上帝用数学谱写了宇宙。
——伽利略·伽利莱（Galileo Galilei）
世间有万物，为何不是空无一物？宇宙为何会存在？它又为何不是空洞可鉴？世间的星辰从何而来？绵绵的山脉源头何方？还有那百足蜈蚣和美丽的彩虹，它们又出自哪里？所有的这一切都来自哪里？
很多年来，这些问题一直萦绕在我脑中，它们令我着迷，但又无从破解。我甚至无法想象答案可能会是什么样子。为此我苦恼不已，但似乎又无计可施。
很有可能上述问题都没有答案。也许这些问题是有误导性的，会把你带偏。就比如你会问“为什么我的电脑如此恨我？”而其实你的电脑并不恨你，只是你在使用时它给你那样的感觉罢了。就在光标指针不动弹时，大脑的某一部分会指使你找碴儿，觉得电脑心怀恶意。也许我的大脑里也存在这么一个部分，使我被误导，一门心思想要寻根问底。也许宇宙一直就在，仅此而已。
不过，我觉得一般来说比较好的态度就是假定万物皆有因。事物往往都有根源，就算没有，与不去探寻业已存在的因比起来，倾心探究那些不存在的因，能使你学到更多。除此之外，我似乎无法停下搜寻的脚步。
如此，冒着犯大错误的风险，我斗胆假设宇宙的存在绝不是偶然。其存在必有某个缘由。如果这个缘由足够使人信服，它应该能够向人们揭示宇宙为何确有存在，而且还得说明宇宙为何必须存在。
那么，一个比较好的起点就是，我们先来扪心自问，我们是否知道有什么东西确实存在，而且是必然存在。更别说拿整个宇宙来拷问我们。我觉得我有个清晰的答案，那就是数字的存在是必然的。运算法则的存在也是必然的。在任何可能的宇宙内，二加二都等于四。即便宇宙不存在，二加二也是等于四。
运算法则不可改变，而且永恒存在，我要说的并不仅限于此；我想要说的比这更多。永恒是相对于时间而言的，数学却存在于时间之外。即使时间不复存在，数学仍然屹立不倒。
为何我会这样说？也许仅仅又是一次大脑偏离正道吧。你也许会争辩说数字不过是人类的一个发明罢了，运算法则是根据经验总结出来的规律，并不是必然的真理。比如你放两块石头在桌子上，然后再往上面放两块，现在你发现桌子上有四块石头，同样的事情一再出现，你就会总结道“二加二等于四”，仅此而已。我相当确信这样一定不对。有人觉得“二加二等于四”这个事实并不是关于石头或其他物质实体，而是事关数字的一个真理，并且这个真理在产生会数数的人类之前很久就存在着，我的立场也是如此。
美国哲学家保罗·贝纳塞拉夫（Paul Benacerraf）就曾提议做一个关于人类思维的实验，这个实验可以清楚地把这两种观点区分开来。假设你在厨房的桌上放了两块石头，然后又添了两块，你数了数，却发现总共有五块。过去你这样做的时候总是四块，但这次很奇怪，共有五块。
你脑子里首先蹦出来的想法很有可能是自己数错了，或者你没有留意到开始之前桌子上已经有一块了。但是一整天下来，同样的事情一再发生。两位好友和你一起共进午餐，然后又有两人加入，不知怎的，最后你却有五个同伴了。你从地下室上来爬了两层楼，之后又爬了两层，不知道怎么了，你却身在了五楼。
最后，你不得不得出结论：一些事情彻底地改变了。但是呢，你可能会说是数学变了——过去二加二等于四，但是现在等于五了。又或者你可能会说是物理变了——数学上还是如惯例那样，二加二等于四，但物质世界却好似不一致了。
从很多方面来说，你选用何种描述方法并不要紧。无论你搬出哪个例子，你想说的不过是旧的数学法则已经不再适用于描述物理现实了。而你所选的描述方法在很大程度上揭示了你的本能倾向。假使你把数学看作人类的一个发明，是用来解释这个世界的，那么你就会轻轻松松地说出这样的话，“好了，现在是时候把那套旧的数学扔掉，创造出新的数学方法”，而且你会觉得，如果我们弃之不用，这套旧的数学就会年久失修，不复存在。
假如你也像我一样，视数学法则为必须存在的真理，那么你看事情就会大有不同。这时候你想摒弃的将不再是那套旧数学，而是旧的物理学。按照旧的物理学，当你把两部分物体放在一起，通过相加就能预测总数。而新的物理学会让你知道，除了相加，你还得用些更为复杂的方法。但是在这里，加法本身并没有变。
于是，我相信算法不会变，而且必然存在。数字存在因其存在性是必然的。诚然，存在这个词我用的有些模糊。很明显，比如说当我们提到餐桌存在时，这个存在就和数字的存在不完全是一个意思；一方面来讲，餐桌是由原子组成的，而数字必然不是。并不是所有存在的事物都是由原子组成的。有一点我深信不疑，那就是我的期盼和梦想确实存在，而它们却并不是由原子构成的。再比如蓝色，比如相对论，比如关于独角兽的构想，这些都确实存在，但没有一个是由原子组成的。
我深信数学存在就如同我深信自己的期盼和梦想存在一样，因为我能切身体验到。我相信餐桌存在是因为我可以用双手感知到它。我相信数字存在，运算法则存在，鉴于此我也相信欧几里德几何中理想三角形的存在，因为我可以用思想来“感知”到它们。
更好的理由是，我相信数字是因为我知晓其中的一些事实。比如，每一个正整数都可以表达为至多四个平方数的总和。这永远是个颠扑不破的真理，虽然直到1770年才被法国数学家约瑟夫·拉格朗日所证实。在人类出现很久之前，运算法则就是一种不变的真理，因此不能说算术仅仅是人类的一个发明。[1]
那么，这就是我的第一个论断：数学对象——例如自然数和运算法则——是真实的。[2]对于这个论断，我无法给你提供一个绝对的证明，就如同我无法向你绝对证明我是一个有思想的人而不是一具僵尸。鉴于此，我甚至不能确定关于这个论断我是否能够提供一个完全连贯的阐释（尽管我承诺到第九章和第十章会回到这个问题）。尽管如此，我知道这个论断是真的。
你也如此。当你用两种不同的顺序把一列数字相加，得到了两个不同的答案时，你绝不会一脸严肃地认为是数学前后矛盾；相反你会百分百地确定是自己算错了。这是为什么呢？如果说算术只不过是一套随意的规则，它就很有可能会自相矛盾。你之所以确信它不会自相矛盾，是因为实际上你确定这些运算规则与某事物有关。这里的“某事物”就是自然数（比如用来计数的0、1、2等等）。你和我都确信自然数是真实存在的。它们的存在不仅真实而且必要。鉴于其本身的性质，它们不可能不存在。
同样地，对于复杂程度不一的数学结构也是如此。一个点就是一个数学结构，尽管对于点没有太多可以论述的东西。欧几里德几何——就是你在高中学到的几何，如线、角和圆——是更为复杂的结构。[3]自然数连同其运算法则就构成了深刻且复杂的数学结构。人类基因组连同其A、C、G、T四种碱基组合结构就完全可以用算术的语言来描述，从这个层面来说，算术至少和人类生命一样复杂，于是乎其复杂程度也堪比你的大脑和意识模式。
在我的信念中，世间万物——你，你的意识，以及我们共同居住着的广阔宇宙——都作为一种数学结构存在着。
各种各样的模式都是数学结构，人的意识即是一种模式——你脑中的神经运动模式——这个观点成为通向人工智能的理论支柱，有时候也被称为“强智能”或者“机能主义”。你的大脑蕴含了上百亿个神经细胞，它们之间相互传递信号。依靠着最新近接收到的信息团，沿线的神经元细胞可能会或者不会向其他神经细胞继续传递这个信息。按照机能主义者的观点来看，这就是一种运动模式，正是这种模式使人产生了意识。假使你要建造一个人工大脑，里面填充由硅、金属片和级联弹珠组成的神经元细胞，如果这些神经元细胞也能像人的大脑的神经运动模式那样相互传递信息，那么你建造的这个大脑也会和你一样产生意识。
丹尼尔·丹尼特（Daniel Dennett）在他的巨著《意识的解释》（Consciousness Explained）中就设想了一种品酒机器。沿着漏斗把样酒倒入，系统就会做出反应：“这是一种口感丰富醇和的皮诺酒，美中不足的是缺乏后劲。”丹尼特对机能主义者的哲学观总结如下：如果你能够复制人类品酒师的认知系统（包括他的记忆、目的及他固有的喜恶等等）这一整个“功能结构”，你也就复制了所有的心理属性，包括我们很多人都喜欢的细品红酒带来的那种享受和愉悦感。
也许这一点会令人难以置信，像愉悦感这样缥缈微妙的东西怎么就能仅仅通过这一发射运动模式产生。不过我从丹尼特那里学到的一件事情就是当这个世界充斥着偏见，才会造就仅仅这个字眼。至于那上百亿个神经细胞网络有多么复杂，你我就算想窥见一斑都完全不可能。因此，当我们试着去想象它们是如何运作时，我们脑海中浮现出来的一幅景象是几十个神经细胞以复杂的方式相互作用，而这种想法会让我们严重地偏离正道。因为这种设想不能够阐明其结构的复杂程度，也说明不了这个系统衍生出来的复杂是哪种类型，在这个系统中包含了上万亿潜在的关联，并蕴含了各种能够对神经细胞间的运动做出反应和修正的系统和子系统。
强智能人群的观点认为，就是这样一种模式——操控你大脑的软件（与硬件相对，硬件即神经细胞），就是在这些神经细胞上运行的——能够解释人类意识的产生。神经元通过化学信号或电信号上下传达，不过那都是些无关的细节。假如你用装满弹珠的电子管来替代神经元，通过空气挤压弹珠传递信息，由此产生意识的体验是一样的。关于这一点，丹尼特和其他强智能人员，比如道格拉斯·霍夫斯塔特（Douglas Hofstadter）都进行了翔实论述，细致入微、引人入胜。你可以把他们的书全部找来读一读。
你若这样做了，就会读到霍夫斯塔特的一篇文章，叫作“与爱因斯坦大脑的对话”，在这篇文章中，他设想了一本书，大约有上百亿页——每个神经细胞占一页，记录爱因斯坦临终前脑中的神经细胞活动。每一页上都是一串数字，记录这个神经细胞能够向哪个神经细胞发送信号，接收哪个信号会导致哪个信号的发送等诸如此类的问题。书中还包含了一套规则，用来规定接收和发射信号时数字的变化（这些都是用来模拟大脑是如何储存记忆的，比如在何种情境下哪个神经细胞就会发射信号，对应的规则就会做出哪些变化）。书中还有个前言，详细准确地描述了对于任何听觉和视觉刺激，爱因斯坦脑中对应的神经传递模式。
现在你就可以和爱因斯坦展开对话了。比方说，你讲“您好，爱因斯坦教授；您今天感觉怎么样？”你的声音会以一串音符的形式记录下来。然后：
我们先把第一个音符拿出来……然后参考前言的内容，看下它会导致哪些神经细胞发射信息，如何发射信息。换句话来说，我们就可以借此精确地看到每一页上的每一个数字是如何变化的。然后我们需要费心费力一页一页地把整本书翻完，事实上，是我们引发了这些变化。你可能会称作“第一回合”……一个细胞接一个，我们就把整本书过了一遍。不过，你明白只有部分神经细胞在发射信号，所以这个事实我们需要考虑进来。这就意味着，我们需要跳到那些接收到信号的页面，进而在那些“随结构变化的数字”的指引下调整“那些”页码。这是第二个回合。然后那些神经细胞反过来又会把我们带到其他页面，瞧瞧吧，咱们绕着大脑开启了快乐的循环旅程。
也许每一页上我们要研究的神经细胞发射信号有其指定时间——这里说的是在真实情况中，在爱因斯坦的大脑中细胞发送信号所用的时间——经过最精确的测量，这个时间大概有千分一秒。随着几个回合的进行，我们把所有信号发送的时间累加起来，当这些时间段积够第一个音符的长度时，我们就可以开始第二个音符了……
最终，某些“言语神经细胞”就会开始发射信号了……
然后我们再参照表格看看言语神经细胞发射信号时会对嘴巴形状和声带张力产生什么样的影响，由此我们来推测爱因斯坦在“说”什么。
这个过程实践起来大概要花成百上千年的时间，但从原则上来讲，假使我们真有机会和爱因斯坦本人交谈的话，我们得到的回应和实验得到的反应该是一模一样的，这点我们没有理由怀疑。毕竟，爱因斯坦会作何反应完全是由其嘴部活动和声带震动控制，而这两者又完全是凭言语神经细胞发射来的信号行事，然而言语神经细胞又完全受控于其他神经细胞发射来的信号，一路下来，最终回归到发问者的音符初始触发的那些发射的信号。
更好的是——我们不需要劳神费力地遵从霍夫斯塔特的建议去做手动查询——想象一下雇用一个恶魔家族来为你效劳，他们可以用近乎光的速度飞快地进行查询。现在你可以和爱因斯坦教授进行实时对话了。
整个系统可以对每一个刺激、每个问题和声音，以及每个眼神做出回应，就像爱因斯坦本人所要做的那样分毫不差。那么，霍夫斯塔特接着提出了疑问，系统也和爱因斯坦一样能够体验到意识，这一点我们要怀疑吗？[4]
换句话来说，你的思想就是软件，而你的大脑仅仅是一部硬件。在截然不同的硬件上运行同一部软件，那么你就还是你。
也许不是。美国哲学家约翰·塞尔（John Searle）认为人的思想从根本上来讲是一个生物过程，是血与肉的产物。他提出警示不要去模拟这个过程，这只会令人更加不解。比如，你可以编写一个电脑程序来模拟你胃中的每一个细胞以及它们之间的互动，但是它自己不会消化食物。那么，为何一个电脑程序——甚至说一个能够模拟你大脑所有神经细胞和它们之间互动的程序——就会像人一样能够思考呢？
如果塞尔的观点没错的话，那么人的意识就不仅仅只是神经细胞发射信号的一种模式。但它仍可以是另一个更深层面的模式——比如大脑中原子之间互动的模式，而不是神经细胞。若人的意识不是“某个”层面的模式，我不确定它还能是别的什么。
那么，意识显然就是一部软件，而整个宇宙则是一部硬件。所有的硬件又来自哪里？同样地，我怀疑这些硬件也是由纯粹数学组成的。我之所以产生这样的想法，是受了物理学家弗兰克·蒂普勒（Frank Tipler）在他著作中一系列附注的引导。这本书名为《不朽的物理学》（The Physics of Immortality），内容独具创新，极其挑战人的大脑。他的附注如下：假使软件足够精细复杂，不管在何种硬件上运行都可以，都能产生意识的话，那么这个硬件就应该是可有可无的了。一旦认定了硬件无足轻重，那么一开始还要它做什么？那复杂精细的软件就是一个纯粹的数学对象，因此，数学在，组成你思想的软件就在——独立于它所运行的硬件。与此同时，这个足够精细复杂的软件，因其存在，就足以产生意识。
我作为经济学教授的部分工作职责就是记录下简单经济（换言之，即虚拟经济）的数学描述（我们且称之为“模式”），然后估算出这些经济体内的居民对于一些变化将会做何反应，打个比方讲，比如说税收政策的转变。[5]我的一些同事们喜欢把这些模式编入电脑程序，这样他们就能真实地“观察”模型人群应对不同政策实验所做出的反应。
现在，让我们来假设一种情况，假使我建立的那些模式精细和复杂到不可估量的程度：我不会给这个模拟世界里的每一个居民分配一个个不同的数学符号，而是给这些居民脑中的神经细胞分配一个个独立的符号，然后我会小心翼翼地观察所有神经细胞之间的一切互动。那么，按照强智能的观点，如果我的同事们把这个模式放到电脑上去实施，这个模式里面的居民就能体验到真实的意识。[6]不仅如此，他们体验到的这个模拟世界就如同物理现实一样。那是因为这个无比精细的模式里不仅有对主体神经细胞的描述，它对物理环境以及主体和环境之间的互动的描述也同样精细。
事实上，我相信即便我的同事们不在电脑上模拟这个模式，模拟世界中的居民仍然可以体验到真实的意识，也能把模拟世界体验为物理现实。这是一个飞跃，不过对我来讲算不上太大；如果一个模式在任何一台电脑上都能生成意识，那么电脑本身就不可能成为这一环节的重要组成部分。如此一来，为什么这个模式不应该彻底脱离电脑而生成意识？（不过换句话说，我认识的每一个人都觉得这个飞跃比我想象的要大得多。）
但是呢，我所能写下来的任何模式——以数学结构的形式——在我能构想出它们之前很久就存在着。因此，我模拟世界里的那些人在某个地方已经存在着，他们生活在他们唯一的现实世界中。于是，我们能够想象得到，我们即他们。[7]
换句话来说，宇宙本身就是一个数学模式，其中蕴含了你我的意识，它们都是其次级模式。宇宙之所以存在是因为它能够如此；一个合乎逻辑的宇宙就是一个数学对象，而数学对象必然存在。而大部分的数学对象相当平淡无奇。一个点即一个数学对象，但它该是你能想象出来的最无聊的数学对象了。它其实是一种比较少见的模式，本身蕴含了可以产生意识的次级模式。弗兰克·蒂普勒提出了一个令人惊奇的建议，那就是我们可以把这种次级模式作为物理存在（与之对应的是纯粹的数学意义上的存在）的定义。换言之：
当其中的居民知道它存在时，从物理意义上来讲，这个宇宙就存在。
因此，我深信你的餐桌，你的那些色情收藏品，以及你的岳母，全部都是数学对象——是一个更为庞大的数学对象，即宇宙的子对象。当我们把一个数学对象看作物理存在进行观察时，有发现任何奇怪的地方吗？我敢断言，这就好比我们看到一个物件，感知到它是绿色的一样不足为奇。颜色不是一种物理属性，它其实是你的神经系统施加于物体的一种属性。[8]如若你的大脑可以把颜色感知为现实存在，为何它不能感知物理性？
上述中的任何一点并不是用来否认这样一个事实，即我们所寄居的宇宙是由量子力学定律、优胜劣汰自然选择定律和其他的正统科学主宰运行。上述所有的这些——再加上我们去探知这些定律和科学所使用的的方法手段——都是这个数学结构即宇宙的一部分。
这里所谈论到的一切与激进无关，因为任何一种现代宇宙学理论的架构都建立在这样的假定之上，即宇宙就是一个数学对象——通常来讲是一个几何对象，诸如地心引力和电流这些最基本的力量就组成了这个几何体的各个面。举例来讲，地心引力呈圆弧状：苹果之所以从树上落下是因为它们想要在一个曲面空间里走最笔直的路线。除了把宇宙描述成一个数学对象，也没人能知道还有其他什么方法来描述它。我的建议就是我们应该听听那些物理学家们的理论所要告诉我们的。
许多宇宙学模型都是先假定我们所生存的宇宙是另一个更为宏大结构的一部分，这个更大的结构我们称之为多元宇宙，它包含了许多和我们相似的宇宙，只是每个宇宙的历史在细节上有所不同。在某些宇宙中，阿尔·戈尔（美国政治家，曾于1993—2001年担任美国副总统）在2000年当选为美国总统，而在另一些宇宙中，他到2008年才入主白宫，而且目前担任哈萨克斯坦的国家总统。当我在书中提到“每一个可能的宇宙都存在”时，我要谈论的并不是这个多元宇宙。多元宇宙本身就是一个数学结构，包含了我们所身处的这个宇宙作为其子结构。尽管如此，它也只是众多数学结构中的一个。我坚持认为每一种数学结构都存在着，只不过有些没有物理表现形式罢了。有些数学结构太过于奇异，我们常人无法揣测。有些就是一些不同的宇宙，我们赖以生存的宇宙就是其中之一。还有一些结构的表现形式是多元宇宙。假如说我们现在所寄居的宇宙是一个多元宇宙，那么上述多元宇宙中必有一个就是我们的。
我超爱这个观点，不仅仅是因为它能够向我们解释我们的宇宙来自哪里，还因为它消弭了实际存在和可能存在两者之间的差别。假使一些宇宙只是可能存在，而另一些则实际存在，那么我们如何来区分这些实际存在的宇宙？我所勾勒出来的这个理论则使我们免去了这一苦恼，没有必要再去考虑这些令人费解的问题。任何可能存在的宇宙就必然存在；我们再也没有必要去解释为什么我们的宇宙就被赋予了特权，因为所有的宇宙都是真实存在的。
现在如果有人能够证明只有一个可能存在的宇宙——或者只有一个可能的多元宇宙——换言之，有且只有一种数学结构包含有意识的次一级结构，比如有意识的我们人类，这样的话我就再高兴不过了。于是乎我们不仅能够知晓为何有这么一个宇宙存在，我们还能知道为何我们会住在这个特定的宇宙内。不过对于能不能出现这么令人满意的发现，我不抱太大希望。
我无意再一一赘述那些和我持有类似或相关观点的宇宙学家、物理学家、数学家或哲学们的鸿篇巨制。不过这里我的确想要提及一篇论证极其完备缜密的文章，作者是马克斯·泰马克（Max Tegmark，麻省理工学院的一名宇宙学家），题目叫作“数学化的宇宙”（The Mathematical Universe），近期在一本叫作“物理学基础”的期刊里发表。
泰马克教授的论证大体如下：我们先试想科学的内涵起源于，比如说生物学。生物学包括了两部分：一部分是化学，而另一部分则负责把信息组织起来，分门别类，使人们更容易理解。化学从分子的层面描述人类的心脏和肺部的运行情况。而相形之下，“心”和“肺”之间的分界线则是人类的杜撰；从分子层面来讲，人的身体内部充斥着数以万亿计的粒子，它们之间并没有一道自然的分界线来划分“心脏粒子”和“肺部粒子”。是我们的大脑创造了这么一个东西，来区分肺部和心脏，而生物这门科学又把这一人为创造出来的区分奉若神明，即便从现实层面讲，它并不是一个人体基本特征。（我这里所谈到的心脏和肺部的划分也完全能够等同于我们对哺乳动物和爬行动物、生物和非生物的划分，于此，又或者相当于“你的器官”和“我的器官”这一区分一般。）泰马克教授（并非戏谑地）称这些划分为生物学的“行李箱”。于是乎，生物学就有两部分：化学部分和行李部分。
以此类推，化学部分也有两部分组成：一个是物理部分，另一个是另一层次的行李部分。物理部分提供给我们的是基本粒子，比如质子和电子；化学家们围绕一组组粒子进行界定，给其命名为“摩尔”。他们还会圈定一些特定种类的粒子组进行划分，称之为“金属”或“稀有气体”。这些用来区分的分界线并不是由什么根本性的因素决定的，而是由它们呈现给人类大脑的模式决定的。把所有行李部分抹掉的话，唯一剩下的就是物理部分。
现在，我们来把这个探讨深入一下。以此类推物理部分也包含两重成分：一部分为数学，另一部分则是行李——一部分的表现形式是方程式，而另一部分则用呈现给人类大脑的语言概念来表示（比如“质量”和“速度”）。抹去行李部分，仅仅剩下的就是数学。
现在只有两种可能性：要么万物都是行李部分，这样的话在人类大脑的主观创造物之外就没有任何外在实现；要么就是有一些东西是现实存在的，完全不依赖于我们人类。如果我们排斥否认第一种可能性——换言之，即我们坚持认为一定有些什么是外在的，真实存在的——那么这样的现实存在是由什么构成的呢？它必定不包含行李部分，因为按照定义行李部分只是人类大脑的一个创造物。但若没有行李部分的话，剩下的就只有数学了。因此，数学一定就是宇宙的基本构造。
我钟爱宇宙即数学对象这个理论的另一个原因是它还揭晓了一个答案，一个哲学上最难解的问题：数学对各门自然科学产生的不可言明的推进作用。
关于这个话题，诺贝尔奖得主尤金·维格纳曾写过一篇很有名的文章，他提出了这样一个问题，为何数学这门语言竟能够如此精确地描述这个物理世界（只不过他没能够给出答案）。
对于那些微积分成绩低于B的人来说，二阶微分方程式就仅仅是一个数学结构，没有任何明显的直觉感知内容；而数学家们研究这些方程式的时候却把它们当作一种智力游戏，乐在其中。不过，二阶微分方程式是一门用来描述运动的语言；它们能够描述一切移动的物体，不管是疾驰的飞箭、坠落的苹果或者是沿轨道运行的行星，其简洁度和精准度都令人惊奇。其他的例子不胜枚举。数学家们发明一个概念，是因为他们觉得这个概念既美丽又优雅，一代人之后，物理学家发现他们需要的正是这个概念，可以用来描述一些最基本的规则，即宇宙运行的规则。泛函分析是一门描述量子力学的语言；微分几何用来描述相关性；我自己以前的专业代数K理论也发展成一个研究工具，用来探索在高度抽象的设置下一些纯粹的几何问题，最后发现它在物理学的弦理论中也有应用。
数学能够用来描述整个大宇宙，正如维格纳所强调的那样，这是一个多么非凡的奥秘——同时也是赐予我们的一点多么非同寻常的好运呀。当人类想要去揭开这个奥秘，认识到宇宙是由数学构成的，大概就存在着那么一个线索吧。
人们常常认为只有从简单中才能衍生出复杂来。这一点不可能正确，因为数学就是复杂的，而它并不是由什么衍生而来。这一看法我将在第三章中有更多的阐述。从一开始数学本身就有其内在的复杂性，它本身就包含了人类所能观察到的最为复杂的模式，大到星系演化，小到人脑结构或国家橄榄球联盟的薪金制度。为何要到别处去寻找其根源呢？
[1] 真理和人类的证明之间的区别就在于著名的哥德尔不完备性定理的核心，在之后的章节中我会做多一点的阐释。如果想更多地了解这个区别，请自行转至第九章和第十章。第十章中提供了一个程式的显式示例，这个例子就是一个不可以被证明的真理。
[2] 这个论断代表了一种主流观点，可以说是在数学工作者中唯一的一个主流观点。关于这一点的更多信息请参考附录部分。
[3] 欧几里德几何提供了一个很好的例子表明数学可以独立存在，不依附于任何物理表现。我们所生活的宇宙并不能通过欧几里德几何得到精确的描述。欧几里德三角形的三个角加起来正好等于180度。但是如果用三段钢梁铸成一个三角形，那么它的三个角加起来永远不会恰好等于180度。部分原因是空间本身是有一点点弧度的，因此用欧几里德几何定理来描述物理世界就会有一点点偏差。还有部分原因是，没有哪一根钢梁会像欧几里德三角形的边那么细，那么直。欧几里德三角形存在，但是它的存在超越了单一的物理现象。
[4] 我已经向大家讲述了霍夫斯塔特书中的这个故事，但是我深信真实情境中所发生的事情要远比这复杂多了。真实的爱因斯坦教授本人在做出回答时，除了参照我们的问题之外，还会受到一系列因素的影响，比如当时房间的温度、眼角瞥到的一位美女，还有身体各个部位的状况，比如鼻窦和膀胱。虽然，从原则上来讲，我们也可以模拟所有这些因素。
[5] 以防此处表述略显模糊，我会在下一章给出一个此种模式的例子。
[6] 我可以肯定地说，一定会有人工智能研究者站出来反对这个结论，觉得它荒诞滑稽，但是我也非常肯定的是，对于他们中的多数人深信不疑的东西，这个结论也捕捉到了其精神内涵。
[7] 一方面，模拟中的居民彼此间存在重要的差别，另一方面，他们还是和你我不同：一个经济模式可以在电脑上模拟，还可以随着时间不断延伸。相比之下，宇宙却不会随着时间延展，因为时间是宇宙的一部分。就如同宇宙不可能只凝固在阿拉斯加一样，它也不会随着时间延展。
在电脑上运行的程序可以说是两样东西：它既是一套指挥电脑运行的指令，同时它本身又是一个抽象的模式。如果我没弄错的话——宇宙——可以类比为这个抽象的模式，而不是那一套指令。时间和空间，连同我们对它们的认知都是这个模式中的板块。这个模式本身不会延展，它一直如此。
[8] 更多内容请参考第五章。
