那么，问题来了。什么是连续性呢？康德将其与无限可分性混淆了，他称连续序列的基本特征是：序列中的任意两个数中间总是能找到第三个数。这是一个非常清楚且明确的分析，但遗憾的是，它连最初级的考验都未能经受得住。因为，根据这一分析，按照其量级顺序排列的整个有理分数序列会是一个无限序列，尽管有理分数是可数的，但一条线上的点是不可数的。不仅如此，更为糟糕的是，如果从这个分数序列中删去任意两个数中间的所有数字，并制造出这样一个有限的缺口的话，康德的定义对于这个序列而言依然正确，但是这个序列显然已经失去了连续性。
康托尔将连续序列定义为连接的、完全的序列。“连接性”的意思是：如果在这样一个连续序列中给定任意两点，并给定任意有限的距离，无论距离有多小，从第一个点到第二个点中间都会有一系列连续的点，从前面的点到其中每一个点的距离都要小于给定的距离。按照大小排列的有理分数序列就是连接的。“完全性”的意思是，在这样一个包含了所有点的序列中，没有任何距离能够小到如此程度，以至于在该距离内没有无限个点。介于0和1之间，且小数部分只由0和1构成的序列就是完全的。
我们必须承认康托尔的定义包含了所有连续的序列，我们也不能用其定义中涵盖了某些重要的、不容置疑的不连续序列来反对他。然而，康托尔的定义还是存在着一些严重的缺点。首先，这个定义依赖于度量了，而且连续与不连续序列之间的区别显然是非度量的。其次，完全序列被定义为一个包含了某一类型的“所有点”的序列。但其定义却没有表达出对于所有这些点是什么的肯定概念：这是从否定角度所下的定义，不能被确证无疑。如果这类事情被允许的话，那立刻就会有人很轻易地宣称，连续的线性点序列包含了一条直线上两个端点之间的所有点。最后，康托尔的定义没有表达出对于连续性概念的组成部分是什么的不同意见。它巧妙地将连续性的特性总结在了两个单独的部分中，却没有向我们展示出来。
康德的定义表达了连续统的一个简单特性，但容许序列中有空白。要纠正这一定义，就必须注意这些空白是如何发生的。那么，让我们假定一个线性的点序列从一个点A扩展到第二个点B，从点B起有一个空白，再扩展到第三个点C，之后再一直扩展到最后的界限D。然后，让我们假定这一序列符合康德的定义。那么，在B和C两个点中，有一个点或者两个点必须被从序列中排除出去，否则，按照其定义，这两个点之间就会有点存在。即如果序列中包含C，尽管序列中包含了到B点的所有点，但不能包含B。因此，要求以非度量的表达方式来表明，如果有界限的点序列被包含在一个连续统中，那么这个界限也被包含在内。你可能会注意到，这是连续统的特性，在康德将连续统定义为其各组成部分有一个共同的界限的时候，就似乎已经引起了亚里士多德的关注。这一特性可以被确切地描述如下：如果一个线性的点序列在A和D两点之间是连续的，取一个无穷的点序列，另外再取介于A和D之间的第一个点，以及介于之前的这个点和D之间的其他所有点，那么就会有一个介于那个无穷的点序列和D之间的连续序列的点，而且其他的每一个点都介于这个点和D点之间。例如，取任意一个介于0和1之间的数字，比如0.1；然后取任意一个介于0.1和1之间的数字，例如0.11；再取任意一个介于0.11和1之间的数字，比如0.111；依此类推，无限进行下去。那么，由于介于0和1之间的实数序列是连续的，那其中就必定有一个最小的实数比那个无穷序列中的每个数字都要大。这一特性（或许可命名为“序列的亚里士多德性”）再加上康德的特性（或许可命名为“康德性”），我们就完整地定义了连续序列。
如果我提到的是实数，而不是一条线上的点的话，那我们的观念就更容易表达了。每一个实数在一定意义上都是一个序列的界，因为它可以被无限接近。每一个实数是不是一个规则序列的界或许会不确定。但亚里士多德性序列必须被理解为包含了所有无论是否规则的序列。因而，其意思是在任意两个点之间都可以取出一个不可数的点序列。
每一个数字（以小数表示，并要求其小数的位数是有限的）是可通约的。因此，不可通约数意味着其小数的位数是无穷的。“infinitesimal（无穷小）”这个词只是infinitieth的拉丁文形式，即这是一个形成自infinitum（无限）的序数，就如同centesimal（百进制的）源自centum（百）。因此，连续性意味着无穷小的量。关于这类量的概念没有任何反驳的声音。不管是做乘法还是加法运算，连续性都不会被打破，因此它们非常像其他的量，除了换位量三段论，费马推理也不适用于它们。
如果A是一个有限的量，而i是一个无穷小量，那么在某种意义上，我们可以写A+i=A。也就是说，对于度量目的而言是这样的。但是，除非是为了消掉无穷小量最高阶的项以外，这一原理是不能应用的。作为一个数学家，我更喜欢无穷小量的方法，而非极限方法，因为前者要容易得多，也没有那么多的陷阱。事实上，后者如同一些书中所描述的，牵涉到了错误的命题，但这并不是柯西、杜哈梅和其他人所采用的方法的形式。因为他们了解极限学说，它涉及了连续性的概念，并因此以另外一种形式包含了与无穷小量学说完全相同的观念。
让我们来考虑一下亚里士多德原理的一个方面，该原理在哲学中尤其重要。假设一个表面有一部分是红的，有一部分是蓝的，那么这个表面上的每一个点要么是红的，要么是蓝的；当然，没有哪个部分可以既是红的又是蓝的。那么，介于红和蓝之间的分界线是什么颜色的呢？答案是：红色或者蓝色（是根本存在的）必定会在一个面上扩散，而这个面的颜色就是这个点直接相邻的表面的颜色。我故意采用了一种模糊的表达方式。由于和弯曲的分界线上任意一个普通的点直接相邻的面的部分一半是红的，一半是蓝的，因此分界线也一半是红的，一半是蓝的。同理，我们发现有必要赞成意识实质上占用时间的观点，在任何一个平常的瞬间出现的想法正是在那一瞬间发生的那个片刻里所出现的想法。因此，现在是一半已经过去，一半即将到来。此外，一个表面从一个点起任意有限距离内的各部分的颜色与这一个点的颜色无关。同样地，从现在起任何有限时间间隔内的感觉与现在的感觉无关，间接感受除外。再举一个例子：粒子在任何一个瞬间的速度是其在一个包含这个瞬间的无限小片刻里的平均速度。因此，我此时此刻的感觉是我在一个包含了现在这个瞬间的无限小时间间隔里的感觉。
