就是所要作的。
?
[1]?拐尺形即下图中用虚线表示的部分。（译者注）
