现在，让我们尝试一下我们最喜欢的方法——绘制因果图，用以清晰地说明两个游戏的不同之处。首先，图6.1显示的是真正的“让我们做个交易”游戏的因果图，其中蒙提·霍尔必须打开一扇背后没有汽车的门。在“你选的门”和“车的位置”之间没有箭头，表明你选择的门和制片人放置汽车的门是相互独立的。这就意味着我们明确排除了制片人可以读懂你的想法的可能性（或者你可以读懂他们的想法的可能性），更重要的是出现在图中的两个箭头。它们表明，“主持人打开的门”受你的选择和制片人对汽车位置的选择的影响。这是因为蒙提·霍尔所选的门必须不同于“你选的门”和“车的位置”，他必须考虑这两个因素。
图6.1 “让我们做个交易”的因果图
如图6.1所示，“主持人打开的门”是一个对撞因子。一旦我们获得了关于这个变量的信息，图示中所有的概率就都变成了关于这一信息的条件概率。但是，当我们以对撞因子为条件时，我们就会在两个父节点之间制造出一种虚假的依存关系。这种依存可以体现在根据数据得到的概率中：在主持人打开了3号门的前提下，如果你最初选择了1号门，则车在2号门后面的可能性是其在1号门后面的2倍；如果你最初选择了2号门，则车在1号门后面的可能性是其在2号门后面的2倍。
这无疑是一种匪夷所思的依存关系，我们大多数人都不习惯处理这种类型的依存关系。这是一种没有原因的依存。它不涉及制片人和参赛者之间的物理沟通，也不涉及心灵感应。它纯粹是贝叶斯式的变量控制带来的产物：不涉及因果关系的神奇的信息传递。我们的大脑会自发抵制这种信息传递，因为从幼年起，我们就学会了将相关性和因果关系联系起来。如果身后的汽车与我们在同一方向转弯，我们会首先认为它在跟踪我们（因果关系），其次会认为我们要去同一个地方（我们每一次转弯的背后都存在一个共因）。但无缘无故的相关性则违背了我们的常识。因此，可以说蒙提·霍尔悖论就像视错觉或魔术把戏一样，它利用我们自己的认知机制欺骗了我们。
为什么我说蒙提·霍尔打开3号门是一次“信息传递”呢？毕竟，这一举动并没有提供任何证据，说明你最初选择的1号门是否正确。你事先就知道他要打开一扇藏着山羊的门，他也这样做了。如果你见证了这一必然事件的发生，那么谁都不该要求你改变信念。这样一来，你对2号门的信念又是怎么从1/3上升到2/3的呢？
答案是，在你选择了1号门之后，蒙提·霍尔就不能再打开它了——他本可以打开2号门，但他没有这样做，而是打开了3号门，这一事实表明他很有可能是不得不这样做的，因为2号门后面可能是汽车。因此，我们就有了比之前更多的证据表明汽车在2号门。这是贝叶斯分析的一个普遍主题：任何通过了威胁其有效性的测试的假设，其可能性都会变得更大。威胁越大，幸存下来的假设的可能性就越大。2号门很容易被驳斥（蒙提本可以打开它），而1号门则不然。因此，2号门后面更可能是汽车，而1号门后面则更可能不是汽车，汽车在1号门后的概率仍是1/3。
现在，为了进行比较，我们用图6.2来表示“让我们假装交易”的因果图。在这个游戏中，蒙提·霍尔选择了一扇你没选的门，但他是随机选择的。这张图仍然存在一个箭头从“你选的门”指向“主持人打开的门”，因为他必须确保他打开的门与你的不同。然而，从“车的位置”指向“主持人打开的门”的箭头被删除了，因为他不再关心汽车在哪里。在这张图中，以“打开的门”为条件是一种完全无效操作，因为“你选的门”和“车的位置”原本就是相互独立的，在我们看到蒙提打开的门其背后的情形之后，它们仍然保持独立。因此，在“让我们假装交易”中，如表6.2的数据所示，汽车被放置于你最初选择的门后和被放置于另一扇门后的可能性是一样的。
图6.2 “让我们假装交易”的因果图
从贝叶斯的角度来看，这两个游戏的区别在于，在“让我们假装交易”中，1号门容易被驳斥。因为蒙提·霍尔可以打开3号门并发现门后的汽车，以此证明你选择的门是错的。而因为你最初选择的门和2号门同样容易被驳斥，所以二者背后有车的概率仍然相同。
以上这些分析虽然纯粹是定性的，但我们也可以利用贝叶斯法则或将图示视作一个简单的贝叶斯网络对其进行量化分析。该操作将问题放在一个统一的框架中，使用这个框架，我们可以思考许多其他的问题。我们不需要特意发明一种方法来解决这个难题，第三章介绍过的信念传播算法就能为我们提供正确的答案，即在“让我们做个交易”中，P（车在2号门）=2/3，在“让我们假装交易”中，P（车在2号门）=1/2。
请注意，关于蒙提·霍尔悖论，我实际上给出了两个解释。第一个解释借助因果推理说明了为什么我们观察到在“你选的门”和“车的位置”之间存在虚假的依存关系，第二个解释借助贝叶斯推理说明了为什么在“让我们做个交易”中车在2号门背后的概率会增大。这两种解释都很有价值。贝叶斯解释描述了现象，但并没有真正说明为什么我们在主观上认为它如此矛盾。在我看来，要想真正解决一个悖论，我们应该首先解释为什么我们会把它看成一个悖论。为什么读沃斯·莎凡特专栏的读者中有那么多人都如此坚信她是错的？毕竟，反对她的可不仅仅是那些自作聪明的人。现代最杰出的数学家之一，保罗·埃尔德什，直到借助计算机模拟得出了换门更有利这一答案，才终于接受了这个解决方案。那么，它究竟揭示了我们对世界的直观看法存在着怎样的重大缺陷呢？
斯坦福大学的统计学家佩尔西·戴康尼斯于1991年在接受《纽约时报》采访时说：“我们的大脑的确不能很好地处理概率问题，所以对于错误的出现我并不感到惊讶。”这句话没错，但事实不止于此。我们的大脑不擅长处理概率问题，但对因果问题则相当在行。而这种因果性的思维方式会导致系统性的概率错误，就像视错觉一样。因为“你选的门”和“车的位置”之间没有因果联系（无论这一因果联系是直接的还是由共因带来的），所以我们对于在数据中发现的概率关联就完全无法理解。我们的大脑没有准备好去接受无缘无故的相关性，我们需要经过特殊训练，通过分析和学习如蒙提·霍尔悖论或我们在第三章中讨论的例子，才能辨别出这种相关性可能出现的场合。一旦我们完成了“大脑重塑”，能够识别出对撞接合，悖论就不会再令我们感到困惑了。
