20世纪80年代末，一位名叫玛丽莲·沃斯·莎凡特的作家开始在《大观》（Parade ）杂志上撰写固定专栏，该杂志是《星期日报》的增补本，在美国许多城市发行。她的专栏“问玛丽莲”连载至今，其主要内容是为读者提出的各种难题、脑筋急转弯和科学问题提供她的解答。这本杂志将她称为“世界上最聪明的女人”，这无疑激发了众多读者的斗志，纷纷尝试提出能难倒她的问题。
在她回答的所有问题中，一个引发了激烈争论的问题是出现在1990年9月的专栏中的这个问题：“假设你参加了一个竞猜游戏类电视节目，在这个游戏中，有三扇门供你选择，其中一扇门后面是一辆车（奖品），另外两扇门后面是山羊。你挑了一扇门，比如说1号门，而主持人知道门后面是什么。现在，他打开了另一扇门，比如说3号门，你看到这扇门的后面是一只山羊。此时，如果他问你：‘你想重新选择，改选2号门吗？’那么，选择换门是否对你赢走奖品更有利？”
对于美国读者来说，这个问题显然改编自一个当时十分流行的电视游戏节目，叫作“让我们做个交易”，节目主持人蒙提·霍尔常和参赛者玩这类心理游戏。沃斯·莎凡特在她的解答中认为参赛者应该选择换门。若不换，则参赛者只有1/3的概率获胜；若换，则其获胜的概率将翻倍，变为2/3。
我想，这位“世界上最聪明的女人”大概也没有预料到接下来发生的事情。在接下来的几个月里，她收到了1万多封读者来信，他们中的大多数人都不同意她的解答，其中许多读者自称拥有数学或统计学的博士学位。这些人的评论包括：“你搞砸了，彻底搞砸了！”（来自斯科特·史密斯，博士）“我建议你找本标准的概率论教科书参考一下，然后再试着回答这类问题。”（来自查尔斯·里德，博士）“你搞砸了！”（来自罗伯特·萨克斯，博士）“你完全错了！”（来自雷·波波，博士）总的来说，批评者认为，无论参赛者是否选择换门，由于游戏中只剩下两扇门，而参赛者完全是在随机选择，所以不管参赛者选哪扇门，门后面是车的概率一定都是1/2。
谁对？谁错？为什么这个问题引发了如此激烈的讨论？这三个问题的每一个都值得我们进行更细致的考察。
让我们先来看一看沃斯·莎凡特是如何解决这个难题的。她的解决方案实际上极其简单，比我在许多教科书中看到的方法更令人叹服。她列出了一张关于门和山羊的三种可能安排的清单（见表6.1），以及“换门”策略和“不换门”策略下的相应结果。三种情况都假设作为参赛者的你先选择了1号门。因为表中列出的所有三种关于山羊和汽车位置的可能组合（在最初）是等可能的，所以如果你选择换门，则你获胜的概率是2/3，而如果你仍然选择1号门，则你获胜的概率只有1/3。请注意，沃斯·莎凡特的表格并没有明确说明主持人打开的是哪扇门，该信息隐含在表的第4列和第5列中。例如，在第2种组合中，我们知道主持人打开的必然是3号门，因为只有在此种情况下，参赛者选择换2号门才会获胜。同样，在第1种组合中，主持人打开的门可以是2号门或3号门，而第4列信息则明确地告诉我们，只要你选择换门，则无论如何换门，你都会输。
表6.1 “让我们做个交易”的概率表
即使是今天，许多人在第一次看到这个谜题时仍然会对这一结果感到难以置信。为什么？我们的直觉到底哪里出了错？1万个读者可能有1万个不同的理由，但我认为，其中最有说服力的理由是：“沃斯·莎凡特的解决方案似乎迫使我们相信了心灵感应的存在。如果无论我在最初选择了哪扇门，我都应该在之后换门，那就意味着制片人在某种程度上读懂了我的心思。否则他们是怎样安排汽车的位置，将其准确地放到了我最初更不可能选择的那扇门的后面呢？
解决这一悖论的关键是，我们不仅需要考虑数据（主持人打开某个特定门的事实），而且要注意数据生成的过程，也就是游戏规则。数据生成的过程告诉了我们一些关于数据的事实，这些事实是我们本可以观测到但没有观测到的。难怪统计学家对这个谜题的答案尤为不解，因为他们已经习惯了“数据约简”（据费舍尔1922年所言）和忽略数据的生成过程。
首先，让我们试着略微改变游戏规则，看看会对结论产生什么影响。试着想象存在另一个游戏节目，叫作“让我们假装交易”，游戏中蒙提·霍尔同样会打开你没有选择的两扇门之一，但他的选择是完全随机的。换句话说，他可能会打开那扇背后有车的门——真不走运！
像以前一样，我们假设在游戏的一开始你选择了1号门，而主持人打开的是3号门，门的后面是山羊，之后主持人给了你一个选择换门的机会。那么，你应该换门吗？通过分析我们将会发现，虽然游戏情节看似相同，但根据新的规则，这一次选择换门并不会增加你的胜率。
为了证明这一点，我们可以绘制一个与前面类似的概率表，考虑到有两个随机、独立事件——车的位置（3种可能性）和蒙提·霍尔选择打开的门（2种可能性），这个表需要有6行，并且每行所代表的事件是等可能的，因为这些事件是相互独立的（见表6.2）。
表6.2 “让我们假装交易”的概率表
现在，如果蒙提·霍尔打开了3号门，看到了一只山羊，那么会发生什么呢？首先，这句话告诉了我们一条重要的信息：我们现在位于表格数据部分的第2行或第4行。现在，只关注第2行和第4行，我们可以看到，换门的策略不会再给我们带来任何额外的好处，无论是否换门，我们都只有1/2的获胜概率。因此，在“让我们假装交易”的游戏中，所有那些对玛丽莲·沃斯·莎凡特的批评都是正确的！但需要注意的是，两个游戏的数据是一样的。我们从这两个例子中得到的教训很简单：获得信息的方式和信息本身一样重要。
