平行线的判定与性质的综合运用
例1 已知：如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70 °，求∠AGD的度数.
分析：∠3和∠2是EF，AD被AB所截的内错角，由EF∥AD，∠3=∠2.由∠1=∠2，
得∠1=∠3.∠1和∠3是DG和AB被AD所截的内错角，由∠1=∠3
得 AB∥DG.∠BAC和∠CGD是DG和AB被AC所截的同位角，
由AB∥DG，可得∠BAC=∠CGD.根据平角的定义，可求得∠AGD的度数.
解：∵EF∥AD(已知），∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）.
又∵∠1=∠2(已知），
∴∠1=∠3（等量代换）.
∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行）.
∴∠BAC+AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∴∠AGD=180°－BAC=180°－70°=110°.
例2. 如图所示，下列结论正确的有__.(把所有正确结论的序号都选上).
①若AB∥CD，则∠3=∠4；
②若∠1=∠BEG，则EF∥GH；
③若∠FGH+∠3=180°，则EF∥GH；
④若AB∥CD，∠4=62°，EG平分∠BEF，则1=59°．
解析：①若AB∥CD，则∠3=∠4，正确；
②若∠1=∠BEG，则AB∥CD，错误；
③若∠FGH+∠3=180°，则EF∥GH，正确；
④∵AB∥CD，∴∠3=∠4=62°，
∵∠BEF=180°－∠4=118°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠2=1/2∠BEF=59°，
∴∠1=180°－∠2－∠3=59°，正确.
故答案为：①③④．
平行于同一条直线的两直线平行
几何语言表达：∵a // c , a // b (已知),
∴ c // b(平行于同一条直线的两直线平行).
例3 已知：如图，AB//CD，∠A=100°， ∠C=110°，求∠AEC的度数 。
分析：过点E作EF//AB，则∠1+∠A=180°.
由AB//CD，得EF//CD，则∠C+∠FEC=180°.
由∠A=100°， ∠C=110°，可求得∠1和∠FEC的度数，
根据角的和差，可求得∠AEC的度数.
解：过点E作EF//AB.∵AB//CD，EF//AB（已知），
∴EF//CD (平行于同一直线的两直线平行）.
∴∠A+∠1=180°，∠C+∠FEC=180°(两直线平行，同旁内角互补）.
又∵∠A=100°，∠C=110°（已知）
∴∠1 =180°－∠A=80 °,
∠FEC=180°－∠C=70 ° （等式的性质）
∴∠AEC=∠1+∠FEC= 80° +70° = 150° .
例4 已知AB∥DE，试问∠B，∠E，∠BCE有什么关系.请完成填空：
解：过点C作CF∥AB，
则∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）.
又∵AB∥DE，AB∥CF，
∴CF∥DE（ 平行于同一直线的两条直线平行）.
∴∠E＝∠2（两直线平行，内错角相等）.
∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2（等式的性质），
即∠B＋∠E＝∠BCE．
例5 已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC与G，∠E=∠3，试问：AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由．
解：是．
∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），
∴∠4=∠5=90°（垂直的定义）.
∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行）.
∴∠1=∠E（两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）.
∵∠E=∠3（已知），
∴∠1=∠2(等量代换），
∴AD是∠BAC的平分线（角平分线的定义）．
例6 如图，AB，CD，EF，MN均为直线，∠2=∠3=70°，∠GPC=80°，GH平分∠MGB，求∠1的度数.
解：∵∠2=∠3=70°(已知)，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)，
∴∠BGP=∠GPC(两直线平行，内错角相等)，
∵∠GPC=80°(已知)，
∴∠BGP=80°(等量代换)，
∴∠BGM=180°-∠BGP=100°(平角的定义)，
∵GH平分1/2∠MGB(已知)，
∴∠1= ∠BGM=50°(角平分线的定义).
小结：
