哲学的特征就在于，从貌似微不足道的简单事物出发，最终得出貌似自相矛盾以至于无人相信的结论。
——伯特兰·罗素
数学家就像小情人。给数学家提供一丁点儿原则，他就会由此推导出一个结果并向你索取它，接下来他还会从这个结果推导出下一个同样会向你索取的结果。
——伯纳德·德·方特纳尔（Bernard de Fontenelle）
数学中最有名的违反人类直觉的公理要数著名的巴拿赫–塔斯基分球悖论：先按照你想要的任意尺寸挑选一个球，比如说足球；然后我们总是可以把这个球分成五部分，经过一定的方式重新排列，就可以还原回去两个立体球，而且都和原来的球一样大。现在我们再进行一次，你就能够得到四个立体球；次数足够多时，这些球足以填充整个宇宙。
如果你不确定有多少人会来参加你的生日派对，这个理论听起来就很有用了。你只需要按照你想要的尺寸烤一个蛋糕（要是这个定理生效的话，你甚至无须特意烤球形的蛋糕），把它切成形状合适的5份，然后把它们按照正确的方式重新组合起来，你就获得了两个和原来一样的大蛋糕。
不幸的是，巴拿赫–塔斯基定理仅适用于真正的固体物质，而生日蛋糕还远远算不上固体。现实世界中的其他任何东西都不是，因为它们都是由原子构成的，而原子大部分是空的。“巴拿赫–塔斯基分球悖论”冲击着我们的直觉，是因为我们对它提到的所谓真实的固体的状态并无任何了解。
我们知道“巴拿赫–塔斯基分球悖论”在逻辑上是成立的，只不过我们并没有证据来证明它，更不能依靠直觉或洞察力来揭示它，而只能靠纯粹的逻辑推导来得出这样的结论，这种简单的证明是任何一位数学专业的大一新生都能理解的。反过来说，其证明只能依靠对数学法则和集合论的基本概念的掌握程度，而不是我所强调的逻辑之外的理由来推导。但只要将那些基本概念作为条件，我们就能按照逻辑原理推导出“巴拿赫–塔斯基分球悖论”。
这个悖论的寓意就是，有些知识只能凭借逻辑推理来了解。这不仅适用于数学知识，还适用于我将介绍到的后文中的一些经济学范例。但我们还是先继续关注数学知识吧。
如果你想要一个简洁、漂亮且功能强大的很好的数学上的证明范例的话，那么请返回到第三章——事实上那是我所知道的最好的范例。那一论证表明有限的质数列表不可能是完整的（或者换句话来说就是，质数有无限多个）。就如同这个巴拿赫–塔斯基定理，单纯依靠观察、直觉或者超感官知觉绝对无法得出结果。我们需要做出证明。
举一个更令人吃惊的例子吧。从自然数里随机选择一个数，它不能被任意的平方数（1除外）整除的概率是多少呢？[1]准确的答案是6/π2，或者约等于60.79%。这个π就是你在几何课上学到的圆周率——那个约等于3.14的数。像60.79这样的数字并没有什么特别有趣之处，但是这个π就有点吸引你的眼球了。为什么圆周周长长和其直径的比率会出现在一个算术问题中？
要证明6/π2就是那个正确的答案要比证明质数的无限性还要难，但是又比证明巴拿赫–塔斯基定理要容易点。为了满足那些对此类内容感兴趣（而且还能良好掌握大学微积分知识）的人，我已经将自己的证明过程发布到了网上，网址是：http://www.thebig-questions.com/pi.pdf。
在数学上，纯逻辑能够揭示很多伟大的真理。在其他领域也是如此。例如，纯粹的逻辑——无须补充任何证据——可以告知我世界已经陷入重度空气污染中了。这听起来或许不足为奇。诚然，人们都不喜欢污染，但这并不能证明我们已经造成了太严重的污染。毕竟，人们都不喜欢支付账单，这也不能证明我们已经支付过太多账单了。污染，就像买单一样，是那些我们珍视的事物（例如电力、现代建筑和乘飞机旅行）所附带的令人不愉快的副产品。确切的数目当然不会为零。
因此，如果这个量不是零的话，我如何来确定就是很多，而不是很少或者只是适量呢？我怎么能在不知道污染及污染所造成的损害的具体程度的情况下就做出这样的断言呢？让我们从谈论一个大肥猪的案例来寻找答案吧。
我曾经的一个研究生和一位兽医学教授奥德里奇同名。有一天，她收到了一封来自本地农民的（明显是寄错对象的）信件，这封信的内容如下：
亲爱的奥德里奇博士：
我们在10月份从朗蒙特市的阿斯塔西亚·孔普夫那里购买了一头大肥猪。兽医说我们得有一份关于这头猪的包含伪狂犬病检查的健康报告。据我们从阿斯塔西亚那里了解到的情况，她把她的猪群送到大学里检查过。她也给了我们您的大名。那么，您能够把有关检验这头大肥猪血液的最好方法教给我们吗？我们确实希望您能在这个问题上帮助我们。谢谢！
约翰·温尼坎普
她的回复如下：
亲爱的约翰·温尼坎普先生：
虽然我并不是大肥猪血液检验方面的专家，但我深信，如果正确运用基本的经济学原理，就能够以最有效的方式完成这一任务。
大肥猪的血液应该一直被测试下去，直到测试的边际成本正好等于测试的边际效益。[2]
也许这个图可以说明我的观点：
真诚的，
奥尔德里奇博士
试图解释这个有趣的笑话，或许存在一个风险，那就是会糟蹋它，我发现奥尔德里奇博士的建议既是完全正确的，又是毫无用处的。在第一次、第二次和第三次抽取一加仑猪血的时候，图表显示，检验带来的边际效益（以美元衡量）超过了边际成本，所以这些猪血应该被检验。[3]（事实上，要检验猪血的话，我们本来应该选择比加仑小一些的单位，那样更合适。）这种情况一直不变，直到我们检验的猪血数量增加到Q*加仑，此时边际成本和边际效益完全相当。对于后续的检验来说，检验的边际成本超过了边际效益，所以你测试到Q*加仑就应该停下来。
这个分析的确简洁、漂亮。不幸的是，我们并不知道Q*到底是4还是8还是17。我们怎么可以像“奥尔德里奇博士”那样，在对大肥猪完全没有任何专业研究的情况下就随意在一张纸上画几条曲线来解决问题呢？（当然，这就是这件事能变成冷笑话的原因。）
这是一个多么了不起的发现啊！我们并不比“奥尔德里奇博士”拥有更多的专业知识，也不比他更用心，我们却能够使用同一张示意图来发现一些关于世界本质的问题。
假设这样一种情况，当农夫温尼坎普给他的猪抽血时，猪大声嚎叫，由此惹恼了邻居。那么，我们就可以在示意图里增加一条曲线。之前的个人边际成本曲线，用来衡量温尼坎普先生所关注的花费情况（时间、精力和用来进行血液检验的材料），除去这条曲线，我们得到了一个新的社会边际成本曲线，涵盖了所有这些成本，加上施加于邻居的成本：
如果完全不考虑邻居的烦恼的话，温尼坎普先生仍然有必要去检验恰好Q*加仑的猪血。另一方面，如果我们考虑到邻居的因素，而且你想使所有效益超过所有成本（包括邻居的烦恼对应的成本）部分最大化，你会想让他只测试Q**加仑的猪血。
所以现在你了解到的情况就是：自私的温尼坎普先生要测验恰好Q*加仑的猪血，而一个有社会意识的观察员则只想让他测试Q**加仑的猪血。还和以前一样，我们根本不知道Q*和Q**的具体值。这个看上去和之前的示意图一样没什么用处。
除了一点例外，这一次我们接触到了一个真实的、深刻的事实。那就是，Q*总会出现在Q**的右边。换句话说，当你因抽猪血而惹邻居不悦时，你抽取了更多的血，多于你应该抽取的数量。这样的道理同样适用于任何会惹恼邻居的行为，例如污染了空气。
这里使用的“应该”一词有着非常精确的含义。对你和其他人而言——如果它带来的所有效益——超越了它耗费的所有成本，那么我在说的就是你应该这样做。而血液测验图描述了一个重要的普遍原则：当你的行为带来的成本会部分波及你的邻居时，你在这些行为上实际花费的精力其实比你“应该”花费的要多。
这是经济学中的一个基本原理。它也是——完全无法得到验证——至少在这个给肥猪抽血测验的事件中是这样的。无法验证是因为我们在实际做的时候无法知晓邻居到底会有多恼怒，因此也无法实际测量出相关的成本和收益。不过，即使这是一个无法验证的命题，我们仍然知道它是真的。只要社会边际成本曲线一直在个人边际成本曲线的上方，我们就知道Q*总会出现在Q**的右边。这是一个纯几何学结论，自欧几里德发现几何学原理以来，纯几何学比任何观察方法要靠谱得多，且更具指导意义，最起码这对某些种类的真理来说是这样的。
我们还可以根据类似的示意图确立一个类似的原则：当你的行为产生的效益会部分波及你的邻居时，你在这些行为上实际花费的精力其实比你“应该”花费的要少。
你可能会觉得这些原则都非常显而易见，但它们带来的后果却并不是如此。比如说，我们来思考一下这个问题：世界上的一夜情行为是太过泛滥还是太过罕见？[4]
我们先来做一个思维实验。我们来假设你（未必就是现实世界中的你，仅仅是一些你的虚构版）是一个不计后果、不检点、过去有着一大群性伙伴的人。这样一来，你染上某些可怕疾病的可能性就非常大。每次你跟一个新的性伙伴发生关系，你都有可能将这种可怕的疾病传染开来。
不过，这并不能证明你就不应该跟任何人发生性关系，它甚至不能证明你的性伙伴太多了。就像污染一样，你的不计后果也能带来一些效益，这效益至少可以抵消部分成本。你的放纵大概给很多人都带来了快乐。因此，关于你的性伙伴是太多了还是太少了，答案并不会立刻显现出来。但我敢肯定你的性伙伴太多了，就像出于同样的理由，我敢肯定世界的污染太严重了一样——因为你的行为成本会部分波及我们其他人。我们都在同一个池塘里钓鱼，每次你跳进池塘里，都会污染池塘里的水。而在给大肥猪抽血的例子中，我可以说你跳进池塘的次数实在太多了。如果你表现出一定的自我克制的话，世界会变得更加美好。
我认为，这一点很容易理解，也容易让人相信。但是现在让我们来看看这个例子的另一面，所有令人惊讶的结论都出来了。
现在假设你是一个在性方面很谨慎、很保守的人，几乎没有性伙伴，因此你极不可能感染上某些很可怕的疾病。当你跳进大家垂钓的池塘时，你可以魔法般地让它变得更加干净。今天和你回家过夜的性伙伴注定会享受一整晚安全的性行为。你的这些性伙伴们自己都没意识到自己有多么幸运。
这一次波及他人身上的就不是你的行为成本了，而是你的行为所产生的效益。这一点可能意味着你的性伙伴的确太少了。正如污染者跳到池塘里的次数太多，而你跳进去的次数还远远不够。如果我们能让你得到更多的性伙伴，这世界也会变得更安全、更快乐。
实际上，有两个原因可以使我们的世界变得更美好，我只提到了其中的一个：你们这对偶遇的性伙伴开始享受相对安全的性行为。你还能通过第二种方式来让世界变得更美好，这种方式有点恐怖但却可能有很重要的实证意义。下面我来展示一下：外面来了些感染了疾病的人，而如果你今晚要去寻找一个性伙伴，你就很有可能把其中一个被感染的人带回家。然后你自己就可能被感染。最终，你会生病，甚至死掉。如果有人会在今晚染病，我宁愿染病的人是性行为谨慎的你，而不是不检点的彼得，因为他会在自己死前感染二十来个其他人。
现在的话，这一论证没什么问题，但不幸的是，你不能拿这个作为搭讪别人的准则。比如在酒吧里，你绝不会离谱到跟人这样说：“跟我回家吧，这样我就能感染你，而不会传染给其他别的人。”这里的整个要点是，对于个体决策者来说，这是件很好的事情，而这对于其他人来说就不是一回事了。环境污染者不会关注他们的烟囱给别人带来的损害；不检点的彼得也不会关注自己散布出去的病毒，而你——这个在性方面很谨慎、很保守的人——不会关注那些因为你过度守身如玉而死在滥交者手上的人。
于此，我们应该怎么做呢？比较理想的情况就是，我们会想办法鼓励那些在性方面很谨慎、很保守的人带走更多的性伙伴。不需要太多——我们并不是想把他们全部变成不检点的彼得的翻版。仅仅多一点就可以了。我们如何才能做到这一点呢？我也不知道答案，尽管我认为免费发放避孕套也许是朝着正确的方向迈出了一小步。
如果我们能以某种方式让那些在性方面很谨慎、很保守的人稍微放松一点，世界可能会因此变得更美好——艾滋病患者会减少，快乐的记忆会更多。最值得注意的是，我们可以通过纯粹的逻辑推理得出这一点，根本不需要任何依据。
那么，世界究竟会因此变好吗？首先，你的（大概是两厢情愿的）性伙伴们应该会获得更多的乐趣。诚然，她们得冒着患病的风险，但是她们已经确定你值得冒这样的风险——甚至在她们根本不知道这风险到底有多低时。其次，你通过提高安全的偶然性性行为的比例，而且（或者）从不检点的彼得那里夺过来一些性伙伴，从而实际上或许会减缓传染病的传染速度。从另一方面来讲，你也可能加快传染病的散播速度——毕竟，我们其实还不能确认你现在还没有感染疾病。
这结果喜忧参半。接下来你的性伙伴会导致第二轮影响，而你的性伙伴的性伙伴会导致第三轮影响。能不能从头到尾理出整个过程的利弊，这是一个重要的研究项目。幸运的是，我们已经预先知道了如何去核定预算。总而言之，让那些在性方面相对谨慎、保守的人变得略微滥交一些，这是一件好事。[5]
如果你发觉这个结论令人惊讶的话，那么请记住，这是严格按照我们得知世界上的污染情况很严重的思维方式推导出的结论。如果你相信世界上的污染情况很严重，你必定也相信大家都守身如玉的情况也很严重。
请允许我对于这一点再啰唆一次：你不需要去了解大肥猪，但你完全可以知道给大肥猪抽血会惹恼邻居。你根本不需要去了解现实的污染到了何种程度，但你可以知道世界上的污染已经很严重了。你也根本不需要去了解确切的性病传播率，但你完全可以知道高风险人群拥有太多的性伙伴，而低风险人群拥有的性伙伴人数则太少。这一切结论都是由纯粹的逻辑推理得出来的。有时候，你需要的仅仅是逻辑而已。
[1] 如果这是本数学教材的话，我将会花点时间来详细说明一下“随机”这个词的准确含义。但这本书并不是，所以我就不再对此赘述。举例来说，104可以被平方数整除（也就是4），105就不能被平方数整除。
[2] 边际的意思是，例如，当数量为3时，图表显示的就是，第一加仑和第二加仑测验之后，第三加仑的血液接受检测时所产生的附加成本和效益。
[3] 这个图表用来显示边际效益和成本。换句话说，图表显示的是每增加一加仑所对应的附加成本和效益。
[4] 以下内容只是一个简介，这些内容在我的那本《反常识经济学4》（More Sex Is Safer Sex: The Unconventional Wisdom of Economics）的第一章中有更详细的论证。或者，如果你更喜欢看视频的话，你可以去这个网站www.the-big-questions.com/pueblatalk.thml观看我对于这个话题制作的课件。
[5] 要想得到一个精确的结论还需要一些证据，以及一些经济学知识（也就是，人们对于诱因做何反应）和传染病学知识（即病毒的传播方式）。哈佛大学的迈克尔·克瑞默（Michael Kremer）教授就是这两个领域的专家，他预计到如果我们能把那些一年中性伙伴平均少于2.25个的人提高到超过2.25的话，我们将大幅降低艾滋病的传播速度。
