勾股定理的逆定理及其应用2

一、勾股定理的逆定理

问题 如果△ABC的三边a，b，c满足a²+b²=c²，那么∠C是直角吗？

分析：在△ABC中，由边的关系a²+b²=c²，推导出为直角很难做到，若作一个与△ABC全等的直角三角形，则可借助全等的性质来说明∠C是直角.

已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a²+b²=c².
求证：∠C=90°.
证明：如图，作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b.
由勾股定理可得A'B'²=a²+b².
∵a²+b²=c²，∴A'B'²=c².
在△ABC和△A'B'C'中，
∵AB=A'B'=c，BC=B'C'=a，AC=A'C'=b.
∴△ABC≌△A'B'C'（SSS）.
∴∠C'=∠C=90°（全等三角形的对应角相等）.
勾股定理的逆定理：
如果△ABC的三边a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形.

二、勾股定理的逆定理的应用

利用勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形的一般步骤
（1）先比较三边a，b，c的大小，找到最长边；
（2）计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方和相等.若相等，是直角三角形，并且最长边对应的角是直角；若不相等，则不是直角三角形.
例  如图，是一个机器零件的示意图，∠ACD=90°是这种零件合格的一项指标，现测得AB=4cm，BC=3cm，CD=12cm，AD=13cm，∠ACB=90°.根据这些条件，能否知道∠ACD=90°.  

解：在△ABC中，
∵∠ACB=90°.
∴AC²+BC²=AB²（勾股定理）.
∵AB=4，BC=3，
∴AC²=3²+4²=5².
∴AC=5，
在△ABC中，
∵AC=5.CD=12，AD=13，∴AC²+CD²=5²+12²=169，AD²=13²=169.
∴AC²+CD²=AD².
∠ACD=90°（勾股定理的逆定理）.
∴根据这些条件，能知道∠ACD=90°.