数学

数学的起源

从古希腊的几何学发展到阿拉伯的代数学，数学逐渐脱离了实用性目的，成为一种论证体系。

数学是最古老的学科之一。最早出现的数学是以实用性为目的的几何学，几何学起源于数千年前埃及尼罗河泛滥后对土地的重新测量，希腊语中的几何学（geometrica）最初就是“土地测量”的意思。

这种经验性的知识在传入古希腊后，逐渐脱离了实用性目的而向论证体系发展。从这种意义上来说，数学作为一门学科的真正起源地应该是古希腊。

在古希腊数学的发展史上，首先值得一提的是被誉为“几何学的先驱”的泰勒斯。据说，泰勒斯曾证明过许多几何学命题。随后，毕达哥拉斯学派继承了泰勒斯的研究，该学派不仅致力于几何学，还涉足数论的研究并发现了无理数。被称为“雅典的职业教育家”的智者们也为各类数学难题的攻克做出了贡献。

古希腊数学在经过柏拉图和柏拉图学派的发展后，最终在欧几里得时期走向成熟。欧几里得在其著作《几何原本》中，对前人所提出的大量数学命题进行逻辑推理并加以证明，建立起了被称为“欧氏几何学”的数学体系。

古希腊数学史上的另一位伟大的数学家是阿基米德。阿基米德所提出的求积法，使得在欧几里得时期达到顶峰的希腊数学，进一步为下个时代的数学发展奠定了基础。阿基米德数学思想的革命性在于，他大胆地提出了之前的希腊数学中所避免使用的“无限”和“定量性视点”等概念。

数学史上第一部代数学著作的作者是花拉子密。代数学是一种以求未知数为目的的关于方程式的理论，虽然当时还没有出现使用“X”表示未知数的符号表示法，但方程式的形式化研究依然取得了相当显著的发展。

阿拉伯代数学在经过了中世纪的经院哲学家们的发展后，为欧洲近代数学，尤其是近代代数学的诞生奠定了学科基础。

数学的确立

近代数学的确立

从代数符号系统的建立到近代分析学的发展，近代数学进一步踏上了严密化的进程。

15至16世纪，在正处于文艺复兴全盛时期的意大利，对于三次和四次方程式的求解研究吸引了大批数学家的兴趣。而在背后推动着这场研究热潮发展的则是符号代数的建立和推广。将方程式尽可能简洁地表达出来的简略记法最早出现于手抄本时代，主要是为了节省体力和纸张，1438年出现了印刷术后，这种简略记法依然被保留了下来。

意大利数学家帕乔利将商业簿记的手法引入数学界，其用省略符号的方法，如用co 表示未知数、用 p 表示加法、用 m 表示减法等，反映出了数学记述的高度简洁化。在这种简略记法发展的推动下，意大利的数学家们为方程式的求解做出了巨大的贡献。费拉里提出了四次方程的一般解法，卡尔达诺发现了阿拉伯代数学家们所未能解开的三次方程式的解法。然而，现代代数符号系统的正式确立却并非是在意大利，而是在数学还比较落后的法国。法国数学家韦达继承和发展了意大利的简略记法，建立起了更为合理的代数符号系统。在此基础上，笛卡尔进一步提出了使用字母表中开头的小写字母a、b、c等代表已知量，用最后的小写字母x、y、z代表未知量的用法，这种用法已经成为当今的标准用法。

此外，笛卡尔还是“解析几何学”的创始人。解析几何的创立是数学史上一项划时代的变革，标志着近代数学的开端。此前的欧氏几何学所进行的研究都是以静止和不动为前提的，而笛卡尔几何学则将运动与变化也纳入了研究范围。笛卡尔所开创的近代数学，为自然科学研究的发展提供了强有力的武器。随后，牛顿利用微分方程证实了经典力学，与牛顿同一时期的莱布尼茨几乎与牛顿同时确立了微积分学。莱布尼茨被誉为“符号逻辑学创始人”，现代微积分中的许多符号名称，例如“微分”“积分”“函数”等都是莱布尼茨发明的。

17世纪至18世纪，数学在笛卡尔所提出的解析方法的推动下，取得了前所未有的发展。然而，进入19世纪，数学研究领域开始出现了对以微积分为主的分析学的基础概念和方法的批判，兴起了以追求数学的严密化为目的的改革运动。

数学的发展历程

现代数学的诞生

现代数学在实现了分析学的算术化后，随着技术的进步，进一步取得了众多令人瞩目的成就。

最早对18世纪的分析学提出质疑的人是傅里叶。傅里叶成功推导出了热传导方程，开创了“傅里叶分析”这一近代数学的重要分支。傅里叶的分析学动摇了“无限大”和“无限小”这一微积分学的根本性概念。

19世纪以前的数学对混乱的“无穷大”和“无穷小”观念仅仅是一种朴素而模糊的信任，而以傅里叶为开端的19世纪数学则开始试图建立起对于无限存在本身的逻辑定义，即所谓的数学的严密化潮流。其中最具代表性的数学家是外尔斯特拉斯，外尔斯特拉斯将数学的严密化称为“分析学的算术化”，即将分析学建立在算术，也就是自然数理论的基础之上。这种数学的严密化潮流，既是对于数学基本概念的重新构建，又为自然数的公理化、逻辑学的形式化以及集合论的诞生开辟了道路。

数学的严密化主要表现在分析学的一大重要分支学科——复变函数论中。柯西和高斯为复变函数论的创立做出了巨大的贡献。其中，高斯还在其著作《算术研究》一书中，对代数学的数论进行了系统化的整理。此外，伽罗瓦也为代数学的发展做出了不容忽视的贡献，他解决了五次以上方程式的可解条件问题。

几何学领域也发生了巨大的变革。罗巴切夫斯基否定了欧几里得几何学中的平行公理，认为过直线外一点存在两条以上的平行线，创立了一种新的几何学——非欧几何学。

1874年，康托尔首次提出了集合论。进入20世纪，集合论在经过了弗雷格和罗素的发展后，引发了人们对于数学全体的反思，促进了数学基础理论的发展。

罗素继承了康托尔的集合论思想，并进一步提出了集合论中所存在的悖论，主张不能单纯地将事物组成的整体称为集合。例如，一个克里特人说“所有的克里特人都说谎”，在这个集合命题中，如果“所有的克里特人都说谎”为真，并且这个克里特人所说的也是谎话，那么“所有的克里特人都说谎”就应该是假的。如果这个克里特人说的是真话，“所有的克里特人都说谎”这个命题就不能成立。面对集合论所出现的危机，希尔伯特致力于数学基础理论的研究，试图建立起精确的逻辑系统用以证明理论的无矛盾性。

1900年，希尔伯特在巴黎国际数学家大会上指出“数学是所有精密科学的认识基础”，并提出了23个问题。然而，哥德尔于1931年提出的“不完全性定理”给了希尔伯特的第二个问题一个否定的解答，结束了长期以来关于数学基础问题的争论。

20世纪下半叶，随着计算机等技术的革新发展，许多数学问题都得到了解决或证明。1976年“四色定理”得以证明，1995年“费马大定理”得以证明。进入21世纪后，格里戈里·佩雷尔曼又于2003年证明了千禧年大奖难题中的庞加莱猜想。

数理逻辑学、拓扑学、混沌理论、博弈论等新兴研究领域开拓了数学研究方法的新面貌。

数学门类

入门者须知

“0”的出现

据说“0”这一数字符号出现于7世纪的印度。这里所说的出现是指“0”开始被当作实数集中正数和负数的分界点的意思。观念上的零早在古巴比伦比亚、玛雅以及希腊就已经出现，然而当时的零只是一种表示“空位”的符号，直到中世纪的印度才开始将“0”作为一个数参与使用10进位制计数法的笔算。

数

在数学领域，“数”一般指的是复数，有时也专指实数。复数包括实数和虚数，实数可分为有理数和无理数，有理数包括整数和分数，整数又可分为正整数、0、负整数。

圆周率

据说首次提出圆周率的科学计算方法的人是阿基米德。毫无疑问，古人们早已从经验中认识到圆的周长大概是直径的三倍。实际上，在阿基米德之前的古希腊数学家欧几里得已经证明了“圆与圆之比等于其半径平方之比”的定律，虽然并未论及圆的周长，但是也已经提出了无论圆的大小，“圆周率”始终是一个常数的概念。阿基米德通过缜密的计算得出了圆的周长与直径之比。他从圆的内外接正六边形的周长算起，不断地将边数增加至两倍，直至计算到正96边形的周长，得到了几乎与现在相等的圆周率近似值。

十进制与二进制

目前最常用的计数法是十进制，即以1，2，3，4，5……的方式计数。二进制的表示方法则是：1，1，11，100，101，110，111。由于电子计算机的电子元件只有导通与断开两种不同的物理稳定状态，正好与二进制中的1与0相对应，因此广泛使用二进制。

虚数

虚数是在求解方程式过程中发现的。阿拉伯数学家花拉子密认识到二次方程有两个根，正数的平方根有正负两种，负数不存在平方根，并首次使用“-1”来表示虚数。卡尔达诺在三次代数方程的解法中提出了虚数的价值。欧拉是第一个提倡使用符号i 来表示√-1的人。

质数

一个大于1的正整数，如果只能被它本身或1除尽，就称为质数。关于质数的研究早在古希腊时期就已经出现，欧几里得曾在理论上证明了质数有无限多个，同时代的埃拉托色尼提出了从自然数中选出质数的方法（埃拉托色尼筛法）。高斯曾尝试过寻找描述质数分布的共时，但始终未能得出理想的结论。目前，人类已经利用计算机发现了长达22,338,618位的质数。

函数

两个变量x、y，如果对于x在某个范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就称变量y为变量 x 的函数。y与x具有函数关系，这种关系一般用y=f(x)来表示。

集合论

集合这一概念出现于19世纪下半叶，它能够明确地表达数学描述。集合论的创始人康托尔认为“所谓集合，是一些对象的组合，这些对象是人们的直观或思考中所涉及的，在一定范围内是明确而可鉴别的”。集合论对20世纪的逻辑学和数学基础理论的发展产生了巨大的影响。

概率论

概率论起源于法国的哲学家、数学家帕斯卡对赌徒瓦利埃·德·梅瑞所提出的问题的研究。其后，许多著名的数学家都曾研究过概率论，《推测法》一书的作者雅各布·伯努利提出了“大数法则”，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯将分析学的方法应用于概率论，使概率论发展到了成熟阶段。

哥德尔的不完全性定理

进入20世纪，罗素等逻辑学家们发现了集合论中的一系列悖论。在此背景之下，希尔伯特试图利用数学基础理论对公理系统的无矛盾性给出绝对证明，以便克服悖论所引发的危机，然而哥德尔所提出的不完全性理论却否定了希尔伯特的方案。哥德尔认为如果自然数形式的公理系统是无矛盾的，那么这个系统就是不完备的。也就是说，如果这样的系统是无矛盾的，那么其无矛盾性在本系统中不可证。相反如果系统存在矛盾的话,那么无论任何命题都可在该系统中得到证明。由此，希尔伯特所提倡的数学基础理论正式画上了句点。

布尔代数

运用以下规则进行的演算，以及含有“+”符号的算术称为布尔代数。

0·0=0　1·0=0　0·1=0

1·1=0　0+0=0　1+0=0

0+1=0　1+1=0

这里的1和0、“·”和“+”都是符号。乔治·布尔最初是为了对逻辑规律进行数学分析而创立了布尔代数，后来，该代数被应用于采用二进制进行运算的计算机的逻辑设计，由此该代数得到了迅速的发展。

分析学

分析学是微积分学、微分方程、变分学、实变函数论、复变函数论等数学分支学科的统称。早在阿基米德计算图形的面积和体积的方法中就已经出现了分析学的思想，16世纪开始出现了对于分析学的正式研究，进入17世纪，在笛卡尔、帕斯卡、费马等人的推动下分析学又得到了进一步的发展。随后，莱布尼茨与牛顿分别从切线问题和力学的观点出发提出了微积分思想，他们几乎同时创立了微积分学。微积分的提出，使得此前的大量数学难题相继得以解决，极大地推动了数学史的发展。

拓扑学

拓扑学可大致分为一般拓扑学和组合拓扑学两大研究领域。一般拓扑学是对欧氏空间中的子集、距离、函数的抽象化进行研究。组合拓扑学研究的是几何图形在连续变形下有哪些保持不变的性质，以及在这些变形的基础上存在多少种不同的图形。

应用数学

数学原本就是一门以实用为目的的学科。虽然在人们的印象中，数学的发展似乎是一个逐渐脱离实用性，不断迈向抽象化和理论化的过程，但实际上，根据时代的不同，数学总是以不同的方式展示着其越来越高的实用价值。

例如，在牛顿提出了研究物体速度的微积分之后，分析学开始应用于电、磁、光、音等各种物理现象的研究，取得了极大的成果。从这种角度而言，微分方程、傅里叶级数、复变函数、特殊函数、变分学称得上是应用数学的核心所在。进入20世纪，随着量子力学的诞生，对于概率统计的应用也越来越频繁。也就是说在量子现象的研究方面，比起得出某种确切的答案，人们更为关注的是能够反映出哪种结果发生的可能性最高的概率研究。此外，概率和数理统计学在经济学和社会学等领域也得到了广泛的应用。

博弈论

运用数学方法分析竞争参与者寻求最大利益所做出的行为，以及合理性行为所带来的结果的一种科学理论。博弈论的研究对象必须是可进行战略策划的博弈，纯粹的随机性博弈并不在其研究范围内。

千禧年大奖难题

世界上有许多未解的数学难题，其中包括美国克雷数学研究所于2000年提出的7个问题，每个问题的奖金高达100万美元，这7个数学问题统称为“千禧年大奖难题”。其中，庞加莱猜想已经得到证明，剩下的黎曼猜想、P/NP问题、霍奇猜想、杨-米尔斯存在性与质量间隙、纳维-斯托克斯存在性与光滑性以及贝赫和斯维讷通-戴尔猜想等6个难题目前仍未得到解决。