勾股定理的应用
利用勾股定理，我们可以解决一些实际问题.在应用中关键是利用转化思想将实际问题转化为直角三角形模型，常见类型有：
（1）已知直角三角形的任意两边，求第三边；
（2）已知直角三角形的一边，确定另两边的关系；
（3）证明含有平方（算术平方根）关系的几何问题；
（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度解决生活、生产中的实际问题.
例1 如图，在长为50mm，宽为40mm的长方形零件上有两个圆孔，与孔中心A，B相关的数据如图所示，求孔中心A和B间的距离.
∴AC2+BC2=AB2（勾股定理）.
∵AC=50-40-26=9（mm），
BC=40-18-10=12（mm），
答：A和B间的距离是15mm.
例2 在波平如镜的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面3尺，一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，问湖水多深？
解：如图，设红莲在无风时高出水面部分CD长为3尺，点B被红莲吹斜后花朵的位置，BC部分长6尺.设水深AC为x尺.
在Rt△ABC中，∴AAC2+BC2=AB2（勾股定理）.
又∵AB=AD=（x+3）尺,
∴（x+3）2=x2+62，化简解得x=4.5.
答：湖水深4.5尺.
例3 有一个高为1.5 m，半径是1 m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？
解:设伸入油桶中的长度为x m,则最长时:
x2=1.52+22
所以最长是2.5+0.5=3(m).
最短时,x=1.5
所以最短是1.5+0.5=2(m).
答:这根铁棒的长应在2～3 m之间.
例4 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得，BC2+AC2=AB2
即 52+ x2= (x+1)2
25+ x2= x2+2x+1，
2 x=24，
∴ x=12， x+1=13.
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.
解:设伸入油桶中的长度为x m,则最长时:
x2=1.52+22
所以最长是2.5+0.5=3(m).
最短时,x=1.5
所以最短是1.5+0.5=2(m).
答:这根铁棒的长应在2～3 m之间.
例4 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得，BC2+AC2=AB2
即 52+ x2= (x+1)2
25+ x2= x2+2x+1，
2 x=24，
∴ x=12， x+1=13.
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.
