定义 Definitions[1]
01 /点是没有部分的东西。
Apoint is that which has no part.
02 /线是没有宽的长。
A?line?is breadthless length.
03 / 线之端是点。
The extremities of a line are points.
04 /?直线[2]是其上均匀放置着点的线。
A?straight?line is a line which lies evenly with the points on itself.
05 /?面是只有长和宽的东西。
A?surface?is that which has length and breadth only.
06 / 面之端是线。
The extremities of a surface are lines.
07 /?平面是其上均匀放置着直线的面。
A?plane surface?is a surface which lies evenly with the straight lines on itself.
08 /?平面角是一个平面上两条线之间的倾斜，它们相交且不在一条直线上。
A?plane angle?is the inclination to one another of two lines in a plane which meet one another and do not lie in a straight line.
09 / 且当夹这个角的线是直线时，这个角叫作直线角。
And when the lines containing the angle are straight, the angle is called?rectilineal.
10 / 当一条直线与另一条直线交成的邻角彼此相等时，这些等角中的每一个都是直角，且称这条直线垂直于另一条直线。
When a straight line set up on a straight line makes the adjacent angles equal to one another, each of the equal angles is?right, and the straight line standing on the other is called a?perpendicular?to that on which it stands.
11 /?钝角是大于直角的角。
An?obtuse angle?is an angle greater than a right angle.
12 /?锐角是小于直角的角。
An?acute angle?is an angle less than a right angle.
13 /?边界是某个东西的端。
A?boundary?is that which is an extremity of anything.
14 /?形是由某一边界或若干边界所围成的东西。
A?figure?is that which is contained by any boundary or boundaries.
15 /?圆是由一条线所围成的平面形，其内有一点与这条线上的点连成的所有线段都相等；
A?circle?is a plane figure contained by one line such that all the straight lines falling upon it from one point among those lying within the figure are equal to one another;
16 / 且这个点叫作圆心。
And the point is called the?centre?of the circle.
17 / 圆的直径是任意一条过圆心作出且沿两个方向被圆周截得的直线，且该直线把圆二等分。
A?diameter?of the circle is any straight line drawn through the centre and terminated in both directions by the circumference of the circle, and such a straight line also bisects the circle.
18 /?半圆是由直径和它截得的圆周[3]所围成的图形。且半圆的心和圆心相同。
A?semicircle?is the figure contained by the diameter and the circumference cut off by it. And the centre of the semicircle is the same as that of the circle.
19 /?直线形是由直线围成的形，三边形是由三条直线围成的形，四边形是由四条直线围成的形，多边形是由四条以上直线围成的形。
Rectilineal figuresare those which are contained by straight lines,?trilateralfigures being those contained by three,?quadrilateralthose contained by four, and?multilateralthose contained by more than four straight lines.
20 / 在三边形中，三边均相等的叫作等边三角形，只有两边相等的叫作等腰三角形，三边各不相等的叫作不等边三角形。
Of trilateral figures, an?equilateral triangle?is that which has its three sides equal, an?isosceles triangle?that which has two of its sides alone equal, and a?scalene triangle?that which has its three sides unequal.
21 / 此外，在三边形中，有一个直角的叫作直角三角形，有一个钝角的叫作钝角三角形，三个角均为锐角的叫作锐角三角形。
Further, of trilateral figures, a?right-angled triangle?is that which has a right angle, an?obtuse-angled triangle?that which has an obtuse angle, and an?acute-angled triangle?that which has its three angles acute.
22 / 在四边形中，等边且均为直角的叫作正方形，均为直角但不等边的叫作长方形，等边但非直角的叫作菱形，对角对边相等但不等边且非直角的叫作长菱形，其他四边形叫作不规则四边形。
Of quadrilateral figures, a?square?is that which is both equilateral and right-angled; an?oblong?that which is right-angled but not equilateral; a?rhombus?that which is equilateral but not right-angled; and a?rhomboid?that which has its opposite sides and angles equal to one another but is neither equilateral nor right-angled. And let quadrilaterals other than these be called?trapezia.
23 / 平行直线是同一平面上沿两个方向无定限延长、不论沿哪个方向都不相交的直线。
Parallel straight linesare straight lines which, being in the same plane and being produced indefinitely in both directions, do not meet one another in either direction.
公设?Postulates
1. 从任一点到任一点可作一条直线
To draw a straight line from any point to any point.
2. 一条有限直线可沿直线继续延长
To produce a finite straight line continuously in a straight line.
3. 以任一点为心和任意距离可以作圆
To describe a circle with any centre and distance.
4. 所有直角都彼此相等
That all right angles are equal to one another.
5. 一直线与两条直线相交，若在同侧的两内角之和小于两直角，则这两条直线无定限延长后在该侧相交
That, if a straight line falling on two straight lines make the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles.
公理?Common Notions
1. 等于同量的量也彼此相等
Things which are equal to the same thing are also equal to one another.
2. 等量加等量，其和相等
If equals be added to equals, the wholes are equal.
3. 等量减等量，其差相等
If equals be subtracted from equals, the remainders are equal.
4. 彼此重合的东西彼此相等
Things which coincide with one another are equal to one another.
5. 整体大于部分
The whole is greater than the part.
命题?Proposition
命题01
在一给定的有限直线上作一个等边三角形。
On a given finite straight line to construct an equilateral triangle.
设AB是给定的有限直线。
于是，要求在直线AB上作一个等边三角形。
以A为圆心、AB为距离作圆BCD；
［公设3］
再以B为圆心、BA为距离作圆ACE；
［公设3］
从两圆的交点C到点A、点B连直线CA、CB。
［公设1］
现在，由于点A是圆CDB的圆心，所以AC等于AB。
［定义15］
又，由于点B是圆CAE的圆心，所以BC等于BA。
［定义15］
但已证明，CA也等于AB；
因此，直线CA、CB中的每一条都等于AB。
而等于同量的量也彼此相等；
［公理1］
因此，CA也等于CB。
因此，三条直线CA、AB、BC彼此相等。
因此，三角形ABC是等边的；且它是在给定的有限直线AB上作的。
这就是所要作的。（Q.E.F.）[4]
命题02
从给定一点［作为端点］[5]作一直线等于给定的直线。
To place at a given point ［as an extremity］ a straight line equal to a given straight line.
设A为给定的点，BC是给定的直线。
于是，要求从点A（作为一个端点）作一直线等于给定的直线BC。
从点A到点B连直线AB；
［公设1］
在AB上作等边三角形DAB。
［I. 1］
延长DA、DB成直线AE、BF；
［公设2］
以B为圆心、BC为距离作圆CGH；
［公设3］
再以D为圆心、DG为距离作圆GKL。
［公设3］
于是，由于点B是圆CGH的圆心，所以
BC等于BG。
又，由于点D是圆GKL的圆心，所以
DL等于DG。
而DA等于DB；
因此，余量AL等于余量BG。
［公理3］
但已证明，BC等于BG；
因此，直线AL、BC都等于BG。
而等于同量的量也彼此相等。
［公理1］
因此，AL也等于BC。
这样便从给定的点A作出了直线AL等于给定的直线BC。
这就是所要作的。
命题03
给定两条不等的直线，从较大的直线上截取一条直线等于较小的。
Given two unequal straight lines, to cut off from the greater a straight line equal to the less.
设AB、C是给定的两条不等的直线，且AB是其中较大的。
于是，要求从较大的AB上截取一条直线等于较小的C。
从点A作AD等于直线C；
［I. 2］
以A为圆心、AD为距离作圆DEF。
［公设3］
现在，由于点A是圆DEF的圆心，所以
AE等于AD。
［定义15］
又，C也等于AD。
因此，直线AE、C中的每一条都等于AD；
于是，AE也等于C。
［公理1］
这样便从给定的两条直线AB、C中较大的AB上截取了AE等于较小的C。
这就是所要作的。
命题04
若一个三角形的两边分别等于另一个三角形的两边，且相等直线所夹的角相等，则这两个三角形的底等于底，三角形等于三角形，其余的角也分别等于其余的角，即等边所对的角。
If two triangles have the two sides equal to two sides respectively, and have the angles contained by the equal straight lines equal, they will also have the base equal to the base, the triangle will be equal to the triangle, and the remaining angles will be equal to the remaining angles respectively, namely those which the equal sides subtend.
设ABC、DEF是两个三角形，两边AB、AC分别等于两边DE、DF，即AB等于DE，AC等于DF，且角BAC等于角EDF。
我说，底BC也等于底EF，三角形ABC等于三角形DEF，其余的角分别等于其余的角，即等边所对的角，也就是角ABC等于角DEF，角ACB等于角DFE。
这是因为，如果把三角形ABC叠合到三角形DEF上，若点A被置于点D上，直线AB被置于DE上，于是因为AB等于DE，所以点B也与点E重合。
又，由于AB与DE重合，因为角BAC等于角EDF，所以直线AC也与DF重合；
于是，因为AC等于DF，所以点C也与点F重合。
但B也与E重合；
因此，底BC与底EF重合，
并且等于它。
［公理4］
于是，整个三角形ABC与整个三角形DEF重合，
并且等于它。
［公理4］
其余的角也与其余的角重合，并且等于它们，
角ABC等于角DEF，
角ACB等于角DFE。
［公理4］
这就是所要证明的。（Q.E.D.）[6]
命题05
在等腰三角形中，两底角彼此相等；又，若继续延长两腰，则底以下的两角也彼此相等。
In isosceles triangles the angles at the base are equal to one another,and, if the equal straight lines be produced further, the angles under the base will be equal to one another.
设ABC是一个等腰三角形，边AB等于边AC；
延长AB、AC成直线BD、CE。
［公设2］
我说，角ABC等于角ACB，角CBD等于角BCE。
在BD上任取一点F；
在较大的AE上截取AG等于较小的AF；
［I. 3］
连接FC、GB。
［公设1］
于是，由于AF等于AG，AB等于AC，所以
两边FA、AC分别等于两边GA、AB；
且它们夹着公共角FAG。
因此，底FC等于底GB，
且三角形AFC等于三角形AGB，
其余的角分别等于其余的角，即相等的边所对的角，
也就是说，角ACF等于角ABG，
角AFC等于角AGB。
［I. 4］
又，由于整个AF等于整个AG，且它们中AB等于AC，所以
余量BF等于余量CG。
但已证明，FC等于GB；
因此，两边BF、FC分别等于两边CG、GB；
且角BFC等于角CGB，
而底BC公用；
因此，三角形BFC也等于三角形CGB，其余的角也分别等于其余的角，即等边所对的角；
因此，角FBC等于角GCB，
角BCF等于角CBG。
因此，由于已经证明整个角ABG等于角ACF，其中角CBG等于角BCF，所以
其余的角ABC等于其余的角ACB；
它们都在三角形ABC的底以上。
但这也就证明了角FBC等于角GCB；
它们都在底以下。
这就是所要证明的。
命题06
若一个三角形中两角彼此相等，则等角所对的边也彼此相等。
If in a triangle two angles be equal to one another, the sides which subtend the equal angles will also be equal to one another.
设三角形ABC中，角ABC等于角ACB；
我说，边AB也等于边AC。
这是因为，若AB不等于AC，则其中有一个较大，
设AB较大；
从较大的AB上截取DB等于较小的AC；
连接DC。
于是，由于DB等于AC，
且BC公用，
两边DB、BC分别等于两边AC、CB；
且角DBC等于角ACB；
因此，底DC等于底AB，
且三角形DBC等于三角形ACB，即较小的等于较大的：这是荒谬的。
因此，AB并非不等于AC；
因此，AB等于AC。
这就是所要证明的。
命题07
在一直线上［从它的两个端点］作两条直线相交于一点，则不可能在该直线同侧［从它的两个端点］作另外两条直线相交于另一点，使得所作的两条直线分别等于前面两条直线，即分别等于与之有相同端点的直线。
Given two straight lines constructed on a straight line ［from its extremities］ and meeting in a point, there cannot be constructed on the same straight line ［from its extremities］, and on the same side of it, two other straight lines meeting in another point and equal to the former two respectively, namely each to that which has the same extremity with it.
这是因为，如果可能，在直线AB上作两条直线AC、CB，它们交于点C，
在AB同侧作另外两条直线AD、DB相交于另一点D，且这两条直线分别等于前面两条直线，即与之有相同端点的直线，
于是，CA等于与之有相同端点A的DA，
且CB等于与之有相同端点B的DB；
连接CD。
于是，由于AC等于AD，所以
角ACD也等于角ADC；
［I. 5］
因此，角ADC大于角DCB，
因此，角CDB比角DCB更大。
又，由于CB等于DB，所以
角CDB也等于角DCB。
但已证明，角CDB比角DCB更大：
这是不可能的。
这就是所要证明的。
命题08
若一个三角形的两边分别等于另一个三角形的两边，前者的底等于后者的底，则相等直线所夹的角也相等。
If two triangles have the two sides equal to two sides respectively, and have also the base equal to the base, they will also have the angles equal which are contained by the equal straight lines.
设ABC、DEF是两个三角形，两边AB、AC分别等于两边DE、DF，即AB等于DE，AC等于DF；又设它们的底BC等于底EF。
我说，角BAC也等于角EDF。
这是因为，如果把三角形ABC叠合到三角形DEF上，且点B被置于点E上，直线BC被置于EF上，于是因为BC等于EF，
点C也与F重合。
于是，由于BC与EF重合，所以
BA、AC也与ED、DF重合；
这是因为，如果底BC与底EF重合，而边BA、AC不与ED、DF重合，而是落在它们旁边，比如EG、GF，
那么，在一条直线上［从它的两个端点］作两条直线相交于一点，则能够在该直线同侧［从它的两个端点］作另外两条直线相交于另一点，使得所作的两直线分别等于前面两直线，即分别等于与之有相同端点的直线。
但它们是无法这样作出来的。
［I. 7］
因此，如果把底BC叠合到底EF上，而边BA、AC与ED、DF不重合：这是不可能的；
因此，它们重合，
于是，角BAC也与角EDF重合，
并且等于它。
这就是所要证明的。
命题09
将一个给定的直线角二等分。
To bisect a given rectilineal angle.
设角BAC是给定的直线角，
于是，要求将这个角二等分。
在AB上任取一点D；
在AC上截取AE等于AD；
［I. 3］
连接DE，
在DE上作等边三角形DEF；
连接AF。
我说，角BAC被直线AF二等分。
这是因为，AD等于AE，
AF公用，所以
两边DA、AF分别等于两边EA、AF。
而底DF等于底EF；
因此，角DAF等于角EAF。
［I. 8］
因此，给定的直线角BAC已被直线AF二等分。
这就是所要作的。
命题10
将一条给定的有限直线二等分。
To bisect a given finite straight line.
设AB为给定的有限直线。
于是，要求将有限直线AB二等分。
在AB上作等边三角形ABC，
［I. 1］
且设角ACB被直线CD二等分；
［I. 9］
我说，直线AB被二等分于点D。
这是因为，由于AC等于CB，且CD公用，所以
两边AC、CD分别等于两边BC、CD；
而角ACD等于角BCD；
因此，底AD等于底BD。
［I. 4］
因此，给定的有限直线AB被二等分于点D。
这就是所要作的。
命题11
从给定直线上一给定点作一直线与给定直线成直角。
To draw a straight line at right angles to a given straight line from a given point on it.
设AB是给定的直线，C是其上的给定点。
于是，要求从点C作一直线垂直于直线AB。
在AC上任取一点D；
使CE等于CD；
［I.3］
在DE上作等边三角形FDE；
［I. 1］
连接FC；
我说，直线FC就是从给定直线AB上的给定点C作出的与直线AB垂直的直线。
这是因为，由于DC等于CE，且CF公用，
两边DC、CF分别等于两边EC、CF；
且底DF等于底FE；
因此，角DCF等于角ECF；
［I.8］
且它们是邻角。
但是，当一条直线与另一条直线相交成彼此相等的邻角时，这些等角中的每一个都是直角；
［定义10］
因此，角DCF、FCE中的每一个都是直角。
因此，直线CF就是从给定直线AB上的给定点C作出的与直线AB垂直的直线。
这就是所要作的。
命题12
从给定的无限直线外一给定点作该直线的垂线。
To a given infinite straight line, from a given point which is not on it, to draw a perpendicular straight line.
设AB为给定的无限直线，C是不在其上的给定点；
于是，要求从给定的无限直线AB外的给定点C作AB的垂线。
在直线AB的另一侧任取一点D，以C为圆心、CD为距离作圆EFG；
［公设3］
设直线EG被二等分于H，
［I. 10］
连接CG、CH、CE。
［公设1］
我说，CH就是从给定的无限直线AB外的给定点C所作的AB的垂线。
这是因为，由于GH等于HE，且HC公用，所以
两边GH、HC分别等于两边EH、HC；
且底CG等于底CE；
因此，角CHG等于角EHC。
［I. 8］
且它们是邻角。
但是，当一条直线与另一条直线交成的邻角彼此相等时，这些等角中的每一个都是直角，且称这条直线垂直于另一条直线。
［定义10］
因此，CH就是从给定的无限直线AB外的给定点C所作的AB的垂线。
这就是所要作的。
命题13
一直线与另一直线交成的角，要么是两直角，要么其和等于两直角。
If a straight line set up on a straight line make angles, it will make either two right angles or angles equal to two right angles.
设任意直线AB与直线CD交成角CBA、ABD；
我说，角CBA、ABD要么是两直角，要么其和等于两直角。
现在，若角CBA等于角ABD，则它们是两直角。
［定义10］
但若不是，设BE是从点B作的与CD成直角的直线；
［I. 11］
因此，角CBE、EBD是两直角。
于是，由于角CBE等于两个角CBA、ABE之和，
给它们分别加上角EBD；
因此，角CBE、EBD之和等于三个角CBA、ABE、EBD之和。
［公理2］
又，由于角DBA等于两个角DBE、EBA之和，
给它们分别加上角ABC；
因此，角DBA、ABC之和等于三个角DBE、EBA、ABC之和。
［公理2］
但已证明，角CBE、EBD之和等于这三个角之和；
而等于同量的量也彼此相等；
［公理1］
因此，角CBE、EBD之和也等于角DBA、ABC之和。
但角CBE、EBD之和是两直角；
因此，角DBA、ABC之和也等于两直角。
这就是所要证明的。
命题14
若过任意直线上一点的两条直线不在该直线的同侧，且与该直线所成邻角之和等于两直角，则这两条直线在同一直线上。
If with any straight line, and at a point on it, two straight lines not lying on the same side make the adjacent angles equal to two right angles, the two straight lines will be in a straight line with one another.
设过任意直线AB上的点B有两条不在AB同侧的直线BC、BD成邻角ABC、ABD，其和等于两直角；
我说，BD与CB在同一直线上，
这是因为，如果BD和BC不在同一直线上，设BE和CB在同一直线上。
于是，由于直线AB与直线CBE相交，所以
角ABC、ABE之和等于两直角。
［I. 13］
但角ABC、ABD之和也等于两直角；
因此，角CBA、ABE之和等于角CBA、ABD之和。
［公设4和公理1］
从它们中分别减去角CBA；
因此，其余的角ABE等于其余的角ABD，
［公理3］
小角等于大角：这是不可能的。
因此，BE和CB不在同一直线上。
类似地，可以证明，除BD外也没有任何其他直线和CB在同一直线上。
因此，CB和BD在同一直线上。
这就是所要证明的。
命题15
若两直线相交，则交成彼此相等的对顶角。
If two straight lines cut one another, they make the vertical angles equal to one another.
设直线AB、CD相交于点E；
我说，角AEC等于角DEB，且角CEB等于角AED。
这是因为，由于直线AE与直线CD相交，交成了角CEA、AED，所以
角CEA、AED之和等于两直角。
又，由于直线DE与直线AB相交，交成了角AED、DEB，所以
角AED、DEB之和等于两直角。
［I. 13］
但已证明，角CEA、AED之和等于两直角；
因此，角CEA、AED之和等于角AED、DEB之和。
［公设4和公理1］
从它们中分别减去角AED；
因此，其余的角CEA等于其余的角BED。
［公理3］
类似地，可以证明，角CEB也等于角DEA。
这就是所要证明的。
＜推论（Porism） 由此显然可得，若两条直线相交，则在交点处交成的各角之和等于四直角。＞[7]
命题16
在任意三角形中，若延长一边，则外角大于任一内对角。
In any triangle, if one of the sides be produced, the exterior angle is greater than either of the interior and opposite angles.
设ABC是一个三角形，延长它的一边BC到D；
我说，外角ACD大于内角CBA、BAC中的任何一个。
设AC被二等分于E，
［I. 10］
连接BE并沿直线延长到F；
使EF等于BE，
［I. 3］
连接FC，
［公设1］
延长AC到G。
［公设2］
于是，由于AE等于EC，BE等于EF，所以
两边AE、EB分别等于两边CE、EF；
且角AEB等于角FEC，因为它们是对顶角。
［I. 15］
因此，底AB等于底FC，三角形ABE等于三角形CFE，
且其余的角分别等于其余的角，即等边所对的角；
［I. 4］
因此，角BAE等于角ECF。
但角ECD大于角ECF；
［公理5］
因此，角ACD大于角BAE。
类似地也有，若BC被二等分，则可以证明，角BCG，即角ACD［I. 15］，大于角ABC。
这就是所要证明的。
命题17
在任意三角形中，任意两角之和小于两直角。
In any triangle,two angles taken together in any manner are less than two right angles.
设ABC是一个三角形；
我说，三角形ABC的任意两角之和小于两直角。
将BC延长到D。
［公设2］
于是，由于角ACD是三角形ABC的一个外角，所以它大于内对角ABC。
［I. 16］
给它们分别加上角ACB；
因此，角ACD、ACB之和大于角ABC、BCA之和。
但角ACD、ACB之和等于两直角。
［I. 13］
因此，角ABC、BCA之和小于两直角。
类似地，可以证明，角BAC、ACB之和也小于两直角，角CAB、ABC之和也是如此。
这就是所要证明的。
命题18
在任意三角形中，大边对大角。
In any triangle the greater side subtends the greater angle.
设在三角形ABC中，边AC大于AB；
我说，角ABC也大于角BCA。
这是因为，由于AC大于AB，取AD等于AB［I. 3］，连接BD，
于是，由于角ADB是三角形BCD的一个外角，所以
它大于内对角DCB。
［I.16］
但角ADB等于角ABD，这是由于边AB等于AD；
因此，角ABD也大于角ACB；
因此，角ABC比角ACB更大。
这就是所要证明的。
命题19
在任意三角形中，大角对大边。
In any triangle the greater angle is subtended by the greater side.
设在三角形ABC中，角ABC大于角BCA；
我说，边AC也大于边AB。
这是因为，若非如此，则AC等于或小于AB。
现在，AC不等于AB；
因为否则的话，角ABC也等于角ACB；
［I. 5］
但它并不等于；
因此，AC不等于AB。
AC也不小于AB，因为否则的话，角ABC也小于角ACB；
［I. 18］
但它并不小于；
因此，AC不小于AB。
已经证明，
AC也不等于AB。
因此，AC大于AB。
这就是所要证明的。
命题20
在任意三角形中，任意两边之和大于其余一边。
In any triangle two sides taken together in any manner are greater than the remaining one.
设ABC为一个三角形；
我说，在三角形ABC中，任意两边之和大于其余一边，即
BA、AC之和大于BC，
AB、BC之和大于AC，
BC、CA之和大于AB。
这是因为，延长BA到点D，使DA等于CA，连接DC，
于是，由于DA等于AC，所以
角ADC也等于角ACD；
［I. 5］
因此，角BCD大于角ADC。
［公理5］
又，由于三角形DCB的角BCD大于角BDC，且大角对大边，
［I. 19］
因此，DB大于BC。
但DA等于AC；
因此，BA、AC之和大于BC。
类似地，可以证明，AB、BC之和也大于CA，BC、CA之和也大于AB。
这就是所要证明的。
命题21
若从三角形一边的两个端点作两条直线交于三角形内，则这样作出的两条直线之和小于三角形其余两边之和，但夹角更大。
If on one of the sides of a triangle, from its extremities, there be constructed two straight lines meeting within the triangle, the straight lines so constructed will be less than the remaining two sides of the triangle, but will contain a greater angle.
在三角形ABC的一边BC上，从其端点B、C作两条直线BD、DC交于三角形ABC内；
我说，BD、DC之和小于三角形其余两边BA、AC之和，但所夹的角BDC大于角BAC。
这是因为，延长BD到E，
于是，由于在任意三角形中，两边之和大于第三边，
［I. 20］
因此，在三角形ABE中，两边AB、AE之和大于BE。
给它们分别加上EC；
因此，BA、AC之和大于BE、EC之和。
又，由于在三角形CED中，两边CE、ED之和大于CD，
给它们分别加上DB；
因此，CE、EB之和大于CD、DB之和。
［I. 20］
但已证明，BA、AC之和大于BE、EC之和；
因此，BA、AC之和比BD、DC之和更大。
又，由于在任意三角形中，外角大于内对角，
［I. 16］
因此，在三角形CDE中，
外角BDC大于角CED。
此外，同理，在三角形ABE中也有，
外角CEB大于角BAC。
但已证明，角BDC大于角CEB；
因此，角BDC比角BAC更大。
这就是所要证明的。
命题22
由分别等于三条给定直线的三条直线作一个三角形，则任意两条直线之和必定大于另一条直线。
Out of three straight lines, which are equal to three given straight lines, to construct a triangle: thus it is necessary that two of the straight lines taken together in any manner should be greater than the remaining one.
设三条给定直线是A、B、C，其中任意两条之和大于另一条，即
A、B之和大于C，
A、C之和大于B，
B、C之和大于A；
于是，要求由分别等于A、B、C的三条直线作一个三角形。
作一条直线DE，一端为D，但沿E的方向有无限长，
取DF等于A，FG等于B，GH等于C。
［I. 3］
以F为圆心、FD为距离作圆DKL；
又，以G为圆心、GH为距离作圆KLH；
连接KF、KG；
我说，三角形KFG就是由分别等于A、B、C的三条直线所作的三角形。
这是因为，由于点F是圆DKL的圆心，所以
FD等于FK。
但FD等于A；
因此，KF也等于A。
又，由于点G是圆LKH的圆心，所以
GH等于GK。
但GH等于C；
因此，KG也等于C。
而FG也等于B；因此，三条直线KF、FG、GK等于三条直线A、B、C。
这样便由分别等于三条给定直线A、B、C的三条直线KF、FG、GK作出了三角形KFG。
这就是所要作的。
命题23
在给定的直线上并且在其上一点作一个直线角等于给定的直线角。
On a given straight line and at a point on it to construct a rectilineal angle equal to a given rectilineal angle.
设AB是给定的直线，A为其上一点，角DCE为给定的直线角；
于是，要求在给定的直线AB上并且在其上的点A作一个直线角等于给定的直线角DCE。
在直线CD、CE上分别任取点D、E；
连接DE，
由分别等于三条直线CD、DE、CE的三条直线作三角形AFG，取CD等于AF，CE等于AG，DE等于FG。
［I. 22］
于是，由于两边DC、CE分别等于两边FA、AG，且底DE等于底FG，所以
角DCE等于角FAG。
［I. 8］
这样便在给定的直线AB上并且在其上的点A作出了直线角FAG等于给定的直线角DCE。
这就是所要作的。
命题24
若一个三角形的两条边分别等于另一个三角形的两条边，但前者的夹角大于后者的夹角，则较大夹角所对的底也较大。
If two triangles have the two sides equal to two sides respectively, but have the one of the angles contained by the equal straight lines greater than the other, they will also have the base greater than the base.
设ABC、DEF是两个三角形，其中两边AB、AC分别等于两边DE、DF，即AB等于DE，AC等于DF，设A处的角大于D处的角；
我说，底BC也大于底EF。
这是因为，由于角BAC大于角EDF，在直线DE上取其上的点D作角EDG使之等于角BAC；
［I. 23］
取DG等于两直线AC或DF，连接EG、FG。
于是，由于AB等于DE，AC等于DG，所以
两边BA、AC分别等于两边ED、DG；
而角BAC等于角EDG；
因此，底BC等于底EG。
［I. 4］
又，由于DF等于DG，所以
角DGF也等于角DFG，
［I. 5］
因此，角DFG大于角EGF。
因此，角EFG比角EGF更大。
又，由于EFG是一个三角形，其中角EFG大于角EGF，而大角对大边，
［I. 19］
因此，边EG也大于EF。
但EG等于BC。
因此，BC也大于EF。
这就是所要证明的。
命题25
若一个三角形的两条边分别等于另一个三角形的两条边，但前者的底大于后者的底，则较大的底所对的角也较大。
If two triangles have the two sides equal to two sides respectively, but have the base greater than the base, they will also have the one of the angles contained by the equal straight lines greater than the other.
设ABC、DEF是两个三角形，其中两边AB、AC分别等于两边DE、DF，即AB等于DE，AC等于DF；
且设底BC大于底EF；
我说，角BAC也大于角EDF。
这是因为，若非如此，则角BAC要么等于，要么小于角EDF。
现在，角BAC不等于角EDF；因为否则的话，底BC也等于底EF，
［I. 4］
但它并不等于；
因此，角BAC不等于角EDF。
又，角BAC也不小于角EDF，
因为否则的话，底BC也小于底EF，
［I. 24］
但它并不小于；
因此，角BAC不小于角EDF。
但已证明，它们不相等；
因此，角BAC大于角EDF。
这就是所要证明的。
命题26
若一个三角形的两个角分别等于另一个三角形的两个角，且前者的一边等于后者的一边，即这边要么是等角的夹边，要么是一个等角的对边，则它们其余的边也等于其余的边，其余的角也等于其余的角。
If two triangles have the two angles equal to two angles respectively, and one side equal to one side, namely, either the side adjoining the equal angles, or that subtending one of the equal angles, they will also have the remaining sides equal to the remaining sides and the remaining angle to the remaining angle.
设ABC、DEF是两个三角形，其中两角ABC、BCA分别等于两角DEF、EFD，即角ABC等于角DEF，角BCA等于角EFD；又设它们还有一边等于一边，先设是等角所夹的边，即BC等于EF；
我说，它们其余的边也分别等于其余的边，即AB等于DE，AC等于DF，其余的角也等于其余的角，即角BAC等于角EDF。
这是因为，如果AB不等于DE，那么其中一个较大。
设AB较大，取BG等于DE；连接GC。
于是，由于BG等于DE，BC等于EF，所以
两边GB、BC分别等于两边DE、EF；
而角GBC等于角DEF；
因此，底GC等于底DF，
三角形GBC等于三角形DEF，
其余的角等于其余的角，即等边所对的角相等；
［I. 4］
因此，角GCB等于角DFE。
但根据假设，角DFE等于角BCA；
因此，角BCG等于角BCA，
即小的等于大的：这是不可能的。
因此，AB并非不等于DE，
因此等于DE。
但BC也等于EF；
因此，两边AB、BC分别等于两边DE、EF，
而角ABC等于角DEF；
因此，底AC等于底DF，
且其余的角BAC等于其余的角EDF。
［I. 4］
又，设等角的对边相等，如AB等于DE；
我说，其余的边等于其余的边，即AC等于DF，BC等于EF，以及其余的角BAC等于其余的角EDF。
这是因为，如果BC不等于EF，那么其中一个较大。
如果可能，设BC较大，且设BH等于EF；连接AH。
于是，由于BH等于EF，且AB等于DE，所以
两边AB、BH分别等于两边DE、EF，
而它们所夹的角相等；
因此，底AH等于底DF，
三角形ABH等于三角形DEF，
其余的角等于其余的角，即等边所对的角相等；
［I. 4］
因此，角BHA等于角EFD。
但角EFD等于角BCA；
因此，在三角形AHC中，外角BHA等于内对角BCA：这是不可能的。
［I. 16］
因此，BC并非不等于EF，
因此等于它。
但AB也等于DE；
因此，两边AB、BC分别等于两边DE、EF，且它们所夹的角相等；
因此，底AC等于底DF，
三角形ABC等于三角形DEF，
且其余的角BAC等于其余的角EDF。
［I. 4］
这就是所要证明的。
命题27
若一直线与两条直线相交所成的错角彼此相等，则这两条直线彼此平行。
If a straight line falling on two straight lines make the alternate angles equal to one another, the straight lines will be parallel to one another.
设直线EF与两条直线AB、CD相交所成的错角AEF、EFD彼此相等；
我说，AB平行于CD。
因为否则的话，延长AB、CD时，它们要么在B、D方向，要么在A、C方向相交。设它们在B、D方向相交于G。
于是，在三角形GEF中，
外角AEF等于内对角EFG：
这是不可能的。
［I. 16］
因此，AB、CD延长后不会在B、D方向相交。
类似地，可以证明，它们也不会在A、C方向相交。
但不在任何一方相交的两条直线是平行的；
［定义23］
因此，AB平行于CD。
这就是所要证明的。
命题28
若一直线与两直线相交所成的外角等于同位内对角，或者同旁内角之和等于两直角，则这两条直线彼此平行。
If a straight line falling on two straight lines make the exterior angle equal to the interior and opposite angle on the same side, or the interior angles on the same side equal to two right angles, the straight lines will be parallel to one another.
设直线EF与两条直线AB、CD相交所成的同位角EGB与GHD相等，或者同旁内角即BGH、GHD之和等于两直角；
我说，AB平行于CD。
这是因为，由于角EGB等于角GHD，而角EGB等于角AGH，
［I. 15］
因此，角AGH也等于角GHD；
而它们是错角；
因此，AB平行于CD。
［I. 27］
又，由于角BGH、GHD之和等于两直角，而角AGH、BGH之和也等于两直角，
［I. 13］
所以角AGH、BGH之和等于角BGH、GHD之和。
从它们中分别减去角BGH；
因此，其余的角AGH等于其余的角GHD；而它们是错角；
因此，AB平行于CD。
［I. 27］
这就是所要证明的。
命题29
一直线与平行直线相交所成的错角相等，外角等于同位内对角，且同旁内角之和等于两直角。
A straight line falling on parallel straight lines makes the alternate angles equal to one another, the exterior angle equal to the interior and opposite angle, and the interior angles on the same side equal to two right angles.
设直线EF与平行直线AB、CD相交。
我说，错角AGH、GHD相等，同位角EGB、GHD相等，且同旁内角即BGH、GHD之和等于两直角。
这是因为，如果角AGH不等于角GHD，则其中一个较大。
设角AGH较大。
给它们分别加上角BGH；
因此，角AGH、BGH之和大于角BGH、GHD之和。
但角AGH、BGH之和等于两直角；
［I. 13］
因此，角BGH、GHD之和小于两直角。
但两条直线无定限延长后在两个内角之和小于两直角的一侧相交；
［公设5］
因此，AB、CD若无定限延长会相交；
但它们并不相交，因为根据假设它们是平行的。
因此，角AGH并非不等于角GHD，因此等于它。
又，角AGH等于角EGB；
［I. 15］
因此，角EGB也等于角GHD。
［公理1］
给它们分别加上角BGH；
因此，角EGB、BGH之和等于角BGH、GHD之和。
［公理2］
但角EGB、BGH之和等于两直角；
［I. 13］
因此，角BGH、GHD之和等于两直角。
这就是所要证明的。
命题30
平行于同一直线的直线也彼此平行。
Straight lines parallel to the same straight line are also parallel to one another.
设直线AB、CD中的每一条都平行于EF；
我说，AB也平行于CD。
这是因为，设直线GK与它们相交。
于是，由于直线GK与平行直线AB、EF都相交，所以
角AGK等于角GHF。
［I. 29］
又，由于直线GK与平行直线EF、CD都相交，所以
角GHF等于角GKD。
［I. 29］
但已证明，角AGK也等于角GHF；
因此，角AGK也等于角GKD；
［公理1］
且它们都是错角。
因此，AB平行于CD。
这就是所要证明的。
命题31
过给定点作一直线平行于给定直线。
Through a given point to draw a straight line parallel to a given straight line.
设A是给定点，BC是给定直线；
于是，要求过点A作一直线平行于直线BC。
在BC上任意取一点D，连接AD；
在直线DA上并且在其上的点A作角DAE等于角ADC；
［I. 23］
作EA的延长线AF。
于是，由于直线AD与两条直线BC、EF交成彼此相等的错角EAD、ADC，
因此，EAF平行于BC。
［I. 27］
过给定点A，这样便作出了平行于给定直线BC的直线EAF。
这就是所要作的。
命题32
在任意三角形中，若延长一边，则外角等于两内对角之和，且三角形的三个内角之和等于两直角。
In any triangle, if one of the sides be produced, the exterior angle is equal to the two interior and opposite angles, and the three interior angles of the triangle are equal to two right angles.
设ABC是一个三角形，延长它的一边BC到D；
我说，外角ACD等于两个内对角CAB、ABC之和，且三角形的三个内角ABC、BCA、CAB之和等于两直角。
这是因为，过点C作CE平行于直线AB，
［I. 31］
于是，由于AB平行于CE，且AC与它们相交，所以
错角BAC、ACE彼此相等。
［I. 29］
又，由于AB平行于CE，且直线BD与它们相交，所以
外角ECD等于其同位角ABC。
［I. 29］
但已证明，角ACE也等于角BAC；
因此，整个角ACD等于两内对角BAC、ABC之和。
给它们分别加上角ACB；
因此，角ACD、ACB之和等于三个角ABC、BCA、CAB之和。
但角ACD、ACB之和等于两直角；
［I. 13］
因此，角ABC、BCA、CAB之和也等于两直角。
这就是所要证明的。
命题33
［在端点处］沿相同方向［分别］连接相等且平行的直线，连成的直线自身也相等且平行。
The straight lines joining equal and parallel straight lines ［at the extremities which are］ in the same directions ［respectively］ are themselves also equal and parallel.
设AB、CD相等且平行，AC、BD是［在端点处］沿相同方向［分别］连接它们的直线；
我说，AC、BD相等且平行。
连接BC。
于是，由于AB平行于CD，且BC与它们相交，所以
错角ABC、BCD彼此相等。
［I. 29］
又，由于AB等于CD，且BC公用，所以
两边AB、BC分别等于两边DC、CB；
而角ABC等于角BCD；
因此，底AC等于底BD，
三角形ABC等于三角形DCB，
其余的角也分别等于其余的角，即这些相等的边所对的角也相等。
［I. 4］
因此，角ACB等于角CBD。
又，由于直线BC与两直线AC、BD交成的错角彼此相等，所以
AC平行于BD。
［I. 27］
且已证明它们也相等。
这就是所要证明的。
命题34
在平行四边形面中，对边相等、对角相等且对角线二等分其面。
In parallelogrammic areas the opposite sides and angles are equal to one another, and the diameter bisects the areas.
设ACDB是一个平行四边形面，BC是其对角线；
我说，这个平行四边形面ACDB的对边相等、对角相等且对角线BC将它二等分。
这是因为，由于AB平行于CD，且直线BC与它们相交，所以
错角ABC、BCD彼此相等。
［I. 29］
又，由于AC平行于BD，且BC与它们相交，所以
错角ACB、CBD彼此相等。
［I. 29］
因此，在ABC、DCB这两个三角形中，两个角ABC、BCA分别等于两个角DCB、CBD，且一条边等于对应的一条边，即等角所夹的二者公共的边BC。
因此，它们其余的边分别等于其余的边，其余的角也等于其余的角；
［I. 26］
因此，边AB等于CD，
AC等于BD，
以及角BAC等于角CDB。
又，由于角ABC等于角BCD，
且角CBD等于角ACB，所以
整个角ABD等于整个角ACD。
［公理2］
也已经证明，角BAC等于角CDB。
因此，在平行四边形面中，对边相等，对角相等。
其次我说，对角线也二等分其面。
这是因为，由于AB等于CD，且BC公用，所以
两边AB、BC分别等于两边DC、CB；
而角ABC等于角BCD；
因此，底AC等于底DB，
且三角形ABC等于三角形DCB。
［I. 4］
因此，对角线BC二等分平行四边形ACDB。
这就是所要证明的。
命题35
同底且在相同的平行线之间的平行四边形彼此相等。[8]
Parallelograms which are on the same base and in the same parallels are equal to one another.
设ABCD、EBCF是同底BC且在相同的平行线AF、BC之间的平行四边形。
我说，平行四边形ABCD等于平行四边形EBCF。
这是因为，由于ABCD是平行四边形，所以
AD等于BC。
［I. 34］
同理，也有
EF等于BC，
因此，AD也等于EF；
［公理1］
又，DE公用；
因此，整个AE等于整个DF。
［公理2］
但AB也等于DC；
［I. 34］
因此，两边EA、AB分别等于两边FD、DC，且角FDC等于角EAB，即同位角相等；
［I. 29］
因此，底EB等于底FC，
三角形EAB等于三角形FDC。
［I. 4］
从它们中分别减去三角形DGE；
因此，剩余的不规则四边形ABGD等于剩余的不规则四边形EGCF。
［公理3］
给它们分别加上三角形GBC；
因此，平行四边形ABCD等于平行四边形EBCF。
［公理2］
这就是所要证明的。
命题36
等底且在相同的平行线之间的平行四边形彼此相等。
Parallelograms which are on equal bases and in the same parallels are equal to one another.
设ABCD、EFGH是等底BC、FG且在相同的平行线AH、BG之间的平行四边形。
我说，平行四边形ABCD等于EFGH。
这是因为，BC等于FG，而FG等于EH，所以
BC也等于EH。
［公理1］
且它们也平行。
连接EB、HC；
但［在端点处］沿相同方向［分别］连接相等且平行的直线，连成的直线自身也相等且平行。
［I. 33］
因此，EBCH是一个平行四边形。
［I. 34］
且它等于平行四边形ABCD；
因为它们有相同的底BC，且在相同的平行线BC、AH之间。
［I. 35］
同理，EFGH也等于平行四边形EBCH；
［I. 35］
因此，平行四边形ABCD也等于EFGH。
［公理1］
这就是所要证明的。
命题37
同底且在相同的平行线之间的三角形彼此相等。
Triangles which are on the same base and in the same parallels are equal to one another.
设三角形ABC、DBC同底且在相同的平行线AD、BC之间；
我说，三角形ABC等于三角形DBC。
沿两个方向延长AD到E、F；
过B作BE平行于CA，
［I. 31］
过C作CF平行于BD。
［I. 31］
于是，图形EBCA、DBCF中的每一个都是平行四边形；
且它们相等，因为它们同底BC且在平行线BC、EF之间。
［I. 35］
此外，三角形ABC是平行四边形EBCA的一半；因为对角线AB将它二等分。
［I. 34］
又，三角形DBC是平行四边形DBCF的一半；因为对角线DC将它二等分。
［I. 34］
＜因等量的一半也彼此相等。＞
因此，三角形ABC等于三角形DBC。
这就是所要证明的。
命题38
等底且在相同的平行线之间的三角形彼此相等。
Triangles which are on equal bases and in the same parallels are equal to one another.
设三角形ABC、DEF等底BC、EF且在相同的平行线BF、AD之间；
我说，三角形ABC等于三角形DEF。
这是因为，沿两个方向延长AD到G、H；过B作BG平行于CA，
［I. 31］
过F作FH平行于DE。
于是，图形GBCA、DEFH中的每一个都是平行四边形；
且GBCA等于DEFH；
这是因为，它们等底BC、EF且在相同的平行线BF、GH之间。
［I. 36］
此外，三角形ABC是平行四边形GBCA的一半；
因为对角线AB将它二等分。
［I. 34］
又，三角形FED是平行四边形DEFH的一半；
因为对角线DF将它二等分。
［I. 34］
＜因等量的一半也彼此相等。＞
因此，三角形ABC等于三角形DEF。
这就是所要证明的。
命题39
同底且在同侧的相等三角形也在相同的平行线之间。
Equal triangles which are on the same base and on the same side are also in the same parallels.
设ABC、DBC是同底BC且在其同侧的相等三角形。
＜我说，它们也在相同的平行线之间。＞
又，＜因为＞连接AD；
我说，AD平行于BC。
因为否则的话，过点A作AE平行于直线BC，
［I. 31］
连接EC。
因此，三角形ABC等于三角形EBC；
因为它们同底BC且在相同的平行线之间。
［I. 37］
但三角形ABC等于三角形DBC；
因此，三角形DBC也等于三角形EBC，
［公理1］
大的等于小的：这是不可能的。
因此，AE不平行于BC。
类似地，可以证明，除AD外，其他任何直线都不平行于BC；
因此，AD平行于BC。
这就是所要证明的。
＜命题40[9]?
等底且在同侧的相等三角形也在相同的平行线之间。
Equal triangles which are on equal bases and on the same side are also in the same parallels.
设ABC、CDE是等底BC、CE且在底的同侧的相等三角形。
我说，这两个三角形在相同的平行线之间。
这是因为，连接AD；
我说，AD平行于BE。
因为若非如此，过A作AF平行于BE，
［I. 31］
连接FE。
因此，三角形ABC等于三角形FCE；
这是因为，它们等底BC、CE且在相同的平行线BE、AF之间。
［I. 38］
但三角形ABC等于三角形DCE；
因此，三角形DCE也等于三角形FCE，
［公理1］
大的等于小的：这是不可能的。
因此，AF不平行于BE。
类似地，可以证明，除AD外，其他任何直线都不平行于BE。
因此，AD平行于BE。
这就是所要证明的。＞
命题41
若一个平行四边形和一个三角形同底且在相同的平行线之间，则这个平行四边形是这个三角形的二倍。
If a parallelogram have the same base with a triangle and be in the same parallels, the parallelogram is double of the triangle.
设平行四边形ABCD和三角形EBC同底BC且在相同的平行线BC、AE之间；
我说，平行四边形ABCD是三角形BEC的二倍。
这是因为，连接AC，
于是，三角形ABC等于三角形EBC；
这是因为，二者同底BC且在相同的平行线BC、AE之间。
［I. 37］
但平行四边形ABCD是三角形ABC的二倍；
这是因为，对角线AC将ABCD二等分。
［I. 34］
因此，平行四边形ABCD也是三角形EBC的二倍。
这就是所要证明的。
命题42
以给定的直线角作一个平行四边形等于给定的三角形。
To construct, in a given rectilineal angle, a parallelogram equal to a given triangle.
设ABC是给定的三角形，D是给定的直线角；
于是，要以直线角D作一个平行四边形等于三角形ABC。
设BC被二等分于E，连接AE；
在直线EC上且在其上的点E作角CEF等于角D；
［I. 23］
过A作AG平行于EC，
并且过C作CG平行于EF。
［I. 31］
于是，FECG是平行四边形。
又，由于BE等于EC，所以
三角形ABE也等于三角形AEC，
这是因为，它们的底BE、EC相等且在相同的平行线BC、AG之间；
［I. 38］
因此，三角形ABC是三角形AEC的二倍。
但平行四边形FECG也是三角形AEC的二倍，因为二者同底且在相同的平行线之间；
因此，平行四边形FECG等于三角形ABC。
且它的角CEF等于给定的角D。
这样便作出了平行四边形FECG等于给定的三角形ABC，且角CEF等于角D。
这就是所要作的。
命题43
在任意平行四边形中，跨在对角线两边的平行四边形的补形彼此相等。
In any parallelogram the complements of the parallelograms about the diameter are equal to one another.
设ABCD是平行四边形，AC是它的对角线；
EH、FG是跨在AC两边的平行四边形，BK、KD为所谓的补形；
我说，补形BK等于补形KD。
这是因为，由于ABCD是平行四边形，且AC是它的对角线，所以
三角形ABC等于三角形ACD。
［I. 34］
又，由于EH是平行四边形，且AK是它的对角线，所以
三角形AEK等于三角形AHK。
同理，
三角形KFC也等于三角形KGC。
现在，由于三角形AEK等于三角形AHK，
且KFC等于KGC，所以
三角形AEK与KGC之和等于三角形AHK与KFC之和。
［公理2］
而整个三角形ABC也等于整个三角形ADC；
因此，余下的补形BK等于余下的补形KD。
［公理3］
这就是所要证明的。
命题44
以给定的直线角，对一给定的直线贴合出一个平行四边形，使它等于给定的三角形。
To a given straight line to apply, in a given rectilineal angle, a parallelogram equal to a given triangle.
设AB是给定的直线，C是给定的三角形，D是给定的直线角；
于是，要求以一个等于角D的角，对给定的直线AB贴合出一个平行四边形，使它等于给定的三角形C。
以等于角D的角EBG，作平行四边形BEFG等于三角形C；
［I. 42］
使BE与AB成一直线；
延长FG到H，
并且过A作AH平行于BG或EF。
［I. 31］
连接HB。
于是，由于直线HF与平行线AH、EF相交；所以
角AHF、HFE之和等于两直角。
［I. 29］
因此，角BHG、GFE之和小于两直角；
但两条直线无定限延长后在两个内角之和小于两直角的一侧相交；
［公设5］
因此，HB、FE延长后会相交。
设它们延长后交于K；
过点K作KL平行于EA或FH，
［I. 31］
并把HA、GB延长到点L、M。
于是，HLKF是平行四边形，
HK是它的对角线，
AG、ME是平行四边形，
LB、BF是跨在HK两边的补形；
因此，LB等于BF。
［I. 43］
但BF等于三角形C；
因此，LB也等于三角形C。
［公理1］
又，由于角GBE等于角ABM，
［I. 15］
而角GBE等于角D，所以
角ABM也等于角D。
这样便以等于角D的角ABM，对给定的直线AB贴合出了平行四边形LB，它等于给定的三角形C。
这就是所要作的。
命题45
以给定的直线角作一个平行四边形，使它等于给定的直线形。
To construct, in a given rectilineal angle, a parallelogram equal to a given rectilineal figure.
设ABCD是给定的直线形，E是给定的直线角；
于是，要求以给定的直线角E作一个平行四边形，使它等于直线形ABCD。
连接DB，以等于角E的角HKF作平行四边形FH等于三角形ABD；
［I. 42］
又对直线GH贴合出一个平行四边形GM等于三角形DBC，其中角GHM等于角E。
［I. 44］
于是，由于角E等于角HKF、GHM中的每一个，所以
角HKF也等于角GHM。
［公理1］
给它们分别加上角KHG；
因此，角FKH、KHG之和等于角KHG、GHM之和。
但角FKH、KHG之和等于两直角；
［I. 29］
因此，角KHG、GHM之和也等于两直角。
于是，以直线GH和它上面的点H所作的不在同侧的两直线KH、HM所成邻角之和等于两直角；
因此，KH和HM在同一直线上。
［I. 14］
又，由于直线HG与平行线KM、FG相交，所以
错角MHG、HGF彼此相等。
［I. 29］
给它们分别加上角HGL；
因此，角MHG、HGL之和等于角HGF、HGL之和。
［公理2］
但角MHG、HGL之和等于两直角；
因此，角HGF、HGL之和也等于两直角。
［公理1］
因此，FG和GL在同一直线上。
［I. 14］
又，由于FK等于且平行于HG，
［I. 34］
HG也等于且平行于ML，所以
KF也等于且平行于ML；
［公理1；I. 30］
连接直线KM、FL；
因此，KM、FL相等且平行。
［I. 33］
因此，KFLM是平行四边形。
又，由于三角形ABD等于平行四边形FH，三角形DBC等于平行四边形GM，所以整个直线形ABCD等于整个平行四边形KFLM。
这样便以等于给定的直线角E的角FKM作出了一个平行四边形KFLM，它等于给定的直线形ABCD。
这就是所要作的。
命题46
在给定的直线上作一个正方形。
On a given straight line to describe a square.
设AB是给定的直线；
于是，要求在直线AB上作一个正方形。
从直线AB上的点A作直线AC与AB成直角；
［I. 11］
取AD等于AB；
过点D作DE平行于AB，
过点B作BE平行于AD。
［I. 31］
因此，ADEB是平行四边形；
因此，AB等于DE，AD等于BE。
［I. 34］
因AB等于AD；
因此，四条直线BA、AD、DE、EB彼此相等；
因此，平行四边形ADEB是等边的。
其次我说，它也是成直角的。
这是因为，由于直线AD与平行线AB、DE相交，所以
角BAD、ADE之和等于两直角。
［I. 29］
但角BAD是直角；
因此，角ADE也是直角。
而在平行四边形面中，对边相等、对角相等；
［I. 34］
因此，对角ABE、BED中的每一个也都是直角。
因此，ADEB四个角均为直角。
而已经证明它也是等边的。
因此，它是在直线AB上所作的一个正方形。
这就是所要作的。
命题47
在直角三角形中，直角所对边上的正方形等于两直角边上的正方形之和。
In right-angled triangles the square on the side subtending the right angle is equal to the squares on the sides containing the right angle.
设ABC是直角三角形，角BAC是直角。
我说，BC上的正方形等于BA、AC上的正方形之和。
这是因为，在BC上作正方形BDEC，在BA、AC上作正方形GB、HC；
［I. 46］
过A作AL平行于BD或CE，
连接AD、FC。
于是，由于角BAC、BAG中的每一个都是直角，
所以过直线BA上点A的两条直线AC、AG不在直线BA的同侧，且和直线BA所成邻角之和等于两直角，
因此，CA和AG在同一直线上。
［I. 14］
同理，BA和AH也在同一直线上。
又，由于角DBC等于角FBA：因为每一个角都是直角：
给它们分别加上角ABC；
因此，整个角DBA等于整个角FBC。
［公理2］
又，由于DB等于BC，FB等于BA，所以
两边AB、BD分别等于两边FB、BC；
而角ABD等于角FBC；
因此，底AD等于底FC，
三角形ABD等于三角形FBC。
［I. 4］
现在，平行四边形BL是三角形ABD的二倍，因为它们有同底BD且在相同的平行线BD、AL之间。
［I. 41］
又，正方形GB是三角形FBC的二倍，因为它们也同底FB且在相同的平行线FB、GC之间。
［I. 41］
＜但等量的二倍也彼此相等。＞
因此，平行四边形BL也等于正方形GB。
类似地，若连接AE、BK，则也可以证明平行四边形CL等于正方形HC；
因此，整个正方形BDEC等于两个正方形GB、HC之和。
［公理2］
而正方形BDEC是在BC上作出的，正方形GB、HC是在BA、AC上作出的。
因此，边BC上的正方形等于边BA、AC上的正方形之和。
这就是所要证明的。
命题48
在一个三角形中，若一边上的正方形等于三角形其余两边上的正方形之和，则其余两边所夹的角为直角。
If in a triangle the square on one of the sides be equal to the squares on the remaining two sides of the triangle, the angle contained by the remaining two sides of the triangle is right.
在三角形ABC中，设边BC上的正方形等于边BA、AC上的正方形之和；
我说，角BAC是直角。
这是因为，从点A作AD与直线AC成直角，
取AD等于BA，
连接DC。
由于DA等于AB，所以
DA上的正方形也等于AB上的正方形。
给它们分别加上AC上的正方形；
因此，DA、AC上的正方形之和等于BA、AC上的正方形之和。
但DC上的正方形等于DA、AC上的正方形之和，因为角DAC是直角；
［I. 47］
而BC上的正方形等于BA、AC上的正方形之和，因为这是假设；
因此，DC上的正方形等于BC上的正方形，
因此，边DC也等于边BC。
又，由于DA等于AB，AC公用，所以
两边DA、AC等于两边BA、AC；
而底DC等于底BC；
因此，角DAC等于角BAC。
［I. 8］
但角DAC是直角；
因此，角BAC也是直角。
这就是所要证明的。
[1]?欧几里得的希腊文本（第一个印刷版于1533年问世）中的定义、公设和公理本来是没有编号的。其定义是连续地叙述出来的，它更像是一篇讨论术语如何使用的序言，而不是充当后续命题的公理基础。这里我们遵循英译者托马斯·希思（Thomas L. Heath）所使用的格式。（译者注）
[2]?按照现在的理解，直线是无限的，而希腊人所说的直线却是有限的，本书没有按照现在的理解把“直线”译成“线段”。此外，对于这个“直线”定义，其希腊文原文的含义非常模糊，历史上有着各种不同解读，希思给出的英译文也不够明确。有兴趣的读者可查阅希思所作的解说。（译者注）
[3]?按照现在的理解，“圆周”是一个正圆，而希腊人所说的“圆周”却是圆的一部分，相当于现在所说的“弧”。本书没有按照现在的理解把“圆周”译成“弧”。（译者注）
[4]?Q.E.F.是拉丁文“quod erat faciendum”的缩写，即“这就是所要求（作）的”。（译者注）
[5]?本书中的方括号“［ ］”表示其中所括文字乃是希思提供的内容，它们能够帮助澄清，但并不见诸希腊文本。（译者注）
[6]?Q.E.D.是拉丁文“quod erat demonstrandum”的缩写，即“这就是所要证明的”。（译者注）
[7]?本书中的尖括号“＜ ＞”表示其中所括文字被学者们视为某位早期编者所作的插补，即非欧几里得原作。此条推论在普罗克洛斯（Proclus，410—485）的时代即已见于抄本。（译者注）
[8]?按照现有的理解，两个平行四边形相等是指两个平行四边形全等，而按照古希腊人的说法，面积相等亦用相等（equal）表述，因此本书未按照现有理解将“相等”译成“面积相等”。
[9]?整个命题I. 40都用＜ ＞括起来了，因为根据希思的说法，“海贝格（Heiberg）已经证明，……这个命题”乃是某位编者所作的“插补”（interpolation）。（译者注）
