等腰（边）三角的 判定定理

一、等腰三角形的判定定理

已知：在△ABC中，∠B=∠C（如图）．求证：AB=AC．

证明：

过A作AD平分∠BAC交BC于点D.
在△ABD与△ACD，
∠1=∠2，
∠B=∠C，
AD=AD，
∴ △ABD ≌ △ACD. 
∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)，

∴ △ ABC是等腰三角形.

等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）.
应用格式：
 在△ABC中， 
∵∠B=∠C， (已知)
∴ AC=AB.     ( 等角对等边)
即△ABC为等腰三角形.

例1  求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 

已知： 如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC． 求证：AB=AC． 

证明：

∵AD∥BC，

∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），

∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，

∴AB=AC（等角对等边）． 

二、等边三角形的判定定理

等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

例1 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形.

证明：∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
例2 在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？

3种“补出”方法：
方法1：量出∠C度数，画出∠B＝∠C， ∠B与∠C的边相交得到顶点A．
方法2：作BC边上的中垂线，与∠C的一边相交得到顶点A．
方法3：对折．
能力提升：在△ABC中,已知 AB≠AC ,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB.过点O作直线EF//BC交AB于E,交AC于F.

（1）请问图中有多少个等腰三角形?请一一列举.
5个，△ABC，△AEF，△OBE，△OBC，△OCF.
（2）线段EF和线段EB,FC之间有没有关系?若有是什么关系?
EF=EB+FC
若AB≠AC，2个，△OBF，△OCE.