如果说我比别人看得远，那是因为我站在巨人的肩膀上。
——艾萨克·牛顿（Sir Isaac Newton）
如果说我没有别人看得远，那是因为矮子站在我的肩膀上。
——匿名者
在这一部分我要分享一些进一步的思考和我钦佩的思想家的观点。
前言
大卫·默民教授的那本《狭义相对论中的时空》（Space and Time in Special Relativity）在1968年问世。2005年，默民教授写了一本新的关于狭义相对论的书，书名叫作《时间》（It’s About Time）。默民教授认为这本较新的书写得更好。我也同意这本书很不错，但我还是更喜欢那本旧的，我喜欢它并不仅仅是因为它能让我想起年轻的时候。
第一章论万物
在本章中我已提出如下主张：数学对象独立于对它进行研究的人类而存在。这确实是一个主流信念，而且有可能是数学工作者中唯一的一个主流信念。以下我引用了19世纪最有影响力的两位数学家的话；再找出几十个这样的数学家也不是难事：
我相信数字和泛函分析并不是人类大脑任意思考出来的结果；我认为它们存在于我们之外，就和客观现实中的事物一样具有相同的必然性，而我们只是遇到或发现了它们，然后就像物理学家、化学家和动物学家发现新事物一样，对它们进行研究。
——大卫·希尔伯特（David Hilbert）
我相信数学现实存在于我们人类之外，我们的任务就是去发现它们、观察它们。至于我们证明的那些定理，那些我们夸大其词称之为我们的“创造”的东西，其实只是我们在观察时所做的笔记罢了。
——戈弗雷·哈罗德·哈代（G. H. Hardy）
（当然了，当我提出数学对象不仅真实存在，而且是浩浩宇宙的产物时，已经远远超出了这两位数学家的观点。）
第四章白日梦信徒
波纹是一种复杂的物理学现象。
以下还是我在第四章中提到过的内容：奇数维度的媒介（例如我们周围的空气，就是一种三维媒介）内发生的振动不会传送波纹。相形之下，偶数维度的媒介（例如湖面）一定会传送波纹。[1]但是以下内容我并未提及：湖是一个复杂的物体，你看到的湖面上的波纹就更为复杂（而且可能比任何二维媒介内的波纹要更大、存在的时间更长）。在很大程度上，湖面上的波纹并不是普通的关于二维媒介的物理学所能解释的，而是要诉诸于专门关于池塘的物理学知识。[2]
不过，上述中的任何一点都不会改变主要事实：湖面会起波纹，而声音不会。然而，当我听到“声音是一种波”的说法时，我却毫无疑问地接受了——尽管声音和我熟知的波并没有明显的一丁点的相似之处。
第八章第欧根尼的噩梦
1976年，奥曼（Robert John Aumann）教授在他那本《统计学年鉴》（Annals of Statistics）中证明我们在争论时最后不可能和而不同（agree to disagree）。经济学家约翰·吉纳考普劳斯（John Geanakoplos）和赫拉克勒斯·伯里马卡吉斯（Herakles Polemarchakis）证明我们不可能永远争论下去，文章刊载在1982年的《经济学理论》（Journal of Economics Theory）。计算机科学家斯科特·阿伦森（Scott Aaronson）证明经过一段合理的时间就能得出一致结论，这一论证出现在关于计算理论的《三十七届ACM研讨会会议记录》（Proceedings of the Thirty-seventh Annual ACM Symposium）中。
还有数十篇扩展奥曼研究成果的论文，都是先指出潜在的漏洞，然后再进行修补缝合。正如文中所言，其中一个潜在的漏洞是我们所有的信念并不都是源于逻辑和证据；2006年，罗宾·汉森（Robin Hanson）在《理论与决策》（Theory and Decision）杂志中对这一漏洞进行了分析和修补。
早在几年前，汉森就在《经济学快报》（Economics Letters）中给出了一个令人愉快的观察报告，他指出当两个诚实的真理追求者争论时，他们一来一回的观点应该丝毫无法预见。特工86说：“我非常确定卷毛就是罪魁祸首。”特工99说：“我非常确定罪魁祸首是一个叫闪扑的人。”特工86接下来会说什么？也许他会说：“好吧，我仍然坚持认为是卷毛，但是我现在没那么确定了。”或者他也许会说：“天哪，你是对的。一定就是闪扑！”这一说法直接超越了特工99的确定程度！汉森证明得出，如果世界上都是诚实的真理追求者，那么特工99应该不知道对方会如何回应。
2009年，泰勒·柯翁（Tyler Cowen）和罗宾·汉森（Robin Hanson）在《经济方法论杂志》（Journal of Economic Methodology）上发表了一篇名为《所有的分歧都诚实吗？》的论文，如果你想看下关于整个文献的合理、全面且易于理解的概述，不妨去看看这篇论文。
第九章了解数学
若要对哥德尔的论点给出一个异常清晰且容易理解的说明，我强烈推荐一本小书《哥德尔证明》（G?del’s Proof），作者是欧内斯特·内格尔（Ernest Nagel）和詹姆斯·R. 纽曼（James R.Newman）。我年轻的时候读过这本书，而且自此之后就爱上了数理逻辑。
顺便说一下，哥德尔支持这样一个观点：我们通过超感官知觉来获取数学知识，而不是通过逻辑和证据：
尽管远远不同于感官体验，我们对集合论这一数学对象的确会产生一种知觉，这一点可以从以下事实中看出：那些数学原理会加到我们身上，并且内容都是真的。我一点也不明白为什么我们要不信任这种知觉，即对数学直觉的信任没有对感官体验的信心多……也许它们也代表了客观现实的一个方面，但是，与人类的感觉不同，这些超感官知觉的出现也许要源自于我们和现实的另一种相互关系。
第十章赫拉克勒斯和九头蛇怪
赫拉克勒斯和九头怪蛇的游戏发明者是劳里·科比（Laurie Kirby）和杰夫·帕里斯（Jeff Paris），一个来自柏鲁克学院，另一来自曼彻斯特大学。1982年，他们发表在《伦敦数学学会快报》（Bulletin of the London Math Society）上的一篇论文证实了两件事情：第一，赫拉克勒斯总是会打败九头蛇怪；第二，现有的数学定理无法证明这一结论。事实上，还有一个更加令人震惊的实情：第十章中提到的九头蛇怪在被砍头后的第二轮中又新长出了两个分支，第三轮时是三个分支，以此类推。它有一个更加凶猛的表亲，它在被砍掉脑袋后的第二轮中又长出了22（也就是4）个分支，第三轮中是
（也就是19683），到第四轮的时候是（也就是340282366920938463463374607431768211456），如此以此类推下去。然而就算是对抗这个凶残的表亲，不管赫拉克勒斯有多笨，他还是一定会赢。这个例子也是一样，它是真的但却无法证明。对于更加凶猛的九头蛇怪也是如此——实际上，对任何可以用语言描述的九头蛇怪都一样。
第十三章证据的规则
来自伯克利大学的爱德华·米格尔（Edward Miguel）教授及纽约大学的夏克尔·塞提纳斯（Shanker Satyanath）教授和欧内斯特·瑟金提（Ernest Sergenti）教授曾对经济困难时期和国内动乱做过相关研究。2008年，他们的论文发表在《政治经济学杂志》（Journal of Political Economy）上。
对于学历和犯罪率之间的因果关系，请参考兰斯·劳克莱（Lance Lochner）的论文“教育、工作和犯罪（“Education, Work and Crime”）”（2004年，发表于《国际经济评论》（International Economic Review）），或者是劳克莱和恩里科·莫雷蒂（Enrico Moretti）的这篇《教育对犯罪产生的影响》（“The Effect of Education on Crime”），同年发表于《美国经济评论》（American Economic Review）。
戈登·C. 史密斯（Gordon C. Smith）和吉尔·P. 佩尔（Jill P.Pell）发表在《英国医学杂志》（British Medical Journal）的文章回顾了这一证据：降落伞可以挽救生命，同时总结道，对于盲目迷恋对照实验的医学界，这无法达到他们的标准。
第十四章知识的界限
聪明的读者会很快发现我在阐述的时候作弊了，我把电子的空间状态画成了一个一维的圆圈，而不是一个二维的球面；我相信这些读者能明白在这一转换过程中并不会漏掉什么重要内容。
然而，这些读者也许会心生疑惑：电子在“左”和“右”这两个点之间最后如何把一个半圆分开，而不是人们所期待的四分之一圆周。答案是（只有那些可能会提出这个问题的人才能理解）那个圆并不是一个单位圆S1，而是一个真实的投射空间P1；我们已经确定了这个圆的对应点。
第十六章辨别是非
电车难题多多少少跟英国哲学家菲莉帕·傅特（Philippa Foot）在她那本《善与恶》（Virtues and Vices）中提出的道德困境一样。傅特教授用这些情节来说明有关堕胎问题引起的的争议，但是我（还有其他学者）却用这些例子来阐明道义论哲学和结果主义哲学之间的区别。有关对道义论哲学（尤其是在衡量“对个体权利的尊重”以及道德极限中的体现）和结果主义哲学之间的权衡决策，大卫·弗里德曼（David Friedman）在他的经典之作《自由体制》（The Machinery of Freedom）中给出了生动、深度的探讨。
第十七章经济学家的黄金准则
我的一个朋友大卫·勒文总是竭力让我保持诚实的态度，这有时反而吃力不讨好。他坚持认为我在上一章中的电车问题上采取了一种过于突出的形式来衡量经济学家的黄金准则。为了满足大卫的意愿，让我们再来看看下面这个问题：
电车问题之黄金版。一辆电车疾驰在轨道上，这时有上百个孤儿正在附近寻找残羹剩饭，电车马上就要撞到其中一个孩子身上。而这时一个有钱人只需要把他那块价值30万美元的金手表扔到电车前就能避免这场灾难，那么他有义务要这么做吗？
答案：这很难说。那块手表的另一种用途可以是卖掉它，然后给每个孤儿发3000美元。如果放在昨天你去问他们——每人3000美元，还是有钱人给的一个保证：如果面临被电车冲撞的危险，他会站出来拯救他们，那这些孤儿自己会更青睐哪个选项呢？
经济学家的黄金准则至少说明了这一点：如果你打算花30万美元来帮助孤儿，那么你应该按照孤儿们更喜欢的方式来处理这一笔钱。因此，如果我们假设孤儿们更乐意收到现金，并且假如我们认为这个有钱人并没有什么义务来自己掏腰包，那么我们可以得出的结论就是这个有钱人没有义务去阻止那辆电车。
这个结论令人震惊，但它在道德上是讲得通的；这个结论是通过实质性的道德推理而不是盲目计算得出来的。如果这个富人昨天不想强迫自己给每个孤儿发3000美元，那么为什么今天他就应该强迫自己去花掉这在孤儿心目中并不值当的30万美元呢？
也许你的答案是：事实上，这个富人自始至终都应该为孤儿花掉那些钱。如果这就是你的看法的话，经济学家的黄金准则也赞同；在关于我们应该捐多少钱这个问题上它并没有什么说法。也就是说，如果你想知道我们到底应该捐多少钱的话，那么你需要给经济学家的黄金准则做个补充，附加上一条道德准则。经济学家的黄金准则从不会宣称自身是道德的最高要义。
还有一点也值得我们铭记，那就是我们一直在牺牲穷人的生命来满足富人的奢侈。没有护栏的公路可能会引发死亡，而且随着时间的流逝，实际上一定会有人丧命于此。我们可以通过向富人征税来修筑护栏从而避免这些死亡。然而我们却选择不这么做。穷人还是照常死亡，富人则继续过着奢靡的生活。
也许我们从一开始就绝不该允许出现这样的收入差距。但事实上我们却允许这样的事情发生了，而这似乎也没有妨碍到我们，至少不会像这个电车问题一样困扰到我们。
因此，也许上述演练得出的寓意是我不该对社会上产生的收入差距如此沾沾自喜。或者有可能是我应该为听任孤儿们死在电车轨道上而更加得意。和大卫一样，我也不会做出后一个选择，而是选择拯救孤儿。但是，我觉得和大卫相比，我更愿意赞同这样一种可能，即我们做出那样的选择是因为电车问题的演练是想让我学到点什么。
第二十一章让犹太拉比来切分这块大饼
奥曼（Aumann）/ 马希勒（Maschler）定理于1985年发表在《经济理论杂志》（Journal of Economic Theory）。
第二十二章如何思考
弗农·史密斯（Vernon Smith）和他的同事詹姆斯·考克斯（James Cox）所做的一系列实验发表在考克斯所在的亚利桑那大学的工作报告中，题目是《互惠经济学》（“On the Economics of Reciprocity”）
用餐巾纸背面演算估量出被比喻成保险的社会福利体系的合理规模，这件事情出自我以前的同事詹姆斯·卡恩（James Kahn）和雨果·霍本哈因（Hugo Hopenhayn）；秉承这一理念（但更多着眼于设计社会税收而不是社会福利体系），詹姆斯·莫里斯教授（James Mirrlees）进行了更为精细的计算，并因此获得了诺贝尔经济学奖。
在2007年的哈佛大学工作报告中，葛来格·曼昆（Greg Mankiw）和马修·温齐尔（Mattew Weinzierl）对最优身高税进行了探索。
在“成本不等于原罪”那一部分，我讲到在演化过程中，人类丢失了可以驱使人们进行判定、谴责和惩治那些我们定义为“坏家伙”的人的历史遗产，对此，我深表痛惜。哲学家大卫·利文斯通·史密斯（David Livingstone Smith）强调（我确定完全正确）把人类的战争史（更广泛的说法是暴力史）放在上述演化过程中才能得到最透彻的解读，关于这一点，他在自己的杰作《最危险的动物》（The Most Dangerous Animal）一书中做了一段引人入胜的阐述。这本书正是对生物学、历史学、社会学和哲学的完美融合。我一直认为在解释我们制定的排外的贸易和移民政策时，进化生物学会帮上大忙；而史密斯的研究成果使我相信这一点也同样适用于阐释国防和外交政策。
有关工作和休闲时间分配的数据来自一篇名为《测量休闲趋势：近50年的时间分配》（“Measuring Trends in Leisure: The Allocation of Time over Five Decades”）的论文。文章的作者是马克·阿吉亚尔（Mark Aguiar）和埃里克·赫斯特（Erik Hurst）。你还可以参考他们写的书《休闲不平等的加剧：1965-2005》（The Increase in Leisure Inequality）。
第二十三章学什么
——给大学生的一些建议
登陆尼尔斯埃里克·萨林（Nils-Eric Sahlin）教授的网站www.fil.lu.se/sahlin/ramsey或者读一读他的著作《拉姆齐的哲学》（The Philosophy of F. P. Ramsey），你就能更多地了解拉姆齐的哲学作品。
想要知道更多的答案吗？有什么想法想要分享吗？登陆www.the-big-questions.com加入我们的讨论吧。
[1] 对那些比较关注这一部分的读者，我在网站上附上了这些事实的（非常专业的）证明过程，网址：www.the-big-quations.com/ripples.html.
[2] 更确切地说（对那些能够忍受这些术语的人们而言），事实是波动方程式通常只能预测二维空间的波纹，而湖面的波纹至少在一定程度上是一种非线性现象，这也是事实。因此，波动方程式并不能完全来解释这种现象。
致谢
我和本书的读者都要大力感谢我的许多朋友和同事，他们给我提了很多批评意见，对本书内容有多处点评，并给了我无限的鼓励。我尤其要感谢以下这些人：马克·阿吉亚尔（Mark Aguiar），马克·比尔斯（Mark Bils），克里斯蒂·博尔奇（Christy Birtcher），伊丽莎白·博斯基（Elizabeth Boskey），凯瑟琳·坎贝尔·柯柏勒（Kathryn Campbell-Kibler），布莱恩·卡普兰（Bryan Caplan），凯特·查尔斯（Kate Charles），芭芭拉·法拉鲍（Barbara Farabaugh），丹·格雷森（Dan Grayson），大卫·格雷森（David Grayson），保罗·格雷森（Paul Grayson），罗宾·汉森（Robin Hanson），班尼特·哈斯尔顿（Bennett Haselton），詹姆斯·A. 卡恩（James A. Kahn），戴维莱文（David I. Levine），亚伦·曼德尔（Aaron Mandel），迪·麦克洛斯基（Dee McCloskey），大卫·默民（David Mermin），罗曼·潘克斯（Romans Pancs），杰西·雷蒙德（Jesse Raymond），迈克尔·里索（Michael Rizzo），大卫·利文斯通·史密斯（David Livingstone Smith），艾伦·托克曼（Alan Stockman），亚历克斯·塔巴洛克（Alex Tabarrok），艾丽斯·托尔曼（Ellis Tallman），丽萨·塔佩（Lisa Talpey），罗纳德·谭思奇（Ronald Tansky），伽柏·维拉格（Gabor Virag），迈克尔·沃尔科夫（Michael Wolkoff）。我还要感谢我的母亲。如果这里有所疏漏，我会深感自责。
再次感谢罗森伯格夫人。
最近我突然想到，一路走来，这是一段多么奇妙的旅程。
——感恩而死乐队（The Grateful Dead）
