现代数学中有很多观点可以被应用到哲学中。我在这里只能提出一两点。数学家的推广方法就很有指导意义。画家经常将一幅画设想成由从自然物体发出的、射入眼睛的多条相互交织的光线构成的平面。然而，几何学者从普遍性角度[50]考虑。例如，图6中O是眼睛，ABCDE是平面的边缘。afeDc是另一个平面的边缘。几何学家取一条直线经过O，它与两个平面各有一个交点。于是，从画家的视角看，e就代表E，D代表D自身，c就代表C，其中c离画家的距离较远；a代表A，两者分别位于画家眼睛的两侧。这种概括并不等同于眼睛看到的就是这样。而且，按照此模式，两个平面上的点应该是一一对应的关系。但是，f点和B点该怎么办呢？前者在画家的画面上，后者在画家要表现的平面上，它们与O点的连线都是与对应的平面相平行的吗？有些人会说这些点是例外，但是现代数学在推广时[51]绝不认可例外。一个点从C移动到D，再到E，直到无穷；另一个平面上相应的点从c移动到D，再到e，以此类推。但是，这个点能从f移动到a，当它移动到a时，第一个点已经到A了。因此，我们说第一个点穿过了“无穷”，每一条与之相连的线就像一个椭圆。几何学家将无限延长的线的部分视为点。这在数学中是一种有效的推广。
图6
现代的测度观具有哲学的一方面。线性测度系有无数种，因此，可以采用单线刻度的透视表征来测量另一条线，尽管这样的测量不同于我们所说的在后一条线上点的距离。要建立一条线上的测度系，我们必须为它的每个点分配一个不同的数字，为此，我们必须明确地假设这些数字有无数个小数位。这些数字必须按照不间断的顺序沿线排列。此外，为了使这种尺度的数字任何时候都可以使用，它必须能够转移到新的位置，给每个数字都取一个不同的点。现在，我们发现，如果对于实点和“虚点”（限于篇幅，此处不阐发），这一点都成立的话，那么在这样的转换中，至少会有两个点对应到同一个点上。因此，当通过任何连续系列的一类移动将尺度移动到线上时，有两个点，除了固定在那里的数字之外，没有数字可以达到。因此，在测度中，这两个不能达到的点就被称为“绝对值”。它们可能是不同的实点，可能会重合，也可能都是虚点。概率就是一个有两个绝对值的线性系的例子，一端是不可能达到的绝对肯定，另一端是不可能达到的绝对否定。根据日常观念，我们看到的一条线是两点在无穷远重合的线性量。我们再举一个速度的例子。假设有一辆速度无穷大的列车从芝加哥开往纽约，那么在沿线上任取一点，列车所处的时刻都是一样的。如果路途消耗的时间比0还要小的话，那么列车的方向就会反过来，变成从纽约开往芝加哥了。角度是一个没有实测度值的常见例子。哲学必须考虑的一个问题是，宇宙的演化到底是如同角度变大一样，永远膨胀下去，并没有一个达不到的目标可言，我认为这是伊壁鸠鲁的观点；抑或是宇宙起源于虚无，向着无限遥远的未来趋近，而且如果真的达到了无限的未来，就会返回到起点，也就是虚无。
如果我们将绝对值应用到空间之中，可能的假设就有如下三种。
第一，如欧几里德所说，空间是无限的、不可测度的，所以从透视中看到的任何平面的无限远的部分看起来都是直线。在这种情况下，三角形内角和为180°。
第二，空间不可测度，但是有限的，所以从透视中看到的任何平面的无限远的部分看起来都是一个圆，这个圆之外就是不可知的黑暗。在这种情况下，三角形内角和小于180°，三角形面积越大，内角和越大。
第三，空间是有限的，但是没有尽头（就像球面一样），因此没有无限远的部分，但沿着任何有限的直线路径都将返回其原来的位置。如果视野没有阻碍的话，任何一个观察者都能看到自己无限放大的后脑勺。在这种情况下，三角形内角和大于180°，三角形面积越大，内角和越大。
这三个假设中哪一个是真的，我们不知道。我们能测度的最大的三角形，不过是以地球轨道为底，以某个确定的星体为顶点而已。用180°减去这个三角形的底角和就叫视差。迄今为止，视差的测量值只有约40个左右。其中有两个视差是负值，一个是天津四（属于天鹅座，由C.A.F.彼得斯测量），它的星等为1.5，视差为-0."082；另一个是Piazzi III 422（由R.S.鲍尔测量），视差为-0."45。但是，这两个测量值无疑可归因于观察误差，因为误差范围在±0."075之间。而且，我们能够看到的星空范围是整个天球的一半以上，却没有发现负视差更大的星体，这也实在是咄咄怪事。实际上，在所有视差观测值中，只有两个是负值，这一点强有力地表明，最小的视差可能就是+0."1——如果其他负视差的观测结果没有被扣下来不发表的话。我想，最远的星星的视差位于-0."05和+0."15之间。在未来的某个世纪，我们的子孙一定会知道三角形内角和到底是大于还是小于180°。到目前为止，还没有人能够说得准。的确，根据几何学公理，三角形内角和应该是180°。但是，这些公理现在已经被驳倒了，几何学家承认，他们没有理由来确证它们为真。它们是我们天生的空间观念的表现。只要它们还在影响我们的头脑，它们就有实在性。但这并不构成它确实成立的理由。
现在，形而上学一直是数学的模仿者。几何学为基于演绎的、绝对确定的哲学原则树立了模范。一直以来，形而上学家的思想在很大程度上都源于数学。形而上学的公理是几何公理的模仿。而现在，后者被抛在脑后，毫无疑问，前者也将跟随其后。比如，显而易见的是，我们没有理由认为每一个现象的每一个细节都是由法则确定的。我们看到宇宙中存在一个任意的元素，那就是宇宙本身的繁多性。这种繁多性必然来自某种形式的自发性。
如果我有更多的空间，我现在应该证明数学概念的连续性对于哲学来说是多么重要。黑格尔真实的观点中的大部分，都是数学家早就解释清楚的，也是最近的研究进一步说明了的。
逻辑的许多原理在哲学中都有应用，我只能在此提及其中一个。在每一个逻辑理论的每一个方面，有三个概念到处都会出现，而在最全面的系统中，它们是相互联系的。它们的概念极其宽泛，无边无际，难以精确把握，也容易被忽视。我称之为“初级概念”“次级概念”“三级概念”。初级概念是存在，独立于其他一切。次级概念是相关，也就是与其他的关联。三级概念是协调，也就是建立初级概念和次级概念之间的关系。为了说明这些概念，我将以之前讨论的内容为例来介绍。万物的起源不会导致任何东西，而只会导致它自身，它就是初级概念；万物的终结就是次级概念；两者协调的过程就是三级概念。强调初级概念的哲学通常是二元论哲学，其中次级概念受到了过分的关注。它里面虽然涉及了初级概念，但却总是初级概念以外的某种繁多的对立面。繁多性的首要元素就是初级概念，因为多样性就是任意性，而任意性是否定一切次级概念的。在心理学中，感受是初级概念，反应感是次级概念，一般概念是第三级，也就是协调。在生物学中，随意运动是初级概念，遗传是次级概念，偶然性状得以固定的过程是三级概念。偶然是初级概念，法则是次级概念，习惯是三级概念。心智是初级概念，物质是次级概念，演化是三级概念。
这就是哲学理论应当基于的素材，以便代表19世纪给我们的知识状态。我们不必涉及哲学体系的其他重要问题，便可以很容易地预见到什么样的形而上学能够从这些概念中合理地构建出来。它是一种宇宙论，假设在万物的起源——距离现在无限远——是非人格化的混沌的感受，没有联系性或规律性，于是这个存在也就是非存在。这种感受，纯粹的随意运动，将会开始一种普遍化的趋势。它的其他的运动将会消失，但这种运动会逐渐发展。因此，习惯的趋势将开始，而与此同时，随着演化的其他原则，宇宙的所有规律将会形成。然而，在任何时候，纯粹的偶然都会存活下去，直到世界成为一个绝对完美、理性和对称的体系，其中心灵终于在无限远的未来结晶。
经过我的苦心经营，这个思想已经形成。它说明了我们所知道的宇宙的主要特征——时间、空间、物质、力、引力、电力等。它还预测了更多的东西，这些东西通过新观察可以独自进行试验。希望将来的学者会重温这些观点，并为世界贡献新的成就。
