如果你在70年前对某人说起computer一词，他不会想到一台摆在桌子上的机器，而会想到一个手拿纸和笔的人。在当时，computer都是人，通常是女人，他们进行大量复杂的计算来满足世界对于预先处理好的数字的需要。
他们的劳动成果是数学用表手册，这在当时是不可或缺的工具。每当数学家、工程师、航海家、银行家或精算师需要进行复杂的计算时，他们就会诉诸数学用表。
这些可能是业已出版的最单调乏味的书籍，与之相比，电话簿都会显得引人入胜。然而，一位名叫查尔斯·巴贝奇的数学家却读得津津有味。他衣食无忧，对很多科学领域都有所涉猎。除此之外，他还收集已出版的数学用表，并且毫不留情地挑出其中的错误。
这些用表虽然很有用，但却充斥着错误。与巴贝奇同时代的一个人发现，随机选出的40册数学用表中就包含着3700个已知错误。鉴于这些表格对新兴工业革命的重要性，这让巴贝奇很头疼。
1821年，巴贝奇和他的朋友约翰·赫舍尔聚在一起，通过清除错误来打发夜晚的时光。他们找到了很多错误。巴贝奇后来写道：“这些错误一度如此之多，我不禁惊呼：‘我真希望上帝用蒸汽来进行这些计算。’”正是在这个时候，巴贝奇萌生了发明自动计算机的想法。
他很快就设计出一台机器，即所谓的差分机。它能像人一样自动执行计算，但不会把事情弄糟。
差分机因其基于的数学原理“有限差分法”而得名。简单说来，这是一种技巧，用来解带有两个或两个以上未知数的数学表达式，比如x=y2+yz-1。运用这种技巧只需重复做加法。
1837年，巴贝奇在造差分机的样机时开始思考一种更加通用的计算机。差分机只能做加法，但巴贝奇意识到应当可以制造一种多用途的机器，它能做加法、减法、乘法和除法，操作者可以按照任何顺序进行编程。他称之为分析机。
随便问我什么
分析机往往被称为世界上第一台计算机。这并无夸张：它具有现代计算机的许多核心特征，包括一个中央处理器和一个存储器。更重要的是，它能计算任何在理论上可计算的数学函数。用计算机科学的术语来说，它是“图灵完备的”。
或者说，如果巴贝奇真的造出了它，情况就是如此。他将余生都用于设计这台机器，但直到1871年他去世时，只有一部分造出来了。也许这并不奇怪：一台完整的分析机有火车头那么大。
将这些想法变成现实的是另一位有远见的数学家阿兰·图灵。1936年，24岁的研究生图灵写了一篇论文，为现代计算奠定了基础。
图灵并不打算也没有兴趣造一台实际的机器。相反，他着手解决的乃是大卫·希尔伯特于1928年提出的一项棘手而又神秘的数学挑战，即所谓的“判定问题”。
希尔伯特想知道，是否每个数学陈述（比如2+2=4）都是可解的，是否有些是“不可判定的”。对于像2+2=4这样的陈述，这个问题没什么价值，但对于更为复杂的陈述，事情就比较棘手了。
如果数学是可判定的，就可以造一台对任何数学陈述都可以给出明确的“是或否”回答的机器。数学领域的一切重要问题都是可以解决的。
为了回答这个问题，图灵首先需要构思什么样的机器可以做这件事。在历史上极具影响力的一个思想实验中，图灵设想有一台机器可以读取印在一条无限长的纸带上的符号。读完符号后，这台机器会根据一套预先编好的规则来决定下一步做什么：擦除符号，并/或写入一个新符号；将纸带左移或右移一个空格；或者停止。基于这些规则，这样一台“图灵机”将能解决数学问题。然而，由于每一台机器都有固定的内部规则，所以无法用它来检验希尔伯特那个一般性问题。
计算机说不
图灵表明，计算机永远也无法解决的数学问题之一是所谓的“自指停机问题”。它问：“这个程序会停止吗？”在实际运行程序之前，任何计算机都不可能提前判断。即便它计算了一万亿年而没有得出结论，它仍然不能给出肯定的回答。根据这一结果，图灵证明，没有程序可以确定任何给定的数学陈述的真假。于是，所有数学问题都能得到解决的前景被逻辑否定了。
1871年造的巴贝奇机械计算机的一部分。
通用机
随后，图灵灵光一现：他意识到可以在纸带上制定内部规则。可以对这样一个装置进行编程，来执行任何可设想的图灵机的指令。这是一台能够执行任何数学或逻辑运算序列的“通用图灵机”。换言之，是一台计算机。
由此很容易查明什么是“可计算的”，什么是“不可计算的”。希尔伯特的问题因此得到了解决。图灵表明，有些问题甚至连通用图灵机也无法解决。
这并不完全是坏消息。不到5年，图灵设想的机器变成了现实；1941年，第一台具有图灵完备性的计算机Z3在柏林被造出来。德国政府不知何故未能发现这台计算机的军事潜力，但英国人没有重蹈覆辙。图灵继续在布莱切利园研制巨型计算机，它们在破解纳粹密码方面发挥了至关重要的作用。
如今，计算机早已不再是占据整个房间的庞然大物，但从本质上来说，它们只是对巴贝奇和图灵所提出的想法的物理实现。
