当迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）在1963年证明了指标定理时，数学家们震惊了！阿蒂亚与他的合作者艾沙道尔·辛格（Isadore Singer）发现了一座隐藏的桥梁，以一种完全出人意料的方式连接了两个数学领域，为这两个领域的繁荣奠定了坚实的基础。
○ 指标定理。| 图片来源：The Concinnitas Project
然而，没人能想到阿蒂亚和辛格的证明对物理学家能有多大帮助。毕竟它所涉及的是非常抽象的数学，与我们周遭的世界相去甚远。即便在十多年后，大名鼎鼎的物理学家爱德华·威滕（Edward Witten）都称这个结果为“难以置信地深奥和晦涩”。
但是，这个极度抽象的理论却改变了理论物理学中的大部分领域。在阿蒂亚和辛格首次证明这个定理后，阿蒂亚与合作者们用它建成了弦理论（试图阐明物质的基本性质）的基本数学工具。更出乎意料的是，物理学中的转变又反馈回到数学，激发了许多不同的领域，并因此带来了许多影响深远的新结果。
成为数学家
我的数学生涯是这样开始的：当我还是个小孩子的时候，每当旅行到一个地方，我都会将本国货币兑换成外国货币。就是在那个时候，我父亲意识到，有一天我会成为一个数学家。—— 阿蒂亚
○ 1966年，阿蒂亚（中间）在莫斯科接受菲尔兹奖。| 图片来源：Michael Atiyah
1929年，阿蒂亚出生于英格兰，他的母亲是苏格兰人，父亲是黎巴嫩人。他生长于苏丹，父亲是当地的一名公务员。13岁时，他离开了自己成长的小镇，去开罗一所英文寄宿学校接受更好的教育。他很早就显露出非凡的数学天赋，尽管他对许多学科领域都很感兴趣，有一段时间还考虑过要攻读化学。但是化学所要求的死记硬背使他望而却步，因而擅长数学且喜欢数学的阿蒂亚，最终决定自己要成为一名数学家。在剑桥大学的三一学院，他完成了本科和研究生的学习。
尽管他天赋异禀，但在刚进入研究生院的时候也曾有过挣扎，他甚至想要完全放弃数学。他说：“我上过一门考古学课程，结果发现，与数学相比，这门课简直太容易了。从某种意义上说，这像是一种解脱，但它在智力上却仍很有趣，我也很喜欢。我认为我看到了其他值得追求的可能性。”不过在第二年结束时，他因为自己的数学研究而获得了一个奖，这大大地增强了他的信心，从此再也没有左顾右盼过。
数学道路
他曾在普林斯顿高等研究院做过一期博士后。在那里，他遇到了三个对他的数学生命产生了巨大影响的人：辛格、弗里德里希·希策布鲁赫（Friedrich Hirzebruch）和拉乌尔·博特（Raoul Bott）。阿蒂亚也在那个时期组建了自己的家庭，并在后来与他的妻子有了三个儿子。
阿蒂亚最早的工作是在代数几何领域，但在与希策布鲁赫一起的合作中，他转向代数拓扑。与几何一样的是，拓扑学也分析形状；但与几何不同的是，拓扑学认为形状是可伸缩的。也就是说，对于几何学家来说，两个数学对象完全相同的定义是：当将其中一个置于另一个之上时，在没有弯曲或拉伸的情况下，两个形状能完全对齐。而另一方面，拓扑学家却非常乐意将数学对象拉伸或压扁，只要不打孔或把任何东西粘在一起就行。所以对于一个拓扑学家来说，甜甜圈和咖啡杯的形状是一样的。杯子的部分可以被压扁，只留下手柄形成一个圈，就和普通甜甜圈的形状一样了。
拓扑对于理解难以可视化的高维物体特别有价值。阿蒂亚的另一项非常著名的工作是他和希策布鲁赫一起发展了拓扑K理论，这是一种强有力的用于描述非常复杂的高维物体的方法。
辛格专注的研究领域是分析，这个领域似乎和拓扑学没有太大关系。分析研究的是微分方程，也就是用微积分语言表示的方程。拓扑学中用于拉伸和压扁的工具在微分方程中不起作用。
即便如此，阿蒂亚和辛格还是认为，尽管拓扑学看起来是一个遥远的领域，却有可能是解决微分方程中的一个恼人问题的关键。微分方程是现代科学的核心，因为现实世界的大多数数学模型都在使用它们，但有一个非常棘手的问题：对于大多数微分方程，我们并不知道如何找到它们的解。因此物理学家所做的一直是求近似。
阿蒂亚和辛格知道，求解任意微分方程组是一个太困难的一般性问题。但是对于一种特殊的微分方程，他们想出了在很多情况下几乎同样有效的方法：计算方程有多少个解。这就是著名的指标定理。
这个定理最棒的部分就在于，在证明它的过程中，辛格和阿蒂亚在分析和拓扑之间架起了一座桥梁——在后来，这成为了大量研究的基础。对于任何一组微分方程，他们想办法创造一个与之相关的、拓扑学可以处理的几何对象。然后他们用K-理论（阿蒂亚和希策布鲁赫共同建立的拓扑理论）对那个物体进行描述，从中会产生一个数字。他们证明，这个数字能揭示初始的微分方程有多少个解。数学家立刻认识到这个证明的重要性。
○ 2004年，阿蒂亚（中间）和辛格（左边）荣获阿贝尔奖。| 图片来源：Michael Atiyah
阿蒂亚曾在接受QuantaMagazine的采访中说到：“指标定理和K-理论就像是同一枚硬币的两面。它们殊途同归，你无法将它们分开。它们以不同的方式与物理学联系在一起。”
1966年，阿蒂亚因指标定理、K理论等工作获得菲尔兹奖。接踵而至的数学领域的一片繁荣盛世。牛津大学的数学家奈杰尔·希钦（Nigel Hitchin）说：“各种各样的问题都在等待着一个解释，而指标定理提供了答案。”
阿蒂亚和辛格的工作也才刚刚开始。在接下来的15年里，他们从不同的角度对定理进行了多次证明，每一次都加强了分析和拓扑之间的联系。指标定理扩展成为了一个领域——指标理论。
从数学到物理
所有这些兴奋都只停留在数学领域，在那时候，没有人认为指标理论能为物理学家提供太多。虽然物理学家非常关心微分方程的解，但他们使用的微分方程与指标定理所适用的微分方程并不相同。此外，其中涉及到的数学非常复杂，是大多数物理学家根本无法理解的，更不用说找到它的用途。
然而，任何人都不知道的是，当时一些物理学家正在研究的问题需要的正是指标理论的解答。而这些物理学家一直在以一种特别的方式，试图建立一个类似的理论。直到20世纪70年代末，物理学家和数学家才意识到，他们一直在一双平行轨道上工作。阿蒂亚说：“我们非常震惊，我觉得这是个大笑话。”
但他很快意识到，事实并非如此，他说：“我们发现，物理学家是在用他们自己的语言处理问题，与我们的工作非常相似，但我们的成果更普遍、更强大。物理学家使用的甚至是我一直在发展的指标定理中的最深奥的部分——那些我认为没人会感兴趣的部分。”
阿蒂亚与物理学家威滕展开了激烈的对话，这无疑改变了数学的历史。弦理论假设的是，在最基本的层次上，物质是由10或11维空间中的微小的“弦”组成的，而阿蒂亚与合作者所建立的理论对于弦理论的基础至关重要。
哈佛大学的物理学家Cumrun Vafa说，阿蒂亚通过他的数学成就和个人影响，对物理学产生了巨大的影响。他说：“他认为数学和物理之间应该存在联系，这对物理学研究来说是一大驱动因素。”阿蒂亚不仅让物理学家对这一领域产生了兴趣，还提出了后来被证明是成果丰硕的研究方向，其中包括了让威滕获得菲尔兹奖的工作。威滕说：“如果没有阿蒂亚，我想我不会以近乎同样的认真去对待数学和物理之间的互动。”
起初，似乎只有物理学是数学和物理学之间的萌芽关系的主要受益者。但是在1983年，阿蒂亚的学生西蒙·唐纳森（Simon Donaldson）通过结合数学与物理学而提出的技术，证明了一个与四维物体有关的惊人结果。他的定理为他赢得了1986年的菲尔兹奖，也让数学家意识到，从指标理论中成长起来的一个物理领域——规范理论，拥有他们没有意识到的数学能力。
现在，理论物理的影响已经扩展到了数学中的大部分领域，其中包括代数几何、代数拓扑、辛几何、群论、数论等等。阿蒂亚说：“物理学开辟了全新的数学领域。思想的汇聚所产生的效果完全出乎意料，而且仍然很神秘。”
永远在思考
在职业生涯的大部分时间里，阿蒂亚辗转于牛津、剑桥和普林斯顿。他通过他在这三所大学的研究生，对数学的进程产生了巨大的影响。Hitchin表示：“他有一种天赋，他让人们相信他们所做的都是有价值的。不光是他的成就，还有他所带领的人。”
牛津大学的Graeme Segal回忆说：“我成了他的学生，这对我来说是一个巨大的奇迹。不知怎么的，他从来不会让你觉得被压垮。他常说，‘不要读书，那只会让你沮丧。如果你想知道什么东西，就来问我。’然后他会花无限多的时间来告诉你所有的数学知识，并让这些知识听起来都很吸引人。在那些日子里，他就像是一道闪电。”
唐纳森回忆道：“我第一次见到他的时候，他大概50岁左右。在任何场所或任何聚会，他都是完全的主宰者，无论是在数学领域还是非数学领域。我不敢想象他在30多岁时是什么样子，但我敢说，那时的他更加精力充沛。和他在同一栋楼里，一定精疲力尽。”
阿蒂亚个头矮小，生性快活，有着一个圆圆的光脑袋，源源不断地涌出泉水一般的想法和建议。阿蒂亚会将对话者的兴趣与自己的兴趣联系起来，然后几乎在不知不觉中，对话的主题会慢慢地转移，到了最后阿蒂亚的兴趣会成为谈话的中心。Segal说：“他能让所有人都对他感兴趣的东西而感兴趣。”他让物理学家对指标理论产生了兴趣，并说服他们这能有助于解决他们正在努力解决的问题。
1997年，阿蒂亚正式退休，成为了爱丁堡大学的名誉教授。2004年，他被授予阿贝尔奖。“退休”仅仅为他提供了重返研究领域的机会。阿蒂亚持续在多个领域发表重要的研究成果，尽管在数学界一直存在一个普遍迷思，认为数学只是年轻人的游戏。甚至连阿蒂亚的其中一个儿子都曾跟他说：“这是不可能的，爸爸。数学家通常在他们40岁的时候做出最出色的工作。而你现在已经超过80岁了。你不可能有一个好的想法了。”但他继续与威滕合作，致力于D膜的研究，还与Segal和Michael Hopkins一起发表了关于K理论的论文。他还致力于解决如何将量子力学和广义相对论统一起来。
2018年9月，在海德堡获奖者论坛上他甚至尝试提出对黎曼猜想的证明。尽管这样的做法冒着丧失名誉的风险，但正如他在采访中所说的：“我的声望是通过作为一名数学家获得的。如果我现在把它弄得一团糟，人们将会说：‘是的，他曾是一名杰出的数学家，但在他生命将要结束的时候，他丧失了理智。’”
在数学之外，他热爱大自然，喜欢散步。不过他说即使在那些时候他也会继续他的数学工作。“当我在山上远足，或是在花园里劳作时，我的思维仍可以继续。我的妻子会抱怨，因为她知道，我走路的时候在想着数学。”
2019年1月11日，阿蒂亚爵士永远地离开了我们，享年89岁。而他的思想将激励着我们继续前行。
编译：乌鸦少年
参考链接：
https://www.simonsfoundation.org/2009/07/15/michael-atiyah/
https://www.quantamagazine.org/michael-atiyahs-mathematical-dreams-20160303/
http://www.concinnitasproject.org/portfolio/gallery.php?id=Atiyah_Michael
https://royalsociety.org/news/2019/01/tribute-to-former-president-of-the-royal-society-sir-michael-atiyah/
