13. 分形：神秘的边界延长
数学家很早就认识到，在自古以来构成数学和物理学基础的经典欧几里得几何的规范边界之外还有几何形状。我们许多人曾经痛并快乐地学习的传统知识框架认为，所有的线和面都是光滑流畅的。产生中断和褶皱概念（已经成为现代分形概念的一部分）的新奇观念被数学家从严格数学中延伸出来，但在真实世界中并没有被普遍认为起着重要作用。法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗（BenoitMandelbrot）提出了重要的洞见，褶皱、中断、粗糙和自相似性，即分形，事实上是我们生活的复杂世界的普遍特点。［17］
回想起来，这一洞见在2 000多年的时间里与伟大的数学家、物理学家和哲学家失之交臂，这实在令人吃惊。与许多伟大的进步一样，曼德尔布罗的洞见现在看起来“十分明显”，令人无法相信他的结论未能在此前数百年出现。毕竟很长一段时间以来，“自然哲学”一直是人类智力劳动的重要领域，几乎所有人都熟悉西蓝花、血管网络、小溪、河流和山脉，这些现在都被认为是分形。然而，几乎没有人思考过它们的结构和组织的普遍规律，也没有用数学语言来对它们进行描述。或许，就像更重的物体下降速度更快这样的亚里士多德式的错误假设一样，根植于欧几里得几何的柏拉图式的平滑理想状态在我们的灵魂深处根深蒂固，我们必须要等待很长时间，等到某个人真正检验其是否属实。这个人就是非同寻常的英国博学者——刘易斯·弗赖伊·理查森（Lewis Fry Richardson），他几乎是偶然地为曼德尔布罗发明分形奠定了基础。有关理查森如何实现这一点的故事很有趣，我简短叙述一下。
曼德尔布罗的洞见是，当使用不同分辨率的粗粒度镜头观察时，隐藏的简单性和规律性就显露出来，构成了我们周遭世界的复杂性和多样性的基础。此外，用于描述自相似性及其内在递归比例变化的数学与我们在前几章中谈到的幂律规模法则相同。换句话说，幂律规模法则便是自相似性和分形的数学表达。由于动物在个体（它们内部网络结构的几何形状和动力学）和物种范围内均遵循幂律规模法则，它们和我们都是自相似性分形的生动体现。
刘易斯·弗赖伊·理查森是一位数学家、物理学家和气象学家，他在46岁时还获得了心理学学位。他生于1881年，他在职业生涯早期还对我们现代的天气预报方法做出了重大贡献。
他通过流体动力学的基本方程式（此前讨论船只建模时提到的纳维–斯托克斯方程），并利用气压变化、温度、密度、湿度和风速等实时气候数据的持续反馈加以强化和更新，开创了天气计算建模的理念。他早在现代高速计算机发明之前的20世纪初就构思了这一策略。因此，他的计算必须要痛苦地手动执行，预测力也很有限。尽管如此，这一策略及他所研发的一般性数学技巧还是为以科学为基础的天气预测奠定了基础，并为现在用来做出未来几周相对准确的天气预报提供了模板。后来高速计算机的出现，再加上全球搜集的以分钟计的大量数据的更新，都大大提高了我们预测天气的能力。
理查森和曼德尔布罗都有着相对不平凡的背景。尽管两人都接受过数学训练，但都没有走上标准的学术之路。理查森是一名教友派教徒，在“一战”中是一名“良知拒绝服役者”，并因此被禁止在任何大学担任学术职务，这或许在今天会让我们感到震惊。曼德尔布罗直到75岁才获得第一个教授教职的任命，他也因此成为耶鲁大学历史上获得教职时年纪最大的教授。或许，的确需要像理查森和曼德尔布罗这样主流研究圈的局外人和特立独行之士来推动我们认识世界方式的革命。
理查森在战争爆发前曾在英国气象局工作，在战争结束后再次回到气象局，几年后出于同样的良知理由，他在气象局成为英国空军管辖的航空部的一部分之后，又辞去了职位。说来奇怪，正是他内心深处的和平主义及由此导致的与全球主流学术研究界的边缘联系才使得他得出了最有趣、最重要的研究结论，即长度的测量并不像看上去那样简单，由此让人们感受到了分形在我们日常生活中的重要角色。为了了解他是如何得出这一结论的，我需要先说说他的其他成就。
受到他饱含热情的和平主义的激励，理查森开始了一项雄心勃勃的项目，要研究一个定量理论来理解战争和国际冲突的起源，以找到最终预防冲突的策略。他的目的只是研究战争科学。他的主要论点是，冲突的动力学主要是由各国建立军备和累积军备的速度决定的，这是战争的主要原因。他把武器装备的累积看作集体心理力量的代表，反映但又超越了历史、政治、经济和文化，这种集体心理力量带来的动力学又不可避免地导致冲突和不稳定的出现。通过用来了解化学反应动力学和传染疾病扩散的数学运算，理查森为不断升级的军备竞赛建立了模型，每个国家的军火库都会因其他国家军火库的扩大而扩大。
他的理论并未试图解释战争的根本起因，即我们为何共同寻求通过武力和暴力的方式解决冲突，而是展现了导致灾难性冲突的军备竞赛不断升级的动力学。尽管理查森的理论过于简单，但他在用数据进行比较分析方面取得了一些成功，更为重要的是，他提供了一个定量理解战争起源的框架。此外，其理论的价值还在于展示出了哪些参数重要，尤其是提供了达到并维持和平局面的情景设定。与传统的更重定性的冲突理论相比，领导层的角色、文化和历史仇恨、特定事件和人物在他的理论中没有明确的作用。［18］
为了实现创建经得起检测的科学框架的目标和愿望，理查森搜集了大量有关战争和冲突的历史数据。为了将它们定量，他引入了一个一般性概念，称之为“致命争吵”，它被定义为人类之间导致死亡的暴力冲突。根据死亡人数的不同，他确定了它们的数量级：只有1个人死亡，致命争吵的规模便是1，“二战”的致命争吵规模因此超过了5 000万，这是根据平民死亡的人数计算得出的数字。而后，他又迈出了大胆的一步，质疑是否存在连续性的致命争吵，从一个个体开始，进而升级到团伙暴力、社会动荡、小型冲突，并以两次世界大战告终，这也因此覆盖了近8个数量级的范围。他在试图将上述数量级绘制在一条轴上的时候，遇到了我们此前试图在一个简单的线性比例上放下所有地震或哺乳动物代谢率时面临的挑战。实际上，这是不可能实现的，人们必须使用对数比例才能看到死亡争吵的整个序列。
因此，根据里氏震级类推，理查森的比例要从1人死亡的0级开始，以两次世界大战的接近8级结束（8级代表数亿人死亡）。在此之间，造成10人死亡的小型骚乱将是1级，100名战士死亡的小规模战斗是2级，以此类推。显然，很少有战争能够达到7级，大多数冲突都是0级或1级。当他按照对数比例绘制一定规模的致命争吵的数量与它们的数量级的关系时，便发现了一条近似直线，就像我们在绘制代谢率等生理学数量与动物体重的比例时一样（详见图1–1）。
因此，战争的频数分配遵循简单的幂律规模法则，表明冲突是近似自相似的。［19］ 这一不同寻常的结果使得我们得出惊人的理论——从粗粒度的意义上说，大型战争只不过是小型冲突按比例扩大的版本，正如大象是老鼠按比例扩大的版本一样。因此，战争和冲突异常复杂的背后似乎就是控制所有比例的普遍动力学。最近的研究成果也从最近的战争、恐怖主义袭击，甚至网络袭击中证实了上述发现。［20］目前尚没有一种普遍性理论能够用来理解这些规律，尽管它们很可能反映了国家经济、社会行为、竞争力的分形网络特征。无论如何，任何最终的战争理论都需要考虑以上结论。
最后，这就引出了讲述理查森故事的关键点。他把冲突幂律规模法则视作与战争相关的其他系统性规律的一部分，希望借此发现支配人类暴力的一般性规律。为了形成一个理论，他假定两个邻国之间爆发战争的可能性与两国边界线的长度成比例。为了检验自己的理论，他将注意力集中到如何测量两国边界线的长度这一问题上，并因此偶然发现了分形。
为了验证自己的观点，他开始着手搜集边界线长度的数据，并惊讶地发现已经发布的数据存在大量差异。例如，他得知西班牙和葡萄牙之间边界线的长度有时被引述为987千米，有时被引述为1 214千米。同样，荷兰与比利时之间的边界线长度有时是380千米，有时却是449千米。人们很难相信如此巨大的差异是由测量的失误导致的。当时，测绘已经是一门高度发达、公认的准确的科学。例如，19世纪末，人们所知的珠穆朗玛峰的高度仅有几英尺的偏差。因此，边界线长度相差数百千米就很奇怪了。很明显，其中一定存在着其他原因。
在理查森进行实证研究之前，测量长度的方法完全被视作是理所当然的。这看上去很简单，人们很难发现哪里出错。接下来，让我们分析一下测量长度的过程。假设你想要粗略估计起居室的长度。你可以直接沿直线放置1米长的米尺，并计算两面墙之间共放置了多少次米尺。你发现，米尺放置了6次，因此可以得出结论，起居室的长度大约为6米。不久后，你发现自己需要一个更加精确的预测值，便使用细粒度的10厘米尺子来测量。仔细地在两端之间放置之后，你发现共放置了63次，于是得出更加精确的近似值，即63×10厘米，结果为630厘米，即6.3米。很明显，结果取决于你想要的答案的精度，你可以用更加精确的度量工具重复这一过程。如果你要的结果需要精确到毫米，你或许会发现这一长度为6.289米。
事实上，我们不会端到端地放置尺子，但为了方便，会使用适当的长卷尺或其他测量设备，把我们从这一乏味的过程中解放出来，但原则依然是一样的：卷尺或其他测量工具只是一系列给定标准长度的短尺（如1米长或10厘米长的尺子）“缝合”在一起得到的。
在我们测量的过程中，不管测量的是什么，有一点是明确无误的，那就是随着测量精度的提高，测量结果会越发接近准确数值，即起居室的实际长度。在上述例子中，随着精度的提高，它的长度值从6米到6.3米再到6.289米。这一向实际长度值的汇聚看上去很明显，数千年来一直没有人质疑，直至1950年理查森偶然发现了边界线和海岸线不断延长的秘密。
现在，让我们想象一下按照上述标准程序测量两个邻国间边界线的长度或一国海岸线的长度。为了得到粗略的估值，我们开始或许会端到端地使用100英里的分段，并覆盖整个边界线的长度。假设我们发现按照这一精度，边界线近似为12个分段，其长度因此大约为1200英里。为了得到更加精确的测量结果，我们可能会使用10英里的分段来预估边界线长度。根据起居室例子中阐释的一般测量法则，我们或许会发现大约有124个分段，进而得到更加精确的1 240英里的估值。将精确度提高到1英里，我们会得到更加准确的数字，或许会发现1 243个分段，即1 243英里。我们可以通过越来越高的精度，继续这一过程，直至最终获得所需的精确数字。
然而，令理查森吃惊的是，当他在详细的地图上用游标卡尺重复这一标准程序时，情况并非如此。事实上，他发现，精度越高，准确度越高，边界线长度就越长，而不会汇聚到某个特定的数值！与起居室的长度不同的是，边界线和海岸线的长度会持续变长，而不会集中到某个固定数值，这违反了数千年来基本的测量法则。同样令人吃惊的是，理查森发现，地图上测量的长度系统性地递增。当他用对数比例绘制不同边界线和海岸线长度及所使用的测量精度时，就会出现一条我们曾在其他许多地方见到过的指向幂律规模法则的直线（见图3–12）。这太奇怪了，它表明，与传统信条相反的是，这些长度似乎依赖用于测量的单元的比例，而且从这个意义上来说，这并不是被测量对象的客观属性。［21］
那么，究竟是怎么回事呢？稍微思考一下，你很快就会意识到发生了什么。与你的起居室不同的是，大多数边界线和海岸线并不是直线，而是蜿蜒的线，它们要么遵循当地的地理环境，要么就是由政治、文化或历史原因随意决定的。如果你测量时在海岸线或边界线的两点之间放置长度为100英里的直尺，就像实际测绘中所做的那样，你就明显会错失两点之间所有的蜿蜒和摆动（详见图3–11）。然而，如果你转而使用10英里长的尺子，你就会对在大于10英里的尺子下错失的那些蜿蜒和摆动感到敏感。这一更高的分辨率将会发现那些细节，跟随蜿蜒之处，由此得出的预测值肯定要大于使用粗粒度的100英里直尺时获得的数据。同样，使用10英里的尺子将难以发现在那些小于10英里的尺子下的蜿蜒和摆动，但如果我们将分辨率提高至1英里，这些蜿蜒和摆动就会被包括进最终的测量数据中了，长度也将会进一步增加。因此，对于像理查森研究的带有许多蜿蜒和摆动的边界线与海岸线，我们可以很容易理解，随着分辨率的提高，它们的测量长度如何持续增长。
由于这一增长遵循简单的幂律规模法则，这些边界事实上是自相似的分形。换句话说，一种长度尺子下的蜿蜒和摆动是另一种长度尺子下的蜿蜒和摆动按比例缩放的版本。因此，当你在看到一条小溪流岸边的侵蚀看上去就像规模更大的河流岸边侵蚀按比例缩小的版本，甚至像大峡谷的迷你版本，并为此而感到惊讶时，你并非沉溺于幻想之中，它事实上的确就是如此（见图3–10）。
图3–11 利用不同精度测量英国海岸线的长度
这实在令人惊叹。我们再一次发现，当用粗粒度比例滤镜观察时，在自然界令人畏惧的复杂性的背后，潜藏着惊人的简单性、规律性和一致性。尽管理查森在研究边界线和海岸线时发现了这一奇特的、革命性的非直观行为，并理解它们的来源，但他并没有完全意识到其非凡的普遍性和深远的影响力。这一更深刻的洞见落在了曼德尔布罗的身上。
理查森的发现几乎为整个科学界所忽视。这并不太令人感到惊讶，因为它是在一本相对晦涩的期刊上发表的，而且掩藏在了他对于战争起因的实证研究之中。他发表于1961年的论文也采用了非常晦涩的题目：“关于接近的问题：致命争吵统计数据附录”。即便在行家看来，这个题目也未能透露出文章的内容是什么。谁又能知道这即将宣告具有重大意义的范式转换呢？
伯努瓦·曼德尔布罗知道。他理应获得赞誉，不仅因为他重新唤醒了理查森的工作，而且因为他意识到了它所具有的更加深刻的重要意义。1967年，曼德尔布罗在著名的期刊《科学》上发表了一篇论文，题目清晰易懂：“英国海岸线有多长？数据自相似性和分形维数”。［22］
通过发展理查森的发现，并概括其观点，理查森的工作得见天日。后来被称为“分形”的褶皱是由理查森的对数表中的直线的斜率决定的，斜率越大，曲线的褶皱越多。这些斜率是长度与精度相关的幂指数，类似代谢率与生物体体重相关的指数3/4。对像圆这样十分平坦的传统曲线而言，斜率或指数为零，因为它的长度不会随着精度的提高而改变，而是会汇聚到一个固定的数值，正如起居室的例子一样。然而，对崎岖不平、有褶皱的海岸线而言，斜率并不为零。例如，对英国西海岸线而言，斜率为0.25；对挪威那样有着峡湾和多层次海湾的褶皱更多的海岸线而言，斜率为极大的0.52。另外，理查森发现，南非海岸线与其他任何海岸线都不相同，斜率只有0.02，十分接近平坦的曲线。至于西班牙和葡萄牙之间的边界线，之前出入很大的数据曾激发了理查森的兴趣，他发现其斜率为0.18，详见图3–12。
图3–12 海岸线和边界线的分形
利用不同精度测量海岸线的长度（例子中的英国）。图3–11：随着精度的变化，长度按照图中的幂律系统性增长。图3–12：斜线给出了海岸线的分形维数，弯曲越多，斜线越陡峭。
为了理解这些数字的含义，想象一下，将测量的精度提高至原来的两倍，英国西海岸线的测量长度将会增加约25%，挪威海岸线的测量长度将会增加约50%。这是一个很大的差别，此前则完全被忽略，直至理查森于70年前偶然发现。因此，若想要让测量的过程有意义，就必须知道精度很重要，它是整个过程中必不可少的一部分。
要点很明确。通常而言，如果不阐明用于测量的尺子的精度，引用测量数值就是毫无意义的。从原则上来说，如果不给出测量的单位，只是说长度为543、27或1.289176，是毫无意义的。正如我们要知道长度单位是英里、厘米还是埃一样，我们也需要知道所使用的精度。
曼德尔布罗引入了分形维数的概念，通过将幂指数（斜率值）增加1的方式来对其进行定义。因此，南非海岸线的分形维数是1.02，挪威海岸线的分形维数为1.52，等等。增加1的目的在于，将分形的概念与第2章中所讨论的普通维度概念联系起来。一条平坦的线的维度为1，一个平缓的表面的维度为2，立体维度为3。因此，南非海岸线非常接近平坦，因为它的分形维度为1.02，很接近1，而挪威海岸线则很不平坦，因为它的分形维度为1.52，比1要大得多。
你可能会想象到极端的情况，即一条线太过曲折和复杂，以至有效地填充了整个区域。
虽然它仍然是一条有着普通维度1的线，但就其标度特征而言，它表现得就像一片区域，因而也就拥有分形维度2。这一奇怪的额外维度的获得是空间填充曲线的普遍特点，我将在下一章中详细阐述。
在自然界中，几乎没有什么东西是平缓的——大多数事物都是有褶皱的、不规则的、细圆齿状的，通常都以一种自相似的形式存在。想想森林、山脉、蔬菜、云和海洋表面。由此一来，大多数自然物体都没有绝对的客观长度，在陈述测量结果时，很重要的一点是要报告分辨率是多少。那么，人们为何花了超过2 000年的时间才意识到如此基本、现已显而易见的事情呢？这很可能源于二元论，随着我们逐渐从与自然世界的紧密联系中分离出来，越来越远离决定生物学的自然之力，这种二元论开始出现。当我们发明语言，学习如何利用规模经济的优势，组成社区，开始制作手工艺品时，我们事实上改变了我们日常生活及其周边环境的几何形状。在设计和制造人类工程学产品时，无论是原始的罐子和工具，还是现代化的复杂汽车、计算机和摩天大楼，我们都使用并且追求直线、平滑曲线和平滑表面的简单性。
量化测量的发展及数学的发明，尤其是欧几里得几何的理想化范式，完美地展现了这一点。
这种与我们创造的手工艺品世界相适应的数学，伴随我们从一种哺乳动物进化到社会智人。
在这个人工制品的新世界中，我们不可避免地习惯于通过蒙蔽我们的欧几里得几何（直线、平滑曲线和平滑表面）的滤镜观察世界，至少科学家和技术专家如此，而我们所处的环境是一个混乱、复杂、令人费解的世界。这在很大程度上是留给艺术家和作家想象的领域。
尽管度量在这一新鲜的、更加常规的人工世界中扮演着核心角色，但它具有欧几里得几何简单明了的特点，因此无须担心精度等刁钻的问题。在这个新世界中，长度便是长度，仅此而已。然而，在我们周围直观的“自然”世界中却并非如此，它高度复杂，而且被褶皱、波纹和小褶皱主导。正如曼德尔布罗简单明了地概述：“平缓的形状在野外很少见，但在象牙塔和工厂中极为重要。”
从19世纪初开始，数学家便已经开始思考不那么平缓的曲线和平面，但他们并非受到自然界中此类几何图形普遍存在的激励。他们的动机仅仅是出于学术兴趣发掘新的观点和概念，如是否有可能构造出违反欧几里得神圣教条的一致几何形状。
这个问题的答案是肯定的，曼德尔布罗也很好地利用了这一点。与理查森相比，曼德尔布罗接受的是更加正式、传统的经典法国数学教育，熟悉充满抽象、褶皱、非欧几里得曲线和平面的奇怪世界。他的伟大贡献在于，他意识到理查森的发现有着坚实的数学基础，学术数学家一直不那么认真应对、似乎与现实没有关联的奇怪几何图形事实上和现实紧密相关，而且从某种意义上来说，其关联度甚至超过了欧几里得几何。
或许，重要的是，他意识到这些论点具有普遍意义，远远不仅是边界线和海岸线，而且可以延伸至任何可测量的物体，甚至包括时间和频率，这些例子包括我们的大脑、弄皱的纸球、闪电、河流网络及心电图和股市等时间序列。例如，平均而言，在1个小时的交易中，金融市场的波动模式与1天、1个月、1年，甚至10年的波动模式相同。它们彼此呈非线性比例关系。因此，当你的面前呈现某些时间段内道琼斯指数的典型曲线图时，你不知道它是过去1个小时还是过去5年的表现，下跌、波动和上涨都是相同的，无论其位于哪个时间段内。
换句话说，股票市场的表现是自相似的分形模式，在所有的时标内以一种由指数或分形维数定量的幂律不断自我重复。
你或许认为，掌握了这一知识，你可能会迅速致富。尽管它肯定可以让你对股票市场隐藏的规律有新的洞见，但不幸的是，它的预测力只局限于平均粗粒度意义上，并不能给出单独一只股票的详细信息。尽管如此，它仍然是理解不同时间框架内市场动力的一个重要因素。这催生出了金融物理学这一全新的跨学科的金融学子领域，并促使投资公司开始雇用物理学家、数学家和计算机科学家，通过这些论点开发新的投资战略。［23］ 许多公司做得很好，尽管我们并不清楚它们的物理学家和数学家在获得的成功中起到了多大的作用。
同样，心电图中的自相似性也是评判我们心脏状况的重要指标。你或许曾经想过，心脏越健康，心电图越平缓、越规律。与生病的心脏相比，健康心脏的分形维数更低。然而，恰恰相反，健康心脏的分形维数相对更高，心电图的变化也更多；而生病的心脏则有着相对平缓的心电图，分形维数更小。事实上，那些最具风险的心脏的分形维数接近1，心电图也异常的平缓。因此，心电图的分形维数为定量心脏病和心脏健康提供了一个强大的辅助诊断工具。 ［24］
健康和强壮等同于更大的变化和波动，心电图中的分形维数更大，这与这些系统的韧性有关。太过僵硬和受限意味着系统缺乏足够的灵活性来进行必要的调整，以抵御不可避免的小冲击和摄动。想一想你的心脏每天遭受的压力和紧张，许多都是未曾预料到的。能够容纳并自然地适应这些冲击对你的长期生存至关重要。这些持续的改变和冲击要求你的所有器官，包括大脑及其精神状态，既灵活又要有弹力，也因此要具有更大的分形维数。
这些可以从个体扩展到公司、城市、州，甚至生命本身。多样化，拥有更多可交替、适应性强的成分是这一范式的另一种表现。自然选择因更强的多样性而发展，同样也制造出了更强的多样性。有韧性的生态系统也有更多样的物种。成功的城市是那些提供更多元就业机会和商业形态的城市，成功的公司则拥有多样化的产品及根据市场变化而做出灵活变通的人，这并非巧合。我将在第8章和第9章谈到城市与公司的时候对此进行进一步详述。
1982年，曼德尔布罗出版了一部非常有影响力、非常具有可读性的半通俗著作《大自然的分形几何学》（ The Fractal Geometry of Nature ） ［25］ ，通过展示出分形在科学界和自然界的普遍存在，引起了人们对分形的极大兴趣。它催生了一个寻找分形的迷你产业，测量它们的维数，表现它们的神奇特性如何带来奇特的几何图形。
曼德尔布罗展示了基于分形数学的相对简单算法规则如何产生了令人惊讶的复杂模式。
他及后来的许多人都制造出了山脉和风景的逼真模拟与引人入胜的迷幻图案。这为电影和媒体行业所欣然接受，无论是逼真的战斗场面、壮丽的风景还是未来幻想，你现在在荧幕上和广告中看到的许多东西都是以分形范式为基础的。如果没有对分形的早期研究和洞见，《指环王》《侏罗纪公园》《权力的游戏》都将成为无生机版本的现实幻想。
分形甚至还出现在了音乐、绘画和建筑领域。据说，乐谱的分形维数能够用来确定不同作曲家的标志性特点，如贝多芬、巴赫和莫扎特，而杰克逊·波洛克的画作的分形维数则被用来分辨真伪。 ［26］
尽管描述和量化分形有着数学框架，但没有发展出基于潜在物理学原则的基础理论，用以机制性地理解它们为何会出现，或用来计算它们的维度。海岸线和边界线为何会分形？它们惊人的规律性的背后动力是什么？是什么决定了南非应该有一条相对平缓的海岸线，而挪威就有一条崎岖的海岸线？将这些完全不同的现象与股票市场、城市、心血管系统和心电图的行为联系在一起的普遍原则及动力是什么？
分形维数只是定义这些系统特征的诸多指标之一。我们会在这些指标中各自投入多少储存令人吃惊。例如，道琼斯工业平均指数几乎被虔诚地认为是美国整体经济状况的指示剂，就像体温通常被当作我们自身整体健康的指示剂一样。更好的做法是，要有类似的一系列指标，例如你从年度体检中得到的指标，或者经济学家为了了解整体经济状况而设计的一系列指标。然而，在此基础之上更进一步的是，要有一个整体的量化理论和概念性框架，并搭配动态模型，以机制性地理解为何不同的指标会是其本身所表现的那样，为何它们能够预测出未来如何发展。
由此而论，仅仅知道代谢率按比例变化的克莱伯定律，甚至了解生物体所遵循的其他异速生长率，都无法构成一个理论。相反，这些现象规律都是揭示和概述生命系统性、一般性特点的大量数据的复杂总结。能够从几何学和动态网络等一系列普遍原则中分析得出更加精细的结论，将会使得我们对它们的起因有进一步的加深理解，并有可能会由此应对并预测其他新的现象。在下一章中，我将会向你们展示这一网络理论如何提供框架，并通过一些例子说明这一点。
最后要说明，令人感觉出乎意料的是，曼德尔布罗并未表现出对理解分形的机制性起因有丝毫的兴趣。在向世界展示了分形的普遍性之后，他的热情更多地被倾注到它们的数学描述上，而非物理原因上。他的态度似乎是，它们是自然界的奇妙财产，我们应该因它们的普遍性、简单性、复杂性和美丽而感到高兴。我们应该努力用数学来描述和使用它们，但我们不应该太过于关注它们如何产生的潜在原理。总而言之，他更像一名数学家而非物理学家一样在研究它们。这或许是他的伟大发现并没有在物理学界和科学界获得其本应获得的高度赞誉的原因之一，他也因此没有获得诺贝尔奖，尽管他的成就在许多领域都得到了广泛认可，并且还获得了一连串的奖项和奖励。
